贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷

贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（为虚数单位），则复数的虚部为（   ） A. B. 4 C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 5. 已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（ ） A B. C. D. 6. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. 最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，则以下说法正确的是（ ） A. B. C. 成等差数列 D. 成等比数列 11. 如图，在正三棱柱中，，过中点的截面，将正三棱柱分成上下两部分，设下半部分几何体的体积为，则下列四个体积是的几何体中，能放在半径为3的球体内的是（ ）（参考数据：） A. 正方体 B. 正四面体 C. 高是4的圆柱 D. 高是5的圆锥 三、填空题（本大题共3小题） 12. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 13. 在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 14. 已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆，点C，D分别在上、下半圆上（都不与A，B点重合）若，，则_______. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在轴，轴正半轴上，分别为BD，BC中点，求的最大值. 16. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 17. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. （1）若中点为，求的面积； （2）若平面，求线段长度的最小值. 18. 记的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，求面积的取值范围.从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 设函数. （1）当，时，解方程； （2）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $贵州省惠水民族中学2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷 一、单选题(本大题共8小题) 1. 已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知集合,根据并集的定义运算求解即可. 【详解】已知集合,集合, 根据并集的定义:. 故选:A. 2. 设(为虚数单位),则复数的虚部为( ) A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数虚部的概念得解. 【详解】因为, 所以复数的虚部为. 故选:A 3. 已知,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数对数函数特征判断大小范围,即可求解. 【详解】因为为减函数,所以,所以, 因为为减函数,,所以, 因为为增函数,,所以. 所以. 故选:B 4. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮.某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房(单位:亿元),并生成如图所示的折线图.假设横轴为上映时间(日期),纵轴为单日票房(亿),则下列说法正确的是( ) A. 前十日之后,随着上映时间增加,单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天票房极差为4.76(亿) C. 上映前十天的票房中位数为6.34(亿) D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30(亿) 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A:根据折线统计图,无法预测前十日之后,随着上映时间的增加,单日票房一定会呈现下降趋势,故A错误; 对于B:上映前十天的票房极差为(亿),故B错误; 对于C:上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、, 所以上映前十天的票房中位数为(亿),故C正确; 对于D:因为,所以上映前十天的票房第70百分位数为(亿),故D错误. 故选:C 5. 已知正方形的边长为2,点为边的中点,点为边的中点,将分别沿折起,使三点重合于点,则三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得三棱锥中,两两垂直,且,进而三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球,进而求解得外接球的半径与表面积,再根据等体积法求解内切球的半径,进而计算内切球的表面积,最后计算比值即可得答案. 【详解】解:如图,依题意知, ,, ,平面, 又平面, 所以三棱锥中,两两垂直,且, 所以三棱锥的外接球即为以为邻边的长方体的外接球, 所以三棱锥的外接球半径满足,则其外接球的表面积为. 因为三棱锥的表面积为正方形的面积,, 设三棱锥的内切球的半径为, 所以由等体积法得,得, 所以内切球的表面积为 所以三棱锥的外接球与内切球的表面积之比为 故选:C. 6. 已知是两个不同的平面,,是内两条不同的直线,则“,且”是“”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的判定与性质即可判断. 【详解】若,,则不一定平行(缺少条件相交); 若,,则,且, 故“,且”是“”的必要不充分条件, 故选:C. 7. 