第21章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

能力提升 6.C7.C【变式1】D【变式2】左8.解：如图所示. (1) (2) 0 左视图 俯视图 左视图 俯视图 思维拓展 9,解：(1)如图： 主视图 左视图 俯视图 (2)123(3)最多可以再添加4个小正方体.需要喷漆的面积与原几何体喷漆的 面积相比增加了.增加的面数为(9+9十6+6+6)-(6+6十6十6+6十2)=36一32=4， .增加的喷漆面积为4×10×10=400(cm2). 第2课时由三视图确定几何体的形状 基础过关 1.A2.A3.D4.C5.D 能力提升 6.A7.B【变式】6 第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积 基础过关 1.B2.A3.解：(1)圆柱(2)略.4.B5.B 能力提升 6.B7.1088.解：(1)如图所示； i(2)28(3)1 主视图 左视图 第二十九章整合与提升 高频考点突破 1.B2.变小3.解：如图，点P即为路灯灯泡的位置，线段AB为小赵在灯光下的影 子 4.解：易知△BNQ≌△AMP,设AP=BQ= m由△BQ△A,得9-股即号=2千0解得=52z+20=0答： 两路灯之间的距离是30m.5.D6.D7.B8.D9.B10.D11.B12.B 13.A14.D15.3π16.解：该几何体为四棱柱.由三视图可知，棱柱底面菱形的对角 线长分别是4cm,3cm,.菱形的边长为 ()+()=号(cm,∴它的侧面积为 2 号×4×8=80(cm). 综合评价答案 第二十一章综合评价 1.C2.A3.C4.D5.C6.A7.D8.A9.A10.B11.C12.D13k<4 14.615.316.117.解：1)2(z-52=18,(-52=36x-5=±6x-5=6,或 x-5=-6.x=11,x2=一1；(2)移项整理，得3(x一2)2-x(x-2)=0.因式分解，得 (x-2)[3(x-2)-x]=0,(x-2)(2x-6)=0.于是得x-2=0,或2x-6=0,x1=2,x2 第52页（共78页） =3.18.解：(1)二(2)2x2-8x十3=0.移项，得2x2-8x=-3.二次项系数化为1， 得产-4红=一多配方：得2-4x十4=一号十4，(x一2)=号由此可得x-2 ±0 2,x1=2+ 2,x=2-0 2 19.解：(1)当m=3时，原方程为x2+2x十3 =0,△=6一4ac=22-4×1×3=一8<0，∴.原方程无实数根；(2)当m=-3时，原方 程为x2十2x一3=0，解得x1=1,x2=一3.20.解：(1)关于x的一元二次方程kx -(2k十4)x十k-6=0有两个不相等的实数根，∴.△=[-(2k十4)]2-4k(k-6)>0且 k≠0，k>-号且6≠0：(2)当k=1时，原方程为-2X1十0x+1-6=0,即 6x-5=0.移项，得x2-6x=5.配方，得x2-6x十9=5十9，(x-3)2=14.由此可得x 3=士√/14，x1=3十√/14，x2=3-W√14,21.解：(1)：方程有实数根，∴.△=(-6)2- 4(k-1)≥0，解得k≤10；(2)：x1,x2是这个方程的两个根，x1十x2=6,x1x2=k-1, x十x号十3x1x2=24,.(x1十x)2十x1x2=24,.62十k-1=24,解得k=-11. 22.解：(1)设2月份、3月份平均每月降价的百分率为x.根据题意，得10000(1-x)2= 8100.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：2月份、3月份平均每月降 价的百分率为10%；(2)8100×(1-10%)=6561（元）.：6561<6800，∴.该市5月 份的房价会跌破每平方米6800元.23.解：问题1：设青菜的售价为x元/kg.根据题 意，得(x-2)[125-(x-2.5)×50]=100,解得x1=3,x2=4.:帮超市解决销售问题 的同时为顾客谋实惠，∴青菜的售价为3元/kg.答：超市想一天销售青菜获利100元， 青菜的售价应为3元/kg;问题2：超市一天销售青菜不能获利150元，理由如下：设青 菜的售价为a元/kg.根据题意，得(a-2)[125-(a-2.5)×50]=150.整理，得a2-7a 十13=0..△=(-7)2-4×13=49-52=-3<0，.方程没有实数根，故超市一天销售 青菜不能获利150元.24.解：(1)x2-3x十2=0，(x-2)(x-1)=0,x-2=0,或x一1= 0,解得=2，=1，则方程x2-3x十2=0是“倍根方程”；(2)(x-2)(x-m)=0,∴.x -2=0,或x-m=0,解得x=2,z2=.(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，∴m=4,或 m=1,当m=4时，m2+2m十2=16+8+2=26；当m=1时，m2十2m十2=1十2+2=5，综 上所述，代数式十2m十2的值为26或5；(3)m的值为13或-11.[解析：根据题意，设 方程的两根分别为a,2a,根据根与系数的关系，得a十2a=m一1，a·2a=32,解得a=4,m =13,或a=-4,m=-11,.m的值为13或-11]25.解：(1)2t(5-t)(2)2s (3)存在.t的值为1.易得矩形ABCD的面积为5×6=30(cm).,五边形APQCD的 面积为26cm,∴△PBQ的面积为30-26=4(cm),即(6-)·21×名=4.整理，得r -5t十4=0.解得t=4,t2=1.:当t=4时，BQ=2×4=8>6,∴t=4应舍去.故当t 的值为1s时，五边形APQCD的面积等于26cm. 第二十二章综合评价 1.B2.C3.D4.D5.B6.A7.C8.B9.A10.C11.C12.C13.(0, 1 2)14.(3,0)15.y=-2x+3x或y=2x-3x16.2017.解：1)y= 1 -x2 1 x十号x+1)+2,顶点坐标为(-1,2)：令y2xx十习 3=0,解得x =-3,x2=1.故它与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)；(2)列表如下： x -4 -3 -2 -1 0 2 … y -2.5 0 1.5 2 1.5 0 2.5 描点、连线如图； (3)x<一3或x>1.18.解：由图，得抛物线与x 第53页（共78页） 轴的交点的坐标为（一1,0），(2,0)，与y轴的交点的坐标为(0,2)..设所求二次函数 的解析式为y=a(x十1)(x-2).把(0,2)代入，得-2a=2,解得a=-1,∴.这个二次函 数的解析式为y=-(x十1)(x-2)=一x2十x+2.19.解：(1)：4=m-4×号× (-1)=m2十2>0，∴无论m取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根：(2)当m= 1时，二次函数为y=22十x-1.“)=2+红-1=(+1)-号二次函数的 图象的开口向上，对称轴为直线x=一1，当x一1时，y随x的增大而减小.20.解： (1)将点A(-5,0)代入y=x2+3x+m,得0=(-5)2+3×(-5)+m,解得m=-10; (2)由(1)，得二次函数的解析式为y=x2十3x一10.令y=0,得x2十3x一10=0，解得 x1=2,x2=一5.·二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为(2,0)；令x=0,得y 一10，∴.二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，一10).21.解：(1)由题意，可知抛 物线y=(x+1)2十k的对称轴为直线x=一1.把C(0,一3)的坐标代入y=(x十1)2+ k,得一3=1十k,解得k=一4；(2)由(1)，得抛物线的函数解析式为y=(x十1)2一4，令 y=0,则(x十1)2-4=0，解得x1=1,x2=-3,∴.点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标 为(1,0)：(3)连接AC,交抛物线的对称轴于点P,此时PB十PC的值最小.易得直线 AC的解析式为y=-x-3,对称轴为直线x=一1，.xp=一1，yp=-（-1)-3= -2,∴点P的坐标为(-1，一2).22.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)分别代入y=x2十 1-b+c=0, bx十c中，得{ 解得一2抛物线的解析式为y=-2一3.“y= 9+3b+c=0, c=-3, x一2x一3=(x一1)一4，·.顶点坐标为(1，一4).由图象可得当0<x<3时，一4y 0:(2)A(-1,0),B(3,0)AB=4.设P(x,),则SAPB=2AB·|y=2y川=10， .|y|=5,…y=土5.①当y=5时，x2-2x-3=5,解得x1=-2,x=4,此时点P的 坐标为(-2,5)或(4,5)：②当y=-5时，x2-2x-3=-5,方程无解.综上所述，点P 的坐标为（一2,5）或(4,5).23.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx十b.将点(8， 220)和点(14,160)的坐标代入，得8+6=220， 解得/6一10， y与x的函 114k+b=1600,b=3000. 数解析式为y=一100x十3000：(2)设销售这种荔枝日获利为w元.根据题意，得w= (x-6-2)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2+12100. -100<0,∴此抛物线开口向下.：对称轴为直线x=19,·当x<19时，随x的增 大而增大.：销售价格不高于18元/kg,即x≤18，∴.当x=18时，心取得最大值，最大 值为-100×(18-19)2+12100=12000，即当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销 售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元.24.解：(1)，AB=xm,.BC=(24 -3xmS=x(24-3x)=-3r+24:墙长为10m,0<24-3x≤10，解得号≤ <8.∴S=-3+24(告≤<8)(2)当S=45时，-3x+24r=45,解得a=3, =5.:考←x<8x=5,答：如果要围成面积为45m的花圃，那么AB的长为 5m:(3)能围成.S=-3x2十24x=-3(x-4)2十48.-3<0，∴.此抛物线的开口向 下.“抛物线的对称轴为直线x=4“当专≤x<8时，图象在对称轴右侧，S随工的增 大而减小，当x=考时，5有最大值，5大=-3×（告-4）+48=46号>45.能 围出比45m更大的花圃，最大面积是46号m,25.解：(1)由题意，得A(0,5), B(9,1)..抛物线的顶点坐标为A(0,5),∴.设抛物线的解析式为y=ax2十5.将B(9, 1D代入，得81a十5=1，解得a=一奇y=一膏x十5：(2)：种植苗木时，每棵苗木高 4 1.76m,令一81x十5=1.76，解得1=一8.1，=8.1.”苗木顶部不触碰大棚，且 第54页（共78页）第二十一章综合评价 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确) 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x-3=0 B.2+x=1 C.3.x2-8=0 D.(x-1)(x-2)=x2 2.将方程x2十6.x一5=0的左边配成完全平方式后所得方程为 A.(x+3)2=14 B.(x-3)2=14 C.(x+6)2=1 D.以上答案都不对 3.下列一元二次方程无实数根的是 A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 批 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0 4.2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产 品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的 成本比起初下降了31元.设每次技术改进产品的成本下降率均为x, 则下列方程正确的是 ( ) A.256(1-2.x)=256-31 B.(256-31)(1+x)2=256 C.256(1-x)2=31 D.256(1-x)2=256-31 5.若一元二次方程2x2一m.x+2=0有一个根是x=1,则另一个根 封 是 A.x=-2 B.x=-1 C.x=1 D.x=2 6.在解方程(x+2)(x-2)=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x十2=1， x一2=5，得方程的根=-1，x2=7;乙同学说：应把方程右边化为0，得 x2一9=0，再分解因式，即(x十3)(x一3)=0，得方程的根为x1=一3， x2=3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是 ( A.甲错误，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都错误 7.在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中仅看错 了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一次项的系数， 解得方程的两个根是一2和一5.则原来的方程是 A.x2+6.x+5=0 B.x2-6x-10=0 C.x2-5.x+2=0 D.x2-7x+10=0 8.若菱形的两对角线长分别是方程x2一7x十12=0的两根，则该菱形 的面积是 A.6 B.12 C.12或3V7 2 D.6或3V7 2 9.已知x1,x2是方程x2一x一2025=0的两个实数根，则代数式x 2025.x1+x号的值是 A.4051 B.4049 C.2025 D.1 第1页（共6页） 6x-a≥-10， 10.使得关于x的不等式组 -1+x<-日x+ 3有且只有4个整数 解，且关于x的一元二次方程(a-5)x2+4x十1=0有实数根的所有 整数a的值之和为 ) A.35 B.30 C.26 D.21 11.定义运算：a※b=a2一2ab+1.其中等式右边是通常的乘法、加减法 运算.例如：4※2=42一2×4×2+1=1.则方程x※2=一4的根的情 况为 ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 12.《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如x(x十6)=16的方 程的正数解，方法为：如图，将四个长为x十6，宽为x的矩形纸片（面 积为16)拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为16×4+36= 100,边长为10，故得x(x+6)=16的正数解为x=10,6-2.小明 2 用此方法解关于x的方程x2十m.x一n=0时，构造出同样的图形， 已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则 ) A.m=2,n=3 B.m= V14 2,n≥2 m三)，n=3 D.m=2,n=2 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13.若关于x的一元二次方程x2一4x十k=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 14.如图，已知A,B,C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的 中点，点B为AC的中点.若点B对应的数是x,点C对应的数是 x2一3x,则x= 4OB 15.已知关于x的方程ax2十bx十c=3的解与(x一1)(x一4)=0的解相 同，则a十b十c的值为 16.已知1,2是方程2x2一3x十1=0的两根，则代数式十2的值 1十x1x2 为 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(10分)解下列方程： (1)2(x-5)2-18=0: 第2页（共6页） (2)3(x-2)2=x2-2x. 18.(10分)小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2一8x十 3=0的过程如下： 解：移项，得2x2一8x=一3.…第一步 二次项系数化为1，得x2一4x=一3.…第二步 配方，得x2一4x十4=一3十4，…第三步 （x一2)2=1.…第四步 由此可得x一2=士1.…第五步 x1=3,x2=1.…第六步 (1)小明的解题过程从第 步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程2x2一8x十3=0. 19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2十2x十m=0. (1)当m=3时，判断方程的根的情况； (2)当m=一3时，求方程的根. 第3页（共6页） 20.(10分)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k十4)x十k-6=0有两 个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)当k=1时，用配方法解方程. 21.(10分)关于x的一元二次方程x2-6x十k一1=0. (1)如果方程有实数根，求k的取值范围； (2)如果x1,x2是这个方程的两个根，且x十x十3x1x2=24,求 的值. 22.(12分)某市的商品房成交价由今年1月份的每平方米10000元下 降到3月份的每平方米8100元. (1)求2月份、3月份平均每月降价的百分率； (2)如果房价继续回落，按照(1)中降价的百分率，请通过计算说明 该市5月份的房价是否会跌破每平方米6800元. 第4页（共6页） 23.(12分)学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表， 请根据相关信息解答表中的两个问题」 社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025.3.1 参与人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋 实践内容 实惠。 青莱的进价为2元/kg. 调研信息 青莱的售价为2.5元/kg时，每天可销售125kg. 每千克每涨价1元，每天少销售50kg 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价应 问题1 为每千克多少元？ 解决问题 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求 问题2 出青菜的售价；若不能，请说明理由， 名师测控 24.(12分)如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个 实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方 程是“倍根方程”.例如一元二次方程x2一6x十8=0的两个根是 x1=2,x2=4,则方程x2-6x十8=0是“倍根方程”. (1)通过计算，判断x2一3x+2=0是否是“倍根方程”； (2)若关于x的方程(x一2)(x一m)=0是“倍根方程”，求代数式 m2+2m十2的值； 第5页（共6页） (3)已知关于x的一元二次方程x2一(m-1)x十32=0(m是常数) 是“倍根方程”，请直接写出m的值. 25.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A 出发沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点 B出发沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别 从A,B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运 动时间为ts. (1)BQ= cm,PB= cm;(用含t的代数式表示) (2)当t= 时，PQ的长度等于5cm; (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm?若存 在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 第6页（共6页）