江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期第一次月考复习提升数学试卷

江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期第一次月考 复习提升数学试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列y关于x的函数中，属于二次函数的是() Ay=2x2-月 B.y=2x2+1 C.y=2024 D.y-x 2.将抛物线y=-4x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为() A.y=-4(x+2)2+1B.y=-4(x-2)2-1C.y=-4(x-2)2+1D.y=-4(x+2)2-1 3.将二次函数y=x2-2x+4化为y=(x-)2+k的形式，结果为() A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4C.y=(x+1)2+3D.y=(x-1)2+3 4.若点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)上，则下列结论正确的是() A.2>y1>y2 B.2>y2>y1 C.y1>y2>2 D.y2>y1>2 5.小明在半径为4的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是() A.4 B.6 C.8 D.10 6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴是直线x=-2. 下列结论中，正确的是() A.ab<0B.b2-4ac<0C.b+4a=0D.方程ax2+bx=0的两个根为x1=0,x2=-4 7.如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于y 轴对称，AE/x轴，AB=4cm,最低点C在x轴上，高CH=2cm,BD=4cm,则右轮廓DFE所在抛物线的 解析式为() A.y=2x+42 By=2x-42C.y=-2(x-42D.y=-2x+42 8.如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B(0,2)、C(0,10),则点A的横坐标为() A.3 B.4 C.5 D.6 H A B B 第1页，共6页 9.已知二次函数y=-x2+kx-2k+3(k为实数)，点P(0m,0)是该函数图象与x轴的一个交点，若≤m≤3， 则k的取值范围是() A≤k≤6 Bk≤ Ck≤或k≥6 D.k≤2或k≥6 10.己知点(2，y1),(4,y2),(t,y3)都在抛物线y=x2-2ax上，若0≤t≤1时，总有y1<y3<y2,则a的 值可以是() A.-1 B c D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.己知点A(4,5)和点B都在抛物线y=x2-2x+c上，如果AB//x轴，那么点B的坐标为 12.若函数y=kx2+2x-1的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的取值是一 13.如图，⊙0的弦AB、半径0C的延长线交于点D,BD=0A.若LA0C=126°，则∠D B 的度数是 14.己知二次函数y=x2-2x-3,当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围是 15.从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=5t2+vot 其中t(s)是物体运动的时间，v(m/s)是物体被发射出时的速度科学小组在 实 验 15高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速 O ↑ 楼 度vo=20ms,当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，t的值为一· 7777777777777 16.己知A,B是抛物线y=x2上两点，M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点C,且MC=2. 设A,B两点的横坐标分别为t,t2(t2>t1): (1)若C是抛物线的顶点，则点A的坐标是一一-： (2)t2-t1的值为一-一 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,8)，(2，-1). (1)求这个二次函数的解析式： (2)求这个图象的顶点坐标和对称轴. 第2页，共6页 18.(本小题8分) 如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC//OD,过点D作DE1AB于点E. (1)求证：BD平分∠ABC: (2)若BC=3,DE=2,求⊙O的半径长. D 19.(本小题12分) 在平面直角坐标系中，己知抛物线y=x2-2mx+m2-9. (1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点； (2)若该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴的正半轴交于点C,且△ABC的面积为9，求m的值. 20.(本小题8分) 根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米. 起7B (1①)求此时的水深（即阴影部分弓形的高）； (2)当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度. 第3页，共6页 21.(本小题12分) 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m) 与运行的水平距离x(m)满足二次函数解析式y=a(x-6)2+h,当与0点的水平距离为6m时，达到最高点 2.6m,已知球网与0点的水平距离为9m,高度为2.43m. (1)求y与x的解析式（不用写出自变量x的取值范围）： (2)排球能否越过球网？请说明理由. 球网 22.(本小题8分) 如图，抛物线y=ax2+2ax+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C,且AB=4. (1)直接写出抛物线的解析式： (2)点D在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点E,使以A,C,D,E为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由. 第4页，共6页 23.(本小题8分) 根据下表中的信息，探索完成任务 快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和 素材1 人工费用等)，为了便于结算，设每份套餐的售价为x元，且x为整数，该店每天的利润为y元， 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超 素材2 过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份. 素材3经过对周边餐馆的实地考察，该快餐店决定套餐的最高价不超过15元. 问题解决 (1①)若每份套餐售价不超过10元，直接写出y与x的函数关系式： (2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若 任务1分析数量关系 能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客；若不能， 请说明理由， 制定最优销售(3)若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价应定为多少元？ 任务2 方案 并求出此时的最高利润。 24.（本小题8分) 在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程 以下是我们研究函数y1=2x+x-1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题. y r--r- 、 61 5 -4-3--11 d-- -2 、 65+4320 23456x ---13 5 第5页，共6页 .-5-4-3-2-10123. 4-32a02 (1)写出表格中a,b的值：a=,b=_: (②)根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象： (3)已知函数y2=x2-1的图象如图所示，函数y1,y2的图象交点为点A,点B,xA<x.判断在y轴上是否 存在一点P,使|PB一PA的值最大？若存在，求出这个最大值及点P的坐标：若不存在，请说明理由 25.(本小题8分)【阅读理解】对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意 一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭 距离”，记作d(M,N), 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线y=一x+2的图象与坐标轴交于A,B两点，点C的坐标为 (-2,0),抛物线G:y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点. A E C B 备用图 (1)求抛物线G的表达式： (2)点D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△CBE的面积为S2, 若号=京求d(点D,△ABC)的值： (3)已知坐标系中有一直线L:y=-x+t,若d(G,L)>2,求t的取值范围. 第6页，共6页 江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期第一次月考 复习提升数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于的函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据二次函数的定义逐项分析判断如下： A、右边有分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是正比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 根据二次函数的定义“形如、、为常数，的函数叫做二次函数”进行判断即可． 本题考查了二次函数的定义．熟练掌握该知识点是关键． 2.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为：． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 3.将二次函数化为的形式，结果为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意，二次函数为， 二次函数为化为顶点式为． 故选：． 依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的三种形式，解题时要能熟练掌握并能灵活运用配方法转化为顶点式是关键． 4.若点，在抛物线上，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：抛物线的对称轴为直线， 而到直线的距离比点到直线的距离小， 所以． 故选：． 5.小明在半径为的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据题意可知，半径为， 直径为， 测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，，，不可能为． 故选：． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径．根据直径是圆中最长的弦即可求解． 本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键． 6.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线下列结论中，正确的是(    ) A. B. C. D. 方程的两个根为， 【答案】D  【解析】解：抛物线开口向下， ， ， ， ，故A错误； 抛物线与轴交于，点， ，故B错误； ， ，故C错误； 抛物线与轴交于，点， 方程的两个根为，，故D正确； 故选：． 由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用． 7.如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，对应的两条抛物线关于轴对称，， ， 由条件可知，关于对称轴对称， ， ， ，， ，， 设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：， 右轮廓所在抛物线的解析式为； 故选：． 根据题意，求出，的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可． 本题考查二次函数的实际应用，理解题意熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是关键． 8.如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：过点作与，连接， 半径为的与轴交于点、， ，，， ，过圆心， ， 由勾股定理得： ， 点的横坐标为， 故选：． 过点作与，连接，根据点和点的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 9.已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：由题意，二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且， ． ． 或． 故选：． 依据题意，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而，则，最后计算即可得解． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10.已知点，，都在抛物线上，若时，总有，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由抛物线解析式可知对称轴为直线，抛物线开口向上，且抛物线过原点． ，，可知点，在对称轴的右侧， 当时，则，不满足题意，故，如右图所示： 当时，；当时，；当时，， 时，总有，则点必在对称轴的左侧， 则必须满足，所以， 解得：，故A、、都不符合． 故选：． 由抛物线解析式可知对称轴为直线，抛物线开口向上，且抛物线过原点，画出图象对的取值进行分析，当时，；当时，；当时，，则必须满足，解得：． 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性，画出图象并运用数形结合分析是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为______． 【答案】  【解析】解：抛物线， 该抛物线的对称轴为直线， 点和点都在抛物线上，轴， 点的坐标为， 故答案为：． 先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，即可写出点的坐标． 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12.若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是      ． 【答案】或  【解析】解：关于的函数的图象与轴仅有一个公共点， 当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴仅有一个公共点， 故答案为：或． 分和两种情况解答，当时，是一次函数；当时，，解方程即可． 此题考查了函数图象与轴只有一个公共点，熟练掌握二次函数根的判别式为，分类讨论是解题关键． 13.如图，的弦、半径的延长线交于点，若，则的度数是______． 【答案】  【解析】解：连接， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 连接，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的外角性质到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 本题考查圆的有关性质，掌握等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质是解题的关键． 14.已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是      ． 【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，函数的取值范围是， 故答案为：． 