2.2 三角形全等的判定 课时作业 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

青岛版八年级上册 第2章 全等三角形　2.2 三角形全等的判定 课时作业 青岛版数学八年级上册 · 第2章 全等三角形 2.2 三角形全等的判定 课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．掌握三角形全等的判定方法：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”。 2．知道“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等，能举反例说明。 3．能灵活选择判定方法证明两个三角形全等，进而证明线段相等或角相等。 4．会用三角形全等的知识解决简单的实际测量问题，规范书写证明过程。 课前预习 1．两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”。 2．两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成“________”。 3．两角分别相等且其中一组等角的________相等的两个三角形全等，简写成“________”。 4．三边分别相等的两个三角形全等，简写成“________”。 二、知识梳理 知识点1　边角边（SAS） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。 几何语言：在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：角必须是两边的夹角。“两边及其中一边的对角分别相等（SSA）”的两个三角形不一定全等，如下图，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等。 知识点2　角边角（ASA）与角角边（AAS） （1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。 （2）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”。（由三角形内角和定理和ASA可以推出） 注意：三个角分别相等（AAA）的两个三角形不一定全等，它们形状相同，但大小可能不同。 知识点3　边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。 三角形具有稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就完全确定了。 知识点4　证明三角形全等的思路 已知条件 可以寻找的条件 判定方法 两边 夹角 / 第三边 SAS / SSS 一边一角（角为边的邻角） 另一邻边 / 另一邻角 / 边的对角 SAS / ASA / AAS 一边一角（角为边的对角） 另一角 AAS 两角 夹边 / 其中一角的对边 ASA / AAS 寻找隐含条件：公共边、公共角、对顶角；等量加（减）等量；平行线得到的等角；垂直得到的直角等。 三、典例精析 例1　已知：如图，AB=AD，CB=CD。求证：△ABC≌△ADC，并说明AC平分∠BAD。 证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD（已知），CB=CD（已知），AC=AC（公共边）， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC（全等三角形的对应角相等），即AC平分∠BAD。 例2　已知：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB=AC，AD=AE，BE与CD交于点O。求证：∠B=∠C。 证明：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AE=AD（已知）， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 例3　已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF。求证：AB=DE。 证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）。 ∵AC∥DF，∴∠ACB=∠F（两直线平行，同位角相等）。 ∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，BC=EF，∠ACB=∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE。 例4　已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D。求证：AC=AD。 证明：在△ABC和△ABD中，∠C=∠D（已知），∠1=∠2（已知），AB=AB（公共边）， ∴△ABC≌△ABD（AAS），∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）。 例5　如图，为了测量池塘两端A，B之间的距离，小明在池塘外取一点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC；连接BC并延长到点E，使CE=BC；连接DE。测得DE=36米，求A，B之间的距离，并说明理由。 【解答】在△ABC和△DEC中，AC=DC，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=36米。 答：A，B之间的距离为36米。 四、易错警示 易错点1：误用“SSA”判定两个三角形全等。 易错点2：用“SAS”时，所用的角不是两边的夹角。 易错点3：证明时条件的书写顺序与判定方法不一致，或把对应顶点写错位置。 易错点4：由“BE=CF”直接写“BC=EF”，缺少“同时加上EC”的推理过程。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（　　） A．三边分别相等 B．两边及其夹角分别相等 C．两角及其中一角的对边分别相等 D．两边及其中一边的对角分别相等 2．如图（例1图），AB=AD，CB=CD，则△ABC≌△ADC的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．如图（例4图），已知∠1=∠2，要使△ABC≌△ABD，添加的条件不能是（　　） A．AC=AD B．∠C=∠D C．∠ABC=∠ABD D．BC=BD 4．如图（例3图），AB∥DE，AC∥DF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，下列条件不能的是（　　） A．∠A=∠D B．AB=DE C．AC=DF D．BE=CF 5．如图（例5图），测量池塘两端距离的方法中，判定△ABC≌△DEC的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BF=CE，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 7．如图，AD与BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，则△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．工人师傅常用角尺平分一个任意角：在∠AOB的两边上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。这样做的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 二、填空题 9．如图（例4图），∠1=∠2，只需添加一个条件________，即可用“SAS”证明△ABC≌△ABD。 10．如图（例1图），AB=AD，CB=CD，若∠B=100°，∠BAC=30°，则∠ACD=________°。 11．在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，AB=DE，添加条件________，可以用“ASA”判定△ABC≌△DEF；添加条件________，可以用“AAS”判定。 12．如图（第7题图），OA=OD，OB=OC，若∠A=40°，∠B=65°，则∠D=________°，∠C=________°。 13．三角形具有________性，所以自行车的车架常做成三角形结构。 三、解答题 14．已知：如图，AB=AC，BD=CD。求证：∠B=∠C。 15．已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF。求证：AC=DF。 16．已知：如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，OA=OD。求证：AB=CD。 B组　能力提升 一、选择题 17．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则下列结论中错误的是（　　） A．BD=CE B．∠ABD=∠ACE C．∠BAD=∠CAE D．AD=DE 18．如图（例2图），AB=AC，AD=AE，BE与CD交于点O，则图中全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、填空题 19．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是________。 20．两个三角形有两边和一个角分别相等，这两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）。 三、解答题 21．已知：如图，点D，E分别在AB，AC上，AB=AC，AD=AE，BE与CD交于点O。求证：（1）△ABE≌△ACD；（2）OB=OC。 22．如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再过点D作BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长。请说明理由。 C组　拓展探究 解答题 23．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接BD，CE，BD与CE交于点F，BD与AC交于点G。（1）求证：BD=CE；（2）求证：BD⊥CE。 24．已知：如图，AD是△ABC的中线。求证：AB+AC>2AD。 六、参考答案与解析 课前预习 1．夹角；边角边（SAS）　　2．夹边；角边角（ASA）　　3．对边；角角边（AAS）　　4．边边边（SSS） A组　基础巩固 1．【答案】D 【解析】“SSA”不能判定两个三角形全等。 2．【答案】D 【解析】三边分别相等，依据是SSS。 3．【答案】D 【解析】A用SAS，B用AAS，C用ASA；D中两边及其中一边的对角相等（SSA），不能判定全等。 4．【答案】A 【解析】由平行已得∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，再加∠A=∠D，只有三个角相等，不能判定全等；B、C可用AAS，D可用ASA。 5．【答案】B 【解析】AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，是两边及其夹角，依据SAS。 6．【答案】D 【解析】由BF=CE得BF+FC=CE+FC，即BC=EF，又AB=DE，AC=DF，三边分别相等，依据SSS。 7．【答案】A 【解析】OA=OD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），OB=OC，依据SAS。 8．【答案】B 【解析】OM=ON，CM=CN，OC=OC，由SSS得△MOC≌△NOC，所以∠MOC=∠NOC。 9．【答案】AC=AD 【解析】AB为公共边，∠1，∠2是AB与AC，AD的夹角，所以添加AC=AD。 10．【答案】50 【解析】∠ACB=180°-100°-30°=50°，由△ABC≌△ADC得∠ACD=∠ACB=50°。 11．【答案】∠B=∠E；∠C=∠F 【解析】ASA要求两角夹边，AB是∠A与∠B的夹边；AAS要求其中一角的对边相等，AB是∠C的对边。 12．【答案】40；65 【解析】由△AOB≌△DOC得∠D=∠A=40°，∠C=∠B=65°。 13．【答案】稳定 【解析】三边确定，三角形的形状和大小就确定了（SSS）。 14．【答案】见解析。 【解析】证明：连接AD（图中已连接）。在△ABD和△ACD中，AB=AC（已知），BD=CD（已知），AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 15．【答案】见解析。 【解析】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知），∠B=∠DEF（已知），BC=EF（已证）， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF（全等三角形的对应边相等）。 16．【答案】见解析。 【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。 在△AOB和△DOC中，∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC（对顶角相等）， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， ∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）。 B组　能力提升 17．【答案】D 【解析】∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，由SAS得△ABD≌△ACE，所以A、B、C都正确；AD与DE不一定相等。 18．【答案】C 【解析】①△ABE≌△ACD（SAS）；②由①得BE=CD，又BD=AB-AD=AC-AE=CE，BC=CB，所以△DBC≌△ECB（SSS）；③由①得∠ABE=∠ACD，又∠BOD=∠COE，BD=CE，所以△BOD≌△COE（AAS）。共3对。 19．【答案】1<AD<4 【解析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE，由SAS可证△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3。在△ABE中，5-3<AE<5+3，即2<2AD<8，∴1<AD<4。 20．【答案】不一定 【解析】当相等的角是两边的夹角时全等；是其中一边的对角时不一定全等。 21．【答案】见解析。 【解析】证明：（1）在△ABE和△ACD中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD（SAS）。 （2）由（1）得∠ABE=∠ACD，即∠DBO=∠ECO。 ∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE。 在△BOD和△COE中，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE（对顶角相等），BD=CE， ∴△BOD≌△COE（AAS），∴OB=OC。 22．【答案】见解析。 【解析】理由：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°。 在△ABC和△EDC中，∠ABC=∠EDC，BC=DC，∠ACB=∠ECD（对顶角相等）， ∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB=ED。 C组　拓展探究 23．【答案】见解析。 【解析】证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。 在△BAD和△CAE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE。 （2）由（1）得∠ABD=∠ACE，即∠ABG=∠FCG。 在△ABG中，∠BAG=90°，∴∠ABG+∠AGB=90°。 ∵∠AGB=∠FGC（对顶角相等），∴∠FCG+∠FGC=90°， ∴∠CFG=180°-90°=90°，即BD⊥CE。 24．【答案】见解析。 【解析】证明：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD。 在△ADC和△EDB中，AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=EB。 在△ABE中，AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）， ∴AB+AC>2AD。 【点评】这种“倍长中线”的方法，可以把分散的线段集中到一个三角形中。 七、课后反思 三角形全等有哪几种判定方法？为什么“SSA”和“AAA”不能判定两个三角形全等？ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $