第21章 一元二次方程 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

第二十一章 乡高频考点突破。 考点1一元二次方程的有关概念 1.若a.x2-5x十3=0是关于x的一元二次方 程，则不等式3a+6>0的解集是( A.a>-2 B.a<-2 C.a>-2且a≠0 D.a 2.数学思想整体思想已知a是方程x2+十3x十2=0 的一个根，则代数式a2+3a的值为 考点2一元二次方程的解法 3.用配方法解方程x2一6.x一3=0时，原方程 应变形为 ( A.(x+3)2=3 B.(x+3)2=12 C.(x-3)2=3 D.(x-3)2=12 4.一元二次方程x2十x=0的根是 5.(2024·昆明石林县校级期末)解下列方程： (1)3(x-2)2=27; (2)x2+2x-3=0. 考点3一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 6.新视角新定义将4个数a,b,c,d排成2行、2 b 列，两边各加一条竖线，记成 ,并规定 d a b 2 4 =add-bc.例如： =2×3一4×1= c d 1 3 x 3 2.则 =一3的根的情况为（ x x-1 A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 21九年级数学人教版全一册 整合与提升 7.若一元二次方程x2一2x一1=0的两个根为 m,n,则一次函数y=(m十n)x十mn的大致 图象是 17 8.若m,n是一元二次方程x2十2x一1=0的两 个实数根，则m2+4m+2n的值是 9.(2024·昭通昭阳区期中)已知关于x的一 元二次方程(x十2)(x+3)一k=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若x1,x2为该方程的两个实数根且满足 x1x2一x1一x2=7,求k的值. 考点4一元二次方程的实际应用 10.本土文化宣威火腿(2024·昭通巧家县模拟) “灼灼媚眼沁桃花，皮薄肉腴入口佳.天女 贪食怕人笑，强留云腿作琵琶”.其中提到 的宣威火腿是云南著名地方特产之一，也 是国家地理标志证明商标.某县大力推进 宣威火腿产业发展，助力乡村振兴.已知该 县2021年生产宣威火腿657t,2023年产 量达到795t.若设这两年宣威火腿产量的 年平均增长率为x,则可列方程为() A.657(1+x)=795B.657(1+x2)=795 C.657(1-x)=795D.657(1+x)2=795 11.2025年起，云南省新高考将采用“3+1+2” 新模式，改革对生物学科提出了更高的要 求.某学校高中生物组为培养同学们观察 实验现象，归纳实验规律的能力，在新校区 内建立了一块矩形的生物实验田，一面利 用学校的墙（墙的最大可用长度为16m), 其余部分需要用总长为28m的栅栏围成， 且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需 要，有两个宽为1的门（门无需栅栏，如 图所示).设实验田的宽BC为xm. (1)该实验田的长AB为多少米？（用含x 的式子表示) (2)若实验田的面积为72m(栅栏的占地 面积忽略不计)，则该实验田的宽是多 少米？ 墙 实验组 对照组 》易错易混专攻。 易错点1忽视一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 1.若关于x的一元二次方程(m-3)x2十mx= 9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的 值为 易错点2 运用根与系数的关系时忽略 △≥>0而致错 2.已知关于x的一元二次方程x2-2(1一m)x十 m2=0的两实数根为x1,x2.若x1x2=1,则 m的值为 冒常考题型演练。 1.(2024·昆明五华区校级期中)一个直角三 角形的一条直角边长是4，另一直角边的长 是一元二次方程x2-3x一10=0的根，则该 三角形的面积是 () A.10 B.4或10 C.8或10 D.4 2.(2025·昆明八中一模)关于x的一元二次 方程x2+2x一k=0有两个实数根，则k的 取值范围是 3.(2024·昆明官渡区校级期中)设℃1，x2是一 元二次方程x2+x一2024=0的两个根，则 x1十2x1十x2的值为 4.(2024·昆明西山区校级期末)某商场销售 一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利 40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库 存，商场决定采取适当的降价措施.经调查 发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每 天可多售出2件. (1)若商场每天要获得利润1200元，请计算 出每件衬衫应降价多少元； (2)商场每天获得的利润有可能达到1400 元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利 润；若不能，请说明理由， 第二十一章一元二次方程22∴.(x2+1)2-13(x2十1)十36=0.设x2十1=y,原方程可变为y2-13y十36=0，解得 y1=4,y2=9,当y=4时，x2十1=4，解得x=士√3.当y=9时，x2十1=9，解得x= 士2√2.∴.原方程有四个根x1=√3，x2=一√3，x=2√2，x4=一2√2；(3)设a十b=m, 原方程可转化为m(m-7)十10=0.整理，得m2-7m十10=0.解得1=2,2=5.：a, b,c是Rt△ABC的三边，且斜边c=4,∴.由三角形三边关系可知a十b>4,即m>4, m=5..a十b=5.由勾股定理，得a2十b2=42=16.(a十b)2=52=25,ab= a"0+的-2526-号8=6=号×号=是 2 2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=士2，x-1=2,或x-1=-2,x=3,2=-1:(2)4(x-2)2=121,(x 2)19x-2=士号-2=号或x一2=-号=号4=-子2解：移 4 项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十2=32十22，(x-2)2=36.由此可得x-2=士6， x1=8,x2=-4;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得 x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a =3,b=一7，c=5.△=一4ac=(一7)2一4×3×5=一11<0.方程无实数根；(2)a=2, b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根x= 处么区-二装压-7，即=-8=一合4解：(1因式分解， 2a 2×2 得(x一7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,=7,x2=1:(2)原方程可变形为 3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(3一x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0, x1=2,x2=3.5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2= 一1.当y=4时，x2=4,解得x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解..原方程的 解为x1=2,x2=-2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2, y2=9.当y=2时，x2-2=2,解得x=士2.当y=9时，x2-2=9,解得x=士√T. 原方程的解为x1=2,x2=一2，x=一√11，x4=√11.6.解：①当x一1≥0时，此 时x≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2=0(不符合题意，舍 去)；②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得 x1=一2，x2=1(不符合题意，舍去)..原方程的根是x1=1,x2=一2. "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 -6c aa 例题引路 【例】解：1十=-3=1：(2)十=号=一子：(8)十=0， 2 ：(4)十=一号，山=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 5 x1x2=一 5 4=)原式=（国十-2=（受）广-2×号=：(2)原式= 2 5 十x==5. x1x21 2 基础过关 1.B2.B3.A4.D5.36.C7.38.3 能力提升 9.A10.B11.±712.解：1)p1(2):x+=p,=1,1+1= 十型=卫=p.:关于x的一元二次方程x一p虹十1=0(p为常数)有两个不相等的 1 实数根西和“-p十1=0x一p十=0，即西十=p:(3):十 p,x1x2=1,且x十x=2p十1，.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，.p2-2=2p十1，解得 p1=3,p2=-1.当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0.当p=-1时，△=p2-4=-3< 0,不合题意，舍去.∴.p=3. 第4页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)(x一2)(1x十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,x=2,x2= -”.“方程(x一2)(mx十)=0是“倍根方程”，.有以下2种情况：当-”=2×2=4 m m 时，n=一4m,即m十=0.当-开=之×2=1时，n=一m,即m十n=0,综上所述，m 与n的关系为4m十n=0或m十n=0;(3),一元二次方程a.x2十bx十c=0(62-4ac≥ 0)是“倍根方程”，设方程的两根分别为t,2t,根据根与系数的关系，得t十2t=一么， …2==品2(0)·（）=台2=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.D2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】n<5且m≠4【变式3m≤53号 4解：(1)-3一2(2)由题意可知十=-3,1=-2，.十=（十x)2-2x1 =(-3)2-2X(-2)=9+4=13.5.B6.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=B-4ac =[-(m十2]2-4×1×(m-1)=+4n+4-4m十4=m2+8.:2≥0，∴.m2十8>0，即 △0，∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=十2，xx2 =1-1,十对-x1x=9,即（十x2)2-31=9,.(m十2）2-3(m-1)=9.整理，得m 十m-2=0..(m十2)(1-1)=0.解得m=-2,=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例11-D合u-1）(2号xc-1)=4X7(3)=-7=84x=-7不 符合题意，舍去，只取x=8(⑤)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上 的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得x2-5.x十6=0.解 得x=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5-3=2.答：原来的两位数 是23或32. 基础过关 1.B2.1十x十x(x十1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个同学， 则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x一x一1560= 0.解得=40，x=-39(不符合题意，舍去.答：九(2)班有40个同学.5.x2一7x十12=0 6.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得 60x2=24000.解得=20，=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌可 分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得2nn一3)=14，整理，得-3m一28=0.解得n=7,或n=一4.“n≥ 3,.n=一4不符合题意，舍去..=7，即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说法不正确， 理由如下：当7m一3)=10时，整理，得r-3n-20=0,解得n=3生8.：符合方程心 2 3一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1D【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得10+x一8)(200一0×10)=640， 解得x=2,x2=6.又，要减少进货量，x=6,此时售价定为10十6=16（元）.答：将售价定 为16元时，能使每天所得利润为640元. 第5页（共72页） 基础过关 1.A2.20%3.解：(1)(100十200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整理， 得2r-3x+1=0,解得4=7=1.当x=号时，10+20×号=200<260（不符合题 意，舍去).当x=1时，100十200×1=300>260，此时售价为4一1=3（元）.答：老板需将每斤 的售价定为3元. 能力提升 4.D5.10%6.解：(1)设该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率为x.根据题意，得 60(1十x)2=86.4.解得x=0.2=20%,2=一22（不符合题意，舍去）.答：该生态果园阳光 玫瑰葡萄产量的年平均增长率为20%；(2)86.4×(1十20%)=103.68(t).答：预估 2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄的产量为103.68t, 思维拓展 7.解：任务1：设工作实验室7月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为x,根据题 意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作 实验室？月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为20%；任务2：设该零件的实际 售价定为y元，则月销售量为800+5022×20=1300-10y(个).当1300-10y< 900,即y>40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300一 10y)=13500.整理，得y2-160y+5250=0.解得y1=80-5√46，y2=80+5√46. (均不符合题意，舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y 30+5)元.根据题意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y2-155y+4600 =0.解得y=40,y2=115(不符合题意，舍去).∴y=40.答：该零件的实际售价应定为 40元 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.2cm,4cm3.A4.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0.解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去).答： 需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m.根据题意，得x(33-3x)=72.整理，得x2 一11x十24=0.解得x1=3,x2=8.当x=3时，33-3x=24>20,不符合题意，舍去，当 x=8时，33一3x=9,符合题意.答：养猪场的边AB的长为9m,BC的长为8m;(2)不 能.理由如下：假设能实现，设BC=ym,则AB=(33-3y)m.根据题意，得y(33-3y) =120.整理，得y-11y十40=0.：△=(-11)2-4×40=-39<0，.该方程无实数 根，该农户想要建一个120m的矩形养猪场的想法不能实现. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.-23.D4.x1=0,x2=-15.解：(1)(x-2)=9,x-2=士3，x-2=3,或 x一2=一3，x1=5,x2=一1；(2)移项，得x2十2x=3.配方，得x2十2x十12=3十12，(x 十1)2=4.由此可得x十1=士2，x1=一3，x2=1.6.C7.B8.-39.解：(1)方程 (x十2)(x十3)-k2=0化成一般式，得x2+5x十6-2=0.，△=52-4(6-k)=1十 4k2≥1>0，.方程总有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=一5,1x2=6一 k2.:x1x2-x-x2=7,即x1x2-(十x2)=7,.6-b2-(-5)=7,解得k=士2.k 的值为2或-2.10.D11.解：(1)长AB为28+2-3x=30-3x(m);(2)根据题意， 得x(30-3x)=72.整理，得x2-10x十24=0.解得x1=4,x2=6.当x=4时，30一3x= 30-3×4=18>16,不符合题意，舍去.当x=6时，30-3x=30-3×6=12<16,符合 题意.答：该实验田的宽为6m. 易错易混专攻 1.-32.-1 常考题型演练 1.A2.k≥一13.20234.解：(1)设每件衬衫应降价x元.根据题意，得 (40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2=20.:要尽快 减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，∴x=20.答：若商场每天要获得 第6页（共72页） 利润1200元，每件衬衫应降价20元：(2)不能.假设能达到，则(40-x)(20十2x)= 1400.整理，得x2-30x十300=0.：△=(-30)2-4×1×300=-300<0，∴.该方程无 实数根，∴该商场每天获得的利润不能达到1400元. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 新知梳理 y=ax2+bx+c 二次项系数一次项系数常数项 例题引路 【例1】①④⑤【例2】w=-3x2十360x-9600(50x55) 基础过关 1.C2.m≠-1-13. 函数解析式 是否为二次函数 二次项系数 次项系数常数项 y=-0.5x2+4x-3 是 -0.5 4 3 y=-2x2-6 是 -2 0 -6 y=-x2十x 是 -1 0 y=(x+1)(x-1)-x2+x 不是 0 1 4.C 5.y= 是 m-1≠0， 6.解：由题意，得 解得/n≠1， 7m2十m=2, m=-2或m=1. .m=-2. 能力提升 7.C8.119.(1)0(2)m≠0且m≠110.解：(1)y=(x十8)(x十6)-6×8=x2+ 14x:(2)由题意，得x2十14x=32.解得x1=2,x2=-16(不符合题意，舍去).答：长和 宽都增加2m.11.解：(1)矩形的一边长为xm,由周长为16m得矩形的另一边长为 (8-x)m.根据题意，得S=x(8-x)=-x2十8x,其中0<x<8:(2)能.理由如下：当设 计费为24000元时，面积为4.0012(m).根据题意，得=2+8x=12.解得=2 x2=6..当矩形的边长为2m和6m时，设计费能达到24000元. 思维拓展 12.解：(1)y=4x2-24x十1440<x<6(2)不能.理由如下：当y=172时，即4x2 24x十144=172.解得x1=7,x2=-1,又0<x<6,.x1=7,x2=-1均不符合题意. .四边形APQC的面积不能等于172mm. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 新知梳理 ①抛物线y轴 (0,0)上低下高小②<0>0<0>0③相同 相反x原点 例题引路 【例】解：)根据二次函数的定义，得2=2， k十1≠0， 解得k=士2..当k=士2时，原函数 是二次函数：(2)根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴.十1>0，即>一1. 由(1)，得k=2.∴该抛物线的解析式为y=3x2,.抛物线的最低点为(0,0).当x>0 时，y随x的增大而增大. 基础过关 1.A2.A 3.(1) x 0 y=4x2 y 1 y=-4x 1 y= 0 第7页（共72页） (2)0=4ry=xy=-4ry=-2@y轴(0.0)4.C5a>1 能力提升 6.B7.B8.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1,∴.点P的坐标为 (1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1..a=1,m=1;(2)二次函数的 解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)抛物线的顶点坐标为(0,0)，对 称轴为y轴. 思维拓展 9.解：(1)：直线y=kx十b过点A(2,0),B(1,1), 件帮么：直线 b=2. AB的函数解析式为y=一x十2.：抛物线y=ax2过点B(1,1),∴.a=1,∴抛物线的函 数解析式为y=x;图象如图：八 (2)连接OB,0C,解方程组=，x+2·得 y=x2, 口=一2，=1点C的坐标为(-2,4.又：点B的坐标为1,1)，点A的坐标为 y1=4,y2=1. (2,0).Sac=合×2X4=4,5ams=号×2X1=1.Sam=Sac-Saas=4-1 =8设点D的纵坐标为0，则n>0Saw=号0A·0=号X2o=3,0=3, 把yp=3代入y=x2,解得xp=士3.又：点D在y轴的右侧，xD=√3，∴点D的坐 标为(3,3). 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 新知梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②k 例题引路 【例1】解：图略.>0=01(0,1)(-1,0)，(1,0)【例2】-22 基础过关 1.A2.B3.-1(答案不唯一)4.解：(1)图象如图： (2)① 上y轴(0,0)②上y轴(0，-3)(3)下35.y=x2-16.2 -4 能力提升 7.B8.D9.-210.解：(1)a= 2 ,k=2;(2)由(1)知y=- 之x十2.列表： 3 0 2 3 -2.5 01.5 21.5 0 -2.5 描点、连线如图 11.解：(1)2一5(2)抛物线的解析式为y= 2x2一5，顶点坐标为(0，一5)，对称轴是y轴；(3)当x<0时，二次函数y=2x2-5中，y 随x的增大而减小. 思维拓展 12.解：(1)令x=0,则y=4,∴.C(0,4),∴.OC=4.令y=0,则-x2十4=0，解得x1=2, =-2.A(2,0),B(-2,0),AB=4,.SaA=号AB·0C=号×4X4=8:(2)存 第8页（共72页） 在，理由如下：如图， 设Q(xo,y),%≠0，连接OQ,BQ,AQ.:∠AQB 90,0A三0B,00=04=0B=2,:。21解得士5，或 o=1 1x0=士2， (舍去)∴.当∠AQB=90时，点Q的坐标为(3,1)或(-√3,1). yo=0. 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 新知梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左hl 例题引路 【例1】解：1y=一子（十2）y:(2)图路，对称销是直线x=一2，顶点坐标为（一2,0）； (3)当x<-2时，y随x的增大而增大.【例2】1y=吉(x-4) 基础过关 1.A2.D3.>-1-1 大 0 4.解：(1)列表： (x+2) 2 x y=x y=(x十2) 16 25 y=(x-2)2 … 25 0 描点、连线如图；(2)①上x=0(0,0)②上x=-2(-2,0)③上x=2 (2,0)5.右2 能力提升 6.(1)(-3,2)(2)x=-3(3)-32(4)<-3(5)-5<x<-17.2或8 8解：(1)由题意知，顶点A的坐标是(-1,0)，.OA=1.OA=OB,OB=1,.B(0, -1).将B(0,-1)的坐标代入y=a(x十1)，得-1=a×(0十1)2，解得a=-1.∴.抛物 线对应的函数解析式为y=一(x+1)2;(2)将点C(-3,b)的坐标代入y=一(x十1)2， 得b=-(-3十1)2=-4；(3)：抛物线y=-(x十1)2的对称轴是直线x=一1，a<0, ∴当x>-1时，y随x的增大而减小.点D(2,y),E(3,y2)在此抛物线上，-1<2< 3,.y1>y2, 思维拓展 9.解：(1)由题意，得平移后的抛物线的解析式为y=(x-a),顶点A(a,0).当x=0 时，y=a2,.B(0,a).△AOB为等腰直角三角形，∴.OA=OB,.a=a,解得a1=1, a2=0(舍去).a的值为1；(2)存在.如图，Y 作点B关于抛物线的对称 轴对称的点C,连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AC.,△AOB为等腰直角三 角形，结合抛物线的对称性，得△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAD=45°.，AD为抛 物线的对称轴，∴AB=AC,∠CAD=∠BAD=45°，∴.∠BAC=∠CAD+∠BAD= 90°，△ABC为等腰直角三角形.由(1)可知B(0,1),抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.点C的坐标为(2,1)，.在图中的抛物线上存在点C(2,1),使△ABC为等腰直角三 角形. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十的图象和性质 新知梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 例题引路 【例1】解：(1)将点(1，-2)代入y=a(x-3)2+2,得-2=a×(1-3)2+2,解得a= -1;(2):a=一1<0，此抛物线的开口向下.：对称轴为直线x=3,∴.当x<3时，y 随x的增大而增大.：m<n<3,∴y<y2.【例2】y=-7(x十4)2-1 第9页（共72页）