在平面直角坐标系中,,,则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,求得,得到,结合投影向量的计算方法,即可求解. 【详解】由平面直角坐标系中,,,可得, 则, 所以向量在向量上的投影向量为. 故选:B. 8. 若,当时,,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题等价转化为时,恒成立,从而构造函数,推出该函数在上单调递减,求出其导数,分离参数,结合函数的最值,即可求得答案. 【详解】等价于, 即等价于,即等价于. 令, 则条件等价于,当时,, 即函数在上单调递减,即,则. 又,,所以, 所以实数的取值范围是. 故选:A. 二、多选题(本大题共3小题) 9. 已知正实数满足,则( ) A. B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等式的变形,结合为正实数,可判断A项,变形等式,结合的取值范围,利用一元二次函数可判断B项,利用基本不等式中“1”的用法可求解C项,利用基本不等式,结合题干中的等式验证等号成立的条件,可判断D项. 【详解】解:因,则,即, 又为正实数,则,所以,,故A项正确; 因为,所以, 又,所以,故B项错误; 因为,且为正实数,即,则, 所以, 当且仅当,即时等号成立,故C项正确; 因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,但由可得,当时,,且,故D项错误. 故选:AC. 10. 已知函数和有相同的最大值,直线与两曲线和恰好有三个交点,从左到右三个交点横坐标依此为,则以下说法正确的是( ) A. B. C. 成等差数列 D. 成等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数分类讨论求最值,然后数形结合,利用指数与对数之间的转化求解即可. 【详解】对于AB,, 当时,当时,单调递减, 当时,单调递增, 所以当时,函数有最大值,即; 当时,当时,单调递增, 当时,单调递减, 所以当时,函数有最小值,没有最大值,不符合题意, 由, 当时,当时,单调递减, 当时,单调递增, 所以当时,函数有最大值,即; 当时,当时,单调递增, 当时,单调递减, 所以当时,函数有最小值,没有最大值,不符合题意, 于是有,因此选项AB正确, 对于CD,两个函数图像如下图所示: 由数形结合思想可知:当直线经过点时, 此时直线与两曲线和恰好有三个交点, 不妨设, 且, 由,又, 又当时,单调递增,所以, 又,又, 又当时,单调递减,所以, , ,于是有, 且,所以选项C错误,D正确, 故选:ABD 【点睛】关键点睛:利用数形结合思想,结合等式是解题的关键. 11. 如图,在正三棱柱中,,过中点的截面,将正三棱柱分成上下两部分,设下半部分几何体的体积为,则下列四个体积是的几何体中,能放在半径为3的球体内的是( )(参考数据:) A. 正方体 B. 正四面体 C. 高是4的圆柱 D. 高是5的圆锥 【答案】AC 【解析】 【分析】分析几何特征,计算下半部分几何体的体积,分析各选项中几何体外接球半径,与比大小即可确定答案. 【详解】由题意得,正三棱柱由截面分成的上部分为正三棱柱,下部分为直四棱柱,高度相等, 如图,在等边三角形中,分别为的中点, 由相似得与的面积比为, 故正三棱柱上、下两部分的底面积比为,即正三棱上、下两部分的体积比为, ∴. A.设正方体的棱长为,则,得, ∴正方体体对角线为,正方体的外接球半径为, 能放在半径为3的球体内,A正确. B. 如图,在正方体中,由各面对角线相等可得三棱锥为正四面体, 正四面体的外接球与正方体的外接球相同,由选项A可知体积为的正方体恰好能放在半径为3的球体内, 当正四面体的体积为,正方体的体积大于, 此时正方体外接球半径大于,故不能放在半径为3的球体内,B错误. C.如图,设圆柱的底面圆半径为,外接球半径为,外接球球心为,则为圆柱上下底面圆心连线的中点. 由题意得,,∴, ∴,故此圆柱能放在半径为3的球体,C正确. D. 如图,设圆锥的底面圆半径为,外接球半径为,外接球球心为,则点在圆锥的高上. 由题意得,,∴, 由得,,故此圆锥不能放在半径为3的球体,D错误. 故选:AC 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是分析、计算各选项中几何体外接球的半径,与比大小,即可确定几何体能否放在半径为3的球体内. 三、填空题(本大题共3小题) 12. 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是_. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立,后解不等式可得答案. 详解】因,则,又, 则,即, 因,则, 则不等式恒成立,等价于恒成立. 因,则,则. 注意到的根为, 且,则. 故答案为:. 13. 在 ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是_. 【答案】或0 【解析】 【分析】根据题设条件可设,结合与三点共线,可求得,再根据勾股定理求出,然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵三点共线, ∴可设, ∵, ∴,即, 若且,则三点共线, ∴,即, ∵,∴, ∵,,, ∴, 设,,则,. ∴根据余弦定理可得,, ∵, ∴,解得, ∴的长度为. 当时, ,重合,此时的长度为, 当时,,重合,此时,不合题意,舍去. 故答案为:0或. 【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出. 14. 已知圆O的直径AB把圆分成上下两个半圆,点C,D分别在上、下半圆上(都不与A,B点重合)若,,则_. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算法则与定义即可得解. 【详解】依题意,连接,如图, 因为是直径,所以, 所以,, 所以 . 故答案为:3. 四、解答题(本大题共5小题) 15. 如图,设是平面内相交成的两条射线,分别为同向的单位向量,定义平面坐标系为仿射坐标系,在仿射坐标系中,若,则记. (1)在仿射坐标系中 ①若,求; ②若,且与的夹角为,求; (2)如上图所示,在仿射坐标系中,B,C分别在轴,轴正半轴上,分别为BD,BC中点,求的最大值. 【答案】(1)①;② (2) 【解析】 【分析】(1)①由题意,,将其两边平方,再开方即可得到; ②由,由表示出和,再由已知用表示出,因为与夹角为,然后由,即可得到; (2)由题意,设出坐标,表示出,由,将表示成, 在中依据余弦定理可得,代入得, 方法一:设,得到,则可得的最大值; 方法二:在中,用正弦定理,再设,可得,代入,通过三角恒等化简可得,进而得到的最大值. 【小问1详解】 ①因为, 所以, ②由, 得, , , 因为与的夹角为, 则,得. 【小问2详解】 方法一:依题意设, , 因为为BC中点, 为BD中点,所以, 所以,, 因为,则 , 在中依据余弦定理得,所以,代入上式得, . 设,则, 令得,得(舍), 所以, 则. 方法二:依题意设, , 因为为BC中点,则, 为BD中点,所以, 所以,, 因为. , 在中依据余弦定理得,所以, 代入上式得,, 在中,由正弦定理, 设, , 则 16. 2024年10月13日,成都市将举办马拉松比赛,其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩,并分成五组:第一组,第二组,第三组,第四组,第五组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人,担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和,第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和,请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. (附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为:,记两组数据总体的样本平均数为,则总体样本方差) 【答案】(1) (2), (3) 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的概率乘以组距等于,可求得 (2)根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解; (3)先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数,由题意,再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得, 解之可得; 【小问2详解】 根据题意知, ,, 设第百分位数为,所以, ,解之可得, 故这名候选者面试成绩的平均数为,第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为, 且两组的频率之比为, 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为, 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 , 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 17. 如图,平行六面体的所有棱长均为2,底面为正方形,,点为的中点,点为的中点,动点在平面内. (1)若中点为,求的面积; (2)若平面,求线段长度的最小值. 【答案】(1)1 (2) 【解析】 【分析】(1)利用几何关系求出,从而得到,然后利用三角形面积公式求解即可; (2)构造平面平面,从而确定点必在上,然后利用等面积法求解即可;或者利用空间向量结合二次函数求最值. 【小问1详解】 连接、、, , ,同理, 是正方形对角线AC中点, ,且, , 即,则, . 【小问2详解】 法一: 取中点,连接,,, 易得,故四边形是平行四边形, ,又 平面 平面, 平面,同理, 平面 平面, 平面 ,且都在面内, 故平面平面, 则点必在上,且当时,长度最小, , 由等面积法得:,解得, 故的最小长度为. 法二: 取为一组空间基底,则,, 平面, ,代入整理得, 故, 动点在平面内, , , 故, 当且仅当时,有最小值为. 法三: 由第一问知,如图建立空间直角坐标系, 则,,,,, , ,, 同理, ,, ,, 设平面的法向量为, 则,令,得, 设点,, ,即, 故, 当且仅当时,有最小值为. 18. 记的内角的对边分别为,若为锐角三角形,,求面积的取值范围.从①;②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】选择①,面积的取值范围为. 选择②,面积的取值范围为. 【解析】 【分析】选择①,由正弦定理求出,再根据三角形面积公式求出面积的表达式,消去角,得到角三角函数,利用三角恒等变换化简结合角的范围求得结果; 选择②,由正弦定理求出,代入面积公式,消去角,化简表达式结合角的范围求得结果. 【详解】若选择①,由正弦定理,, 同理, , 又为锐角三角形,,,, 解得, ,即, 所以, 所以面积的取值范围为. 若选择②,由正弦定理,, , 又为锐角三角形,,,, 解得,,即, , 所以面积的取值范围为. 19. 设函数. (1)当,时,解方程; (2)当时,若不等式在上恒成立,求实数的取值范围; (3)若为常数,在区间上有解,求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【解析】 【分析】(1)直接解方程即可; (2)不等式在上恒成立,即在上恒成立,分情况讨论时与时不等式情况,可得参数范围; (3)分情况讨论分段函数的单调性与最值情况,可得参数范围. 【小问1详解】 当,时,, 所以, 即或, 解得或, 即或; 【小问2详解】 当时,, 所以不等式在上恒成立, 即为不等式在上恒成立, 当时,不等式恒成立,即, 当时,不等式可转化为, 即在上恒成立, 又函数在上单调递增, 所以, 所以,解得, 即的取值范围为; 【小问3详解】 在区间上有解,即方程在上有解, 设, 当时,在上单调递增, 所以,, 则当时,原方程有解,即; 当时,, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调增; ①当,即时,,, 则当时,原方程有解,即; ②当,即时,,, 则当时,原方程有解,则; ③当时,,,, 当,即时,, 则当时,原方程有解,即; 当,即时,, 则当时,原方程有解,即; 综上所述:当时,实数的取值范围为; 当时,实数的取值范围为; 当时,实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $