第14讲 圆的一般方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第14讲 圆的一般方程 知识再现 一， 圆的一般方程 1、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程． 其中为圆心，为半径． 2、圆的一般方程的形式特点 （1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）； （2）不含项； （3）． 3、一般方程与标准方程关系： 对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知： （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 二， 圆的一般方程判断点和圆的位置关系 已知点，和圆的一般方程（）则 位置关系 代数关系 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 三，圆的轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 题型一：求圆的一般方程 例1.圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 解析：由，所以圆心和半径分别为.故选：D 例2.若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为方程表示一个圆，所以，解得． 故选：B. 例3.求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（    ） A． B． C． D． 解析：由题意得，圆的半径， 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C. 变式训练 1.圆的方程为：，则圆心的坐标为 ，半径为 ． 【答案】 解析：由可得， 所以圆心的坐标为，半径为，故答案为：， 2.若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意可知：， 解之得，又，所以.故选：C. 3.求经过三点，，的圆的方程． 【答案】 解析：设圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以圆的方程为. 题型二：点与圆的位置关系 例4.若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为方程表示圆，所以，即， 又因为点在圆的外部，所以，即， 所以，故选：C. 例5.已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 解析：∵，∴点P在圆外.故选：C． 例6.点在圆上，点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 解析：圆的圆心，半径为， 由于在圆外，．故选：D. 变式训练 1.若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为方程表示圆，所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即，所以，故选：C. 2.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意得，圆的标准方程为， 故，，又点在圆外，所以， ，或，所以m的取值范围为．故选：D. 3.设是圆上任意一点，则的最大值为 . 解析：圆的圆心为，半径为1 圆心与距离的最大值为，所以的最大值为 故答案为：9 题型三：与圆有关的轨迹问题 例7.已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 解析：设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且. 例8.已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【解析】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，，整理得：， 三点不共线，，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 例9.已知两定点，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】12 解析：设点，则，整理为：， 设圆的圆心为，圆的圆心为，    如图，可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即.故答案为：12 变式训练 1.过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 解析：由题意知过定点, 动直线即过定点， 对于直线和动直线满足，故两直线垂直， 因此点M在以为直径的圆上，，则， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：C 2.过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为 . 解析：设点P的坐标为，点B为， 由题意，结合中点坐标公式可得， 故，化简得. 即线段AB中点P的轨迹方程为.故答案为： 3.若圆C的一条直径的两个端点分别是，则圆C的方程为 ． 解析：设，因为圆C的一条直径的两个端点分别是， 所以，所以， 即，故答案为： 题型四：圆过定点问题 例10.圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 解析：圆的方程化为， 由得或，故圆恒过定点．故选：D． 例11.若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 解析：将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.故选：A． 变式训练 1.点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 解析：设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D. 2.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或．故答案为：或. 题型五：与圆有关的实际问题 例12. 如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 解析：以圆拱桥的顶点为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直线为轴，建立直角坐标系，设圆心为，水面所在弦的端点为，则由已知可得， 再设圆的半径为，则圆心，即圆的方程为， 将点代入圆的方程，可得，即圆的方程为， 当水面下降1米后，可得，代入圆的方程，可得， 所以当水面下降1米后，水面宽度为米.故选：D. 例13.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点，，动点M满足，记M的轨迹为C，则轨迹C围成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 解析：设，由点，，动点M满足， 得，则， 所以轨迹C围成的图形为圆，其半径平方，所以圆的面积为.故选：C 例14.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 解析：（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，，得 所以该景区游船可以从桥下通过． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $第14讲圆的一般方程 知识再现 一，圆的一般方程 1、圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 共中（号昌为国心，0+6-4F为半径 2、圆的一般方程的形式特，点 (1)x2,y2项的系数相同且不等于0(x2和y2的系数如果是不为1的非零常数，只需在方 程两边同时除以这个常数即可)； (2)不含xy项； (3)D2+E2-4F>0. 3、一般方程与标准方程关系： 对方程x2+y2+Dx+y+F=0的左边配方，并将常数移项到右边，得 〔气引-，装国的称率方2行知 4 (0当0：4=0时，方程只有安数解号号它表示一个点（吕哥引 (2)当D+E2-4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. (③)当D'+E2-4F>0时，可以看出方程表示以_D,为圆心， D+E-4F 22 为半径的圆。 2 二，圆的一般方程判断，点和圆的位置关系 已知点Mxo,yo),和圆的一般方程x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0) 则 位置关系 代数关系 ,点M在圆A上 x6++Dx。+Ey+F=0 ,点M在圆A内 x+y+Dx。+Ey。+F<0 点M在圆A外 x+y+Dxo+Eyo+F>0 三，圆的轨迹方程 1、轨迹方程和轨迹的定义 已知平面上一动点M(x,y),点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式。轨迹 第1页共11页 是指，点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作，点的轨迹（集合）. 坐标法求轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的平面直角坐标系； (2)设点：用(x,y)表示轨迹（曲线)上任意一点的M的坐标； (3)列式：列出关于x.y的方程； (4)化简：把方程化为最简形式； (5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的，点都是曲线上的，点： 题型一：求圆的一般方程 例1.圆x2+y2-2x+4y-4=0的圆心和半径分别为（) A.(1,2,3B.(-1,2),3 C.(1,-2),2 D.(1,-2),3 例2.若方程x2+y2+4x十2y一m=0表示一个圆，则m的取值范围是（） A.(-∞，-5)B.(-5,+∞)C.(-∞，5) D.(5,+0∞) 例3.求以A1,-1)为圆心，且经过点B(0,的圆的一般方程（) A.x2+y2-2x-2y-7=0 B.x2+y2-2x+2y-7=0 C.x2+y2-2x+2y-3=0 D.x2+y2-2x+2y+3=0 第2页共11页 变式训练 1.圆C的方程为：x2+y2-4x+6y+4=0,则圆心C的坐标为，半径为 2.若ae{-2,-1,0,,,1},则方程x2+y2+x+2ay+2a2+a-1=0表示的圆 的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.求经过三点(0,0)，（3,2)，（-4,0)的圆的方程. 题型二：点与圆的位置关系 例4若，点(2,1)在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则a的取值范围是() A.(-4,+∞)B.（-∞3) C.（-4,) D 第3页共11页 (-∞，-4)U(3,+∞) 例5.已知点P(a,10),圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=12,则点P() A,在圆内 B.在圆上C.在圆外 D.与a的取值有关 例6，点M在圆C:x2+(y-1)2=4上，点N2V3,3,则MN的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 变式训练 1.若，点(2,1)在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则a的取值范围是（) 第4页共11页 A.(-4,+0） .（ 2.已知圆C的方程为x2+y2-2mx+4my+5m2-3m+3=0,若，点(1，-2m)在圆外，则m的取 值范围是() A.(-0,1)U(4,+0)B.(L,+o∞) C.(L,4) D.(4,+0) 3.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点，则x2+y的最大值为_ 题型三：与圆有关的轨迹问题 例7.已知等腰三角形的项点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5)，另一个端点是C,求线 段AC中点M的轨迹方程. 第5页共11页 例8.已知，点B(2,0)和，点C(2,4),直角△ABC以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方 程」 例9.已知两定，点A(-4,0,B(2,0),如果动，点M满足MA=2MB,点N是圆x2+(y-3)2=9 上的动，点，则MN的最大值为_ 变式训练 1过定点A的动直线x+y=0和过定点B的动直线kx-y-2k+1=0交于点M,则 MA+MB的最大值是(） 第6页共11页 A.2W2 B.3 C.V10 D.√5 2.过点A8,0)的直线与圆x2+y2=4交于，点B,则线段AB中，点P的轨迹方程为」 3.若圆C的一条直径的两个端点分别是Ax1,月)，B(x2,y2),则圆C的方程为一 题型四：圆过定点问题 例10.圆C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定，点为(） 第7页共11页 A.（-2,1,2,-1B.-1,-2),2,1 C.-1,-2),1,2) D.（-2,-1,2,1 例11.若圆C:x2+y2-(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0过坐标原点，则实 数m的值为() A.1 B.2 C.2或1 D.-2或-1 变式训练 1.点P(x,y)是直线2x+y-5=0上任意一，点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点 () A.(0,0)和1,1 B.(0,0)和2,2)C.(0,0)和1,2)D.(0,0)和2,1) 2.对任意实数1，圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定点，则定点坐标为一 第8页共11页 题型五：与圆有关的实际问题 例12.如图，一座圆拱桥，当拱项离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水 面宽为() 2 1=--==-------------- 12 A.19米 B.V51米 C.219米 D.2√51米 例13.阿波岁尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起 被誉为古希腊三大数学家，阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的 PA 论著中的一个著名问题：已知平面上两点A,B,则所有满足 PB =入（元>0，且元1）的 第9页共11页 点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定，点P(1,0),Q(-1,0),动点M满足 |MP=√2M@,记M的轨迹为C,则轨迹C围成图形的面积是() A.2π B.4π C.8π D.16π 例14赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史， 是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳 动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引 游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16m,拱高为4m,在 该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系， 第10页共11页