2.1.1 倾斜角与斜率（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，通过斜拉桥斜索陡缓的现实情境导入，衔接平面直角坐标系中点与直线的位置关系，以问题链（确定直线要素、坡度类比）和例题训练（倾斜角范围、斜率计算）搭建学习支架，帮助学生逐步理解概念。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过问题驱动和数形结合发展数学思维，如例3结合图形分析斜率范围，例4用斜率公式解决三点共线；规律方法与易错点小结强化数学语言表达，学生能提升直观想象和运算能力，教师教学有层次且实例丰富，可提高教学效率。

2.1.1　倾斜角与斜率 1 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素（直观想象）. 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（数学运算）. 课标要求 情境导入 　　如图，斜拉桥的桥梁一般跨度较大，有利于跨越很宽的障碍物，这些 大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索 的陡缓程度呢？这就是这节课我们要学习的内容. 知识点一　直线的倾斜角 01 知识点二　直线的斜率 02 提能点　直线斜率与倾斜角的应用 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 直线的倾斜角 目 录 问题1　（1）在平面中，确定一条直线的几何要素是什么？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. （2）在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的 方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 概念：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线 l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 2. 范围：当直线l与x轴 或 时，规定直线的倾斜角为 0°.因此，直线倾斜角α的取值范围为 ⁠. 　　提醒：在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正向；③小于平角的非负角. 正向　 向上　 平行　 重合　 0°≤α＜180°　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】（1）〔多选〕下列命题中正确的是（　AD　） A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 一条直线的倾斜角可以为－30° C. 当倾斜角为0°时，直线平行于x轴 D. 在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以 确定这条直线 解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负， 故B错误；当倾斜角为0°时，直线可能与x轴重合，故C错误；D显然正 确.故选A、D. AD 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜 角为（　D　） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°. D 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 直线倾斜角的求法及注意点 （1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找 准倾斜角，有时要根据情况分类讨论； （2）注意倾斜角的范围. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与 l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　D　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°. D 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：根据题意，画出图形，如图所 示，通过图象可知：当0°≤α＜135° 时，l1的倾斜角为α＋45°；当 135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为 45°＋α－180°＝α－135°. （2）〔多选〕设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原 点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　AB　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α－45° AB 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 直线的斜率 目 录 问题2　（1）日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，如 图，坡度＝ ，与三角函数联系，你能得到坡度与倾斜角α的 什么关系式？ 提示：坡度＝tan α＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）结合上面的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切 值： ①直线过O（0，0），P（ ，1）；②直线过P1（－1，1），P2 （ ，0）；③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2. 提示：对于①，向量 ＝（ ，1），由正切函数的定义，tan α1＝ ＝ . 对于②，向量 ＝（ ＋1，－1），可平移使 '＝ ＝（ ＋ 1，－1），于是tan α2＝ ＝1－ . 对于③，类比②可知tan α＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：把一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.斜率 常用小写的字母k表示，即k＝ （α≠90°）. 2. 公式：如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那 么斜率公式k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率. 正切　 tan α　 　 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）直线P1P2的方向向量 ＝（x2－x1，y2－y1），当x1≠x2时，直线 P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为 ＝（1，k），其中k为直 线P1P2的斜率； （2）当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量 为（0，1）. 3. 直线的方向向量与斜率的关系 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】（1）下列说法正确的是（　　） A. 任何一条直线都有倾斜角和斜率 B. 斜率公式中k的值与直线上两点的位置无关 C. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D. 若直线的倾斜角为α，则其方向向量为（1，tan α） 解析：　任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为90°的直线没有斜率， 故A错误；易知B正确；若α＝－30°，则tan（－30°）＝－ ，此直线 的倾斜角为150°，故C错误；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其一个 方向向量为（0，1），故D错误. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（链接教材P54例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存 在，求出直线的斜率及一个方向向量，并确定其倾斜角α. ①A（2，3），B（4，5）； ②C（－2，3），D（2，3）； ③P（3，2），Q（3，6）. 数学·选择性必修第一册 目 录 解：①存在，直线AB的斜率kAB＝ ＝1，方向向量为（1，1）（答案不 唯一，与（1，1）平行的非零向量即可），tan α＝1，又0°≤α＜ 180°，所以倾斜角α＝45°. ②存在，直线CD的斜率kCD＝ ＝0，方向向量为（1，0）（答案不唯 一，与（1，0）平行的非零向量即可），tan α＝0，又0°≤α＜180°， 所以倾斜角α＝0°. ③斜率不存在，方向向量为（0，1）（答案不唯一，与（0，1）平行的非 零向量即可），倾斜角α＝90°. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求直线斜率的3种方法 （1）已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α； （2）已知直线上两点坐标，则k＝ （x1≠x2）； （3）已知直线的一个方向向量为（x，y），则k＝ （x≠0）. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）已知经过点A（2，3），B（a，－3）的直线的倾斜角为 ，则实数a＝ ⁠； 解析：由tan ＝－1，则 ＝－1，解得a＝8. （2）已知直线l的一个方向向量为v＝（－1， ），则直线l的斜率 为 　－ 　，直线l的倾斜角为 　​ 　. 8 解析：因为直线l的一个方向向量为v＝（－1， ），令 ＝v＝（－ 1， ），则直线l的斜率为－ ，直线l的倾斜角α满足tan α＝－ ，且α∈[0，π），所以α＝ . － ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 直线斜率与倾斜角的应用 目 录 角度1　斜率的范围问题 问题3　设直线的倾斜角为α，斜率为k，当直线的倾斜角α由0逐渐增大 时，其斜率k如何变化？ 提示：如图，由正切函数的图象可知，倾斜角α与斜率k有如下关系： 数学·选择性必修第一册 目 录 α的大小 0 0＜α＜ k的范围 k＝0 k＞0 k的增减性 随α的增大而增大 α的大小 ​ ＜α＜π k的范围 不存在 k＜0 k的增减性 随α的增大而增大 数学·选择性必修第一册 目 录 【例3】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0， ）为端点 的线段有公共点，则直线l的斜率的范围为 ⁠ ，倾斜角的范围为 ⁠. （－∞，－ ]∪[1，＋ ∞） ［ ， ］ 解析：如图所示.因为kAP＝ ＝1，kBP＝ ＝－ . 所以k∈（－∞，－ ]∪[1，＋∞）.所以 ≤α≤ . 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：如图，设C（3，－1），易知 的几何意义是直 线PC的斜率，且kAC＝ ＝－2，kBC＝ ，所以 的最大值为 ，最小值为－2. 变式　若点P（x，y）在以A（2，1），B（0， ）为端点的线段上，则 的最大值与最小值分别为  ⁠. ，－2 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 2. 代数式 的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度2　三点共线问题 【例4】　（1）〔多选〕下列选项中所给的三点共线的是（　AC　） A. A（1，2），B（2，3），C（3，4） B. E（－1，2），F（2，－3），G（－3，4） C. M（－1，2），N（2，－4），P（－3，6） D. X（－3，2），Y（－2，3），Z（3，6） AC 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：计算斜率，得kAB＝ ＝1，kAC＝ ＝1，因为kAB＝kAC，所以 A，B，C三点共线，选项A正确；kEF＝ ＝－ ，kEG＝ ＝－1，因为kEF≠kEG，所以E，F，G三点不共线，选项B错误；同理， kMN＝kMP＝－2，所以M，N，P三点共线，选项C正确；kXY≠kYZ，所以 X，Y，Z三点不共线，选项D错误.故选A、C. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数 m＝ ⁠. 解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且 kAB＝ ，kAC＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝kAC，即 ＝－1，解得m＝3. 3 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 用斜率公式解决三点共线的方法 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（1）已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l 的斜率k的取值范围是（　　） A. （－1，0] B. [0，1] C. [1，2] D. [0，2] √ 解析：　如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时（含边界），满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D. 数学·选择性必修第一册 目 录 证明如下：因为a，b，c是两两不等的实数， 且kAB＝ ＝1，kAC＝ ＝1， 所以kAB＝kAC， 所以A，B，C三点共线. （2）已知a，b，c是两两不等的实数，判断A（a，c＋a），B（b，b ＋c），C（c，2c）三点是否共线？若三点共线，给出证明；若三点不 共线，请说明理由. 解：A，B，C三点共线， 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 直线y＝1－2x的斜率为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 √ 解析：　y＝1－2x，即y＝－2x＋1，k＝－2，选D. 2. 已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论中正确的是（　　） A. 0°≤α＜180° B. 15°＜α＜180° C. 15°≤α＜180° D. 15°≤α＜195° 解析：　直线l的倾斜角α－15°的取值范围为0°≤α－15°＜180°， 解得15°≤α＜195°. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 〔多选〕下列选项中，两点确定的直线存在斜率的是（　　） A. （4，2）与（－4，1） B. （0，3）与（3，0） C. （3，－1）与（2，－1） D. （5，3）与（5，6） √ √ √ 解析：当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在，如选项D. 否则，直线的斜率存在，故选A、B、C. 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，则x ＝ ，直线AB的倾斜角为 ⁠. 解析：因为A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，所以kAB ＝kBC，即 ＝ ，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1 且θ∈[0，π），得θ＝ ，所以直线AB的倾斜角为 . 3 ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线的倾斜角； （2）直线的斜率； （3）直线斜率与倾斜角的应用. 2.应体会 在研究直线的倾斜角和斜率时常用到数形结合思想. 3.避易错 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为 90°的直线没有斜率； （2）忽视倾斜角范围，对斜率和倾斜角的关系理解不到位，不能结合图 形处理问题. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. （2025·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　） 解析：结合直线l的倾斜角的定义可知A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋ ），则此直线的倾斜 角是（　　） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 解析：由题意知k＝ ＝－ ，∴直线的倾斜角为150°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. （2025·佛山月考）已知直线PQ的斜率为－ ，将直线PQ绕点P顺时 针旋转60°，所得的直线的斜率是（　　） A. 0 B. C. D. － 解析：　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋 转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　） A. ［0， ） B. ［ ，π） C. （ ，π） D. [0，π） 解析：　直线的倾斜角的取值范围是0≤α＜π，又直线l经过第二、四象 限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是 ＜α＜π. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. “直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直 线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的 斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝ 4，则点B的坐标可能为（　　） A. （0，－4） B. （4，0） C. （2，0） D. （0，－8） 解析：设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝ 或kAB＝ ，所以 ＝4或 ＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为 α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A. k1＜k3＜k2 B. k3＜k2＜k1 C. α1＜α3＜α2 D. α3＜α2＜α1 解析：由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故 ＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. （2025·福州质检）如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为 B. l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角 为 ⁠. 解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角 为 ×（90°－30°）＝30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－ 1，－1），则y＝ ⁠. 解析：法一　由直线的方向向量为n＝（－1，－1），得直线的斜率为 ＝1，所以 ＝1，解得y＝－1. －1 法二　由题意得 ＝（－2，－3－y）.又直线AB的一个方向向量为n＝ （－1，－1），所以n∥ ，所以（－2）×（－1）－（－3－y）× （－1）＝0，解得y＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值 时： （1）直线l与x轴平行； 解：若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. （2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）； 解：直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝ ，即 ＝ ，解得m＝ . （3）直线的倾斜角为45°. 解：由题意可知，直线l的斜率k＝1，即 ＝1， 解得m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（ ， ），则实数m的取值范围是（　　） A. （0，2] B. （0，4） C. [2，4） D. （0，2）∪（2，4） 解析：　由直线的倾斜角α的取值范围是（ ， ），得直线的斜率存 在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝ ＝ ，∴ ＜－1或 ＞ 1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综 上，实数m的取值范围是（0，4）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. （2025·泉州月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上 可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得 ＝ ＝…＝ ，则n的取值范围是（　　） A. {3，4} B. {2，3，4} C. {3，4，5} D. {2，3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题意，函数y＝f（x）的图象上的任一点坐标 为（x，f（x）），故 表示曲线上任一点与坐标原点 连线的斜率.若 ＝ ＝…＝ ，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f（x）有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. （2025·枣庄期中）已知直线l上的两点A（－2，3），B（3，－2）， 若C（a，b），a＞0，b＞0在直线l上，则ab的最大值为 ⁠. 解析：由直线的斜率公式得kAB＝ ＝－1.∵C在直线l上，∴kBC＝ ＝kAB＝－1，∴a＋b＝1.当a＞0，b＞0时， ≤ ＝ ， ∴ab≤ ，当且仅当a＝b＝ 时取等号，故ab的最大值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2， ＋1）. （1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； 解：由斜率公式得kAB＝ ＝0， kBC＝ ＝ ，kAC＝ ＝ . 又倾斜角的取值范围为[0°，180°）， ∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝ ，∴直线BC的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝ ，∴直线AC的倾斜角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 解：如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. （1）已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求 的取 值范围； 解： 的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率. 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A（1， ），B（3， ）， 又kNA＝－ ，kNB＝ ， 所以 的取值范围是（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）设0＜a＜b＜c，试利用斜率的几何意义，比较 ， ， 的 大小. 解：令y＝2x，而 ， ， 可理解为k＝ 时，x＝a，x＝b，x＝c的值， 即k＝ 表示函数y＝2x上的点（x，2x）与点（0，1） 连线的斜率， 结合图象与条件0＜a＜b＜c，则构造的斜率都是正数，所以直线的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得 ＜ ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $