2.1.1倾斜角与斜率 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕“倾斜角与斜率”展开，从解析几何创立引入，通过“确定直线几何要素”等问题链，连接几何问题与代数方法，构建从倾斜角定义到斜率公式的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合向量平移推导斜率公式，培养数学思维中的推理能力。通过判断、计算、实际应用等分层练习，用表格清晰呈现倾斜角与斜率关系，帮助学生用数学语言表达几何关系，教师可借此提升教学效率，学生能深化理解并发展探究意识。

2.1.1 倾斜角与斜率 KAI的小炸鸡 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 引入 代数方法 几何问题 代数问题 代数问题的解 几何问题的解 解析几何由17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立. 数学从此进入变量数学时期，为微积分的创建奠定了基础. 2 导入 直线 确定直线的 几何要素 建立直线 的方程 研究两条直线的 位置关系、 交点坐标、 点到直线的距离 等问题 平面直角 坐标系 探究 问题1：确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置? . y x o y x o 过一点和确定一个方向都不能确定一条直线 x y O l ① 两点确定一条直线 ② 一点和一个方向也可以 确定一条直线 方向向量 4 探究 问题2：在平面直角坐标系中，经过一点P可以作出无数条直线 这些直线有什么区别？ l1 O P x y l2 l3 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 追问1：怎么描述倾斜程度的不同？ 直线的倾斜角不同 5 新知 1. 直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 图中直线l1的倾斜角α1为锐角， 直线l′的倾斜角α′为钝角. 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 规定： 当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. 6 练习 1. 判断正误. (1) 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.（ ） (2) 方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等.（ ） (3) 方向不同的直线，倾斜角可能相等.（ ） (4) 可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.（ ） √ √ × √ O y x l1 α1 l2 l3 α2 α3 任何一条直线都有唯一 确定的倾斜角与之对应. 7 探究 下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法． 问题3 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，由两点确定一条直线可知，直线l由点P1，P2唯一确定. 设直线l的倾斜角为α，那么α与P1, P2的坐标有关系吗？ 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1) 已知直线l经过O(0, 0), P(, 1), α与O, P的坐标有什么关系? (2) 如果直线l经过P1(-1, 1), P2(, 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系? (3) 如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系? 8 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1) 已知直线l经过O(0, 0), P(, 1), α与O, P的坐标有什么关系? O y x α 9 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (2)如果直线l经过P1(-1, 1), P2(, 0), α与P1, P2的坐标有什么关系? x y O P1(-1, 1) 10 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (3)如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的 坐标有怎样的关系? O x y P1 P2 P O x y P2 P1 P 11 探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (3)如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的 坐标有怎样的关系? O x y P2 P1 O x y P1 P2 P P 与点的顺序无关 12 探究 思考：当直线与x轴平行或重合、垂直时，上述公式还适用吗？ P1(x1, y1) P2(x2, y2) P1(x1, y1) P2(x2, y2) 适用 不适用 13 新知 2. 直线的斜率 直线l的倾斜角α与直线l上两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (x1 ≠ x2) 的坐标满足： 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k表示，即 注：倾斜角为90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 如，倾斜角 = 60°时， 倾斜角 = 120°时， 14 总结 图示         倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 15 总结 当0°≤<90°时, k>0, 且k随的增大而增大. 当90°<<180°时, k<0, 且k随的增大而增大. k∈（-∞，+∞） 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 16 例题 例7 如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角. O y x A(3,2) B(-4,1) C(0,-1) 1 -1 -2 17 练习 书本P55 2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角: 1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率: 18 练习 书本P55 3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角: (1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3). 19 练习 书本P55 4. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a). 20 巩固 1. 若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ). A. B. C. D. 2. 若已知点,另有两点,,若过点的直线与线段有交点,则直线的斜率取值范围为________. 21 3. 若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）. . . . . 巩固 4. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 解：如图，由题意可知，， (1)要使与线段有公共点，则或， 即直线的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是，的倾斜角是， ∴的取值范围是. 巩固 总结 1 倾斜角和斜率 斜率范围：（-∞，+∞） 时,斜率越大,倾斜角越大; 时,斜率越大,倾斜角越大. 24 $