精品解析：浙江省杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年八年级上学期开学考数学试卷

数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 南昌市春季某日的最高气温是，最低气温是，则南昌当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A B. C. D. 4. 两根木条的长分别是4cm和9cm，要拼成一个三角形，若第三根木条的长度为奇数，则第三根木条的长度的取值情况有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 0种 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点C在的延长线上，点B在上，且，，则的度数为（ ） A 60° B. 30° C. 90° D. 80° 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 8. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( ) A. B. C. D. 10. 设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间大小关系是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分学数有邻） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 12. 分解因式：______． 13. 已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为________． 14. 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___． 15. 如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_______. 16. 已知关于x不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 三．解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤学数有邻．） 17 解不等式 （1） （2） 18. 解不等式组，并求出满足不等式组的全部整数解 （1） （2） 19. （1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 20. 若关于x的方程组的解满足x>y，求p的取值范围． 21. 如图，，点在边上，与相交于点． 若，． （1）求线段的长； （2）求的度数． 22. 鼓励学生加强体育锻炼，学校购买了一些跳绳和毽子，已知购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元． （1）购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． （2）学校需要购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳方案． 23. 如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 南昌市春季某日的最高气温是，最低气温是，则南昌当日气温的变化范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 【详解】解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：D． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，利用数轴表示不等式的解集．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来不等式的解集即可，注意大于小于用空心，大于等于小于等于用实心，大于大于等于开口向右，小于小于等于开口向左． 【详解】解：， ， 数轴上表示为：， 故选：A． 3. 若，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 依据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不等式两边加的不是同一个数字，所以式子不一定成立，故此选项不符合题意； B、不等式的两边同时减去9，不等号的方向不变，所以式子一定成立，故此选项符合题意； C、不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，所以式子不成立，故此选项不符合题意； D、不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变，当，则， ，所以式子不一定成立，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 两根木条的长分别是4cm和9cm，要拼成一个三角形，若第三根木条的长度为奇数，则第三根木条的长度的取值情况有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 0种 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再解不等式，求出第三边得取值范围，找出符合条件的数即可． 【详解】设第三根木条长为，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：， 长度为奇数的有：7，9，11三种 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，根据整式的相关运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，点C在的延长线上，点B在上，且，，则的度数为（ ） A. 60° B. 30° C. 90° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得，从而得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 7. 已知，则代数式的值为（ ） A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解： ， 故选：B． 8. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式． 两方程相加可得，再根据求解即可． 【详解】， 得， 即， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴， 解得：， 故选：D． 9. 如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系 【详解】解：过点作，如图： ， ∴CD∥EM ， ∴ ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 整理得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 10. 设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分学数有邻） 11. “x的7倍减去1是正数”用不等式表示为_____． 【答案】7x﹣1＞0． 【解析】 【分析】首先表示“x的7倍"为7x，再表示“减去1”为7x-1，最后表示“是正数"为7x-1>0. 【详解】解：“x的7倍减去1是正数”用不等式表示为7x﹣1＞0， 故答案为7x﹣1＞0． 【点睛】本题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式. 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，的公因式是，提出公因式后括号里剩下，所以分解因式的结果为． 【详解】解：， 故答案为： ． 13. 已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 14. 如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___． 【答案】20 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】解：如图，， ， ， 即． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 15. 如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_______. 【答案】108°##108度 【解析】 【分析】折叠前后平角BFC的大小没有改变，计算角的和即可解答； 【详解】解：由图a可知AD∥BC，∠BFE=∠DEF=24°，∠BFE+∠CFE=180°， 由图b可知∠EFG=24°，2∠EFG+∠CFG=180°， 由图c可知3∠EFG+∠CFE=180°， ∴∠CFE=180°-3×24°=108°， 故答案为：108°． 【点睛】本题考查了平行的性质，折叠的性质，结合图形找出平角BFC变化的规律是解题关键． 16. 已知关于x的不等式组下列四个结论：①若它的解集是， 则； ②当，不等式组有解； ③若不等式组有解， 则；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；其中正确的结论是____________（填写序号即可） 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组． 根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当时，，即不等式组无解， ∴②错误， ∵若不等式组有解，即，则， ∴③正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， ∴④错误， 故答案为：①③． 三．解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤学数有邻．） 17. 解不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式． （1）移项合并同类项、系数化为1即可； （2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1即可． 【小问1详解】 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 解不等式组，并求出满足不等式组的全部整数解 （1） （2） 【答案】（1），整数解：0，1，2，3 （2），整数解：，0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，正确地求出不等式组的解集，是解题的关键： （1）先求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【小问1详解】 解：， 解得：； 解，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：0，1，2，3； 【小问2详解】 解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：，0，1． 19. （1）如图（1），是中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 【答案】（1）16；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线与三角形的面积关系，角平分线的定义． （1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可； （2）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 20. 若关于x的方程组的解满足x>y，求p的取值范围． 【答案】p＜2． 【解析】 【详解】试题分析：已知，由（1）-（2）式得x-y=2-p．已知x＞y．所以x-y＞0. 则2-p＞0，解得 考点：二元一次方程组 点评：本题难度中等．抓住x＞y的条件求含p的函数式与x-y之间的等量是本题的解题关键． 21. 如图，，点在边上，与相交于点． 若，． （1）求线段的长； （2）求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质定理是解此题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，，再求出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，再求出即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ，， ； 【小问2详解】 解：∵，，， ，， ， ． 22. 鼓励学生加强体育锻炼，学校购买了一些跳绳和毽子，已知购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元． （1）购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元． （2）学校需要购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳方案． 【答案】（1）购买一根跳绳和一个毽子分别需要元，元； （2）共有两种方案：购买21根跳绳，33个毽子或购买22根绳子，32个毽子 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设购买一根跳绳x元，购买一根毽子y元，根据购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元，再建立方程组求解即可； （2）设购买a根跳绳，则购买个毽子，根据购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，再建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一根跳绳x元，购买一根毽子y元． ， 解得 答：购买一根跳绳和一个毽子分别需要元，元； 【小问2详解】 解：设购买a根跳绳，则购买个毽子 ， 解得， a可以取的整数有21和22． 共有两种方案：购买21根绳子，33个毽子或购买22根绳子，32个毽子． 23. 如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图，    ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 24. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． （1）在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； （3）若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】（1）② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得， 再根据此时不等式组有4个整数解，求出；解得到，根据“相依方程”的含义求出；进而可得答案． 【小问1详解】 解：①， 解得： ②， 整理得： 解得： ③， 解得： 解不等式可得： 解不等式可得： 所以不等式组的解集为： 根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”． 故答案为：②； 【小问2详解】 解： 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为： ， 根据“相依方程”的含义可得： 解得： 【小问3详解】 解： 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解， ∴整数解为2，3，4，5， ∴ 解得； 因为， 解得： 根据“相依方程”的含义可得： 即 解得：， 即 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $