江苏省苏州工业园区2025-2026学年九年级上学期数学10月考模拟试卷

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：是一元二次方程，符合题意； B.是一元一次方程，不符合题意； C.不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D.含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 只含有一个未知数，且未知数的最高次为的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握相关定义是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：运用配方法把二次函数一般式转化为顶点式为： ， 顶点坐标为， 故选：． 运用配方法把二次函数一般式转化为顶点式，可得顶点坐标为，由此即可求解． 本题考查了二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：一元二次方程有一个根是， ， ， ， ， ， 故选：． 将代入，然后求解即可． 本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出关于的方程， 4.【答案】  【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为：． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】  【解析】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得，， A.由图象得，，，不符合题意； B.由图象得，，，符合题意； C.由图象得，，，不符合题意； D.由图象得，，，不符合题意； 故选：． 根据一次函数的位置确定出，，再结合二次函数的图象与系数的关系逐选项去分析即可． 本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定、的正负是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：对称轴是：直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 由对称性得：与时对应的相等， ， ， 故选：． 先确定对称轴和二次项系数，利用增减性可知：当时，随的增大而增大，并由对称性得：与时对应的相等，因此把要比较的三个点都放在对称轴的同侧，则由，得． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题可以代入计算比较大小，也可以利用增减性来比较；因此要熟练掌握二次函数的增减性，利用增减性比较或的大小关系，熟记当时，对称轴的右侧，随的增大而增大，对称轴的左侧，随的增大而减小，当时，对称轴的右侧，随的增大而减小，对称轴的左侧，随的增大而增大． 7.【答案】  【解析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案． 【详解】设， 一元二次方程可化为：， 关于的方程的两根为，， ，，即：或， 解得：，， 的两根之和为， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：由得：， 则， 故选：． 由得：，则，进而求解． 本题考查的是二次函数的最值，正确配方是本题解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由题意得，， 故答案为：． 根据一元二次方程根与系数的关系直接求解． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 根据二次项的系数不为列式求解即可． 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是，像这样的方程叫做一元二次方程． 11.【答案】  【解析】解：方程的两个根为和， 抛物线与轴的交点横坐标分别为和， 抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 根据二次函数与一元二次方程的关系可知抛物线与轴的交点横坐标分别为和，再利用二次函数的对称性即可求出答案． 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数与轴的交点横坐标与对称轴的关系，解题的关键是知道二次函数与轴的交点横坐标就是一元二次方程的根． 12.【答案】．  【解析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得， ， 解得，不符合题意，舍去， 答：这个百分率是． 故答案为． 13.【答案】  【解析】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，函数的取值范围是， 故答案为：． 根据自变量的取值范围利用二次函数的性质确定函数值的取值范围即可． 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是能够确定二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标并能确定其增减性，难度中等． 14.【答案】  【解析】解：由题意可得：， ， ， 故答案为：． 先求得，再整体代入代数式求值即可． 本题考查的是二次函数与直线的交点坐标的含义，求解代数式的值，正确进行计算是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 整理得， 解得舍去，， 即的值为． 先利用根的判别式的意义求出，在根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式得到，所以，然后解关于的方程得到满足条件的的值． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 16.【答案】  【解析】解：由题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为， ． ． 故答案为：． 依据题意，设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为，从而，进而计算可以得解． 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17.【答案】解：， ， ， ，或， ，； ， 这里，，， ， ， ，； ， ， ， ，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】， ， ， 方程有两个不相等的实数根；     【解析】证明：， ， ， 方程有两个不相等的实数根； 解：根据根与系数的关系可知：， ， ， ． 根据根的判别式进行计算即可． 根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题的关键． 19.【答案】【小题】 把、代入函数解析式得， ，解得， 抛物线解析式为， 【小题】 把代入函数解析式，左边，右边， 左边右边， 点不在该二次函数上．   【解析】  把、代入函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可；   把代入函数解析式，看左右两边是否相等即可． 20.【答案】【小题】 将点代入，解得，所以交点坐标为， 把代入可得 所以二次函数解析式为， 所以抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为； 所以当时，随的增大而增大； 【小题】 由题意得，解得或，则或； 所以点坐标为，点坐标为； 【小题】 由与轴交点的坐标为 所以的面积．   【解析】  将点代入可求得，即可确定交点坐标，然后把代入可得的值；再根据二次函数的性质确定顶点坐标、对称轴以及当时，随的增大而变化的情况；   联立两个函数解析式，即可求得、两点的坐标；   先求出与轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 21.【答案】． ， 或， 解得：，，； ， ， 或， 解得：，，，； ，．  【解析】解：． ， 或， 解得：，，； ， ， 或， 解得：，，，； ， ， ， ， 或， 方程无解； 解方程得：，． 故答案为：，． 先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可； 先把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可； 变形后把方程的左边分解因式，即可得出两个方程或，再求出方程的解即可． 本题考查了解高次方程和解一元二次方程，能把高次方程转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键． 22.【答案】双；   元；   每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元  【解析】双， 答：商场平均每天可售出双鞋子． 设每双降价元． ， 解得：，， 让顾客尽可能得实惠， ， 答：每双鞋子降价元． 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． ， 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 根据题意列出算式，即可求解； 设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 本题考查了二次函数的应用，关键是有理数的混合运算． 23.【答案】解：，． 描点：如图； 连线：如图； ． 由可知顶点为， 可设，， 把代入中， ． 由题意，与轴有两个不同的交点，， 由可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为， 当时， 或， 抛物线与轴交，两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ：，即， 当时，即时，． ：始终过点． 函数的顶点始终在上， 在上． 当的顶点在下方时，． 综上可得：或．  【解析】解：由题意，二次函数：， 其顶点为． 当时，顶点为；当时，顶点为． ，． 故答案为：，． 描点：如图，即为所描点； 连线：如图，见答案； 猜想：随着取不同值，的坝点形成的图象的表达式是． 故答案为：． 见答案； 见答案． 24.【答案】栅栏的长为米；   矩形围栏面积存在最大值，的长为米  【解析】设栅栏长为米， 米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为米； 矩形围栏面积存在最大面积；理由如下： 设矩形围栏面积为， 根据题意得，， ， ， ， 当时，即米时，有最大值． 先表示出的长，再根据矩形围栏面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； 设矩形围栏面积为，首先得到，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出二次函数解析式． 25.【答案】，；   或；   ．  【解析】解：由条件可得，， 解得， ， 抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； 抛物线的对称轴为直线， ， 即， ， 当时，有最小值为， 当，时，有最小值为， 解得：， 当，时，有最小值为， 解得：， 综上，的值或； 由条件可知：抛物线的对称轴为直线， 是顶点，和关于对称轴对称， 若在，，这三个实数中，只有一个是正数， 则抛物线必须开口向下，且， 当时，， ， ， 解得， 当时，， 的取值范围为． 利用表格数据以及待定系数法求解即可； 由表可知，抛物线经过，两点，进而得到抛物线的对称轴为直线，则，即，再分和两种情况解答即可； 根据题意得出，由，得出，则二次函数为，得出，求出的范围，再求出的范围即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 26.【答案】【小题】 【小题】 解：由图可知当点运动到点时，， ， 解得， 当时，， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， 可设关于的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， 关于的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ； 【小题】 解：点在上运动时，，点在上运动时， 可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ， ， 存在个时刻对应的正方形的面积均相等． 可以看作， ， 故答案为：； 由可得， ， ， ， ．   ．   【解析】  先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；仿照先求出，进而求出，则； 解：动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动， 当时，点在上，且， ，， ， ， 故答案为：； 动点以每秒个单位的速度从点出发，在匀速运动， ， ，， ， ；   先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出当时，，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得的值即可得答案；   根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；由可得，再由，得到，继而得答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州工业园区九年级（上）数学10月考模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 3.已知一元二次方程有一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 5.如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为(    ) A. B. C. D. 6.抛物线的图象上有三点，，，则，，大小关系(    ) A. B. C. D. 7.已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为(    ) A. B. C. D. 8.若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 9.一元二次方程的两根分别为和，用的值为      ． 10.关于的方程是一元二次方程的条件是      ． 11.已知方程的两个根为和，则抛物线的对称轴为直线      ． 12.某种药品原来售价元，连续两次降价后售价为元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是          ． 13.已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是      ． 14.在平面直角坐标系中，若抛物线与直线的一个交点的横坐标为，则代数式的值为      ． 15.已知关于的方程有两个实数根，，若，满足，实数的值是      ． 16.定义：抛物线上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的倍后得到新的抛物线，叫的“倍衍生抛物线”例如：求抛物线的“倍衍生抛物线”设抛物线上一点，则点在抛物线上的对应点为，因为点在抛物线上，所以，整理得到，即抛物线的表达式为参考上述方法，抛物线的“倍衍生抛物线”的表达式为______． 四、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 用合适的方法解一元二次方程． ； ； ． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 19.本小题分 已知二次函数的图象经过点、． 求此二次函数的解析式； 请你判断点是否在这个二次函数的图像上？ 20.本小题分 已知二次函数的图象与直线交于点 判的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当时，的值随值的增大而变化的情况； 设直线与抛物线的交点分别为、如图所示，试确定、两点的坐标； 连接、，求的面积． 21.本小题分 先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题： 解方程：． 解：方程左边分解因式， 得， 解得，，． 解方程：． 解方程：． 方程的解为        ． 22.本小题分 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． 若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ 若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ 每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润最大利润为多少元？ 23.本小题分 综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数：的顶点特征展开了如下探究： 列表：填写表格，表格中的与的值分别是 ______， ______； 的值 的顶点横坐标 的顶点纵坐标 描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点； 猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是______； 请验证你的猜想； 若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 24.本小题分 如图，利用一面墙墙长米，用总长度米的栅栏图中实线部分围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米． 若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长； 矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由． 25.本小题分 设二次函数是常数，已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： 若时，求二次函数的表达式；并直接写出的取值范围，使随的增大而减小． 当时，有最小值为，求的值； 若，，三个实数中，只有一个正数，求的取值范围． 26.本小题分 综合与实践 问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的而积为，探究与的关系 初步感知：如图，当点由点运动到点时， 当时，           ． 关于的函数解析式为          ． 当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． 延伸探究：若存在个时刻对应的正方形的面积均相等． _______； 当时，求正方形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $