第21章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

第二十一章综合评价 （时间：120分钟满分：100分) 兰 一、 选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分， 共30分) 新 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2-3=0 B.z2+x=1 C.3.x2-8=0 D.(x-1)(x-2)=x 2.用公式法解一元二次方程3x2一x=-3时，a,b,c的值分别是( A.a=3,b=1,c=-3 B.a=3,b=1,c=3 C.a=3,b=-1,c=-3 D.a=3,b=-1,c=3 3.一元二次方程x2一2x=0根的判别式的值为 的 A.4 B.2 C.0 D.-4 4.将方程x2十6x一5=0的左边配成完全平方式后所得方程为( A.(x+3)2=14 B.(x-3)2=14 C.(x+6)2=2 1 D.以上答案都不对 91 5.下列一元二次方程无实数根的是 A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 封 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0 6.一元二次方程x2十4x一3=0的两根为1，x2,则0x2的值是( A.4 B.-4 C.3 D.-3 7.2024年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产 品起初的成本为256元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的 成本比起初下降了31元.设每次技术改进产品的成本下降率均为x, 则下列方程正确的是 A.256(1-2x)=256-31 B.(256-31)(1+x)2=256 C.256(1-x)2=31 D.256(1-x)2=256-31 部 8.若一元二次方程2x2一mx+2=0有一个根是x=1,则另一个根 是 ( A.x=-2 B.x=-1 C.x=1 D.x=2 9.在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中仅看错 了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一次项的系数， 解得方程的两个根是一2和一5.则原来的方程是 ( A.x2+6.x+5=0 B.x2-6x-10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-7x+10=0 第1页（共6页） 10.已知a,b是一元二次方程x2+x-3=0的两根，则a十b-2ab的值 为 ( A.7 B.-5 C.-7 D.5 11.若菱形两条对角线的长分别是方程x2一7x十12=0的两根，则该菱 形的面积是 ( A.6 B.12 C12或9 n6欧9 12.已知关于x的方程x2一(2k一2)x十k2一1=0有两个实数根，则 √(k一1)严一（√2-k)2的化简结果是 ( A.-1 B.1 C.-1-2k D.2k-3 13.若关于x的一元二次方程x2一2x十b十1=0有两个不相等的实数 根，则一次函数y=kx十b的大致图象是 、 14.已知x1,x2是方程x2一x一2025=0的两个实数根，则代数式x一2 0251+x2的值是 ( A.4051 B.4049 C.2025 D.1 6x-a≥-10， 15.使得关于x的不等式组 8x+ 1土2x≤1小 3有且只有4个整数 2 解，且关于x的一元二次方程(a一5)x2+4x+1=0有实数根的所有 整数a的值之和为 ( A.35 B.30 C.26 D.21 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.若关于x的一元二次方程x2一4x十k=0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围是 17.若方程2x2-3x-1=0有一个根为m,则代数式3m(2m一3)一1的 值为 18.已知x1是方程2x2-3x十1=0的两根，则代数式十2的值 “1+x1x2 为 19.在等腰三角形ABC中，BC=8,AB,AC的长是关于x的一元二次方程 x2一10x十m=0的两个根，则m的值是 第2页（共6页） 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.(6分)解下列方程： (1)2x-5)2-18=0: (2)3(x-2)2=x2-2x. 21.(6分)已知关于x的一元二次方程k.x2一(2k+4)x十k一6=0有两 个不相等的实数根. (1)求k的取值范围： (2)当k=1时，用配方法解方程. 22.(6分)如图，将一张长方形纸片的四个角各剪去一个边长为2cm 的正方形后，做成一个无盖的长方体盒子.若长方形纸片的长与宽的 比为2：1，做出的长方体盒子的容积为1152cm3,请求出长方形纸片 的长和宽. 第3页（共6页）》 23.