根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等． 15.从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为      ． 【答案】或  【解析】解：将，代入，得：， 解得：，． 故答案为：或． 将，代入求解即可． 本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键． 16.已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为， 若是抛物线的顶点，则点的坐标是______； 的值为______． 【答案】    【解析】解：若是抛物线的顶点，则点， 为线段的中点， 则， 解得：， 则点， 故答案为：； 由题意得，点、的坐标分别为：、，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ， 则的值为， 故答案为：． 若是抛物线的顶点，则点，则，即可求解； 将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，即可求解． 本题考查的是二次函数图象上点的特性，确定点、的坐标是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象经过点，． 求这个二次函数的解析式； 求这个图象的顶点坐标和对称轴． 【答案】；   顶点坐标，对称轴为直线  【解析】由题意可得： ， ， ； ， 顶点坐标，对称轴为直线． 利用待定系数法解题即可； 将其表达式变成顶点式，然后根据，其对称轴为，顶点坐标为解题即可． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标与对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18.本小题分 如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． 求证：平分； 若，，求的半径长． 【答案】证明：， ， ， ， ， 平分； 解：过点作于，如图，则， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， 即的半径长为．  【解析】利用平行线的性质得到，加上，所以； 过点作于，如图，根据垂径定理得到，再证明≌得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 本题考查了垂径定理和全等三角形的判定与性质． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求证：无论为何值，该抛物线与轴总有两个交点； 若该抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且的面积为，求的值． 【答案】证明：令，则 ， 无论为何值，该抛物线与轴总有两个交点； 解：解方程，得，， 令，则， 该抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点， ， 的面积为， ，即， 解得．  【解析】令，则，根据可得结论； 先求得点、、的坐标，利用坐标与图形和三角形的面积公式列方程求解即可． 本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，理解二次函数的图象与轴的交点问题是解答的关键． 20.本小题分 一根横截面为圆形的下水管道的直径为米，管内有少量的污水如图，此时的水面宽为米． 求此时的水深即阴影部分弓形的高 当水位上升到水面宽为米时，求水面上升的高度． 【答案】解：如图，作半径于，连接， 的直径为米， 米， 由垂径定理得米， 在中，米， 米， 此时的水深为米， 当水位上升到圆心以下时，水面宽为米，则此时米， 水面上升的高度为米； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为米； 综上可得，水面上升的高度为米或米．  【解析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是通过作辅助线，构造直角三角形． 作半径于，连接，由垂径定理得米，在中，利用勾股定理求出的长，再根据进行解答，即可求解； 分两种情况，当水位上升到圆心以下时，根据垂径定理和勾股定理求出此时的长，再根据中的长，求出水面上升的高度为米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为米；综合上述情况，即可求解． 21.本小题分 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数解析式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为，高度为． 求与的解析式不用写出自变量的取值范围； 排球能否越过球网？请说明理由． 【答案】   球能越过球网． 把代入中， 得， ， 球能越过球网  【解析】由题意知，点坐标为，抛物线最高点坐标为， ， 抛物线， 把点坐标代入上式中，得， 解得， 与的解析式为； 球能越过球网， 理由：把代入中， 得， ， 球能越过球网． 由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解； 求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网． 本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． 22.本小题分 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． 直接写出抛物线的解析式； 点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)解：；  (2)存在.理由如下：，设，. 当是对角线时，，， ，，解得，，； 当是对角线时，，， ，，解得，，. 综上所述，点的坐标为或.   【解析】 略  略 23.本小题分 根据下表中的信息，探索完成任务． 素材 快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为元，该店每天其他成本费用为元水费、电费和人工费用等，为了便于结算，设每份套餐的售价为元，且为整数，该店每天的利润为元． 素材 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过元，每天可销售份；若每份套餐售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份． 素材 经过对周边餐馆的实地考察，该快餐店决定套餐的最高价不超过元． 问题解决 任务 分析数量关系 若每份套餐售价不超过元，直接写出与的函数关系式； 该店把每份套餐的售价提高到元以上，每天的利润能否达到元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客；若不能，请说明理由． 任务 制定最优销售方案 若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价应定为多少元？并求出此时的最高利润． 【答案】解：任务：当每份套餐售价不超过元时，由题意得与的函数关系式为： ； 由题意知当每份套餐售价提高到元以上时， ， 将代入得： ， 解得：，， 为了保证利润，又能吸引顾客，舍去，应取， 把每份套餐的售价提高到元以上，每天的纯收入能达到元，该套餐售价应定为元． 任务：每份套餐售价不超过元时，获得的最高利润为： 元， 每份套餐售价提高到元以上时，获得的利润为： ， ，且为整数， 当或时，获得利润最大， 为了吸引顾客，售价应该定为元，且最大利润为： 元．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． 写出表格中，的值：           ，           ； 根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 已知函数的图象如图所示，函数，的图象交点为点，点，判断在轴上是否存在一点，使的值最大若存在，求出这个最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)-1;5  (2)  (3)存在，理由： 联立直线与，解得； 联立直线与，解得. 如图，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点， 则. ， 当，A，P三点共线时，的值最大，即为的长度. . 求得直线的解析式为. 点.   【解析】  解：将代入得，， ． 将代入得，， ．  略  略 25.本小题分 【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，抛物线：的图象经过，，三点． 求抛物线的表达式； 点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，若，求点，的值； 已知坐标系中有一直线：，若，求的取值范围． 【答案】(1)解：对，当时，，当时，， ，， 抛物线经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， ， 抛物线G的表达式为   (2)， ， ：， 设点E的坐标为，则点D的坐标为， 将点D的坐标代入抛物线，得， 解得：， 点，点， 如图1，连接AD，过点E作于点F，过点D作于点H，则轴， 点， ，，， ， ， 点D，；   (3)， 直线L与抛物线G没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线L与抛物线G只有一个交点时，得到直线m，则 方程只有一个实数根， ， ， 记直线m与抛物线的交点为G，与y轴的交点为点M，则， 将直线m沿垂直于直线m的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线L，记为直线n， 此时，， 过点G作轴，交直线n于点L，则， ， 是等腰直角三角形， ， 记直线n与y轴的交点为N，则四边形MNLG为平行四边形， ， 点N的坐标为， 的取值范围为    【解析】  先求和的坐标，然后用待定系数法求抛物线的解析式；   由和的面积之比得到：的比值，设点的坐标，得到点的坐标，再代入抛物线求得点的坐标，然后连接，过点作于点，过点作于点，然后用等面积法求得，即为点，的值；   由得直线与抛物线没有交点，先求得直线与抛物线只有一个交点时，得到直线，与抛物线的交点为，与轴的交点为点，然后向外平移个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，与轴的交点为，进而利用直线的性质求得点的坐标，即可得到的取值范围． 本题考查了二次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，等面积法求三角形的高，平行线的性质，解题的关键是会用待定系数法求得抛物线的解析式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期第一次月考 复习提升数学试卷 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于的函数中，属于二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 3.将二次函数化为的形式，结果为(    ) A. B. C. D. 4.若点，在抛物线上，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 5.小明在半径为的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是(    ) A. B. C. D. 6.如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线下列结论中，正确的是(    ) A. B. C. D. 方程的两个根为， 7.如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 8.如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为(    ) A. B. C. D. 9.已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 10.已知点，，都在抛物线上，若时，总有，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为______． 12.若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是      ． 13.如图，的弦、半径的延长线交于点，若，则的度数是______． 14.已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是      ． 15.从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为      ． 16.已知，是抛物线上两点，为线段的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，且设，两点的横坐标分别为， 若是抛物线的顶点，则点的坐标是______； 的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知二次函数的图象经过点，． 求这个二次函数的解析式； 求这个图象的顶点坐标和对称轴． 18.本小题分 如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． 求证：平分； 若，，求的半径长． 19.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求证：无论为何值，该抛物线与轴总有两个交点； 若该抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且的面积为，求的值． 20.本小题分 一根横截面为圆形的下水管道的直径为米，管内有少量的污水如图，此时的水面宽为米． 求此时的水深即阴影部分弓形的高 当水位上升到水面宽为米时，求水面上升的高度． 21.本小题分 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数解析式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为，高度为． 求与的解析式不用写出自变量的取值范围； 排球能否越过球网？请说明理由． 22.本小题分 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． 直接写出抛物线的解析式； 点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 23.本小题分 根据下表中的信息，探索完成任务． 素材 快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为元，该店每天其他成本费用为元水费、电费和人工费用等，为了便于结算，设每份套餐的售价为元，且为整数，该店每天的利润为元． 素材 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过元，每天可销售份；若每份套餐售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份． 素材 经过对周边餐馆的实地考察，该快餐店决定套餐的最高价不超过元． 问题解决 任务 分析数量关系 若每份套餐售价不超过元，直接写出与的函数关系式； 该店把每份套餐的售价提高到元以上，每天的利润能否达到元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客；若不能，请说明理由． 任务 制定最优销售方案 若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价应定为多少元？并求出此时的最高利润． 24.本小题分 在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． 写出表格中，的值：           ，           ； 根据表格中的数据，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 已知函数的图象如图所示，函数，的图象交点为点，点，判断在轴上是否存在一点，使的值最大若存在，求出这个最大值及点的坐标；若不存在，请说明理由． 25.本小题分【阅读理解】对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，抛物线：的图象经过，，三点． 求抛物线的表达式； 点为第一象限抛物线上的一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，若，求点，的值； 已知坐标系中有一直线：，若，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $