第17章因式分解2025中考真题过关训练及题型典例剖析+变式训练2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

第17章因式分解2025中考真题过关训练及题型典例剖析+变式训练 目 录 板块一 2025中考真题过关训练 板块二 题型典例剖析+变式训练 题型1 利用因式分解简便计算 题型2 运用因式分解推断整除 题型3 分组分解法因式分解与推断三角形形状 题型4 利用因式分解求代数式的值 题型5 运用因式分解解决看错题目类型 题型6 含参多项式已知一个因式求字母系数及另一个因式 题型7 因式分解新定义型问题 板块一 2025中考真题过关训练 1．（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 2．（2025•台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下： 甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大 乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 3．（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　 　 ． 4．（2025•吉林）因式分解：a2﹣ab＝ ． 5．（2025•哈尔滨）把多项式3m2﹣12分解因式的结果是　 　 ． 6．（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　 ． 7．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 8．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　 　 ． 9．（2025•西宁）分解因式：8ab2﹣2a＝　 　 ． 10．（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以 是 　 　 （填一个即可）． 11．（2025•青岛）因式分解：3x2﹣3y2＝　 　 ． 12．（2025•兰州）因式分解：2x2+4x+2＝　 ． 13．（2025•绥化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　 ． 14．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 　 ． 15．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝ 　 ． 板块二 题型典例剖析+变式训练 题型1 利用因式分解简便计算 【典例1】利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） （1）1242×25﹣25×762 （2）382+24×38+144． 【变式训练】 1．利用因式分解计算： （1）1.992+1.99×0.01； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22； （3）5×34+4×34+9×32． 2．利用因式分解计算： （1）21×3.14+62×3.14+17×3.14；（2）7582﹣2582． 3．利用因式分解计算： （1）3.72﹣3.7×2.72.72； （2）9.92+9.9×0.2+0.01．（3）9×1.22﹣16×1.42． 题型2 运用因式分解推断整除 【典例2】（2024秋•任城区期中）学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？ 【变式训练】 1．248﹣1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数． 2．已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 3．若a为整数，求证：（2a+1）2﹣1能被4整除． 题型3 分组分解法因式分解与推断三角形形状 【典例3】（2024秋•蓬莱区期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16． （2）若a，b，c分别为△ABC三边的长． ①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围． 【变式训练】 1．已知a、b、c分别是△ABC的三边． （1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解， （2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由． 2．（2024春•渠县月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 3．（2025春•金凤区期末）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由． 4．（2024春•汝州市月考）先阅读下面的材料，再解决问题： 要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得至a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．这种因式分解的方法叫做分组分解法． 请用上面材料中提供的方法解决问题： （1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式； （2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状． 5．（2024秋•志丹县期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 题型4 利用因式分解求代数式的值 【典例4】（2023春•郏县期末）阅读下列材料： 对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法因式分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变． 例如：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2﹣4x+3因式分解； （2）多项式x2+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？ 【变式训练】 1．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14． ①求此长方形的面积； ②求ab3+2a2b2+a3b的值． 题型5 运用因式分解解决看错题目类型 【典例5】（2025秋•新泰市月考）甲、乙两个同学分解因式2x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为2（x﹣1）（x﹣9）；乙看错了b，分解结果为2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 【变式训练】 1．（2024秋•东坡区期中）在对二次三项式x2+px+q进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为（x﹣2）（x﹣8），乙同学因看错了常数项而将其分解为（x+2）（x﹣10），试将此多项式进行正确的因式分解． 2．（2023秋•无为市月考）珍珍和航航对ax2﹣bx+c进行因式分解时，珍珍因看错了数字b而分解成（x﹣3）（3x﹣4），航航因看错了数字c而分解成3（x﹣1）（x﹣3）．请正确写出ax2﹣bx+c并分解因式． 题型6 含参多项式已知一个因式求字母系数及另一个因式 【典例6】（2025春•赫山区校级期中）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），由题意，得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 所以，解得． 所以另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 提出问题： （1）已知二次三项式x2﹣5x﹣p有一个因式是（x﹣1），另一个因式是 　 　； （2）已知二次三项式3x2+2x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值． 【变式训练】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣5x+a因式分解的结果是（x+b）2，求a、b的值． 2．（2025春•安丘市月考）（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 题型7 因式分解新定义型问题 【典例7】某数学兴趣小组的同学们从书上认识了很多有趣的数，其中“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3．∵x＝y，∴1423是“和平数”． （1）直接写出：最大的“和平数”是 　 ． （2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”． 设任意一个“和平数”千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为 　 和 　 ． 求证：任意的“和平数”与它的“相关和平数”之和是1111的倍数． （3）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 【变式训练】 1．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝29时，x﹣1＝28，x+1＝30，x+2＝31，此时可以得到数字密码283031． （1）根据上述方法，当x＝15，y＝5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？ （2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章因式分解2025中考真题过关训练及题型典例剖析+变式训练 目录 板块一 2025中考真题过关训练 板块二 题型典例剖析+变式训练 题型1 利用因式分解简便计算 题型2 运用因式分解推断整除 题型3 分组分解法因式分解与推断三角形形状 题型4 利用因式分解求代数式的值 题型5 运用因式分解解决看错题目类型 题型6 含参多项式已知一个因式求字母系数及另一个因式 题型7 因式分解新定义型问题 板块一 2025中考真题过关训练 1．（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【分析】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（2025•台湾）已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下： 甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大 乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【分析】由题可设设a＝11m，b＝11n（m、n互质），进而推出mn＝8，进而得到a、b为11、88或88、11．据此求解即可． 【详解】解：∵a、b最大公因数为11， ∴设a＝11m，b＝11n（m、n互质）， ∵a、b最小公倍数为88， ∴11mn＝88，即mn＝8， 所以（m，n）可能为（1，8）或（2，4）（舍去，因需互质）或（8，1）， 故a、b为11、88或88、11． 甲的看法：a、b的最大公因数为11，则a、b、c的最大公因数必为11的因数，不可能大于11， 故甲看法错误． 乙的看法：若c为11的因数（如11），则a、b、c的最小公倍数仍为88；若c与88有更小公倍数（如c＝88，最小公倍数不变），无法比88小， 故乙看法错误． 综上，甲乙皆错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最大公因数和最小公倍数，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2025•苏州）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　 ． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式＝（x+3）（x﹣3）， 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．（2025•吉林）因式分解：a2﹣ab＝a（a﹣b）　 ． 【分析】直接提公因式a即可． 【详解】解：原式＝a（a﹣b）， 故答案为：a（a﹣b）． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式法是正确解答的关键． 5．（2025•哈尔滨）把多项式3m2﹣12分解因式的结果是　3（m+2）（m﹣2）　 ． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解：3m2﹣12 ＝3（m2﹣4） ＝3（m+2）（m﹣2）， 故答案为：3（m+2）（m﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2 ． 【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键． 7．（2025•北京）分解因式：7m2﹣28＝　7（m+2）（m﹣2）　 ． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝7（m2﹣4） ＝7（m+2）（m﹣2）， 故答案为：7（m+2）（m﹣2）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 8．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　（x﹣3y）（x+3y）　 ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）． 故答案为：（x﹣3y）（x+3y）． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 9．（2025•西宁）分解因式：8ab2﹣2a＝　2a（2b﹣1）（2b+1）　 ． 【分析】利用提公因式法和平方差公式法分解因式． 【详解】解：8ab2﹣2a ＝2a（4b2﹣1）＝2a（2b﹣1）（2b+1）． 故答案为：2a（2b﹣1）（2b+1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 10．（2025•成都）多项式4x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 　4x（答案不唯一）　 （填一个即可）． 【分析】根据完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：∵4x2+4x+1＝（2x+1）2， ∴加上的单项式是：4x， 故答案为：4x（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握灵活运用完全平方公式． 11．（2025•青岛）因式分解：3x2﹣3y2＝　3（x+y）（x﹣y）　 ． 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：3x2﹣3y2 ＝3（x2﹣y2） ＝3（x+y）（x﹣y）． 故答案为：3（x+y）（x﹣y）． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（2025•兰州）因式分解：2x2+4x+2＝　2（x+1）2 ． 【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2， 故答案为：2（x+1）2． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13．（2025•绥化）分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2＝　2m（x﹣y）2 ． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：2mx2﹣4mxy+2my2 ＝2m（x2﹣2xy+y2） ＝2m（x﹣y）2， 故答案为：2m（x﹣y）2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 14．（2025•烟台）因式分解：2x2﹣12xy+18y2＝ 　2（x﹣3y）2 ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：2x2﹣12xy+18y2＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2， 故答案为：2（x﹣3y）2． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是关键． 15．（2025•上海）分解因式：a2b+ab2＝ab（a+b）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：a2b+ab2＝ab（a+b）， 故答案为：ab（a+b）． 【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 板块二 题型典例剖析+变式训练 题型1 利用因式分解简便计算 【典例1】利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） （1）1242×25﹣25×762 （2）382+24×38+144． 【分析】（1）原式提取25变形后，利用平方差公式分解，计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用完全平方公式分解，即可得到结果． 【详解】解：（1）原式＝25×（1242﹣762） ＝25×（124+76）×（124﹣76） ＝240000； （2）原式＝382+2×12×38+122 ＝（38+12）2 ＝502 ＝2500． 【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键． 【变式训练】 1．利用因式分解计算： （1）1.992+1.99×0.01； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22； （3）5×34+4×34+9×32． 【分析】（1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成32，即最后一项化为34，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【详解】解：（1）1.992+1.99×0.01 ＝1.99×（1.99+0.01） ＝1.99×2 ＝3.98； （2）49×20.22+52×20.22﹣20.22 ＝20.22×（49+52﹣1） ＝20.22×100 ＝2022； （3）5×34+4×34+9×32 ＝5×34+4×34+32×32 ＝5×34+4×34+34 ＝34×（5+4+1） ＝81×10 ＝810． 【点睛】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．利用因式分解计算： （1）21×3.14+62×3.14+17×3.14； （2）7582﹣2582． 【分析】（1）通过其他公因数3.14进行因式分解； （2）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：（1）原式＝3.14（21+62+17）＝3.14×100＝314； （2）原式＝（758+258）（758﹣258）＝1016×500＝508000． 【点睛】本题考查了因式分解的应用．常利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 3．利用因式分解计算： （1）3.72﹣3.7×2.72.72； （2）9.92+9.9×0.2+0.01． 【分析】（1）先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （2）利用完全平方公式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）3.72﹣3.7×2.72.72， （3.72﹣2×3.7×2.7+×2.72）， （3.7﹣2.7）2， ； （2）9.92+9.9×0.2+0.01， ＝9.92+2×9.9×0.1+0.12， ＝（9.9+0.1）2， ＝100． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 4．利用因式分解计算：9×1.22﹣16×1.42． 【分析】根据平方差公式，可分解因式． 【详解】解：原式＝（3×1.2+4×1.4）（3×1.2﹣4×1.4） ＝（4.2+5.6）（4.2﹣5.6） ＝9.8×（﹣1.4） ＝﹣13.72． 【点睛】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键． 题型2 运用因式分解推断整除 【典例2】（2024秋•任城区期中）学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？ 【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案． 【详解】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2 ＝[（n+7）+（n﹣3）][（n+7）﹣（n﹣3）] ＝10（2n+4） ＝20（n+2）， 故（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除． 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 【变式训练】 1．248﹣1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数． 【分析】原式利用平方差公式分解，整理即可确定出这两个数． 【详解】解：原式＝（224﹣1）（224+1）＝（212﹣1）（212+1）（224+1）＝（26﹣1）（26+1）（212+1）（224+1）＝63×65×（212+1）（224+1）， 则这两个数为63与65． 【点睛】此题考查了因式分解﹣公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2．已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【分析】利用平方差公式因式分解计算即可． 【详解】证明：（4n+3）2﹣（2n+3）2 ＝[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）﹣（2n+3）] ＝（4n+3+2n+3）（4n+3﹣2n﹣3） ＝（6n+6）•2n ＝12n（n+1）． ∵n为正整数， ∴n和n+1是连续的正整数， ∴n和n+1中一定有一个是偶数， ∴12n（n+1）一定是24的倍数， ∴（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 3．若a为整数，求证：（2a+1）2﹣1能被4整除． 【分析】原式利用平方差公式分解，即可作出判断． 【详解】证明：∵a为整数， ∴a+1为整数， 则原式＝（2a+1+1）（2a+1﹣1）＝4a（a+1），即（2a+1）2﹣1能被4整除． 【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型3 分组分解法因式分解与推断三角形形状 【典例3】（2024秋•蓬莱区期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲：a2﹣2ab﹣4+b2 ＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组） ＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式） ＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2） 乙：a2﹣ab﹣a+b ＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组） ＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式） ＝（a﹣b）（a﹣1）． 请在他们解法的启发下解答下列各题． （1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16． （2）若a，b，c分别为△ABC三边的长． ①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围． 【分析】（1）将原式分组整理为（9x2﹣6xy+y2）﹣16，再运用完全平方公式可得（3x﹣y）2﹣42，然后进一步分解因式即可； （2）①按照分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，结合三角形三边关系可知a﹣b+c＞0，进而可得a﹣b＝0，即可证明结论；②按照移项、分组、运用公式因式分解的步骤将原式整理为（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质解得a、b的值，然后结合三角形三边关系，即可获得答案． 【详解】解：（1）原式＝（9x2﹣6xy+y2）﹣16 ＝（3x﹣y）2﹣42 ＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）； （2）①△ABC为等腰三角形，理由如下： 已知ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0， 变形得（a﹣b）c+（a﹣b）2＝0， 即（a﹣b）（a﹣b+c）＝0， ∵a，b，c分别为△ABC三边的长， ∴a﹣b+c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， 即△ABC为等腰三角形； ②已知a2+b2＝12a+8b﹣52， 整理得a2﹣12a+36+b2﹣8b+16＝0， 即（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0， 那么a﹣6＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝6，b＝4， ∵a，b，c分别为△ABC三边的长， ∴a﹣b＜c＜a+b，即6﹣4＜c＜6+4， ∴2＜c＜10， 即c的范围为2＜c＜10． 【点睛】本题主要了利用分组分解法分解因式，等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，理解并掌握分组分解法分解因式是解题关键． 【变式训练】 1．已知a、b、c分别是△ABC的三边． （1）分别将多项式a2c2﹣b2c2，a4﹣b4进行因式分解， （2）若a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用平方差公式分解因式； （2）利用（1）中分解的结果得到c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0，再提公因式得到（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，于是a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，然后判断三角形的形状． 【详解】解：（1）a2c2﹣b2c2＝c2（a2﹣b2）＝c2（a+b）（a﹣b）； a4﹣b4＝（a2﹣b2）（a2+b2）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）； （2）∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）（a2+b2）； ∴c2（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）（a+b）（a2+b2）＝0； ∴（a+b）（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0， ∵a、b、c分别是△ABC的三边． ∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0， ∴a＝b或c2＝a2+b2， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决证明问题．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 2．（2024春•渠县月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，得2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，那么（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0．根据偶次方的非负性，得a＝b＝c，从而解决此题． 【详解】解：△ABC是等边三角形，理由如下： ∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0， ∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0． ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0． ∴（a2+b2﹣2ab）+（b2+c2﹣2bc）+（a2+c2﹣2ac）＝0． ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0． ∴a＝b＝c． ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题主要考查逆用完全平方公式进行因式分解、偶次方的非负性，熟练掌握逆用完全平方公式进行因式分解、偶次方的非负性是解决本题的关键． 3．（2025春•金凤区期末）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由． 【分析】对式子进行因式分解，利用完全平方的非负性，即可判断． 【详解】解：此三角形是等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0， 即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0． ∴a﹣b＝0且b﹣c＝0． ∴a＝b且b＝c， ∴a＝b＝c． ∴此三角形是等边三角形． 【点睛】本题考查因式分解的应用，正确将式子进行因式分解是解题关键． 4．（2024春•汝州市月考）先阅读下面的材料，再解决问题： 要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b，从而得至a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n），又有因式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．这种因式分解的方法叫做分组分解法． 请用上面材料中提供的方法解决问题： （1）将多项式ab﹣ac+b2﹣bc分解因式； （2）若△ABC的三边a、b、c满足条件：a4﹣b4+a2c2+b2c2＝0，试判断△ABC的形状． 【分析】（1）将前两项以及后两项重新分组进而分解因式得出答案； （2）利用分组分解法将原式分解进而得出答案． 【详解】解：（1）ab﹣ac+b2﹣bc ＝（ab﹣ac）+（b2﹣bc） ＝a（b﹣c）+b（b﹣c） ＝（a+b）（b﹣c）； （2）由已知，得（a2﹣b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）＝0． 即（a2+b2）（a2﹣b2+c2）＝0 ∵a2+b2＞0 ∴a2﹣b2+c2＝0 即 a2+c2＝b2 ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正确分组是解题关键． 5．（2024秋•志丹县期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法求出（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，可得a﹣b＝0，从而可判断△ABC是等腰三角形． 【详解】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn） ＝m（m﹣2）+n（2﹣m） ＝（m﹣2）（m﹣n）； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a+b﹣c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法，等腰三角形的判定，三角形三边的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 题型4 利用因式分解求代数式的值 【典例4】（2023春•郏县期末）阅读下列材料： 对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法因式分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变． 例如：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）． 