第08讲 2.4.2圆的一般方程（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 2.4.2圆的一般方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 第三部分 题型精讲 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于求解. 【详解】原方程可化为， 方程表示圆，则有，即. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的一般方程满足，列式运算得解. 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式3】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件直接构造不等式即可. 【详解】是一个圆的方程，，解得：， 实数可取的值有和. 故选：CD. 题型02求圆的一般方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知点，四点共圆，则 ． 【答案】 【分析】设过的圆的一般方程，再列方程组，求得其一般方程，再将点坐标代入即可. 【详解】设过的圆的方程为且, 则，解得， 所以过的圆的方程为， 又因为点在此圆上，所以，解得，所以． 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【答案】(1)的坐标为， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. （2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于6，则圆的一般方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意设出圆的一般方程，把的坐标代入，再由在轴上截得的弦长等于6得关于的另一方程，联立求得的值，即可求出圆的方程. 【详解】解析：设圆的方程为． 由题意可得① 在圆的方程中，令，得．② 设，是方程②的两根，由，得，③ 联立①③得，，或，，． 故圆的一般方程为或． 故答案为：或． 【变式2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【详解】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【详解】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于的等式，求出的值，然后代值检验即可得解. 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 【典例2】（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意可得，，联立求解即可； （2）设，则的中点坐标为，分别将，两点坐标代入相应的直线方程，联立求出点坐标，设的外接圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，，所以点的坐标为； （2）设，则的中点坐标为， 将代入直线的方程得③， 将代入直线的方程得④， 将③④联立解得，，即， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以的外接圆的一般方程为， 所以的外接圆的标准方程为. 【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】B 【分析】根据两圆圆心的距离与半径和差比较，即可判断两圆位置关系. 【详解】由可得， 即圆心，半径， 由圆可得， 即圆心，半径， 所以圆心距， 所以，所以两圆相交. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设的重心的坐标是，点的坐标是，根据重心的坐标公式得到，，再由点在圆上运动，即满足圆的方程，从而求出重心的轨迹方程. 【详解】设的重心的坐标是，点的坐标是. 已知点，的坐标分别是，， 则的重心的坐标满足，. 因此有，①. 因为点在圆上运动， 所以点的坐标满足方程， 即满足方程②. 将①代入②，得. 即所求轨迹方程为. 故答案为： 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程，即可判断. 【详解】因为，所以点在圆的外部． 故选：A. 【典例2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【答案】A 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：A. 【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】，A选项正确. ，B选项错误， ，C选项正确. ，D选项错误. 故选：AC 【变式2】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 【变式3】（24-25高二上·河北石家庄·期中）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 【答案】A 【分析】求出点与圆心的距离，和半径比较即可判断位置关系. 【详解】圆（）的圆心为，半径为. 因为点与圆心的距离为，且， 所以，故， 所以点在圆（）外. 故选：A. 题型05圆过定点问题 【典例1】（多选）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设过的圆P的方程为列出方程组，利用圆系方程推出圆P恒过定点即可． 【详解】由曲线Γ：， 令，得． 设， 则可得，且． 令，得，即． 设过的圆P的方程为， 满足 代入P得 展开得， 当，即或时方程恒成立， ∴圆P恒过定点或． 故选：AD 【典例2】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案. 【详解】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆C：． (1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程； (2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【答案】(1)或 (2)证明见解析，所有定点的坐标为. 【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出直线方程； （2）设，根据切线性质得到经过A，P，C三点的圆即为以PC为直径的圆，求出圆心和半径，写出圆的方程，整理后得到，求出定点坐标. 【详解】（1）根据题意，圆C的方程为，其圆心C为（2，0），半径， 若直线l的斜率不存在，即，代入圆方程得，，即，成立； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即， 若，则圆心C到直线l的距离，则， 解得， 即直线l的方程为，化简得 综上所述，直线l的方程为或． （2）由于P是直线上的点，设，由切线的性质得AC⊥PA，BC⊥PB， 经过A，P，C，的三点的圆，即为以PC为直径的圆， PC的中点坐标为， 且， 所以圆的方程为， 整理得， 令，解得或． 则经过A，P，C三点的圆必过定点，所有定点的坐标为． 【变式2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 【变式3】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 【典例2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【答案】C 【分析】设，根据是线段的中点，得到，根据计算即可求得的轨迹方程. 【详解】设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得，所以， 即，所以， 由，得， 即， 又不能与重合，所以且，解得且， 动点的轨迹方程为（且）. 故选：C 【变式1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合两点间距离公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 则，整理可得． 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】先计算出，利用向量垂直得到方程，求出轨迹方程. 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 【变式3】（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得Q在以为圆心，1为半径的圆上，求的最小值，转化为求的最小值即可. 【详解】由题意，圆可化为， ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴. 故选：B. 【典例2】（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 【变式1】（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，即可得出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足关系：，则的最小值 . 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若是圆上的动点，则到直线的最小距离是 . 【答案】5 【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，进而确定圆上点到直线距离的最小值. 【详解】圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴，则到直线的最小距离为5. 故答案为：5 题型08圆的对称问题 【典例1】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 【典例2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】圆，即，圆心为， 因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 所以，即， 又，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆心，再将圆心代入直线方程，再利用基本不等式求最值. 【详解】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 题型09圆的综合问题 【典例1】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 【变式1】（24-25高二上·湖北·期末）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法列式求解即得. （2）由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求解即得. 【详解】（1）设的外接圆的方程为， 由A，B，O均在圆C上，得，解得， 所以圆C的方程为. （2）由（1）知圆心，半径为，由直线l被圆C截得的弦长为， 得点C到直线l的距离为， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，则， 两边同时平方得，解得或， 当直线l的斜率不存在时，不满足条件， 所以直线l的方程为或. 【变式2】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知三个顶点分别是，，. (1)求外接圆M的标准方程； (2)若圆M与直线l：交于P，Q两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一，待定系数法设圆的一般方程解方程组得解；法二，设圆的标准方程法求解；法三，中垂线法，求出线段和的中垂线方程，求得圆心坐标得解； （2）法一，几何法求出圆心到直线的距离求解；法二，利用弦长公式求解. 【详解】（1）法一：设圆的一般方程法 设圆的一般方程为（），由题意得 ，解得. 于是圆的一般方程为， 化为标准方程为. 法二：设圆的标准方程法 设圆的标准方程为，则由题意有 ，解得. 故圆标准方程为. 法三：中垂线法 易知线段的中点坐标为，而，故线段的中垂线方程为. 同理，可求得线段的中垂线方程为. 联立，解得，即是圆心. 由半径，从而圆标准方程为. （2）法一：易知圆心到直线：的距离为. 从而可得. 法二：设，，由题意得 ，即，即，. 于是. 【变式3】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 【答案】(1)，曲线是以为圆心，半径为2的圆； (2)证明见解析， 【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； 【详解】（1）设， 由，得， 化简得，即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； （2）由题意知，与圆相切，为切点， 则，则四点共圆 在以为直径的圆上， ，又， 则的中点为， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，①， 又在上，②， 由两圆方程作差即②-①得：. 所以，切点弦所在直线的方程为. 则恒过坐标点. 题型10圆的实际应用 【典例1】（24-25高二上·广西·期中）年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.    (1)求小船的运动轨迹方程； (2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，由两点间距离公式表示，化简即可； （2）求出直线截距式方程，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】（1）根据已知条件设以为坐标原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且，    由有 ， ； ， 即， 整理得，它是以为圆心，为半径的圆． 所以小船的运动的轨迹方程为：． （2）由（1）可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为 化为一般式方程为， 根据题意，，解得，所以综上可知的取值范围为． 【典例2】（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【答案】(1)走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. (2)15海里. 【分析】（1）设，根据得到方程，化简即可得到轨迹； （2）设，根据化简得到轨迹，；利用在圆的内部，得到不等式，转化为直线与圆的位置关系从而得到不等式，解出即可. 【详解】（1）由题意得，设走私船能被截获的点为， 则，则， 化简得. 因此，走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、4为半径的圆. （2）设走私船能被截获的点为，则， 由，整理得， 走私船能被截获的点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，记为圆. 当在圆的内部，则， 可变形为，即， 因此巡逻庭不能在圆内部截获走私船. 分要保证巡逻艇在领海内捕获走私船， 圆内部区域与直线不相交， 则圆心到直线的距离， 所以，相距最远是15海里. 【变式1】（23-24高二上·广西玉林·期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价. （附：参考数据.） 【答案】(1) (2)168万元 【分析】（1）一种方法是，设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；另一种方法是，求两个边中垂线的交点，即圆心. (2)求出的长，由垂径定理得到点到的最小距离，从而求出开通的这条路的最低造价. 【详解】（1）解法一：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 设圆的方程为， 则，解得， 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. 解法二：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 线段中点为，且线段的垂直平分线为， 线段中点为，且，线段的垂直平分线为， 联立，得，所以建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离， ，圆的半径为， 点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 【变式2】（23-24高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】 （1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米. 【变式3】（23-24高二上·山东菏泽·期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示． (1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离； (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1)， (2)有触礁的危险 【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断. 【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向 ， 由两点间的距离公式知． （2）设过三点的圆的方程为． 将代入上式，得 ，解得． 圆的方程为， 则该圆的圆心为，半径． 设船起初所在的点为，则， 又该船航线所在直线的斜率为1， 该船航线所在的直线方程为． 圆心到此直线的距离． 若不改变方向，该船有触礁的危险．． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 2．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 3．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程后可得所求． 【详解】将圆方程化为标准方程得， 所以圆心坐标为． 故选：D 4．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据圆心在直线上即可求解. 【详解】的圆心为， 故在直线上，故，解得， 故选：C 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的标准方程即可求解. 【详解】由， 得， 解得. 故选：D 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 9．（多选）（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于方程，再解方程即可得到的取值. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 10．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，C是半径为的圆 B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆 C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线 D．当时，C是两条直线 【答案】AC 【分析】结合圆、椭圆、双曲线的方程特征逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，是半径为的圆，A正确； 对于B，取，，即，曲线是焦点在轴上的椭圆，B错误； 对于C，当时，是焦点在x轴上的双曲线，C正确； 对于D，当时，是一条直线，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 12．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由圆的方程得出圆心与半径，根据已知及点到直线的距离公式列出方程求解即可． 【详解】由得，，圆心，半径， 所以，又， 所以圆心到直线的距离为，解得， 故答案为：． 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 14．（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可； （2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长. 【详解】（1）由曲线的方程整理可得， 则，解得或， 所以的取值范围为. （2）若，则曲线：，可知圆心，半径为， 则圆心到线的距离， 所以. B能力提升 1．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出以和为端点的线段的垂直平分线，将所得直线与联立，可得圆心坐标，进而得到圆的方程； （2）根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为， 所以以和为端点的线段的垂直平分线为：， 即圆心在上， 又圆心在直线上，由，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆M的方程为：； （2）圆，所以圆心，半径， 因为圆M与圆N外切，所以， 所以，所以 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，直线. (1)求的值； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程； (3)过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2). (3)或. 【分析】（1）根据圆的一般方程确定圆心，结合点在直线上，列方程解方程； （2）设，根据两点关于直线对称，列方程，解方程即可； （3）设点斜式方程，由直线与圆相切，根据点到直线的距离列方程，解方程. 【详解】（1）由已知圆， 则圆心， 又圆心在直线上， 即，解得； （2）由（1）得圆，即， 即，半径， 设，则中点为，且， 所以由对称可知， 解得， 即， 所以圆； （3）根据题意可得直线的斜率存在， 则可设直线的方程为， 即， 则， 解得或， 故直线的方程为或， 即一般式方程为或. 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）圆C的面积最大时，即半径最大，根据二次函数的性质求得的值，再分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，根据圆的性质求出的最小值，即可得解． 【详解】（1）圆的方程， 可化为， ∵该方程表示圆，∴，解得， ∴实数m的取值范围为． （2）圆的半径， ∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值， 此时圆的方程为，圆心，半径， 当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设其方程为，即， ∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程，即， 综上，切线的方程为或. （3）设，又，，， 则， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， ∵，则点在圆外， 所以， 则 ∴的最小值为． 5．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设直线与圆相切于点，求. 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为. (2)或. (3). 【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长； （2）讨论直线的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程根据点到直线距离公式求解即可； （3）根据两点间距离公式求出长，再根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为. （2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即. 由圆心到直线的距离等于半径得，，解得， 此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或. （3）∵圆的圆心坐标为，， ∴. 如图，由相切得，，， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 2.4.2圆的一般方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为 . 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为 . 【变式1】（24-25高二上·辽宁鞍山·阶段练习）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 题型02求圆的一般方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知点，四点共圆，则 ． 【典例2】（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于6，则圆的一般方程为 ． 【变式2】（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【变式3】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求的外接圆的标准方程. 【变式1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）圆与圆的位置关系为（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式3】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）若的顶点，的坐标分别是，，顶点在圆上运动，则的重心的轨迹方程为 . 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（24-25高二上·甘肃白银·期中）点在圆的（   ） A．外部 B．内部 C．圆周上 D．无法确定 【典例2】（23-24高二上·广东惠州·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关 【变式1】（多选）（23-24高二上·福建三明·期末）已知圆的方程为，以下各点在圆内的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【变式3】（24-25高二上·河北石家庄·期中）点与圆（）的位置关系为（   ）. A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．与的取值有关，无法确定 题型05圆过定点问题 【典例1】（多选）（24-25高二上·黑龙江鹤岗·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C．过三点的圆过定点坐标是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【变式1】（23-24高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆C：． (1)设点，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程； (2)设P是直线上的点，过P点作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，求证：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标． 【变式2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【变式3】（23-24高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【典例2】（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）已知的斜边为，且，，则直角边中点的轨迹方程是（   ） A． B． C．（且） D．（且） 【变式1】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【变式3】（24-25高二下·内蒙古通辽·开学考试）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式1】（2025·陕西汉中·二模）设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式2】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足关系：，则的最小值 . 【变式3】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）若是圆上的动点，则到直线的最小距离是 . 题型08圆的对称问题 【典例1】（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【典例2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 【变式1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【变式2】（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 题型09圆的综合问题 【典例1】（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【典例2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【变式1】（24-25高二上·湖北·期末）已知，，O为坐标原点，圆C为的外接圆． (1)求圆C的方程； (2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程． 【变式2】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知三个顶点分别是，，. (1)求外接圆M的标准方程； (2)若圆M与直线l：交于P，Q两点，求. 【变式3】（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明其形状； (2)已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标； 题型10圆的实际应用 【典例1】（24-25高二上·广西·期中）年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义. 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方 向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿 的距离分别为海里和海里.某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船 的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.    (1)求小船的运动轨迹方程； (2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围. 【典例2】（23-24高二下·上海闵行·期末）设直线为公海与领海的分界线，一巡逻艇在处发现了北偏东的海面处有一艘走私船，此走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮航行，以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，与相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜.在如图所示的平面直角坐标系中，试问：    (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，且走私船和巡逻船相距6海里，那么走私船能被截获的点是哪些？ (2)设，要保证巡逻艇在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不相交），相距最远是多少海里？ 【变式1】（23-24高二上·广西玉林·期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价. （附：参考数据.） 【变式2】（23-24高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【变式3】（23-24高二上·山东菏泽·期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示． (1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离； (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二下·甘肃白银·期末）圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山西·期中）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．7 5．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 8．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．14 D． 10．（多选）（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知曲线，则（    ） A．当时，C是半径为的圆 B．当时，C是焦点在x轴上的椭圆 C．当时，C是焦点在x轴上的双曲线 D．当时，C是两条直线 11．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 12．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）若圆与直线相交于点A，B，且，则k的值为 ． 13．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 14．（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线的方程为． (1)若曲线表示圆，求的取值范围； (2)当时，直线与曲线交于两点，求. B能力提升 1．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，直线. (1)求的值； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程； (3)过（2）中的点作圆的切线，求直线的一般式方程. 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知表示圆的方程. (1)求实数的取值范围； (2)当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； (3)为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 5．（24-25高二上·北京·期中）已知圆，直线过点. (1)求圆的圆心坐标及半径长； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)设直线与圆相切于点，求. . 学科网（北京）股份有限公司 $$