专题9 角平分线的处理技巧（辅助线的作法） 2025-2026学年人教版八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练

专题9 角平分线的处理技巧（辅助线的作法） 角平分线四大添加辅助线的方式 1.作单垂 2.作双垂 3.延长构造 4.作对称（截长补短） 类型一 垂直构造作单垂 【典例1】（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE＝DF，由△ABD的面积为15，AB＝10，可得DF＝3，故DE＝3． 【详解】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF＝15， ∵AB＝10， ∴DF＝3， ∴DE＝3； 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 【变式训练】 1．（2022春•碑林区校级期末）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】过P点作PH⊥OC于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝2，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过P点作PH⊥OC于H，如图， ∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PH⊥OC， ∴PH＝PD＝2， ∵点M是射线OC上一动点， ∴PM的最小值为2． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 2．∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，直线AD与BE交于点F． （1）如图1，若∠CEB＝90°，求证：FC平分∠BFD； （2）如图2，若∠CEB≠90°，（1）中的结论是否成立？说明理由． 【分析】（1）先证明△BCE≌△ACD，得出∠CEB＝∠CDA＝90°，再利用角平分线的判定定理得出结论； （2）先得出△BCE≌△ACD，再得出△BCM≌△ACN，进而得出CM＝CN，最后根据角平分线的判定定理得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90° ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CEB＝∠CDA＝90°， ∴CE⊥BF，CD⊥AD， ∵EC＝DC， ∴FC平分∠BFD； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，过点C作CM⊥BF于点M，作CN⊥AD交AD的延长线于点N， 则∠CMB＝∠CNA＝90°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠BCE＝∠ACD， 在△BCE和△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠B＝∠A， 在△BCM和△ACN中， ， ∴△BCM≌△ACN （AAS）， ∴CM＝CN， ∵CM⊥BF，CN⊥AD， ∴FC平分∠BFD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，解题的关键是正确作出辅助线． 类型二 垂直构造作双垂 【典例2】（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 【分析】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE＝PF，只需再证∠EPC＝∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证． 【详解】解：PC与PD相等．理由如下： 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F． ∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF为矩形， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPC+∠CPF＝90°， 又∵∠CPD＝90°， ∴∠CPF+∠FPD＝90°， ∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF． 在△PCE与△PDF中， ∵， ∴△PCE≌△PDF（ASA）， ∴PC＝PD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解决问题的关键． 2．（2023秋•巨野县期末）如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，根据等角的补角相等可得出∠1＝∠3，结合∠AEP＝∠BFP、PA＝PB即可证出△APE≌△BPF（AAS），根据全等三角形的性质可得出PE＝PF，进而可证出OP平分∠AOB． 【详解】证明：过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，如图所示． ∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°， ∴∠1＝∠3． 在△APE和△BPF中，， ∴△APE≌△BPF（AAS）， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△APE≌△BPF是解题的关键． 类型三 延长构造 【典例3】（2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求证：BD＝2CE． 【分析】延长BA交CE的延长线于F，先证明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再证明△ACF≌△ABD得BD＝CF，从而有BD＝2CE． 【详解】证明：延长BA交CE的延长线于F， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE， ∵CE⊥BE， ∴∠BEC＝∠BEF＝90°， ∵在△BCE和△BFE中， ， ∴△BCE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝EF， 在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CDE+∠FCA＝90°， 又∵∠ADB＝∠CDE（对顶角相等）， ∴∠FCA＝∠ABD， ∵在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（ASA）， ∴BD＝CF， ∴BD＝2CE． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，证明此题的关键是作好辅助线：延长BA交CE的延长线于F． 【变式训练】 1．如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 【分析】延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE＝EF，证△BOD≌△AOF推出BD＝AF即可． 【详解】证明：延长BO，AE并交于F， ∵BD平分∠ABO，AF⊥BD， ∴∠1＝∠2，∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EF， ∵∠AOB＝90°，∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDO， ∴∠2＝∠OAF， ∵∠AOB＝90°， ∴∠DOB＝∠FOA＝90°， ∴在△OBD和△OAF中， ， ∴△OBD≌△OAF（ASA）， ∴BD＝AF， ∵AE＝EF， ∴BD＝2AE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 2．（2024秋•新城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，交∠ABC的角平分线于E，过点E作EF⊥AE，交AC于点F，求证：AF+BD＝AB． 【分析】延长EF，BC相交于点M，根据题意得出∠AEB＝135°＝∠MEB，即可利用ASA证明△AEB≌△MEB，得出∠EAB＝∠M，AE＝ME，AB＝MB，再根据角平分线的定义得出∠FAE＝∠M，又可利用ASA证明△AEF≌△MED，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】证明：延长EF，BC相交于点M， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠EAB+∠EBA＝45°，∠AEB＝∠MEB， ∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DEB＝180°﹣135°＝45°， ∵AE⊥EF， ∴∠MEB＝∠MED+∠DEB＝90°+45°＝135°＝∠AEB， 在△AEB和△MEB中， ， ∴△AEB≌△MEB（ASA）， ∴∠EAB＝∠M，AE＝ME，AB＝MB， ∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE＝∠EAB， ∴∠FAE＝∠M， 在△AEF和△MED中， ， ∴△AEF≌△MED（ASA）， ∴AF＝MD， ∴AF+BD＝MD+BD＝MB＝AB． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 3．（2024秋•海珠区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：DE＝CE； （3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，由角平分线的性质可得∠DAE＝∠BAE∠BAD，∠ABE＝∠CBE∠ABC，即可得结论； （2）延长AE，BC交于点F，由平行线的性质可得∠DAE＝∠F＝∠BAE，可得AB＝BF，由等腰三角形的性质可得AE＝EF，由“ASA”可证△ADE≌△FCE，即可得结论； （3）由全等三角形的性质可得S△ADE＝S△FCE，可得S四边形ABCD＝S△ABF，由三角形面积公式可求解． 【详解】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA， ∴∠DAE＝∠BAE∠BAD，∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BEA＝90°， ∴AE⊥BE； （2）如图，延长AE，BC交于点F， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF，且BE⊥AE， ∴AE＝EF，且∠DAE＝∠F，∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴DE＝CE； （3）解：∵AE＝4， ∴EF＝4， ∴AF＝8， ∵△ADE≌△FCE， ∴S△ADE＝S△FCE， ∴S四边形ABCD＝S△ABF， ∴S四边形ABCDAF×BE＝24． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式，证明△ADE≌△FCE是本题的关键． 类型四 截长补短 【典例4】（2023秋•阳谷县期末）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD．求证：BC＝AB+CE． 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，可得△ABD≌△FBD，得出对应边相等：AB＝BF，进而又得出△DCE≌△DCF，则CE＝CF，故BC＝AB+CE． 【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连DF， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠2． 则在△ABD与△FBD中， ， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE， 又∵∠A＝100°，∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°， ∴∠FDC＝60°， ∵∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°， ∴∠FDC＝∠EDC， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴CE＝CF， ∴BC＝BF+CF＝AB+CE，即BC＝AB+CE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点P．（1）求∠CPD的度数； （2）求证：AC＝AE+CD． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据角平分线定义得∠PAC+∠PCA（∠BAC+∠BCA）＝60°，再根据三角形的外角性质可得∠CPD的度数； （2）在AC上取一点F，使AF＝AE，连接PF，根据∠CPD＝60°得∠APE＝∠CPD＝60°，∠APC＝120°，先证明△APF和△APE全等得∠APF＝∠APE＝60°，由此得∠CPF＝∠CPD＝60°，再证明△CPF和△CPD全等得CF＝CD，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：在△ABC中，∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB， ∴∠PAC＝PAE∠BAC，∠PCA＝PCD∠BCA， ∴∠PAC+∠PCA（∠BAC+∠BCA）＝60°， ∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝60°； （2）证明：在AC上取一点F，使AF＝AE，连接PF，如图所示： ∵∠CPD＝60°， ∴∠APE＝∠CPD＝60°，∠APC＝180°﹣∠CPD＝120°， 在△APF和△APE中， ∴△APF≌△APE（SAS）， ∴∠APF＝∠APE＝60°， ∴∠CPF＝∠APC﹣∠APF＝60°， ∴∠CPF＝∠CPD＝60°， 在△CPF和△CPD中， ， ∴△CPF≌△CPD（ASA）， ∴CF＝CD， ∴AC＝AF+CF＝AE+CF． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 2．（2024秋•临海市月考）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：AB＝AD+BC． 【分析】（1）延长AE、BC交于F，利用平行线的性质和角平分线的定义可证AB＝BF，又BE平分∠ABF，则AE⊥BE； （2）由等腰三角形的性质知AE＝FE，再证明△ADE≌△FCE即可解决本题． 【详解】证明：（1）延长AE、BC交于F， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠F， ∴AB＝BF， ∵BE平分∠ABF， ∴AE⊥BE； （2）∵AB＝BF，BE平分∠ABF， ∴AE＝EF， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9 角平分线的处理技巧（辅助线的作法） 角平分线四大添加辅助线的方式 1.作单垂 2.作双垂 3.延长构造 4.作对称（截长补短） 类型一 垂直构造作单垂 【典例1】（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练】 1．（2022春•碑林区校级期末）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，直线AD与BE交于点F． （1）如图1，若∠CEB＝90°，求证：FC平分∠BFD； （2）如图2，若∠CEB≠90°，（1）中的结论是否成立？说明理由． 类型二 垂直构造作双垂 【典例2】（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． 【变式训练】 1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 2．（2023秋•巨野县期末）如图所示，已知PA＝PB，∠1+∠2＝180°，求证：OP平分∠AOB． 类型三 延长构造 【典例3】（2024秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE． 求证：BD＝2CE． 【变式训练】 1．如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E． 求证：BD＝2AE． 2．（2024秋•新城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D，交∠ABC的角平分线于E，过点E作EF⊥AE，交AC于点F，求证：AF+BD＝AB． 3．（2024秋•海珠区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：DE＝CE； （3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积． 类型四 截长补短 【典例4】（2023秋•阳谷县期末）如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD．求证：BC＝AB+CE． 【变式训练】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于点P．（1）求∠CPD的度数； （2）求证：AC＝AE+CD． 2．（2024秋•临海市月考）如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：AB＝AD+BC． 1 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