期中复习精选50道几何压轴题尖子生培优集训2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

期中复习精选50道几何压轴题尖子生培优集训 知识点一 全等三角形的判定 1．（2024秋•启东市期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．点F在射线BC上，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为（　　） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【分析】先利用等角的补角相等证明∠ACB＝∠AOE，推论：当F点C点右侧，Q点在边AC上，如图1，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝7﹣3t，利用∠AOP＝∠FCQ，AO＝CF，则当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ，即t＝7﹣3t；当F点C点左侧，Q点在边AC的延长线上，如图2，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝3t﹣7，由于∠AOP＝∠FCQ，AO＝CF，则当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ，即t＝3t﹣7，然后分别解方程得到t的值． 【解答】解：∵△ABC的两条高AD与BE交于点O， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACB+∠DOE＝180°， ∵∠AOE+∠DOE＝180°， ∴∠ACB＝∠AOE， 当F点C点右侧，Q点在边AC上，如图1，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝7﹣3t， ∵∠AOE+∠AOP＝180°，∠ACB+∠FCQ＝180°， ∴∠AOP＝∠FCQ， ∵AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 即t＝7﹣3t， 解得t； 当F点C点左侧，Q点在边AC的延长线上，如图2，OP＝t，AQ＝3t，则CQ＝3t﹣7， ∵∠AOP＝∠FCQ，AO＝CF， ∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ（SAS）， 即t＝3t﹣7， 解得t， 综上所述，t的值为秒或秒． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．（2024秋•海安市期中）如图，已知等边△ABC，AB＝2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD＝CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论： ①BE＝CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP＝60°；④EP＝1中， 一定正确的个数是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用等边三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝60°，则∠GCF＝∠ACB＝60°，则可根据“AAS”判定△BDE≌△CFG，所以BE＝CG；于是可对①进行判断；利用DE＝FG可判断△EDP≌△GFP，则可对②进行判断；由于只有当PD⊥AB时，∠PDE＝60°，则可对③进行判断；利用△EDP≌△GFP得到PE＝PG，加上BE＝CG，所以EG＝BC＝2，从而得到EPEG＝1，于是可对④进行． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠GCF＝∠ACB＝60°， ∴∠B＝∠GCF， ∵DE⊥BC于E，FG⊥BC于G， ∴∠DEB＝∠FGC＝90°， 在△BDE和△CFG中， ， ∴△BDE≌△CFG（AAS）， ∴BE＝CG；所以①正确； DE＝FG， 在△EDP和△GFP中， ， ∴△EDP≌△GFP（AAS），所以②正确； ∵∠BDE＝90°﹣∠B＝30°， ∴只有当PD⊥AB时，∠PDE＝60°，所以③错误； ∵△EDP≌△GFP， ∴PE＝PG， ∵BE＝CG， ∴EG＝EC+CG＝EP+BE＝BC＝2， ∴EPEG＝1，所以④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 知识点二 全等三角形的判定与性质 3．（2024秋•海门区期中）如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2，CD＝9，E为AD的中点，连接BE，∠CBE＝45°，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】延长BE交CD于F，由平行线的性质推出∠A＝∠D，∠ABE＝∠EFD，判定△ABE≌△DFE（AAS），推出FD＝AB＝2，求出CF＝CD﹣FD＝7，判定△BCF是等腰直角三角形，得到BC＝CF＝7． 【解答】解：延长BE交CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠EFD， ∵E是AD中点， ∴AE＝DE， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴FD＝AB＝2， ∵CD＝9， ∴CF＝CD﹣FD＝7， ∵∠CBE＝45°，∠BCF＝90°， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴BC＝CF＝7． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形，关键是判定△ABE≌△DFE． 4．（2023秋•洛南县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出∠BDF＝∠CEF，BD＝CE∠DBF＝∠ECF，利用ASA证明△BDF≌△CEF，可对④进行判断． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线， ∴∠EBC+∠DCB∠ABC∠ACB（180°﹣∠BAC）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°， 故①正确，符合题意； 在△BDF和△CEF中， ∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边， ∴△BDF和△CEF不一定全等， ∴BD≠CE，故②错误，不符合题意； ∵∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝60°，∠BFC＝120°， ∵FG平分∠BFC， ∴∠BFG∠BFC＝60°＝∠DFB， 在△BDF和△BGF中， ， ∴△BDF≌△BGF（ASA）， ∴BD＝BG， 同理可得，△CEF≌△CGF， ∴CE＝CG， ∴BC＝BG+CG＝BD+CE， 故③正确，符合题意； 若BE⊥AC， ∴∠ABE＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴CD⊥AB， ∴BDABAC＝CE， 在△BDF和△CEF中， ， ∴△BDF≌△CEF（ASA）， 故④正确，符合题意； ∴正确的结论是①③④， 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝6，以点A为直角顶点，AB为直角边作等腰直角三角形ABD，再以点A为直角顶点，AC为直角边作等腰直角三角形ACE，连接DE，P是DE的中点，连接AP，则AP的长是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】延长AP到G使PG＝AP，得到DP＝PE，根据全等三角形的性质得到∠G＝∠EAP，DG＝AE，求得∠ADG＝180°﹣∠G﹣∠DAG＝180°﹣∠DAE，得到∠BAC＝180°﹣∠DAE，DG＝AC，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：延长AP到G使PG＝AP， ∵P是DE的中点， ∴DP＝PE， 在△PDG与△PEA中， ， ∴△PDG≌△PEA（SAS）， ∴∠G＝∠EAP，DG＝AE， ∴∠ADG＝180°﹣∠G﹣∠DAG＝180°﹣∠DAE， ∵△BAD与△CAE是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAE，DG＝AC， ∴∠BAC＝∠ADG， 在△ABC与△ADG中， ， ∴△ABC≌△ADG（SAS）， ∴AG＝BC＝6， ∴APAG＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．（2023秋•大冶市期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K． ∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL）， ∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°， ∴∠KPD＝∠APC， ∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中， ， ∴△PAK≌△PCD（ASA）， ∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA）， ∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．（2025•大庆二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，下列结论：①DE＝DF；②若BD＝a，DC＝b，则；③EF＝FG+EC；④G为BD的中点．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】证明△BDF≌△ADE，即可证得DE＝DF，由此判断①；证明△CAD∽△CBE，由此判断②；延长FD，AC交于点N，证明△FGD≌△NCD，由此判断③；无法判断④． 【解答】解：∵∠ABC＝45° ∴∠BAD＝45°＝∠ABC， ∴AD＝BD，∠AEB＝90°， ∴∠DAC＝∠CBE＝90°﹣∠C， 又∵∠BDF＝∠ADE＝90°﹣∠ADF， ∴△BDF≌△ADE， ∴DE＝DF，故①正确； ∵∠CAD＝∠CBE，∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CBE， ∴，故②正确； 延长FD，AC交于点N， ∵DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠DEC＝∠N＝45°， ∴DF＝DE＝DN，EF＝EN， ∵FG∥AC， ∴∠BGF＝∠ACB，∠FGD＝∠DCN， ∴△FGD≌△NCD）（AAS） ∴FG＝CN， ∴EF＝EN＝EC+CN＝EC+FG，故③正确； 无法证明G为BD的中点，故④不正确； 故选：B． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．（2024秋•通州区期中）如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且这两边的夹角不相等，那么这两个三角形弱全等．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，则图中弱全等三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】根据弱全等三角形的定义判断即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE，∠CAE≠∠CAD， ∴△BAD与△BAE是弱全等三角形，△ACE与△ACD是弱全等三角形，△BAD与△ACD是弱全等三角形，△ACE与△BAE是弱全等三角形，共4对， 故选：B． 【点评】本题考查了新概念，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握弱全等三角形是解题的关键． 9．（2024秋•如东县期中）如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③DE长度的最小值为4；④△CDE面积的最大值为8；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】①连接CF，证明△ADF≌△CEF，可以得出结论正确； ②根据两三角形全等时面积也相等得：S△CEF＝S△ADF，利用割补法知：S四边形CDFE＝S△AFC，F是定点，所以△AFC的面积是定值，即四边形CDFE的面积保持不变； ③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，可以得出结论正确； ④当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小，计算S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF，代入即可． 【解答】解：①连接CF， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∵F是AB边上的中点， ∴CF＝AF＝BF，CF⊥AB，∠ACF＝∠BCF＝45°， ∴∠AFC＝90°， ∴∠A＝∠BCF， 在△ADF和△CEF中， ， ∴△ADF≌△CEF（SAS）， ∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE， ∴∠AFD+∠DFC＝∠CFE+∠DFC＝90°， 即∠DFE＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形； 故①正确； ②∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF＝S△ADF， ∴S四边形CDFE＝S△AFC． ∴四边形CDFE的面积保持不变； 故②正确； ③∵DEEF， ∴当FE⊥BC时，FE的值最小，此时DE的值最小，DE的最小值为4，故③错误； ④当△CDE面积最大时，此时△DEF的面积最小， ∵∠C＝90°，AC＝BC＝8， ∴ABAC＝8， ∴AF＝CF＝4， 此时S△CDE＝S四边形CEFD﹣S△DEF＝S△AFC﹣S△DEF444×4＝16﹣8＝8． 故④正确， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由DF的最值来确定DE的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握． 10．（2024春•宁阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDES△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，如图： ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故④不正确． ∴正确的有①②③，共3个； 故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 11．（2024秋•海安市期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝10，BC﹣AB＝4，则△ADC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 【分析】延长CD、BA交于E，过C作CH⊥BE于H，由角平分线定义得到∠CBD＝∠EBD，由垂直的定义得到∠BDC＝∠BDE＝90°，而BD＝BD，判定△BCD≌△BED（ASA），推出BC＝BE，DE＝DC，得到S△ADCS△EAC，当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大，求出AE＝4，求出△EAC面积的最大值＝20，即可得到△ADC面积的最大值． 【解答】解：延长CD、BA交于E，过C作CH⊥BE于H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵CD⊥BD于点D， ∴∠BDC＝∠BDE＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BCD≌△BED（ASA）， ∴BC＝BE，DE＝DC， ∴S△ADCS△EAC， ∴当△EAC的面积最大时，△ACD的面积最大， ∵BC﹣AB＝4， ∴AE＝BE﹣AB＝BC﹣AB＝4， ∵△EAC的面积EA•CH，CH≤AC＝10， ∴△EAC面积的最大值4×10＝20， ∴△ADC面积的最大值为20＝10． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，垂线段最短，关键是判定△BCD≌△BED（ASA），推出BC＝BE，DE＝DC，得到S△ADCS△EAC． 12．（2024秋•海安市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 　10　 ． 【分析】过点E作EF⊥AD，垂足为F，根据垂直定义可得∠EFD＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠FED+∠EDF＝90°，再利用平角定义可得∠BDC+∠EDF＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BDC＝∠FED，从而利用AAS证明△BDC≌△DEF，进而可得BC＝DF＝5，最后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点E作EF⊥AD，垂足为F， ∴∠EFD＝90°， ∴∠FED+∠EDF＝90°， ∵∠BDE＝90°， ∴∠BDC+∠EDF＝180°﹣∠BDE＝90°， ∴∠BDC＝∠FED， ∵∠C＝∠EFD＝90°，BD＝ED， ∴△BDC≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DF＝5， ∵EA＝ED，EF⊥AD， ∴AD＝2DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2024秋•通州区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F．若AE+BF的最大值可用图中的一条线段长表示，则这条线段是 　AC　 ． 【分析】过点C作CK⊥l于点K，过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N，证明△BDF≌△CDK（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝CK，证出AE+BF＝AE+EN＝AN，当AC⊥l时，AN与AC重合，则AN最大，则可得出答案． 【解答】解：过点C作CK⊥l于点K，过点C作CN⊥AE交AE的延长线于点N， ∵BF⊥l，CK⊥l， ∴∠BFD＝∠CKD＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDK中， ， ∴△BDF≌△CDK（AAS）， ∴BF＝CK， ∵∠CKE＝∠KEN＝∠N＝90°， ∴四边形CKEN是矩形， ∴CK＝EN， ∴BF＝EN， ∴AE+BF＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当AC⊥l时，AN与AC重合，则AN最大， 即AE+BF的最大值为AC， 故答案为：AC． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质并作出正确的辅助线是解题的关键． 14．（2024秋•崇川区期中）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，连接DE，AE． （1）若AE平分∠DAB，求证：DE是∠ADC的平分线； （2）在（1）的条件下，若CD＝3，AB＝2，直接写出AD的长为　5　 ； （3）若AE⊥DE，求证：DE是∠ADC的平分线． 【分析】（1）如图：过E作EF⊥AD，由角平分线的性质定理可得EF＝BE，再结合已知条件可得CE＝BE，进而得到CE＝EF，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明Rt△EDC≌Rt△EDF（HL）可得DF＝CD＝3，同理可得AF＝AB＝2，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长DC，EF交于点N，再证明△AEB≌△NEC（ASA）可得AE＝EN，进而得到DE是线段AN的垂直平分线，即AD＝DN；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【解答】（1）证明：如图：过E作EF⊥AD， ∵AE平分∠DAB，∠B＝90°，EF⊥AD， ∴EF＝BE， ∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∴CE＝EF， ∵∠C＝90°，EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． （2）解：∵∠C＝90°，EF⊥AD， ∴∠EFE＝∠C＝90°， 在Rt△EDC与Rt△EDF中， ， ∴Rt△EDC≌Rt△EDF（HL）， ∴DF＝CD＝3； 同理可得：AF＝AB＝2， ∴AD＝FD+AF＝3+2＝5． 故答案为：5． （3）证明：如图：延长DC，EF交于点N， ∵∠B＝∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ECN＝90°， ∵CE＝BE，∠AEB＝∠CEN， ∴△AEB≌△NEC（ASA）， ∴AE＝EN， ∵AE⊥DE， ∴DE是线段AN的垂直平分线， ∴AD＝DN， ∵AE⊥DE， ∴DE是∠ADC的平分线（三线合一）． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 15．（2024秋•通州区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点P，Q关于y轴对称． （1）如图1，若∠POQ＝90°，PQ＝6，求点P的坐标； （2）如图2，若点P（6，0），C是OQ的中点，点A为y轴正半轴上一点，AC＝9，延长AC到B，使得，求证：AP＝BP． 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得PQ⊥y轴，OP＝OQ，进而得△OPQ是等腰直角三角形，则OD＝PD＝QD＝3，由此可得点P的坐标； （2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征得点Q（﹣6，0），OP＝6，AQ＝AP，再根据点C是OQ的中点得OC＝QC＝3，则AC＝PC＝9，QC＝BC＝3，据此可依据“SAS”判定△AQC和△PBC全等，则AQ＝PB，据此即可得出结论． 【解答】（1）解：设PQ交y轴于D，如图1所示： ∵点P，Q关于y轴对称， ∴PQ⊥y轴，OP＝OQ， 又∵∠POQ＝90°，PQ＝6， ∴△OPQ是等腰直角三角形， ∴OD＝PD＝QDPQ＝3， ∴点P的坐标为（3，3）； （2）证明：∵点P，Q关于y轴对称，点P（6，0）， ∴点Q（﹣6，0），OP＝6，AQ＝AP， ∴OQ＝6， ∵点C是OQ的中点， ∴OC＝QC2OQ＝3， ∴PC＝OP+OC＝6+3＝9， ∵AC＝9，BCAC， ∴AC＝PC＝9，BC＝3， ∴QC＝BC＝3， 在△AQC和△PBC中， ， ∴△AQC≌△PBC（SAS）， ∴AQ＝PB， ∴AP＝BP． 【点评】此题主要全等三角形的判定与性质，关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，理解关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 16．（2024秋•启东市期中）已知△ABC是等边三角形，点D是直线AC上的点，点E是直线BC上的点，且DB＝DE， （1）当点D在线段AC上（不与A，C重合）时，易证AD＝CE； （2）当点D在CA的延长线上；如图（3），当点D在AC的延长线上时，线段AD与CE有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，并在图（2）和图（3）中选择一种情况给予证明． 【分析】（1）如图1中，作DM∥AB交CB于M．首先证明AD＝BM．再证明△DBM≌△DEC，推出BM＝CE，即可证明； （2）如图2中，作DM∥AB交CB的延长线于M．首先证明AD＝BM．再证明△DBM≌△DEC，推出BM＝CE，即可证明；如图3中，作DM∥AB交BC的延长线于M．证明方法类似； 【解答】解：（1）如图1中，作DM∥AB交CB于M． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠DMC＝60°，∠BAC＝∠MDC＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC＝CM，∠DMC＝∠DCM＝60°， ∴∠DMB＝∠DCE ∵CA＝CB， ∴BM＝AD， ∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠E， 在△DBM和△DEC中， ， ∴△DBM≌△DEC， ∴BM＝CE， ∴AD＝EC． （2）结论：不变．AD＝EC． 理由：如图2中，作DM∥AB交CB的延长线于M． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠M＝60°，∠BAC＝∠MDC＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC＝CM，∠M＝∠C＝60°， ∵CA＝CB， ∴BM＝AD， ∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠DBM＝∠DEC， 在△DBM和△DEC中， ， ∴△DBM≌△DEC， ∴BM＝CE， ∴AD＝EC． 如图3中，作DM∥AB交BC的延长线于M． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠DMC＝60°，∠BAC＝∠MDC＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC＝CM，∠DMB＝∠DCM＝60°， ∵CA＝CB， ∴BM＝AD， ∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠DBM＝∠DEC， 在△DBM和△DEC中， ， ∴△DBE≌△DEC， ∴BM＝CE， ∴AD＝EC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 知识点三 角平分线的性质 17．（2024秋•江汉区期中）如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝ 　40°　 ． 【分析】作辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF＝EG＝EH，设∠DEG＝y，∠GEB＝x，根据三角形的内角和定理可得：∠GEA＝∠FEA＝40°，∠FEB＝∠HEB，列方程为2y+x＝80﹣x，y+x＝40，可得结论：∠DEB＝40°． 【解答】解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵BE平分∠ABD， ∴EH＝EF， ∵∠BAC＝130°， ∴∠FAE＝∠CAD＝50°， ∴EF＝EG， ∴EG＝EH， ∴ED平分∠CDG， ∴∠HED＝∠DEG， 设∠DEG＝y，∠GEB＝x， ∵∠EFA＝∠EGA＝90°， ∴∠GEA＝∠FEA＝40°， ∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH， ∴∠FEB＝∠HEB， ∴2y+x＝80﹣x， 2y+2x＝80， y+x＝40， 即∠DEB＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是本题的关键，有难度． 18．（2024秋•海门区期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC＝7，BC﹣AB＝2，则△ADC面积的最大值为 　　 ． 【分析】延长CD、BA，交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H，证明△BDG≌△BDC（ASA），即有BC＝BG，CD＝DG，进而有AG＝BC﹣AB＝2，根据GH⊥AC，有△AGC的面积为，当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH＝AG，此时GH达到最大，则△AGC的最大面积为：；根据CD＝DG，可得，则△ACD的最大面积可求． 【解答】解：延长CD、BA，交于点G，过G点作GH⊥AC，交于AC（或AC的延长线）于点H， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBG＝∠DBC， ∵BD⊥CD， ∴∠BDG＝∠BDC＝90°， 在△BDG和△BDC中， ， ∴△BDG≌△BDC（ASA）， ∴BC＝BG，CD＝DG， ∵BC﹣AB＝2， ∴AG＝BG﹣AB＝BC﹣AB＝2， ∵在△AGC中，GH⊥AC， ∴△AGC的面积， ∵AC＝7， ∴， ∵在△AGH中，GH⊥AH， ∴∠GHA＝90°，△AGH是直角三角形，斜边为AG， ∴GH＜AG， ∵AG＝2， ∴GH＜2， 当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH＝AG， 此时GH达到最大， ∴则GH的最大值为2， ∴△AGC的最大面积为：， ∵CD＝DG， ∴D点为CG中点， ∴， ∴△ACD的最大面积为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线AG、DG，并判断出当G点与H点重合时GH达到最大是解答本题的关键． 19．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　4：3　 ． 【分析】根据三角形的面积公式和角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵BF＝2EF．S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN， ∴， 则AB：AC＝4：3， 故答案为：4：3． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．（2024秋•海安市期中）△ABC中，∠BAC＝30°，AD为△ABC的角平分线，若点D到边AB的距离为5，则的值为 　10　 ． 【分析】作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作CG⊥AB于点G，根据角平分线的性质得DE＝DF＝5，根据∠BAC＝30°，得CGAC，根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，得AB•CGAB•×5AC×5，再化简即可得出答案． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作CG⊥AB于点G， ∵AD为△ABC的角平分线，点D到边AB的距离为5， ∴DE＝DF＝5， ∵∠BAC＝30°， ∴CGAC， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， ∴AB•CGAB•×5AC×5， ∴AB•AC＝5（AB+AC）， ∴10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 知识点4 线段垂直平分线的性质 21．（2020秋•中山市期中）如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证： （1）BF＝CG． （2）若AB＝6，AC＝8，求AF的长度． 【分析】（1）根据线段垂直平分线求出BE＝CE，根据角平分线性质求出EF＝GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可； （2）求出△AFE≌△AGE，推出AF＝AG，即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接BE和CE， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG， 在Rt△BFE和Rt△CGE中， ， ∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）， ∴BF＝CG； （2）解：∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE， 在△AFE和△AGE中， ， ∴△AFE≌△AGE（AAS）， ∴AF＝AG， ∵BF＝CG， ∴AB+AC＝AF﹣BF+AG+CG＝2AF， ∵AB＝6，AC＝8， ∴AF＝7． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 22．（2022秋•双流区期末）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝　39°　 ． 【分析】连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE＝BE，ER＝EF，根据全等求出∠RCE＝∠EBF，求出∠ACB＝∠QED＝26°，求出∠BED＝∠CED＝65°，求出∠REF的度数，再求出∠CAB，求出∠CAE，根据三角形的外角性质求出∠DOE，再求出答案即可． 【解答】解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，交CD于Q，AE交BC于O， ∵DE是线段BC的中垂线， ∴∠EDC＝90°，CE＝BE， ∴∠ECB＝∠CBE， ∵∠CBE＝25°， ∴∠ECB＝25°， ∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°， ∵ER⊥AC，ED⊥BC， ∴∠QRC＝∠QDE＝90°， ∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°， ∵∠CQR＝∠EQD， ∴∠ACB＝∠QED， ∵∠ACB＝26°， ∴∠QED＝26°， ∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM， ∴ER＝EF， 在Rt△ERC和Rt△EFB中， ， ∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL）， ∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝26°+25°＝51°， ∵∠EFB＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣51°＝39°， ∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝26°+65°+39°＝130°， ∵∠ARE＝∠AFE＝90°， ∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， ∵AE平分∠CAM， ∴∠CAECAM＝25°， ∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+26°＝51°， ∵ED⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣51°＝39°， 故答案为：39°． 【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 知识点五 等腰三角形的性质 23．（2024秋•如东县期中）在如图所示的钢架结构中，∠CAB＝α，为加固钢架，在∠CAB的内部焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，……，若P1A＝P1P2且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 　18°≤α＜22.5°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P3P5P4与∠A之间的关系，从而即可求解． 【解答】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5， ∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3， ∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°， ∵要使得这样的钢条只能焊上4根， ∴∠P5P4B＝5α°， 由题意， ∴18°≤α＜22.5°． 故答案为：18°≤α＜22.5°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（2024秋•启东市期中）如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“优美线”．在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“优美线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 　18°或 42°　 ． 【分析】根据“优美线”的定义，又由等腰三角形ADE的不确定性，设∠C＝x°，分三种情况进行讨论： ①当AD＝AE时，如图1，根据三角形的外角的性质列方程：2x+x＝27°+27°，可得x的值； ②当AD＝DE时，如图2，根据三角形的内角和定理列方程：27°+27°+2x+x＝180°，可得x的值； ③当EA＝DE时，根据三角形的内角和定理列方程：90﹣x+27°+27°+x＝180°，无解，x不存在． 【解答】解：设∠C＝x°， ①当AD＝AE时，如图1， ∵AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD＝27°， ∵DE＝EC， ∴∠C＝∠EDC＝x° ∴∠AED＝2x°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝x° ∴2x+x＝27°+27°， ∴x＝18°． ②当AD＝DE时，如图2， 同理：∠B＝∠BAD＝27°，∠C＝∠EDC＝x°，∠DAE＝∠AED＝2x°， ∴27°+27°+2x+x＝180°， ∴x＝42°． ③当EA＝DE时， ∵90﹣x+27°+27°+x＝180°， ∴x不存在，应舍去． 综合上述：满足条件的∠C的度数为18°或42°． 故答案为：18°或42°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，理解优美线的定义是解决问题的关键，并注意分类讨论的思想，不要丢解． 知识点六 等腰三角形的判定 25．（2024秋•海安市期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠EAD＝∠ABC即可得到AD∥BC，证明①正确；根据平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，根据角平分线定义和∠ABC＝∠ACB即可得到∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，证明②正确；根据角平分线定义∠ACF＝2∠ACD，由②知∠ACB＝2∠ADB，结合平角定义即可证明③正确；根据平行线的性质和角平分线的定义即可证明∠ABD＝∠ADB，∠ACD＝∠ADC，即可证明④正确． 【解答】解：①过D作DM⊥AB于M，DP⊥AC于P，DN⊥BC于N， ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF， ∴DM＝DN，DP＝DN， ∴DM＝DP， ∴AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∵AD∥BC，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 即∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ③∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠ACD， 又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB， ∴2∠ADB+2∠ACD＝180°， ∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确； ④∵BD平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴△ABD是等腰三角形， ∵CD平分∠ACF，AD∥BC， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴△ACD是等腰三角形． 故④正确， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相关判定和性质并进行正确推理是解题的关键． 知识点七 含30度角的直角三角形 26．（2024秋•如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 　2　 ． 【分析】如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T．利用面积法证明PM+PN＝BT，求出BT即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AP，过点B作BT⊥AC于点T． ∵AB＝AC＝4，∠BAT＝30°， ∴BTAB＝2， ∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP，PM⊥AB．PN⊥AC， ∴AC•BTAB•PMAC•PN， ∴PM+PN＝BT＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 27．（2024秋•海安市期中）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　14　 ． 【分析】过点D作DH⊥AB于点H，证明△DHE和△DCF全等得HE＝CD＝5，则HB＝13，AB＝13+AH，在Rt△ADH中，根据∠A＝60°，DE∠ADH＝30°，则AD＝2AH，AC＝5+2AH，然后再根据AB＝2AC得AH＝1，由此可得AB的长． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，如图所示： 则∠DHE＝∠C＝90°， 在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC， ∴∠2+∠ADE＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠1+∠ADE＝120°， ∴∠2＝∠1， 在△DHE和△FCD中， ， ∴△DHE≌△FCD（AAS）， ∴HE＝CD＝5， ∴HB＝HE+BE＝5+8＝13， ∴AB＝BH+AH＝13+AH， 在Rt△ADH中，∠A＝60°， ∴∠ADH＝30°， ∴AD＝2AH， ∴AC＝CD+AD＝5+2AH， ∵AB＝2AC， ∴13+AH＝2（5+2AH）， ∴AH＝1， ∴AB＝13+AH＝14． 故答案为：14． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解含30度角的直角三角形，等边三角形的性质是解决问题的关键． 知识点八 三角形综合题 28．（2024秋•临澧县期末）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC为腰的等腰△ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 （1）如图1，∠BAC＝60°，即△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．求证：AD＝BE； 【实践探究】 （2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E．若CD＝CA，猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数．（直接写出答案） 【分析】（1）先由等边对等角和三角形内角和定理得到∠ACB60°＝∠BAC，再证明△ABE≌△CAD（SAS），即可证明BE＝AD； （2）过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC＝90°，由三线合一定理得到，再证明△ABE≌△CAM（ΑAS），得到BE＝AM，即可得到． （3）在BC下方，过点C作∠BCP＝80°，且CP＝AB，连接DP．证明△ABE≌△CPD（SAS），得到BE＝PD，则当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小，求出∠ACB＝50°，得到∠ACP＝130°，再由AB＝AC＝CP，得到∠CAP＝25°，即可求出∠ADC＝105°． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）， ∴AC＝BE； （2）解：， 理由如下： 如图所示，过点C作CM⊥AD于点M，则∠AMC＝90°， ∵CD＝CA， ∴， ∵∠BAC＝90°，∠AMC＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACM＝90°， ∴∠BAE＝∠ACM， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝90°＝∠AMC， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△CAM（AAS）， ∴． （3）解：如图所示，在BC下方，过点C作∠BCP＝80°，且CP＝AB，连接DP． ∵AE＝CD，∠BAE＝∠PCD＝80°， ∴△ABE≌△CPD（SAS）， ∴BE＝PD， ∴当A，D，P三点共线时，AD+PD的值最小，即AD+BE的值最小． ∵AB＝AC，∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝50°， ∴∠ACP＝130°， ∵AB＝AC＝CP， ∴， ∴∠ADC＝180°﹣50°﹣25°＝105°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，掌握其性质定理是解决此题的关键． 29．（2024秋•海安市期中）阅读材料：如图1，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h， （1）连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h，即PE、PF、CM之间的数量关系是：　PE+PF＝CM　 ． （2）深入探究 如图2，将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，则PE、PF、PM和BG之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接AP、BP、CP） （3）理解与应用 如图3，当点P在△ABC外时，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系？请写出结论并证明. 【分析】（1）由三角形的面积计算公式推导出r1+r2＝h，进而得出结论； （2）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC计算即可； （3）连接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC计算即可． 【解答】解：（1）∵点P到两腰的距离分别为PE＝r1，PF＝r2，腰上的高为CM＝h， ∴S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h， ∴r1+r2＝h，即PE+PF＝CM； 故答案为：PE+PF＝CM； （2）PE+PF+PM＝BG；理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （3）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解决此题的关键． 30．（2024秋•如皋市期中）如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，连接BE． （1）如图1，在边AB上取点D，使AD＝CE，连接CD，交BE于点P．求证：△ACD≌△CBE； （2）如图2，在（1）的条件下，若点E为AC中点，求的值； （3）如图3，∠EBC＝40°，M是△EBC内一点，且∠MBC＝30°，∠MCB＝20°，连接ME，求∠MEC的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠CAD＝∠BCE＝60°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到CD＝BE，AD＝CE，得到AD＝AE＝CE＝BD，根据全等三角形的性质得到PB＝PC，PD＝PE，于是得到结论； （3）延长BM交AC于H，推出BH垂直平分AC，连接AM并延长交BC于G，得到AM＝CM，根据全等三角形的性质得到∠BAG＝∠BCM＝20°，AE＝BG，得到CE＝CG，推出CM＝CE，根据等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠CAD＝∠BCE＝60°， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE； （2）解：∵点E为AC中点， ∴AE＝CE， 由（1）知，△ACD≌△CBE， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∵AB＝AC， ∴AD＝AE＝CE＝BD， ∴BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝∠CBE＝∠ABE60°＝30°，∠BDP＝∠CEP＝90°， ∴△BPD≌△CPE（ASA）， ∴PB＝PC，PD＝PE， ∵∠PBD＝30°，∠BDP＝90°， ∴PB＝PC＝2PD， ∴CD＝3PD， ∴； （3）解：延长BM交AC于H， ∵∠ABC＝60°，∠CBM＝30°， ∴∠ABH＝∠CBH＝30°， ∴BH垂直平分AC， 连接AM并延长交BC于G， ∴AM＝CM， ∵AB＝BC，BM＝BM， ∴△ABM≌△CBM（SSS）， ∴∠BAG＝∠BCM＝20°， ∵∠ABE＝∠ABC﹣∠EBM﹣∠CBM＝20°， ∵AB＝AB，∠BAE＝∠ABG， ∴△ABE≌△BAG（ASA）， ∴AE＝BG， ∴CE＝CG， ∵∠CGM＝∠ABG+∠ABG＝20°+60°＝80°， ∴∠CMG＝180°﹣80°﹣20°＝80°， ∴∠CMG＝∠CGM， ∴CM＝CG， ∴CM＝CE， ∴∠CME＝∠CEM， ∵∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝60°﹣20°＝40°， ∴∠CEM． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解题的关键． 31．（2024秋•海门区期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，连接AB． （1）已知：OA＝OB．过点A作AE⊥BC交y轴于点F．如图1，连接OE， ①直接写出∠CBO和∠EAC的关系：　∠CBO＝∠EAC　 ； ②求证：∠OEB＝135°； （2）如图2，点G（4，3），连接AG，OG，过点B作BP⊥AG于点P，过点O作OH⊥OG交BP的延长线于点H，求点H的坐标； （3）如图3，点D为△AOB的内角平分线的交点，过点D作DN⊥AB于点N，连接DB，过点D作DM⊥BD交x轴于点M，若，求BO﹣OM的值． 【分析】（1）①利用垂直定义和余角性质可得结论；②过O作OH⊥OE，交BC延长线于H，证明△BOH≌△AOE（ASA）得到OH＝OE，利用等腰直角三角形的性质得到∠H＝∠OEH＝45°即可求解； （2）由“ASA”可证△AOG≌△BOH，可得OG＝OH，由“AAS”可证△GOM≌△HON，可得HN＝GM＝3，OM＝ON＝4，即可得解； （3）由“ASA”可证△DME≌△DBF，可证EM＝BF，即可求解． 【解答】（1）①解：∠CBO＝∠EAC，理由如下： ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠BOC＝90°， ∴∠EAC+∠OCB＝∠OCB+∠CBO＝90°， ∴∠CBO＝∠EAC， 故答案为：∠CBO＝∠EAC； ②证明：过O作OH⊥OE，交BC延长线于H，则∠EOH＝∠AOB＝90°， ∴∠EOH+∠BOE＝∠BOE+∠AOB， ∴∠BOH＝∠AOE， 在△BOH和△AOE中， ， ∴△BOH≌△AOE（ASA）， ∴OH＝OE， ∴Rt△EOH是等腰直角三角形， ∴∠H＝∠OEH＝45°， ∴∠OEB＝180°﹣∠OEH＝135°； （2）解：∵BP⊥AG，OH⊥OG， ∴∠BPA＝∠AOB＝∠GOH＝90°， ∴∠AOG＝∠BOH， ∵∠BAP+∠ABO+∠PAO＝90°，∠BAP+∠ABO+∠PBO＝90°， ∴∠PAO＝∠PBO， 在△AOG和△BOH中， ， ∴△AOG≌△BOH（ASA）， ∴OG＝OH， 如图2，过点G作GM⊥x轴于M，点H作HN⊥y轴于N， ∴∠GMO＝∠HNO＝90°， ∵点G（4，3）， ∴GM＝3，OM＝4， ∵∠GOH＝∠MON＝90°， ∴∠GOM＝∠HON＝90°﹣∠MOH， 又∵OG＝OH， ∴△GOM≌△HON（AAS）， ∴HN＝GM＝3，OM＝ON＝4， ∴点H（3，﹣4）； （3）解：如图3，过点D作DF⊥OB于F，DE⊥AO于E， ∵点D为△AOB的内角平分线的交点，DN⊥AB，DF⊥OB，DE⊥AO， ∴， ∵DF⊥OB，DE⊥AO， ∴∠DEO＝∠DFO＝90°＝∠EOF， ∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，，， ∴∠BDF＝∠EDM， 又∵DE＝DF，∠DFB＝∠DEM， ∴△DME≌△DBF（ASA）， ∴EM＝BF， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形和四边形的内角和、坐标与图形、角平分线的性质等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 32．（2024秋•海门区期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）两点，∠OBA＝30°． （1）若a，b满足． ①写出△AOB的周长； ②P在第一象限内，若△PBA为等腰直角三角形，当AB为斜边时，求点P的坐标． （2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足∠BCD＝60°，∠ABC＝∠ADC． ①探究三条线段AO，AD，AC之间的数量关系，并给出证明； ②当△ABD是直角三角形时，求BC的长． 【分析】（1）①由非负性可求a，b的值，由勾股定理可求AB的长，即可求解； ②分三种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解； （2）①由“AAS”可证△ACD≌△HCB，可得AD＝BH，即可求解； ②由∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，得到∠BAO＝60°，AB＝2OA＝2a，根据全等三角形的性质得到BC＝CD，得到∠ADB＜∠BDC，求得∠ADB＜60°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）①∵， ∴a＝1，b， ∴A（1，0），B（0，）， ∴AO＝1，BO， ∴AB2， ∴△AOB的周长＝AB+AO+BO＝1+23； ②如图1，∵AB为斜边， ∴∠APB＝90°， 过P作PC⊥x轴，PD⊥y轴于D， ∴四边形PCOD是矩形， ∴∠DPC＝90°，OD＝PC，PD＝OC， ∵∠APB＝90°， ∴∠BPD＝∠APC， ∵∠PDB＝∠PCA＝90°，PB＝PA， ∴△PDB≌△PCA（AAS）， ∴PD＝PC，BD＝AC， ∴OD＝PD＝OC＝PC， ∵OB，OA＝1， ∴1+ACBD， ∴AC＝BD， ∴PC＝PD＝1， ∴P（，）； （2）①AD＝2AO+AC，理由如下： 如图2，延长BA至H，使AH＝AC，连接CH，设BC与AD交于点Q， ∵∠OBA＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝60°＝∠CAH，AB＝2AO， 又∵AC＝AH， ∴△ACH是等边三角形， ∴∠H＝60°，AC＝CH＝AH， ∵∠ABC＝∠ADC，∠AQB＝∠CQB， ∴∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠DAC＝∠H， ∴△ACD≌△HCB（AAS）， ∴AD＝BH， ∴AD＝2AO+AC； ②∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠BAO＝60°，AB＝2OA＝2a， ∵△ACD≌△HCB， ∴BC＝CD， 又∵∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵∠BAD＝∠CAD＝60°，点C在点A右侧， ∴∠ADB＜∠BDC， ∴∠ADB＜60°， ∵△ABD是直角三角形， ∴只有∠ABD＝90°， ∴∠ADB＝30°， ∴AD＝2AB＝4OA＝4a， ∴BD2a， ∴BC＝BD＝2a． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．（2023秋•松北区期末）（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　 ，∠BDC＝　30　 °； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．连接CE，△BEC的面积为1，BF＝3CF，求△ACE的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△BAE≌△CAF即可得出结论； （3）结合等腰直角三角形的性质利用SAS证明△ABE≌△ACF，根据全等三角形的性质求出∠AEB＝∠AFC＝135°，BE＝CF，进而求出∠BFC＝90°，根据等腰直角三角形的性质求出AM＝EM＝MF＝BE＝CF，根据三角形面积公式求出CF，则BE＝AM＝CF，BF＝3CF＝2，再根据四边形ABCF的面积＝S△ABF+S△BCF，△ACE的面积＝四边形ABCF的面积﹣S△ABE﹣S△ACF﹣S△BEC求解即可． 【解答】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°， 理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°． 故答案为：BE＝CF，30； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°； （3）∵△ABC与△AEF是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AE，∠BAC＝∠EAE＝90°， ∴∠AEF＝∠ABC＝45°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AEF＝135°， ∵∠BAE+∠EAC＝90°，∠FAC+∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠AEB＝∠AFC＝135°，BE＝CF， ∴∠BFC＝∠AFC﹣∠AFE＝90°， ∵∠EAF＝90°，AM⊥BF，AE＝AF， ∴AM＝EM＝MF， ∵BF＝3CF， ∴BF＝3BE， ∴EF＝BF﹣BE＝2BE， ∴BE＝EM， ∴AM＝CF， ∵， ∴S△CEFEF•CF2CF•CF＝2， ∴CF或CF（舍去）， ∴BE＝AM＝CF，BF＝3CF＝2， ∴四边形ABCF的面积＝S△ABF+S△BCFBF•AMBF•CF336， ∵△ABE≌△ACF， ∴S△ABE＝S△ACFBE•AM1， ∴△ACE的面积＝四边形ABCF的面积﹣S△ABE﹣S△ACF﹣S△BEC＝6﹣1﹣1﹣1＝3． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 34．（2024秋•如东县期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴、y轴上两点，且∠ABO＝60°．点C是x轴上的一个动点，连接BC，并以BC为边在BC的右侧作等边△BCD． （1）如图①，当点D恰好在x轴上时，请判断线段DC和DA的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）如图②，当点D不在x轴上时，连接AD，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）如图③，设点B关于x轴的对称点为M，连接DM交x轴于点N．猜想：当点C在射线OA上移动时，的值是否发生改变？若不改变，请直接写出的值；若发生改变，请简要说明理由． 【分析】（1）由等边三角形的性质证出DB＝DA，则可得出结论； （2）作DE⊥AB于点E，△BOC≌△BED（AAS），得出BO＝BE，证出DE垂直平分AB，则可得出结论； （3）连接AM，AD，证出BM＝AM，∠AMB＝60°，由（2）知BD＝AD，得出DM垂直平分AB，则∠BMD＝∠AMD＝30°，由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）DC＝DA． 证明：∵△BCD是等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝60°， ∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠BDC＝∠DBA+∠DAB＝60°， ∴∠DBA＝30°＝∠DAB， ∴DB＝DA， ∵DB＝DC， ∴DC＝DA； （2）结论成立． 证明：作DE⊥AB于点E， ∴∠BED＝90°． ∵∠CBD＝∠ABO＝60°， ∴∠CBO＝∠DBE， ∵∠BOC＝∠BED＝90°，BC＝BD， ∴△BOC≌△BED（AAS）， ∴BO＝BE， 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°， ∴AB＝2BO＝2BE ∴DE垂直平分AB， ∴DA＝DB＝DC； （3）不会发生改变，． 连接AM，AD， ∵点B关于x轴的对称点为M， ∴AB＝AM，∠BAO＝∠MAO＝30°， ∵∠ABO＝60°， ∴△ABM是等边三角形， ∴BM＝AM，∠AMB＝60°， 由（2）知BD＝AD， ∴DM垂直平分AB， ∴∠BMD＝∠AMD＝30°， ∴∠NMA＝∠NAM， ∴MN＝AN， ∵∠MON＝90°， ∴ONMN， ∴ONAN， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 35．（2024秋•海门区期中）已知直线AB分别于坐标交于A（a，0）B（0，b）两点，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0． （1）求△AOB的面积； （2）如图1，以线段AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°． ①求点C的坐标； ②如图2，P为线段OB上一点，连接CP，AP，CB的延长线交于点D，∠CPA＝90°，求∠BDE的度数． （3）若线段AB为斜边作等腰Rt△ABC，请直接写出点C的坐标． 【分析】（1）由非负数的性质得出a＝2，b＝4，根据三角形面积公式可得出答案； （2）①过点C作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH（AAS），得出CH＝OB＝4，BH＝AO＝2，则可得出答案； ②证明△ABD≌△CBE（ASA），得出BD＝BE，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣4）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣4＝0， 解得a＝2，b＝4， ∴A（2，0）B（4，0） ∴OA＝2，OB＝4， ∴△AOB的面积OA•OB2×4＝4； （2）①过点C作CH⊥y轴于H， ∴∠CHB＝∠ABC＝∠AOB＝90°， ∴∠BCH+∠HBC＝90°＝∠HBC+∠ABO， ∴∠ABO＝∠BCH， 在△ABO和△BCH中， ， ∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH＝OB＝4，BH＝AO＝2， ∴OH＝6， ∴点C（4，6）， ②∵∠CPA＝90°，∠ABC＝90°，∠AEP＝∠BEC， ∴∠PAE＝∠BCE， ∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBE＝90°， ∴△ABD≌△CBE（ASA）， ∴BD＝BE， ∵∠DBE＝90°′， ∴∠BDE＝∠BED＝45°； （3）当AB是斜边时，点C在第一象限，过点C作CF⊥OB于F，CE⊥x轴于E． ∵∠CEO＝∠CFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形ECFO是矩形， ∴∠ECF＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠ECF， ∴∠ACE＝∠FCB， ∵∠CFB＝∠CEA，CA＝CB， ∴△CFB≌△CEA（AAS）， ∴BF＝AE，CF＝CE， ∴四边形ECFO是正方形， ∴OE＝OF＝CE＝CF， ∵A（2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴OA+OB＝OE﹣AE+OF+BF＝2OF＝6， ∴OF＝OE＝3， ∴C（3，3）； 当AB是斜边时，点C在第二象限，同理可得C（﹣1，1）． ∴C点坐标为（3，3）或（﹣1，1）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 36．（2024秋•海安市期中）（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； （2）如图2，∠B＝60°，∠DAN＝30°，N分别为AB上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，求证：AB＝2BN+BM； （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C的过程中，∠EBF的度数是否发生变化？如果不变，求出∠EBF的度数；如果改变，请说明理由． 【分析】（1）证△ABC≌△CED即可得证； （2）在AB上截取AF＝DF构造△FDN≌△BNM（AAS），从而证出FD＝BN＝AF，FN＝BM，再用线段和差即可得证； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠ACD，∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BAC， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS）， ∴BC＝DE； （2）证明：在AB上截取AF＝DF，连接DF，如图2， ∵∠DAN＝30°， ∴∠DAN＝∠ADF＝30°， ∴∠DFN＝60°＝∠B， ∵∠ANM＝∠AND+∠DNM＝∠PMN+∠B，且∠DNM＝∠B＝60°， ∴∠AND＝∠BMN， 在△FDN和△BNM中， ， ∴△FDN≌△BNM（AAS）， ∴FD＝BN，FN＝BM， ∴AF＝BN， ∴AB＝2BN+BM； （3）解：如图3，在BC上截取BM＝CF，连接EM， ∵AD＝2CF＝BM+CF，且AC＝BC， ∴CD＝FM， ∵△DEF是等边三角形， ∴DF＝EF，∠DFE＝60°， ∵∠DFM＝∠CDF+∠C＝∠MFE+∠DFE，且∠C＝∠DFE＝60°， ∴∠CDF＝∠MFE， ∴△DFC≌△FEM（SAS）， ∴∠FME＝∠C＝60°，EM＝CF， ∵BM＝CF， ∴BM＝EM， ∴∠EBF＝30°． 【点评】本题是等边三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 37．（2024秋•启东市期中）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系． 【分析】（1）由题意画出图形即可； （2）过点D作DF⊥AB于点F，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），得出AF＝CE，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论； （3）过点D作DF⊥AB于点F，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），由全等三角形的性质得出AF＝CE，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论． 【解答】解：（1）依题意补全图形如下： （2）AB＝2BE﹣BC． 证明：过点D作DF⊥AB于点F， ∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝DF， ∵AD＝CD， ∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF＝CE， ∵DE＝DF，BD＝BD， ∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BF＝BE， ∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE﹣BC＝2BE﹣BC． （3）AB＝BC+2BE． 证明：过点D作DF⊥AB于点F， ∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝DF， ∵AD＝CD， ∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL）， ∴AF＝CE， ∵DE＝DF，BD＝BD， ∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BF＝BE， ∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE+BC＝2BE+BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 知识点九 作图—基本作图 38．（2023秋•承德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC＝60°； ③点D在AB的垂直平分线上； ④S△DAC：S△ABC＝1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意得AD是∠BAC的平分线，可判断说法①；由已知条件可得∠BAC＝60°，则∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°，根据∠ADC＝∠B+∠BAD可判断说法②；过点D作DE⊥AB于点E，易知△ABD为等腰三角形，则DE为△ABD的中线，即点D在AB的垂直平分线上，可判断说法③；证明△ACD≌△AED，△ADE≌△BDE，可得S△ACD＝S△ADE＝S△BDE，即可判断说法④． 【解答】解：由题意可得，AD是∠BAC的平分线， 故说法①正确； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°， 故说法②正确； 过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠B＝∠BAD＝30°， ∴△ABD为等腰三角形， ∴DE为△ABD的中线， ∴点D在AB的垂直平分线上， 故说法③正确； ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝∠AED＝90°， ∴CD＝DE， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴S△ACD＝S△ADE， ∵∠AED＝∠BED＝90°，AE＝BE，DE＝DE， ∴△ADE≌△BDE（SAS）， ∴S△ADE＝S△BDE， ∴S△ACD＝S△ADE＝S△BDE， ∴S△DAC：S△ABC＝1：3， 故说法④正确． ∴正确的说法有4个， 故选：D． 【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 知识点十 作图-轴对称变换 39．（2024秋•海门区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜90°，AD⊥AB交直线BC于点D，在直线AC上取一点E，使得CD＝DE，连接BE． （1）画出△ADB关于直线AD成轴对称的△ADF； （2）若∠BAC＝40°，求∠BDF的度数； （3）求证：BE⊥DE． 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）证明∠ADF＝∠ADB，求出∠ADB即可； （3）证明△DCF≌△DEB（SAS），推出∠DEB＝∠DCF可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示； （2）解：∵∠BAC＝40°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣40°）＝70°， ∵AD⊥BF，AB＝AF， ∴∠ADF＝∠ADB＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BDF＝40′； （3）证明：∵AD⊥BF，AB＝AF， ∴DB＝DF， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DFB， ∴∠BDF＝∠BDE， ∴△DCF≌△DEB（SAS）， ∴∠DEB＝∠DCF， ∵AB＝AC＝AF， ∴∠FCB＝∠FCD＝90°， ∴∠DEB＝90°， ∴DE⊥BE． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出图形，正确寻找全等三角形解决问题． 知识点十一 轴对称-最短路线问题 40．（2023秋•江油市期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得OG＝OD＝OH＝2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′＝GH＝2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数． 【解答】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′， 此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′＝GH＝2， 根据轴对称的性质，得AG＝AD＝AH＝2，∠DAF＝∠GAF，∠DAB＝∠HAB， ∴AG＝AH＝GH＝2， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠GAH＝60°， ∴∠FABGAH＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 41．（2024•惠阳区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　60°　 ． 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题； 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°． 【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 42．（2024秋•崇川区期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝8，∠ABC＝80°，△ABC≌△ADE，∠DAC＝20°，F为线段AD上一动点，则BF+CF的最小值为　8　 ． 【分析】连接EF，BE，CE，证明△ABE是等边三角形，得到BE＝AB＝8，再证明△AFC≌△AFE，推出CF＝EF，由此得到BF+CF≥BE，当B，E，F三点共线时，BF+CF有最小值，即为线段BE的长． 【解答】解：连接EF，BE，CE， ∵∠ACB＝∠ABC＝80°，∠BAC＝20°， 由题意可得：AB＝AC＝AD＝AE＝8，∠DAE＝∠BAC＝20°， ∴∠BAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝8， ∵∠CAF＝∠EAF，AC＝AE，AF＝AF， ∴△AFC≌△AFE（SAS）， ∴CF＝EF， ∵BF+EF≥BE，即BF+CF≥BE， ∴当B，E，F三点共线时，BF+CF有最小值，即为线段BE的长， ∴BF+CF的最小值为8， 故答案为：8． 【点评】此题考查等边对等角，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 43．（2024秋•海门区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是AC边上的定点，AD＝14，点E、点P分别是边AB、BC上的动点，当PD+PE的值最小时，AE＝15，则CD＝　8　 ． 【分析】作D关于BC的对称点G，连接GE，则PD+PE＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，于是得到当GE⊥AB时，GE最小，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：作D关于BC的对称点G，连接GE， 则PD+PE＝GE， 当PD+PE的值最小时，GE最小， ∴当GE⊥AB时，GE最小， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵AE＝15， ∴AG＝30，EG＝15， ∵AD＝14， ∴CD＝CGDG＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 44．（2024秋•如皋市期中）如图，∠BAC＝30°，M为射线AB上一动点（不与点A重合），点N在射线AC上，且AN＝6．点M运动的过程中，当取最小值时，∠AMN的度数是 　120　 °． 【分析】作∠BAF＝30°，作MD⊥AF于D，连接XD，作NE⊥AF于E，从得出DM，∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝60°，从而得出MN，可得出MN+DM≥DN≥NE＝3，从而得出（）最小值＝3，此时M是NE与AB的交点，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 作∠BAF＝30°，作MD⊥AF于D，连接XD，作NE⊥AF于E， ∴DM，∠CAF＝∠BAC+∠BAF＝60°， ∴MN，ENAN， ∵MN+DM≥DN≥NE＝3， ∴（）最小值＝3，此时M是NE与AB的交点， ∴∠AMN＝90°+30°＝120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造AM． 知识点十二 几何变换综合题 45．（2023秋•洪山区期中）如图，长方形ABCD中，对角线 BD＝4，∠ABD＝60°，将长方形ABCD沿BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一动点．当BM+EM+CM的值最小时，DM的长为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】作EH⊥BC于点H，交BD于点I，作MF⊥BC于点F，由矩形的性质得∠BCD＝90°，CD∥AB，则∠BDC＝∠ABD＝60°，所以∠CBD＝30°，则CDBD＝2，BM＝2FM，由折叠得∠EBD＝∠CBD＝30°，∠BDE＝∠BDC＝60°，ED＝CD＝2，则∠EBH＝60°，所以∠BEH＝30°，可证明△DIE是等边三角形，所以BI＝EI＝ED＝2，而HIBI＝1，则EH＝3，由FM+EM≥EH，得2FM+2EM≥6，则BM+EM+CM≥6，所以当点M于点I重合时，BM+EM+CM取得最小值，最小值为6，此时DM＝DI＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作EH⊥BC于点H，交BD于点I，作MF⊥BC于点F，则∠BHE＝∠BFM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∠ABD＝60°， ∴∠BCD＝90°，CD∥AB， ∴∠BDC＝∠ABD＝60°， ∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°， ∴CDBD＝2，BM＝2FM， 由折叠得∠EBD＝∠CBD＝30°，∠IDE＝∠BDC＝60°，ED＝CD＝2， ∴∠EBH＝∠EBD+∠CBD＝60°， ∴∠BEH＝90°﹣∠EBH＝30°＝∠EBD， ∴BI＝EI，∠EID＝∠BIH+∠EBD＝60°， ∴∠DEI＝180°﹣∠BDE﹣∠EID＝60°， ∴∠DEI＝∠EID＝∠IDE， ∴△DIE是等边三角形， ∴BI＝EI＝ED＝2， ∴HIBI＝1， ∴EH＝EI+HI＝3， ∵FM+EM≥EH， ∴FM+EM≥3， ∴2FM+2EM≥6， ∵BM＝2FM，EM＝CM， ∴BM+EM+CM＝2FM+2EM， ∴BM+EM+CM≥6， ∴当点M于点I重合时，BM+EM+CM取得最小值，最小值为6， ∴DM＝DI＝2， 故选：C． 【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 46．（2024秋•海门区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝110°．若点B关于AC的对称点B恰好落在CD上（不与点D重合），则∠ACB＝　35　 度． 【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD． 【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB'， ∴AB＝AB'， ∴∠BAC＝∠B'AC， ∵AB＝AD， ∴AD＝AB'， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠B'AE，∠AEC＝90°， ∴∠CAE∠BAD55°， ∴∠ACB＝∠ACB'＝35°． 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，解决问题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 47．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC＝BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ． （1）求∠ABC的度数； （2）当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ＝CD； （3）连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形性质和角平分线的定义以及三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据题意作出图形即可；连接DQ，根据折叠的性质得到BC＝BQ，∠CBO＝∠DBQ＝36°，CD＝DQ，得到∠ADQ＝180°﹣72°﹣72°＝36°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （3）当AQ＝DQ，如图2，点P与点D重合，当AD＝DQ时，如图3，如图4，当AQ＝AD时，根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACB， ∵AD＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝∠DBC， 设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x， ∴x+2x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠ABC＝2×36°＝72°； （2）如图，点Q即为所求； 连接DQ， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BC＝BQ，∠CBO＝∠DBQ＝36°，CD＝DQ， ∠BDC＝∠BDQ＝72°， ∴∠ADQ＝180°﹣72°﹣72°＝36°， ∴∠A＝∠ADQ， ∴AQ＝DQ， ∴AQ＝CD； （3）当AQ＝DQ，如图2，点P与点D重合， ∴∠CBP＝36°； 当AD＝DQ时，如图3， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BQ＝BC，∠CBP＝∠PBQ， ∵BD＝BD＝AD， ∴DQ＝BQ＝BD， ∴∠DBQ＝60°， ∵∠CBD＝36°， ∴∠CBQ＝96°， ∴∠CBP； 如图4，当AQ＝AD时， ∵将△PBC沿BP翻折得△PBQ， ∴BQ＝BC，∠CBP＝∠PBQ， ∵BD＝BD＝AD， ∴AQ＝AD＝BQ＝BD， ∵DQ＝DQ， ∴△ADQ≌△BDQ（SSS）， ∴∠ADQ＝∠BDQ（180°﹣72°）＝54°， ∴∠BQD＝∠BDQ＝∠ADQ＝54°， ∴∠PBC＝54°， 当AQ＝DQ时，点A与P重合， ∴∠CBP＝72°， 综上所述，∠CBP的度数为54°或36°或48°或72°． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质和折叠的性质是解题的关键． 48．（2024秋•崇川区期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D是平面内一点，AD＝AC，点D关于直线BC的对称点为E，连接AE，DE． （1）如图1，当D在边AB上时，直接写出∠BAE的度数为　30　 °； （2）如图2，D为△ABC内一点，且∠CAD＝30°，连接BD，取AB的中点F，连接DF．依题意补全图2，并求证AE＝BD； （3）在（2）的条件下，作射线DG⊥AD交AB于G，在射线DG上有一点H，满足DH＝BC，延长GD交BC于K，连接AH，AK，若AC＝2，求△AHK的面积． 【分析】（1）求出∠BAC＝60°，连接CD，CE，证明△ACD是等边三角形，△DCE也是等边三角形，得到DE＝EC，由此推出AE垂直平分CD，得到， （2）补全图形，如图所示，连接CD，求出∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，得到AC＝BF＝AF，证明△ADF≌△ADC，推出DF＝DC，由轴对称可得CD＝CE，∠BCD＝∠BCE，证得∠ACE＝∠BFD，由此推出△ACE≌△BFD，即可证得AE＝BD； （3）证明△ADH≌△ACB，得到∠HAD＝∠BAC＝60°，AH＝AB，根据∠HAB＝∠ABC＝30°，证明AHMBC，得到AB＝2AC＝4，求出AH＝4，即可得到△AHK的面积． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30° ∴∠BAC＝60°， 连接CD，CE， ∵AD＝AC， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝30°， 由轴对称性质得CE＝CD，∠ECB＝∠BCD＝30°， ∴∠DCE＝60°，△DCE也是等边三角形， ∴DE＝EC，又AD＝AC， ∴AE垂直平分CD， ∴， 故答案为：30； （2）证明：补全图形，如图所示，连接CD， ∵∠BAC＝60°，∠DAC＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ∵∠ABC＝30°， ∴， ∵F是AB的中点， ∴BF＝AF＝2AB， ∴AC＝BF＝AF， 又∵AD＝AC， ∴AD＝AF＝AC， 又∵∠BAD＝∠DAC＝30°， ∴△ADF≌△ADC（SAS）， ∴DF＝DC， 由轴对称可得CD＝CE，∠BCD＝∠BCE， ∴FD＝CE， ∵∠DAC＝30°，AD＝AC， ∴， ∴∠BCD＝90°﹣75°＝15°， ∵∠BCE＝∠BCD＝15°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝105°， ∵∠BAD＝30°，AF＝AD， ∴， ∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝105° ∴∠ACE＝∠BFD， 又∵AC＝BF，CE＝FD， ∴△ACE≌△BFD（SAS）， ∴AE＝BD； （3）解：如图， ∵DG⊥AD， ∴∠ADH＝∠ACB＝90°， ∵DH＝BC，AD＝AC， ∴△ADH≌△ACB（SAS）， ∴∠HAD＝∠BAC＝60°，AH＝AB， ∵∠BAD＝30°， ∴∠HAB＝∠HAD﹣∠BAD＝30°， ∴∠HAB＝∠ABC＝30°， ∴AH∥BC， ∵∠ACB＝90°， ∴CA⊥AH， 在Rt△ABC中，AC＝2，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝4， ∴AH＝4， ∴△AHK的面积． 【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 49．（2024秋•通州区期中）已知PO⊥BO，Rt△ACD的斜边AD在射线PO上，沿着射线PO平移，∠CAD＝60°，AO＝BO．连接OC，在OC左侧作等腰直角三角形COE，∠COE＝90°，连接CE交OB于点F，连接BE． （1）如图1，当点D在AO上时，求证：AC＝BE； （2）如图2，当CE∥AD时， ①若AD＝8，则BF＝ 　2　 ； ②连接DE，求∠CDE的度数． 【分析】（1）由SAS可证△AOC≌△BOE，可得AC＝BE； （2）①由直角三角形的性质可求AH＝2，由“AAS”可证△AOC≌△BOE，可得BF＝AH＝2； ②由等腰直角三角形的性质可求CE＝2OF＝4CD，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】（1）∵△COE是等腰直角三角形， ∴OC＝OE，∠COE＝90°＝∠AOB，∠OCE＝45°， ∴∠AOC＝∠BOE， 又∵AO＝BO， ∴△AOC≌△BOE（SAS）， ∴AC＝BE； （2）①如图2，过点C作CH⊥AO于H， ∵∠CAD＝60°，∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝30°， ∴ACAD＝4，CDAC＝4， ∵CH⊥AD， ∴AHAC＝2，CHAH＝2， ∵EC∥AB， ∴∠BFE＝∠BOD＝90°＝∠CHA，∠DCE＝∠CDA＝30°， ∵△AOC≌△BOE， ∴∠B＝∠CAH，AC＝BE， ∴△BEF≌△ACH（AAS）， ∴BF＝AH＝2， 故答案为：2； ②如图2，∵△COE是等腰直角三角形，∠BFE＝90°， ∴BF＝CF＝OF， ∵∠CFO＝∠FOH＝∠CHO＝90°， ∴四边形CFOH是矩形， ∴CH＝OF＝2， ∴CE＝2OF＝4， ∴CE＝CD， ∴∠CDE75°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 50．（2024秋•海安市期中）△ABC为等边三角形，点D在射线CA上，连接BD，在BD的上方作等边△BDE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交直线BC于点M． （1）如图1，当BD⊥AC时，写出∠EBC＝ 　90　 °； （2）如图2，当点D在边AC上时， ①求证：∠ADB＝∠EBC； ②请补全图形，试写出EM与FM的数量关系，并说明理由； （3）若等边△ABC的边长为8，当AD＝2时，求CM的长． 【分析】（1）△根据等边三角形的性质得到∠CBDABC60°＝30°，∠DBE＝60°，于是得到∠EBC＝∠CBD+∠DBE＝30°+60°＝90°； （2）①根据等边三角形的性质得到∠DBE＝∠ABC＝∠C＝60°，求得∠ADB＝∠CBE； ②连接AE，设AF与BC交于N，根据等边三角形的性质得到∠DBE＝∠ABC＝∠C＝60°，BE＝BD，AB＝BC，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠C＝60°，根据轴对称的性质得到AN＝FN，求得EM＝FM； （3）如图2，当点D在线段AC上时，根据等边三角形的性质得到CN，求得CD＝6，由（2）知AE＝CD＝6，MN，得到CM＝4+3＝7；如图3，当点D在线段CA的延长线上时，同理得到CM＝CN+MN＝4+5＝9． 【解答】（1）解：△ABC为等边三角形，BD⊥AC， ∴∠CBDABC60°＝30°， ∵△BDE是等边三角形， ∴∠DBE＝60°， ∴∠EBC＝∠CBD+∠DBE＝30°+60°＝90°， 故答案为：90； （2）①证明：∵△ABC和△DBE是等边三角形， ∴∠DBE＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵∠ADB＝∠C+∠DBC＝60°+∠CBD，∠CBE＝∠DBE+∠CBD＝60°+∠CBD， ∴∠ADB＝∠CBE； ②解：EM＝FM， 理由：连接AE，设AF与BC交于N， ∵△ABC和△DBE是等边三角形， ∴∠DBE＝∠ABC＝∠C＝60°，BE＝BD，AB＝BC， ∴∠ABE＝∠CBD， ∴△ABE≌△CBD）SAS）， ∴∠BAE＝∠C＝60°， ∴∠EAB＝∠ABC＝60°， ∴AE∥BC， ∵点A关于BC的对称点F， ∴AN＝FN， ∴EM＝FM； （3）解：如图2，当点D在线段AC上时， ∵△ABC是等边三角形，AB＝BC＝AC＝8，AN⊥BC， ∴CN， ∵AD＝2， ∴CD＝6， 由（2）知AE＝CD＝6，MN， ∴CM＝4+3＝7； 如图3，当点D在线段CA的延长线上时， 同理得，AE＝CD＝8+2＝10， ∴MNAE＝5， ∴CM＝CN+MN＝4+5＝9， 综上所述，CM的长为7或9． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习精选50道几何压轴题尖子生培优集训 知识点一 全等三角形的判定 1．（2024秋•启东市期中）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．点F在射线BC上，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为（　　） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 2．（2024秋•海安市期中）如图，已知等边△ABC，AB＝2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD＝CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论： ①BE＝CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP＝60°；④EP＝1中， 一定正确的个数是（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二 全等三角形的判定与性质 3．（2024秋•海门区期中）如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2，CD＝9，E为AD的中点，连接BE，∠CBE＝45°，则BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2023秋•洛南县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 5．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝6，以点A为直角顶点，AB为直角边作等腰直角三角形ABD，再以点A为直角顶点，AC为直角边作等腰直角三角形ACE，连接DE，P是DE的中点，连接AP，则AP的长是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 6．（2023秋•大冶市期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2025•大庆二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，连接DE，过点D作DF⊥DE交BE于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，下列结论：①DE＝DF；②若BD＝a，DC＝b，则；③EF＝FG+EC；④G为BD的中点．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024秋•通州区期中）如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且这两边的夹角不相等，那么这两个三角形弱全等．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，则图中弱全等三角形共有（　　） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 9．（2024秋•如东县期中）如图，在等腰△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE的面积保持不变；③DE长度的最小值为4；④△CDE面积的最大值为8；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．（2024春•宁阳县期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④S四边形ABDES△ABP．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024秋•海安市期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝10，BC﹣AB＝4，则△ADC面积的最大值为（　　） A．6 B．10 C．12 D．20 12．（2024秋•海安市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE＝90°，DB＝DE＝AE，若BC＝5，则AD的长是 ． 13．（2024秋•通州区期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F．若AE+BF的最大值可用图中的一条线段长表示，则这条线段是 　 　 ． 14．（2024秋•崇川区期中）如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，连接DE，AE． （1）若AE平分∠DAB，求证：DE是∠ADC的平分线； （2）在（1）的条件下，若CD＝3，AB＝2，直接写出AD的长为　 　 ； （3）若AE⊥DE，求证：DE是∠ADC的平分线． 15．（2024秋•通州区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点P，Q关于y轴对称． （1）如图1，若∠POQ＝90°，PQ＝6，求点P的坐标； （2）如图2，若点P（6，0），C是OQ的中点，点A为y轴正半轴上一点，AC＝9，延长AC到B，使得，求证：AP＝BP． 16．（2024秋•启东市期中）已知△ABC是等边三角形，点D是直线AC上的点，点E是直线BC上的点，且DB＝DE， （1）当点D在线段AC上（不与A，C重合）时，易证AD＝CE； （2）当点D在CA的延长线上；如图（3），当点D在AC的延长线上时，线段AD与CE有怎样的数量关系，直接写出你的猜想，并在图（2）和图（3）中选择一种情况给予证明． 知识点三 角平分线的性质 17．（2024秋•江汉区期中）如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝ 　 　 ． 18．（2024秋•海门区期中）如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC＝7，BC﹣AB＝2，则△ADC面积的最大值为 　 ． 19．（2024秋•忻州期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则AB：AC＝　 ． 知识点4 线段垂直平分线的性质 21．（2020秋•中山市期中）如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证： （1）BF＝CG． （2）若AB＝6，AC＝8，求AF的长度． 22．（2022秋•双流区期末）如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，EF⊥AM．若∠ACB＝26°，∠CBE＝25°，则∠AED＝　 　 ． 知识点五 等腰三角形的性质 23．（2024秋•如东县期中）在如图所示的钢架结构中，∠CAB＝α，为加固钢架，在∠CAB的内部焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，……，若P1A＝P1P2且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 　 　 ． 24．（2024秋•启东市期中）如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“优美线”．在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“优美线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，则∠C的度数为 　 　 ． 知识点六 等腰三角形的判定 25．（2024秋•海安市期中）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点七 含30度角的直角三角形 26．（2024秋•如东县期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为 　 27．（2024秋•海安市期中）如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝5，BE＝8，则AB的长为 　 　 ． 知识点八 三角形综合题 28．（2024秋•临澧县期末）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC为腰的等腰△ABC，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 （1）如图1，∠BAC＝60°，即△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．求证：AD＝BE； 【实践探究】 （2）如图2，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E．若CD＝CA，猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝80°，D，E分别是BC，AC上的点，且AE＝CD．当AD+BE的值最小时，求∠ADC的度数．（直接写出答案） 29．（2024秋•海安市期中）阅读材料：如图1，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h， （1）连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h，即PE、PF、CM之间的数量关系是：　 　 ． （2）深入探究 如图2，将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，则PE、PF、PM和BG之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接AP、BP、CP） （3）理解与应用 如图3，当点P在△ABC外时，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系？请写出结论并证明. 30．（2024秋•如皋市期中）如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，连接BE． （1）如图1，在边AB上取点D，使AD＝CE，连接CD，交BE于点P．求证：△ACD≌△CBE； （2）如图2，在（1）的条件下，若点E为AC中点，求的值； （3）如图3，∠EBC＝40°，M是△EBC内一点，且∠MBC＝30°，∠MCB＝20°，连接ME，求∠MEC的度数． 31．（2024秋•海门区期中）在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，连接AB． （1）已知：OA＝OB．过点A作AE⊥BC交y轴于点F．如图1，连接OE， ①直接写出∠CBO和∠EAC的关系：　∠CBO＝∠EAC　 ； ②求证：∠OEB＝135°； （2）如图2，点G（4，3），连接AG，OG，过点B作BP⊥AG于点P，过点O作OH⊥OG交BP的延长线于点H，求点H的坐标； （3）如图3，点D为△AOB的内角平分线的交点，过点D作DN⊥AB于点N，连接DB，过点D作DM⊥BD交x轴于点M，若，求BO﹣OM的值． 32．（2024秋•海门区期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，b）两点，∠OBA＝30°． （1）若a，b满足． ①写出△AOB的周长； ②P在第一象限内，若△PBA为等腰直角三角形，当AB为斜边时，求点P的坐标． （2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足∠BCD＝60°，∠ABC＝∠ADC． ①探究三条线段AO，AD，AC之间的数量关系，并给出证明； ②当△ABD是直角三角形时，求BC的长． 33．（2023秋•松北区期末）（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　BE＝CF　 ，∠BDC＝　30　 °； （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．连接CE，△BEC的面积为1，BF＝3CF，求△ACE的面积． 34．（2024秋•如东县期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别为x轴、y轴上两点，且∠ABO＝60°．点C是x轴上的一个动点，连接BC，并以BC为边在BC的右侧作等边△BCD． （1）如图①，当点D恰好在x轴上时，请判断线段DC和DA的数量关系，并结合图①证明你的结论； （2）如图②，当点D不在x轴上时，连接AD，其它条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请结合图②给予证明；若不成立，请直接写出新的结论； （3）如图③，设点B关于x轴的对称点为M，连接DM交x轴于点N．猜想：当点C在射线OA上移动时，的值是否发生改变？若不改变，请直接写出的值；若发生改变，请简要说明理由． 35．（2024秋•海门区期中）已知直线AB分别于坐标交于A（a，0）B（0，b）两点，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣4）2＝0． （1）求△AOB的面积； （2）如图1，以线段AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC，∠ABC＝90°． ①求点C的坐标； ②如图2，P为线段OB上一点，连接CP，AP，CB的延长线交于点D，∠CPA＝90°，求∠BDE的度数． （3）若线段AB为斜边作等腰Rt△ABC，请直接写出点C的坐标． 36．（2024秋•海安市期中）（1）如图1，已知△ABC和△DCE，点B、C、E在一条直线上，且∠B＝∠ACD＝∠E，AC＝CD，求证：BC＝DE； （2）如图2，∠B＝60°，∠DAN＝30°，N分别为AB上的点，且ND＝NM，∠DNM＝60°，求证：AB＝2BN+BM； （3）如图3，△ABC是等边三角形，点D、F分别为AC、BC边上的动点，AD＝2CF，连接DF，以DF为边在△ABC内作等边△DEF，连接BE，当点D从点A运动到点C的过程中，∠EBF的度数是否发生变化？如果不变，求出∠EBF的度数；如果改变，请说明理由． 37．（2024秋•启东市期中）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分线BM，在BM上找一点D，使得DA＝DC，过点D作DE⊥BC，交直线BC于点E． （1）依题意补全图形； （2）用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系，并给出证明； （3）如果把作∠ABC的平分线BM，改为作∠ABC的外角∠PBA的平分线BM，其他条件不变，直接用等式写出AB，BC，BE之间的数量关系． 知识点九 作图—基本作图 38．（2023秋•承德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC＝60°； ③点D在AB的垂直平分线上； ④S△DAC：S△ABC＝1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点十 作图-轴对称变换 39．（2024秋•海门区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜90°，AD⊥AB交直线BC于点D，在直线AC上取一点E，使得CD＝DE，连接BE． （1）画出△ADB关于直线AD成轴对称的△ADF； （2）若∠BAC＝40°，求∠BDF的度数； （3）求证：BE⊥DE． 知识点十一 轴对称-最短路线问题 40．（2023秋•江油市期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 41．（2024•惠阳区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　 ． 42．（2024秋•崇川区期中）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝8，∠ABC＝80°，△ABC≌△ADE，∠DAC＝20°，F为线段AD上一动点，则BF+CF的最小值为　 　 ． 43．（2024秋•海门区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是AC边上的定点，AD＝14，点E、点P分别是边AB、BC上的动点，当PD+PE的值最小时，AE＝15，则CD＝　 　 ． 44．（2024秋•如皋市期中）如图，∠BAC＝30°，M为射线AB上一动点（不与点A重合），点N在射线AC上，且AN＝6．点M运动的过程中，当取最小值时，∠AMN的度数是 　 　 °． 知识点十二 几何变换综合题 45．（2023秋•洪山区期中）如图，长方形ABCD中，对角线 BD＝4，∠ABD＝60°，将长方形ABCD沿BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一动点．当BM+EM+CM的值最小时，DM的长为（　　） A．1 B． C．2 D．3 46．（2024秋•海门区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝110°．若点B关于AC的对称点B恰好落在CD上（不与点D重合），则∠ACB＝　 　 度． 47．（2024秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于点D，且BC＝BD，点P是边AC上一动点，连接BP，将△PBC沿BP翻折得△PBQ． （1）求∠ABC的度数； （2）当点P与点D重合时，请仅用圆规在图2中确定点Q的位置（保留作图痕迹），并证明AQ＝CD； （3）连接AQ，DQ，当△ADQ是等腰三角形时，求∠CBP的度数． 48．（2024秋•崇川区期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D是平面内一点，AD＝AC，点D关于直线BC的对称点为E，连接AE，DE． （1）如图1，当D在边AB上时，直接写出∠BAE的度数为　 　 °； （2）如图2，D为△ABC内一点，且∠CAD＝30°，连接BD，取AB的中点F，连接DF．依题意补全图2，并求证AE＝BD； （3）在（2）的条件下，作射线DG⊥AD交AB于G，在射线DG上有一点H，满足DH＝BC，延长GD交BC于K，连接AH，AK，若AC＝2，求△AHK的面积． 49．（2024秋•通州区期中）已知PO⊥BO，Rt△ACD的斜边AD在射线PO上，沿着射线PO平移，∠CAD＝60°，AO＝BO．连接OC，在OC左侧作等腰直角三角形COE，∠COE＝90°，连接CE交OB于点F，连接BE． （1）如图1，当点D在AO上时，求证：AC＝BE； （2）如图2，当CE∥AD时， ①若AD＝8，则BF＝ 　 　 ； ②连接DE，求∠CDE的度数． 50．（2024秋•海安市期中）△ABC为等边三角形，点D在射线CA上，连接BD，在BD的上方作等边△BDE．作点A关于BC的对称点F，连接EF，交直线BC于点M． （1）如图1，当BD⊥AC时，写出∠EBC＝ 　 　 °； （2）如图2，当点D在边AC上时， ①求证：∠ADB＝∠EBC； ②请补全图形，试写出EM与FM的数量关系，并说明理由； （3）若等边△ABC的边长为8，当AD＝2时，求CM的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习精选50道几何压轴题尖子生培优集训 知识点一全等三角形的判定 1.(2024秋：启东市期中)如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=7.点F在射线BC 上，且CF=AO,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点 Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时停止 运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值为() D 7 A. B.6秒 C. 秒或秒 D. 6 好 7 2.(2024秋海安市期中)如图，已知等边△ABC,AB=2,点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD= CF,DE⊥BC于E,FG⊥BC于G,DF交BC于点P,则下列结论： ①BE=CG:②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°；④EP=1中， 一定正确的个数是()个. D A.1 B.2 C.3 D.4 知识点二全等三角形的判定与性质 3.(2024秋海门区期中)如图，AB∥CD,∠BCD=90°，AB=2,CD=9,E为AD的中点，连接BE,∠CBE =45°，则BC的长为() B.5 C.6 D.7 4.(2023秋·洛南县期末)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BE、CD为△ABC的角平分线.BE与CD相 交于点F,FG平分∠BFC,有下列四个结论：①∠BFC=120°：②BD=CE:③BC=BD+CE:④若BE⊥AC, △BDF≌△CEF.其中正确的是() A.①③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 5.(2024秋如皋市期中)如图，在△ABC中，AC=3,AB=4,BC=6,以点A为直角顶点，AB为直角边 作等腰直角三角形ABD,再以点A为直角顶点，AC为直角边作等腰直角三角形ACE,连接DE,P是 DE的中点，连接AP,则AP的长是() D E A B A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 6.(2023秋·大冶市期末)如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D,∠APC+∠ABC =180°，给出下列结论：①∠MAP=∠BCP;②PA=PC;③AB+BC=2BD:④四边形BAPC的面积是 △PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.(2025·大庆二模)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD,BE分别为BC,AC边上的高，连接DE,过 点D作DFLDE交BE于点F,过点F作FG∥AC交BC于点G,下列结论：①DE=DF:②若BD=a, DC=b,则BE=a, CE=6:③BF=FG+EC:④G为BD的中点.其中正确的个数是(） 2 E B G D A.4 B.3 C.2 D.1 8.(2024秋•通州区期中)如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，且这两边的夹角不相等，那 么这两个三角形弱全等.如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,则图中弱全等三角 形共有() B D E A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 9.(2024秋·如东县期中)如图，在等腰△ABC中，∠C=90°，AC=8,F是AB边上的中点，点D、E分 别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形：②四边形CDFE的面积保持不变；③DE长度的最小值为4：④△CDE面积的最大 值为8：其中正确的结论是() D A B F A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 10.(2024春.宁阳县期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过 P作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA:③AH+BD =AB:@S=多8人8，其中正确的有《） 3 B B C D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.(2024秋海安市期中)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AC=10,BC- AB=4,则△ADC面积的最大值为() A.6 B.10 C.12 D.20 12.(2024秋·海安市期中)如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°， DB=DE=AB,若BC=5,则AD的长是一· D B 13.(2024秋通州区期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，直线1经过点D,AE⊥1，BF⊥1，垂足分 别为E,F.若AE+BF的最大值可用图中的一条线段长表示，则这条线段是· E B 14.(2024秋崇川区期中)如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，连接DE,AE. D E B B 备用图 (1)若AE平分∠DAB,求证：DE是∠ADC的平分线： (2)在(1)的条件下，若CD=3,AB=2,直接写出AD的长为一： (3)若AE⊥DE,求证：DE是∠ADC的平分线. 15.(2024秋通州区期中)在平面直角坐标系xOy中，己知点P,Q关于y轴对称. (1)如图1，若∠P0Q=90°，PQ=6,求点P的坐标： (2)如图2，若点P(6,0),C是OQ的中点，点A为y轴正半轴上一点，AC=9,延长AC到B,使 得BC=号AC,求证：AP=BP. 0 Q C O ⊙ 图1 图2 16.(2024秋·启东市期中)己知△ABC是等边三角形，点D是直线AC上的点，点E是直线BC上的点， 且DB=DE, (1)当点D在线段AC上（不与A,C重合）时，易证AD=CE; (2)当点D在CA的延长线上；如图(3)，当点D在AC的延长线上时，线段AD与CE有怎样的数量 关系，直接写出你的猜想，并在图(2)和图(3)中选择一种情况给予证 5 B E C B 明. 图(1) 图(2) 图(3) 知识点三角平分线的性质 17.(2024秋江汉区期中)如图，在△ABD中，∠BAD=80°，C为BD延长线上一点，∠BAC=130°，△ABD 的角平分线BB与AC交于点E,连接DE,则∠DEB=一· A E B 18.（2024秋·海门区期中)如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,CD⊥BD,AC=7,BC-AB=2, 则△ADC面积的最大值为 19.(2024秋·忻州期末)如图，在△ABC中，SA4BC=21,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,点E为AD 的中点.连接BE,点F为BE上一点，且BF=2EF.若SADEF=-2,则AB:AC=一· A D 6 知识点4线段垂直平分线的性质 21.(2020秋中山市期中)如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB 交AB的延长线于点F,BG⊥AC交AC于点G.求证： (1)BF=CG. (2)若AB=6,AC=8,求AF的长度. D 22.(2022秋•双流区期末)如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线 交AE于E,EF⊥AM.若∠ACB=26°，∠CBE=25°，则∠AED=一· B M 知识点五等腰三角形的性质 23.(2024秋如东县期中)在如图所示的钢架结构中，∠CAB=a,为加固钢架，在∠CAB的内部焊上等长 的钢条PP2,P2P3,P3P4,,若PA=PP2且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是 C P3 P P2 B 24.(2024秋·启东市期中)如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做 这个三角形的优美线”.在△ABC中，∠B=27°，AD和DE是△ABC的优美线”，点D在BC边上，点 E在AC边上，且AD=BD,DE=CE,则∠C的度数为 > 知识点六等腰三角形的判定 25.(2024秋海安市期中)如图，∠ABC=∠ACB,BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACF, 连接AD.以下结论：①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADB+∠ACD=90°；④△ABD和△ACD都 是等腰三角形.其中正确的结论有() E D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点七含30度角的直角三角形 26.(2024秋如东县期中)如图，△ABC中，AB=AC=4,∠A=30°，P是BC上任意一点，PM⊥AB于点 M,PNLAC于点N,则PPN的值为 27.(2024秋海安市期中)如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在 AC,AB,BC上，若CD=5,BE=8,则AB的长为 D 知识点八三角形综合题 28.(2024秋临澧县期末)数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以AB和AC为腰的等腰 △ABC,从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】 (1)如图1，∠BAC=60°，即△ABC为等边三角形，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD.求证： AD=BE; 【实践探究】 (2)如图2，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上的点，过点B作BE⊥AD于点E.若CD= CA,猜想线段BE和AD的数量关系，并说明理由： 【问题拓展】 8 (3)如图3，在等腰△ABC中，∠BAC=80°，D,E分别是BC,AC上的点，且AE=CD.当AD+BE 的值最小时，求∠ADC的度数，（直接写出答案） B D D 图1 图2 图3 29.（2024秋·海安市期中)阅读材料：如图1，△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，点P到两 腰的距离分别为1，T2,腰上的高为h, 1 （1)连接AP,则SABr+SAc=SAB0,即：2ABn+ACr=ABh,∴tn=,即PB、PR、CM之 间的数量关系是： (2)深入探究 如图2，将“在△ABC中，AB=AC,P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB, PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,垂足分别为E、F、MG,则PE、PF、PM和BG之间有怎样的关系？ 请写出结论并证明；（提示：可连接AP、BP、CP) (3)理解与应用 如图3，当点P在△ABC外时，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系？请写出结论并证 G M F h E ò F M B 明 30.(2024秋如皋市期中)如图，△ABC是等边三角形，点E是边AC上一点，连接BE. (I)如图1，在边AB上取点D,使AD=CE,连接CD,交BE于点P.求证：△ACD≌△CBE; (2)如图2，在(1)的条件下，若点B为4C中点，求肥的值： CD (3)如图3，∠EBC=40°，M是△EBC内一点，且∠MBC=30°，∠MCB=20°，连接ME,求∠MEC 的度数 B 图1 图2 图3 31.(2024秋·海门区期中)在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，连接AB. (1)已知：OA=OB.过点A作AE⊥BC交y轴于点F.如图1，连接OE, ①直接写出∠CBO和∠EAC的关系：∠CBO=∠EAC; ②求证：∠OEB=135: (2)如图2，点G(4,3),连接AG,OG,过点B作BP⊥AG于点P,过点O作OH⊥OG交BP的延 长线于点H,求点H的坐标： (3)如图3，点D为△AOB的内角平分线的交点，过点D作DN⊥AB于点N,连接DB,过点D作DM⊥BD 5 交x轴于点M,若DN=z:求BO-OM的值. y 图1 图2 图3 10