(8分)定义：如果关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)满 足a一b十c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程2x2+5.x十3=0是否为“黄金方程”； (2)已知3x2一a.x十b=0是关于x的“黄金方程”，若a是此“黄金方 程”的一个根，求a的值 24.(8分)尼知关于x的方程x-(3m+1)x+(受m)+号=0有实 数根. (1)求m的取值范围； (2)若m为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方 程的两个实数根分别为a,b,求代数式a3+子ab-4a的值. 第4页（共6页） 25.(8分)阅读材料： 为解方程(x2一1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2一1视为一个 整体，然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2. 原方程化为y2-5y十4=0.① 解得y=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,解得x=士√2. 当y=4时，x2-1=4,解得x=士√5. ∴.原方程的解是1=√2,2=一√2，x=√5，x=-√5. 解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了 法达到 降次的目的，体现了 的数学思想； (2)解方程： ①x4-x2-6=0: @-3-3 测控 26.(8分)某商店销售一种文化衫，每件进价40元，规定销售单价不低 于44元，且获利不超过30%，试销售期间发现，当销售单价定为 44元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少 10件.设每天的销售量为y件，销售单价上涨x元. (1)y与x的函数关系是 (2)文化衫的销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ 第5页（共6页） 27.(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A 出发沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点 B出发沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别 从A,B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运 动时间为ts. (1)BQ= cm,PB= cm;(用含t的代数式表示) (2)当t=时，PQ的长度等于5cm; (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm?若存 在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. B→O 第6页（共6页）综合评价答案 第二十一章综合评价 1.C2.D3.A4.A5.C6.D7.D8.C9.D10.D11.A12.A13.B 14.A15.B16.k<417.218.119.25或1620.解：1)号(x-5)=18,(x- 5)2=36,x-5=士6，x1=11,x2=一1：(2)移项、整理，得3(x-2)2一x(x一2)=0.因式 分解，得(x-2)[3(x-2)-x]=0,(x-2)(2x-6)=0.于是得x-2=0,或2x-6=0, x1=2,x2=3.21.解：(1)，关于x的一元二次方程kx2一(2k十4)x十k一6=0有两 个不相等的实数根∴4=[-(2十0门-4k(k-6)>0且≠0，k>-号且k≠0： (2)当k=1时，原方程为x2-(2×1十4)x十1-6=0，即x2-6x-5=0.移项，得x2一 6x=5.配方，得x2一6x十9=5十9，(x-3)2=14.由此可得x-3=士√14，x1=3十 √14，x2=3-√14.22.解：设长方形纸片的宽为xcm,则长为2xcm.根据题意，得 (2x-2×2)(x-2×2)×2=1152.整理，得x2-6x-280=0.解得x1=20,x2=-14 (不符合题意，舍去).2x=2×20=40.答：长方形纸片的长为40cm,宽为20cm. 23.解：(1)由题意，得a=2,b=5,c=3,.a-b十c=2-5十3=0，.一元二次方程2x 十5x十3=0是“黄金方程”：(2)3x2-ax十b=0是关于x的“黄金方程”，.3-(-a) 十b=0,∴.b=-a-3,代入原方程，得3x2-ax-a-3=0.a是此“黄金方程”的一个 根，3a2-a2-a-3=0,即2a2-a-3=0,解得a=-1,或a=号.24.解：(1)根据 题意，得△=[-(3m十1)] 4[(号m)）+专]=6m-1≥0，解得m≥名：(2y:m为 1)中符合条件的最小正整数，m=1,一原一元二次方程为r-4x十号=0，a十b =4ab=是a2-4a+=0a2-4a=-号d+ab-4a=子a(a+b)-4a =公-4a=头。25，解：1D换元转化(2)①设-y,则=-y,原方程可化为 y2一y-6=0.解得y1=3,y2=-2.当y=3时，x2=3,解得x=士√5.当y=-2时，x =-2,此方程没有实数根.∴.原方程的解为x1=√3，x2=一√3；②设x2-3x=a,则原 方程可化为是=a-3.整理，得d-3a-4=0.解得a,=4,a:=-1.当a=4时r-3z =4,解得a=4,=-1.当a=-1时，2-3x=-1,解得=3,5=3+5 2 2 “原方程的解为=4=-1，=3≥5x-3士5,26.解：10y=30-10: 2 2 (2):销售单价不低于44元，且获利不超过30%，.44≤44十x≤40×(1十30%)，∴.0 ≤x≤8.根据题意，得(300-10x)(44-40十x)=2400.整理，得x2-26x十120=0.解 得x1=6,x2=20(不符合题意，舍去)..44十6=50（元）.答：文化衫的销售单价为50 元时，商店每天获利2400元.27.解：(1)2t(5-t)(2)2(3)存在.易得矩形 ABCD的面积为5X6=30(cm).当五边形APQCD的面积为26cm,△PBQ的面积 为30-26=4(cm),即(6-)·2X号=4.整理，得1-51十4=0.解得4=4，=1 :当t=4时，BQ=2×4=8>6,∴.t=4应舍去.故当t=1时，五边形APQCD的面积等 于26cm. 第二十二章综合评价 1.B2.C3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.D10.C11.B12.A13.C 14.C15.D160,2)17.118y=-分2+3x或y=合2-3z19.20 20.解：(1)y=2r+6z-12=2(十名)广-翌，则该抛物线的顶点坐标是 (一号，-受)对称轴是直线x=-是：(2y=-0.5-3x十3=-合（x十3)+号 则该抛物线的顶点坐标是（一3，号），对称轴是直线x=-3.21.解：1)y=-合 -1+号=-号(x+1)+2,顶点坐标为(-1,2)：令y=一子2-x十号=0，解得 3. =-3,x2=1.故它与x轴的交点坐标为(-3,0)，(1,0)；(2)列表： 第49页（共72页） -3 -2 -1 0 y -2.50 1.5 2 1.50 -2.5 描点、连线如图； y (3)x<-3或x>1.22.解：(1)：抛物线L有最 低点，∴·m一2>0，解得m>2;(2):抛物线L与抛物线y=x的形状相同，开口方向相 反，.m-2=-1,解得m=1,23.解：(1)将A(0,3),B(-1,0)代入抛物线y=ax2十 2x+c,得/3=c, 10=a-2+c, 解得a=,1抛物线的函数解析式为y=一d+2+3: c=3. (2)y=-x2十2x十3=一(x一1)2十4，.抛物线顶点D的坐标为(1,4).对称轴与 x轴相交于点E,.DE=4,OE=1.:B(-1,0),∴.OB=1,BE=OB十OE=1十1= 2.在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD=√BE+DE=√2十4=2√5.24.解： (1)令x=0,可得y=3,.B(0,3).令y=0,即-x2十2x十3=0，解得x1=-1,x2=3. :图象与x轴正半轴交于点A,∴A(3,0).设直线AB的解析式为y=kx十b.将A(3, ,B03》代人：得北0解得一直线AB的解析式为y=—+ 1b=3. (2)如图， 过点C作CD⊥x轴于点D,交AB于点E.:y=-x十2x十3 1O D A =-(x-1)2十4，∴.C(1,4),.抛物线的对称轴为直线x=1,xE=1,yE=-1十3 =2,E1,2)CE=4-2=2∴Same=SaE十Sam=合CEx-xa)=方X2 ×3=3.25.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx十b.将点(8,2200)和点(14， (8k十6=2200：解得-100y与工的函数解析式为y= 160)的坐标代人，得4k十6=160， b=3000. 一100x十3000.(2)设销售这种荔枝日获利为w元.根据题意，得w=(x-6 2)(-100x+3000)=-100x2+3800x-24000=-100(x-19)2+12100,.抛物线 开口向下，且对称轴为直线x=19,∴.当x<19时，w随x的增大而增大.销售价格不 高于18元/kg,即x18,.当x=18时，取得最大值，最大值为-100×(18一19)2十 12100=12000.即当每千克荔枝的销售价格定为18元时，销售这种荔枝日获利最大， 最大利润为12000元.26.解：(1)，AB=xm,BC=(24-3x)m,.S=x(24-3x) =-3x+24.“墙长为10m,0<24-3x≤10，解得号≤x<8.∴S=-3r十 24x(告<<8)：(2)当5=45时，-3x+24x=45,解得=3=5.：号<x<8, ∴x=5.答：如果要围成面积为45m的花圃，那么AB的长为5m;(3)能围成.S= -3x2+24x=-3(x-4)2十48.：-3<0，∴.此抛物线的开口向下.，抛物线的对称轴 为直线x=4当兰<<8时，图象在对称销有侧S随：的增大面减小当=号 时，S有最大值，S大=-3×（学-4）十48=46号>45.∴能围出比45m更大的花 图，最大的面积是46号m,27.解：)：抛物线过点00,0)，A(5,5),且它的对称 轴为直线x=2,∴.抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(4,0).设抛物线的解析式为y =ax(x-4),将A(5,5)代入，得5a=5,解得a=1,∴.y=x(x-4)=x2-4x,故此抛物 线的解析式为y=x2-4x;(2):点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， .设B(2,m)(m>0).连接OA,设直线OA的解析式为y=kx,则5k=5,解得=1. 直线OA的解析式为y=x.设直线OA与抛物线对称轴交于点H,如答图①，则 H2,2),∴BH=m-21.:S60s=15,号×m-2X5=15,解得m=8或-4. m>0,∴.m=8,∴.点B的坐标为(2,8)；(3)设直线AB的解析式为y=cx十d,将 第50页（共72页） A6,5),B(2,8)代入，得5c+d=5 2c+d=8, 解得C二1直线AB的解析式为y=一十 d=10. 10.当PA一PB的值最大时，A,B,P在同一条直线上，如答图②.：P是抛物线上的动 点，联立y十10解得2=2=5， y=x2-4x, {y=12,{y2=5(舍去 、∴P(-2,12),此时，PA-PB= AB=√/(5-2)'+(5-8)7=3√2. 答图① 答图② 第二十三章综合评价 1.B2.D3.A4.A5.C6.D7.C8.C9.C10.C11.D12.D13.C 14.B15.B16.(-2,4)17.90°18.平行四边形19.4-√220.解：(1)A90 (2):△ADF旋转一定角度后得到△ABE,AF=2,AB=5,∴.AE=AF=2,AB=AD= 5,.DE=AD-AE=5-2=3.21.解：根据题意，得y=一3，(x2十2x)十(x十2)=0. 解得x1=-1,x2=-2.点P在第二象限，x2十2x<0,x=-1,.x十2y=-1十 2×(一3)=一7.22.解：如图，答案不唯 图① 图② 图③ 23.解：(1)如图， 点O即为所求作的旋转中心；(2)结论：OA= OA1,∠AOA1=∠BOB1(答案不唯一).24.解：(1)(5,4)(-5，-4)(2)(-x, -》(3)根据题意，得叶6-2a=0, 1a+3+2b-3=0, 解得/a=4, 6=-2. a十b=4-2=2.25.解： (1).△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，，.△ABM≌△ACM,.AB=AC.又 △ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴.△ABE≌△DCE,∴AB=CD,.AC= CD:(2)∠F=∠MCD.,理由如下：由(I)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA= ∠BMA.:∠BAC=2∠MPC,∴.设∠MPC=a,则∠BAC=2a,∴.∠BAE=∠CAE= ∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF=∠CMA=B,∴.∠F=∠MPC-∠PMF=a-B, ∠MCD=∠CDE-∠DMC=a-B,∴·∠F=∠MCD.26.解：(1)由旋转的性质知 ∠BAM=∠FAN.又，AB=AF,∠B=∠F=60°，△ABM≌△AFN(ASA),.AM =AN;(2)当旋转角a=30时，四边形ABPF是菱形.理由如下：：a=30°，.∠BAF= ∠FAE+∠BAM=90°+30°=120°.又：∠B=∠F=60°，.∠B+∠BAF=180°，∠F 十∠BAF=180°，.AF∥BP,AB∥FP,∴.四边形ABPF是平行四边形.又：AB= AF,.四边形ABPF是菱形.27.解：(1)画图如图②：135°(2)PA=PE.理由如下： :CA=CB,∠C=90°，∴.∠ABC=∠BAC=45°.如图②，过点P作PM∥AB交AC于 点M,∴∠MPC=∠ABC=∠BAC=∠PMC=45°，∴.CP=CM,∠AMP=135°= ∠PBE,.CA一CM=CB-CP,即AM=PB.,将射线PA绕点P逆时针旋转90°与 BD交于点E,∴∠APE=90°，∴.∠EPB=90°-∠APC=∠PAM,∴.△APM≌△PEB (ASA),.PA=PE;(3)当点P在线段BC上时，如图②，由(2)可知，BE=PM,BP= AM.易知BA=√2(AM+CM,∴.BA=√EBP+√2CM.易知PM=√2CM,.BA=√EBP 十BE.当点P在线段CB的延长线上时，过点P作PN⊥BC交BE于点V,如图③.易 知∠ABD=90°，∠ABC=45°，.∠PBN=180°-∠ABC-∠ABD=45°，.△BPN是 等腰直角三角形，∠ABP=135°，∴.BP=NP,∠PNB=45°，∴.∠ENP=135°= ∠ABP,BN=√2BP.易知∠APE=90°，∴∠EPN=90°-∠APN=∠APB,∴.△EPN ≌△APB(ASA),∴EN=BA.BE=EN+BN,BE=BA十√2BP.综上所述，当点 第51页（共72页）