2.4.2 圆的一般方程-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程 学习目标 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小，提升数学运算的核心素养. 3.能根据某些具体条件求圆的一般方程，会求与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆的一般方程 (阅读教材P85－86，完成探究问题1、2) 问题1.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2能否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：可以.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式. 问题2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？举例说明. 提示：不一定.如x2＋y2＋1＝0，不能表示任何曲线. 1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心， 以为半径的圆 微提醒　(1)圆的一般方程的特点 ①x2，y2的系数相同，且不等于0；②不含xy这样的二次项. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化 如图所示： [微思考]　Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的条件是什么？ 提示：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0. 角度1　圆的一般方程的初步理解 判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径： (1)x2＋y2－4x－6y＝0； (2)x2＋y2＋5x－6y＋20＝0； (3)x2＋y2－8x－6y＋25＝0； (4)x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0. 解：(1)由x2＋y2－4x－6y＝0可得D＝－4，E＝－6，F＝0， 所以D2＋E2－4F＝16＋36＝52＞0， 故x2＋y2－4x－6y＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. (2)由x2＋y2＋5x－6y＋20＝0可得D＝5，E＝－6，F＝20， 所以D2＋E2－4F＝25＋36－4×20＝－19＜0， 故x2＋y2＋5x－6y＋20＝0不表示任何曲线. (3)由x2＋y2－8x－6y＋25＝0可得D＝－8，E＝－6，F＝25， 所以D2＋E2－4F＝64＋36－4×25＝0， 故x2＋y2－8x－6y＋25＝0表示一个点，不能表示圆. (4)由x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0可得D＝－2a，E＝－4b，F＝3b2－1， 所以D2＋E2－4F＝4a2＋16b2－4×＝4a2＋4b2＋4＞0， 故x2＋y2－2ax－4by＋3b2－1＝0表示圆，且圆心为，半径r＝＝. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1.配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆. 2.运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆. 注意：在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 学生用书⬇第83页 对点练1.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解：(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 解得m＜，即实数m的取值范围为(－∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 角度2　求圆的一般方程 (链教材P86例4)求满足下列条件的圆的一般方程： (1)圆心在直线y＝x上，与x轴相交于(－1，0)，(3，0)两点； (2)经过△ABC的三个顶点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0). 解：(1)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－). 由题意得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. (2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，C在所求的圆上， 所以 故所求圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0. 待定系数法求圆的一般方程的步骤 第一步(设)：根据题意，设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； 第二步(列)：根据条件列出关于D，E，F的方程组； 第三步(解)：解此方程组，求出D，E，F的值； 第四步(得)：将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 注意：也可根据已知条件中的几何关系，通过几何法求得圆心坐标、半径，从而得到圆的一般方程. 对点练2.(开放题)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为　　　　　　. 答案：＋＝13或＋(y－1)2＝5或＋＝或(x－)2＋＝(填其中一个即可) 解析：由题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若过，，， 则 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即＋＝13； 若过，，， 则 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即＋＝5； 若过，，， 则 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即＋＝； 若过，，， 则 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋＝. 任务二　与圆有关的轨迹方程问题 角度1　直接法求轨迹方程 求到两个定点A，B的距离之比等于2的点的轨迹方程. 解：设M为所求轨迹上一点，则＝2， 所以＝2，即＋y2＝4(x－1)2＋4y2， 整理可得x2－4x＋y2＝0，即＋y2＝4. 角度2　定义法求轨迹方程 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为 D，由中点坐标公式， 得D(1，0). 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1). 学生用书⬇第84页 角度3　代入法求轨迹方程 (链教材P87例5)已知定点Q，动点P在圆x2＋y2＝1上，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 解：设P，PQ的中点M的坐标为， 因为Q，所以 又因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，所以＋4y2＝1， 即线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋y2－3x＋2＝0. 求与圆有关的轨迹问题的方法 1.直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. 2.定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 3.代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程. 对点练3.(1)若线段AB的端点分别在x轴、y轴上运动，且｜AB｜＝4，求线段AB中点M的轨迹方程. (2)(一题多解)已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹方程. (3)已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解：(1)由题意，设原点为O(0，0)， 则｜OM｜＝｜AB｜＝2，由圆的定义，M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上， 即x2＋y2＝4，即为M的轨迹方程. (2)法一：设点P的坐标为(x，y). 当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时符合题意； 当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意； 当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意； 当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP， 即kAP·kOP＝－1， 因为kAP＝，kOP＝， 所以·＝－1， 即(x－)2＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1). 经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式. 即中点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－1)2＝. 法二：设点P的坐标为(x，y)，则A，P重合或OP重合或OP⊥AP，总有·＝0， 即(x－1，y－2)·(x，y)＝0，x(x－1)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0， 亦即(x－)2＋(y－1)2＝. (3)以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则点A(－2，0)，B(2，0).设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)， 所以① 因为｜AD｜＝3，所以(x0＋2)2＋＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. 因为点C不能在x轴上， 所以y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点. 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0). [教材拓展3]　圆的参数方程(源于教材P89习题2.4 T10) (1)已知圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径是　　　　. (2)已知圆的参数方程为(θ为参数)，则圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　 ) A.1 B. C.2 D.2 答案：(1)2　(2)B 解析：(1)由得，(x－6)2＋y2＝22，所以此圆的圆心为(6，0)，半径为2. (2)由圆的参数方程可知：圆心坐标为(－1，0)，故圆心到直线y＝x＋3的距离为＝.故选B. 任务再现 1.圆的一般方程.2.求动点的轨迹方程 方法提炼 待定系数法、几何法、定义法、代入法 易错警示 忽视圆的一般方程中系数的限制条件 1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，D，E分别为(　　 ) A.4，－6 B.－4，－6 C.－4，6 D.4，6 答案：A 解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－，－)，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6.故选A. 2.(多选)已知方程x2＋y2＋2x－m＝0，下列叙述正确的是(　　) A.方程如果表示圆，则m≥－1 B.方程如果表示圆，则圆心在x轴上 C.方程如果表示圆，则圆心在y轴上 D.当m＝0时，方程表示以为圆心，半径为1的圆 答案：BD 解析：对于A，因为D＝2，E＝0，F＝－m，由方程表示圆的条件得D2＋E2－4F＞0，即22＋02－4＞0，解得m＞－1，所以只有当m＞－1时才表示圆，故A错误；对于B、C，因为－＝－1，－＝0，若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；对于D，当m＝0时，半径r＝＝＝1，故D正确.故选BD. 3.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，－13) 解析：因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.又由方程表示圆4＋9－4m＞0，得m＜.故m＜－13. 4.长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为　　　　　　. 答案：x2＋y2＝9 解析：设M(x，y)，O(0，0)，所以｜OM｜＝｜AB｜＝3为定值，由圆的定义，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求. 课时分层评价21　圆的一般方程 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.(2025·浙江金华高二联考)下列方程表示圆的是(　　 ) A.x2＋y2＋xy－1＝0 B.x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0 C.x2＋y2－3x＋y＋4＝0 D.2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0 答案：D 解析：对于A，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；对于B，对于方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，因为22＋22－4×2＝0，所以该方程不表示圆；对于C，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，因为(－3)2＋12－4×4＜0，所以该方程不表示圆；对于D，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，因为22＋()2－4×＞0，所以该方程表示圆.故选D. 2.已知圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，半径为4，则实数m为(　　) A. B.5 C.－5或5 D.－或 答案：C 解析：圆的方程x2＋y2＋2mx＋9＝0，即＋y2＝－9＋m2，因为半径为4，所以－9＋m2＝42，解得m＝±5.故选C. 3.(2025·辽宁沈阳高二期末)已知点在圆C：x2＋y2－ax－2y＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.{a，或a＞4} D.{a，或a＞4} 答案：C 解析：由题意得解得－4＜a＜1，或a＞4. 故选C. 4.当方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0所表示的圆面积最大时，圆心到直线l：x＋y－2＝0的距离为(　　 ) A. B. C.2 D.2 答案：B 解析：由圆的方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0，配方可得(x－k)2＋(y－2)2＝－k2＋4k＋14，所以r2＝－k2＋4k＋14＝－(k－2)2＋18≤18，当且仅当k＝2时，r2最大，即圆的面积最大时，圆心为(2，2)，所以圆心到直线l的距离d＝＝.故选B. 5.△ABC的顶点B，C的坐标分别是(－3，－1)，(2，1)，顶点A在圆x2＋y2＋4x－8y＋16＝0上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝ C.＋＝1 D.＋＝ 答案：B 解析：设△ABC的重心G的坐标是，点A的坐标是.已知点B，C的坐标分别是，，则△ABC的重心G的坐标满足x＝，y＝，因此有x0＝3x＋1，y0＝3y①.因为点A在圆x2＋y2＋4x－8y＋16＝0上运动，所以＋＋4x0－8y0＋16＝0，即＋＝4②.将①代入②，得＋＝4. 即所求轨迹方程为＋＝.故选B. 6.(多选)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则下列结论正确的是(　　) A.D＝2 B.D＝－2 C.E＝－4 D.E＝4 答案：AC 解析：由圆的方程知：圆心C，半径r＝＝；因为圆心在第二象限，所以D＞0，E＜0.因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＋2＝0.由(舍).故选AC. 7.直线x－2y－3＝0平分圆x2＋y2－2ax＋2y－1＝0(a∈R)，则a＝　　　　. 答案：1 解析：x2＋y2－2ax＋2y－1＝0化为＋＝a2＋2.由已知直线平分圆，所以直线x－2y－3＝0经过该圆的圆心，则a－2×－3＝0，即a＝1. 8.古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，A(－4，0)，B(2，0)，点M满足＝2，则点M的轨迹方程为　　　　　　　. 答案：(x－4)2＋y2＝16 解析：设M(x，y)，则＝＝2，化简得x2＋y2－8x＝0，即点M的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝16. 9.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)，所以又点P在圆A上，所以＋－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 10.(13分)已知方程x2＋y2＋2mx＋4y＋2m2－3m＝0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长取最大时圆的标准方程. 解：(1)原方程可化为＋＝－m2＋3m＋4， 若方程表示一个圆，则－m2＋3m＋4＞0，解得－1＜m＜4， 即实数m的取值范围是. (2)圆的半径r＝＝≤，当且仅当m＝时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为5π，此时圆的标准方程是＋＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知直线l：ax＋by＋1＝0，圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，若圆C上存在两点关于直线l对称，则＋的最小值是(　　) A.5 B. C.2 D.20 答案：D 解析：圆C：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为C，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即－2a－b＋1＝0，有b＝－2a＋1.所以＋＝＋＝5a2＋20a＋40＝5，当a＝－2时，＋有最小值20.故选D. 12.(多选)已知△ABC的三个顶点为A，B，C，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A.圆M的圆心坐标为 B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点在圆M内 答案：ABD 解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即＋＝5.故圆M的圆心坐标为，圆M的半径为，故A、B正确；因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；因为＋＝1＜5，故点在圆M内，故D正确.故选ABD. 13.已知A，B，P为圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上的动点，则·的最大值为　　　　. 答案：72 解析：由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，则圆心C(5，0)，半径r＝4，所以x∈.设P，由P在圆C：x2＋y2－10x＋9＝0上，可得x2＋y2＝10x－9，x∈，又因为＝，＝，则·＝＋(－y)2＝x2＋y2－9＝－9＝10x－18.因为x∈，所以当x＝9时，·取到最大值10×9－18＝72. 14.(15分)平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B，C，且＝. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)求△ABC的面积的最大值. 解：(1)设A，又B(－1，0)，C，且＝，所以｜AB｜2＝2｜AC｜2， 所以＋y2＝2(x－1)2＋2y2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0， 由于三点要构成三角形，轨迹方程需去掉与x轴的交点， 所以顶点A的轨迹方程为x2＋y2－6x＋1＝0. (2)x2＋y2－6x＋1＝0可化为＋y2＝8，即圆的半径为2，如图所示. 所以A到x轴的最大距离为2，故△ABC的面积的最大值为×2×2＝2. 15.(5分)已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为(　　 ) A. B. C. D. 答案：D 解析：依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，如图所示.取点E(0，)，设M'(x，y)，当｜M'D｜＝2｜M'E｜时，＝2，化简整理得x2＋y2＝1，即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，因此｜MD｜＝2｜ME｜.显然点B在圆C：x2＋y2＝1外，则2｜MB｜＋｜MD｜＝2｜MB｜＋2｜ME｜＝2(｜MB｜＋｜ME｜)≥2｜BE｜，当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，而｜BE｜＝＝，所以2｜MB｜＋｜MD｜的最小值为2｜BE｜＝.故选D. 16.(17分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论. 解：(1)令x＝0得抛物线与y轴交点是(0，b). 令f(x)＝x2＋2x＋b＝0， 由题意b≠0，且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1，且b≠0. 即实数b的取值范围为{b｜b＜1，且b≠0}. (2)圆C过定点.证明：设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得函数f＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点， 令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b. 令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b＜1，且b≠0). 把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，令 解得故圆C过定点(0，1)和(－2，1). 学生用书⬇第85页 学科网（北京）股份有限公司 $