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2﹣4x+3因式分解； （2）多项式x2+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？ 【分析】（1）要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式； （2）把多项式x2+2x+2凑成完全平方式加常数项的形式，即可求出多项式x2+2x+2有最小值时x的值． 【详解】解：（1）x2﹣4x+3 ＝x2﹣2×2x+22﹣22+3 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣1）（x﹣3）； （2）有最小值， x2+2x+2 ＝x2+2x+12﹣12+2 ＝（x+1）2+1， 故当它有最小值时x的值是﹣1． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0．所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值． 【变式训练】 1．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14． ①求此长方形的面积； ②求ab3+2a2b2+a3b的值． 【分析】①由a与b的和为长方形周长的一半列出a+b＝16÷2；关系式，再由两边的平方和为14得出a2+b2＝14；联立求出ab的值，即为长方形的面积； ②首先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，整体代入求得答案即可． 【详解】解：①∵a+b＝16÷2， ∴a2+2ab+b2＝64 ∵a2+b2＝14 ∴ab＝25 即长方形的面积为25． ②ab3+2a2b2+a3b ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝25×82 ＝1600． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，弄清题意，灵活运用题目蕴含的数量关系是解本题的关键． 题型5 运用因式分解解决看错题目类型 【典例5】（2025秋•新泰市月考）甲、乙两个同学分解因式2x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为2（x﹣1）（x﹣9）；乙看错了b，分解结果为2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式． 【分析】根据多项式乘多项式分别将2（x﹣1）（x﹣9）和2（x﹣2）（x﹣4）展开，合并同类项，与2x2+ax+b对比即可得到a、b的值并代入多项式，分解因式即可． 【详解】解：2（x﹣1）（x﹣9）＝2x2﹣20x+18， ∴b＝18， 2（x﹣2）（x﹣4）＝2x2﹣12x+16， ∴a＝﹣12， ∴2x2+ax+b ＝2x2﹣12x+18 ＝2（x2﹣6x+9） ＝2（x﹣3）2． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式等，掌握多项式乘多项式的方法和完全平方公式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•东坡区期中）在对二次三项式x2+px+q进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为（x﹣2）（x﹣8），乙同学因看错了常数项而将其分解为（x+2）（x﹣10），试将此多项式进行正确的因式分解． 【分析】先利用多项式乘多项式法则确定p、q，再分解因式． 【详解】解：（x﹣2）（x﹣8） ＝x2﹣10x+16， ∵甲看错了一次项系数将x2+px+q分解为（x﹣2）（x﹣8）， ∴q＝16． （x+2）（x﹣10） ＝x2﹣8x﹣20， ∵乙同学因看错了常数项， ∴p＝﹣8． ∴x2﹣8x+16 ＝（x﹣4）2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则及整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则、整式的因式分解是解决本题的关键． 2．（2023秋•无为市月考）珍珍和航航对ax2﹣bx+c进行因式分解时，珍珍因看错了数字b而分解成（x﹣3）（3x﹣4），航航因看错了数字c而分解成3（x﹣1）（x﹣3）．请正确写出ax2﹣bx+c并分解因式． 【分析】首先利用多项式乘法计算出（x﹣3）（3x﹣4）＝3x2﹣13x+12，由此求出a、c值，3（x﹣1）（x﹣3）＝3x2﹣12x+9，由此求出b值，进而可得原多项式为3x2﹣12x+12，然后再提公因式3，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 【详解】解：∵珍珍看错了数字b，而（x﹣3）（3x﹣4）＝3x2﹣13x+12， ∴a＝3，c＝12． ∵航航看错了数字c，而3（x﹣1）（x﹣3）＝3x2﹣12x+9， ∴b＝12， ∴原式＝3x2﹣12x+12， ∴3x2﹣12x+12＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2． 【点睛】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 题型6 含参多项式已知一个因式求字母系数及另一个因式 【典例6】（2025春•赫山区校级期中）阅读下面的材料，解答提出的问题： 已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），由题意，得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， 所以，解得． 所以另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 提出问题： （1）已知二次三项式x2﹣5x﹣p有一个因式是（x﹣1），另一个因式是 　（x﹣4）　； （2）已知二次三项式3x2+2x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值． 【分析】（1）设另一个因式为（x+n），由题意得x2﹣5x﹣p＝（x﹣1）（x+n）＝x2+（n﹣1）x﹣n，从而得到，进行计算即可得到答案； （2）设另一个因式为（3x+m），由题意得：3x2+2x﹣k＝（x﹣5）（3x+m）＝3x2+（m﹣15）x﹣5m，从而得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设另一个因式为（x+n）， 由题意得：x2﹣5x﹣p＝（x﹣1）（x+n）， 则x2﹣5x﹣p＝（x﹣1）（x+n）＝x2+nx﹣x﹣n＝x2+（n﹣1）x﹣n， ∴， 解得：， ∴另一个因式为（x﹣4）， 故答案为：（x﹣4）； （2）设另一个因式为（3x+m）， 由题意得：3x2+2x﹣k＝（x﹣5）（3x+m）， 则3x2+2x﹣k＝（x﹣5）（3x+m）＝3x2+mx﹣15x﹣5m＝3x2+（m﹣15）x﹣5m， ∴， 解得：， ∴另一个因式为（3x+17），k的值为85． 【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣5x+a因式分解的结果是（x+b）2，求a、b的值． 【分析】先利用公式法去掉括号，再根据等式的性质得2b＝﹣5，b2＝a． 【详解】解：（x+b）2＝x2+2bx+b2， ∴2b＝﹣5，b2＝a， 解得：a，b． 【点睛】本题考查了分解因式﹣公式法，掌握运用公式法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，这是解题关键． 2．（2025春•安丘市月考）（1）已知关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5，则ab的值？ （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则计算多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积，再根据已知条件列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入进行计算即可； （2）设另一个因式为x+c，然后根据多项式乘多项式法则计算多项式x+c与2x﹣5的乘积，列出关于c和k的方程，解方程求出c，k，从而求出另一个因式即可． 【详解】解：（1）（ax﹣b）（3x2+x+2） ＝3ax3+ax2+2ax﹣3bx2﹣bx﹣2b ＝3ax3+（a﹣3b）x2+（2a﹣b）x﹣2b， ∵关于x的多项式ax﹣b与3x2+x+2的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项系数为﹣5， ∴， ①×2得：2a﹣6b＝0③， ②﹣③得：b＝﹣1， 把b＝﹣1代入①得：a＝﹣3， ∴； （2）设另一个因式为x+c， ∴（x+c）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k， 2x2﹣5x+2cx﹣5c＝2x2+3x﹣k， 2x2+（2c﹣5）x﹣5c＝2x2+3x﹣k， ∴2c﹣5＝3，5c＝k， 解得c＝4，k＝20， ∴另一个因式为x+4，k＝20． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 题型7 因式分解新定义型问题 【典例7】某数学兴趣小组的同学们从书上认识了很多有趣的数，其中“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3．∵x＝y，∴1423是“和平数”． （1）直接写出：最大的“和平数”是 　9999　 ． （2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”，例如：1423与4132为“相关和平数”． 设任意一个“和平数”千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，则该“和平数”和它的“相关和平数”的数值分别为 　1 000a+100b+10c+d 和 　1 000b+100a+10d+c ． 求证：任意的“和平数”与它的“相关和平数”之和是1111的倍数． （3）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12． 【分析】（1）根据阅读材料，确定出最大的四位数保证千位上和百位上的数字之和等于十位上和个位上的数字之和即可． （2）根据条件列出代数式即可，通过多项式的合并同类项推理出是1111的倍数即可； （3）这个“和平数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数目1≤a≤9.0≤ms9.0≤ns9，则个位上的数字是2a．根据两个条件分情况讨论即可． 【详解】解：（1）9999 （2）若任意一个“和平数”千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d，则它的“相关和平数”千位上的数字为b，百位上的数字为a，十位上的数字为d，个位上的数字为c，且a+b＝c+d， 则为1 000a+100b+10c+d和1 000b+100a+10d+c； 1 000a+100b+10c+d+1 000b+100a+10d+c ＝1 100a+1 100b+11c+1ld ＝1 100a+1100b+11（a+b） ＝111a+1111b＝1111（a+b）， ∴（1000a+100b+10c+d）+（10006+100a+10d+c）能被1111整除， 故任意的“和平数”与它的“相关和平数”之和是1 111的倍数． （3）设这个“和平数”的千位上的数字是a，百位上的数字是m，十位上的数字是n，其中a，m，n均是正整数目1≤a≤9.0≤ms9.0≤ns9，则个位上的数字是 2a． 又•0≤2a≤9 ∴a的取值为 1.2.3.4， ∵百位上的数字与十位上的数字之和是12， ∴m+n＝12． “和平数”中 a+m＝n+2a， a+m＝12﹣m+2a， 即a＝2m﹣12， 又∵m，a均为正整数， 且a的取值为1，2，3，4， ∴m的取值为7，8． 当m＝7 时，a＝2，这个“和平数’是2754； 当m＝8时，a＝4，这个“和平数”是4848． 综上所述，满足条件的“和平数”是2754 和4848． 【点睛】本题主要考查的是列代数式和合并同类项，根据阅读内容找出各数之间的关系是解题的突破口． 【变式训练】 1．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝29时，x﹣1＝28，x+1＝30，x+2＝31，此时可以得到数字密码283031． （1）根据上述方法，当x＝15，y＝5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？ （2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码； （2）利用勾股定理和周长得到x+y＝13，x2+y2＝121，再利用完全平方公式可计算出xy＝24，然后与（1）小题的解决方法一样． 【详解】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）， 当x＝15，y＝5时，x﹣y＝10，x+y＝20， 可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015； （2）由题意得：解得xy＝24， 而x3y+xy3＝xy（x2+y2）， 所以可得数字密码为24121． 【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $