精品解析：上海市上海中学东校2025-2026学年高三上学期暑假返校评估测试数学试卷

上海市上海中学东校2025-2026学年高三上学期暑假返校评估测试数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分36分） 1. 所有满足的集合的个数是___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由集合的包含关系列举求解. 【详解】由题意得， 故集合有 共6个， 故答案为：6. 2. 等号成立时的范围___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，即可求解. 【详解】因为， 所以由三角不等式，有， 所以，且等号当且仅当，即时成立. 因此，对所有实数恒成立，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 3. 曲线平行于直线的切线方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数结合已知求出切点坐标，进而求出切线方程. 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 故答案为：或 4. 已知函数在区间上的最大值是2,则实数______. 【答案】或. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于的方程，即可求解. 【详解】函数， 对称轴方程为为； 当时，； 当， 即（舍去），或（舍去）； 当时，， 综上或. 故答案为:或. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题. 5. 已知是第二象限的角，化简：=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数在各个象限的符号得，再利用平方关系，即可求解. 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 6. 某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率的计算公式即可得出. 【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则； 事件B表示该动物活到25岁，则， 所以. 故答案为：. 7. 在直角三角形中，点是斜边B的中点，点为线段的中点，则 . 【答案】10 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 故答案为:． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解，，再利用运算律转化求即可. 【详解】∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵, ,， 故答案为：. 9. 将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 【答案】504 【解析】 【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得. 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 10. 已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为______. 【答案】15 【解析】 【分析】先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案. 【详解】由题意得， 设等差数列的公差分别为， ，，故， 故，又， 故，即， ，又， ，即， 联立，化简得， 解得 又是整数，即是整数， 设，故，即， 解得， 令，解得，且， 当时，满足要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 当时，不合要求， 综上，的值为15. 故答案为：15 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得， 又，，设的中点为， 在中，，，， 则，，根据， 可知，. 故答案为：. 12. 已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：设为的图象上任意一点，通过点的旋转得到旋转后的坐标，构造函数，由其单调性求解即可； 法二：求导，由讨论的单调性，结合旋转讨论； 【详解】法1：设为的图象上任意一点， 绕原点逆时针旋转后点的对应点为， 设，与正半轴夹角为， 可得：， 化简可得：令，则， 所以，令， 要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象， 则为单调函数，即恒成立，或恒成立. 因为，又，故不恒成立，所以恒成立， 当时，；当时，由，得， 令，则， 易得当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 当时，由，得，令，则， 所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为， 所以.综上所述，的取值范围为. 法2：，当时，由，得， 由，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象； 当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后， 得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立， 所以在上恒成立，令，则， 因为，所以当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以， 所以.综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：法二：要使绕原点逆时针旋转后，得到的曲线为某函数的图象，必有，得到在上恒成立； 二、选择题（本大题共有4题，满分12分） 13. 若，则不等式成立的一个充要条件是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若，则，，或者，， 即，，或者，， 则或或， 则，，都是不等式成立充分不必要条件， 故选：． 14. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4 D. 若，则事件A，B相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用百分位数的定义可判断C选项，利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断D选项. 【详解】A，设2组数据分别记为， 总体的样本平均数为， ， ， 方差 ， 只有当时，才成立，A错误， B，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于B错误， C，8位新冠患者的潜伏天数从小到大排列分别为：2，3，3，4，7，8，10，18， 该样本数据的第50百分位数为C错误， D，，即，故， 则事件A，B相互独立，D正确. 故选：D. 15. 如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（ ） A. ①，②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①，②都错误 【答案】A 【解析】 【分析】将四面体补成平行六面体，利用已知条件和平行六面体中的对称性，结合余弦定理构造等量关系，从而推导出选项的正误. 【详解】在如图所示的平行六面体中， 设，，，，，，则由余弦定理有： ，，， ，，， 由得，， 将上面6个式子代入化简可得： ①， 类似地，由得，， 代入上面6个式子化简可得： ②， 得： 故，从而，即， 故①正确； 而由已知条件无法推出，则AC与BD不一定相等， 故②正确； 故选：A. 16. 设函数,设集合，设，则为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，利用韦达定理得到 ，得到，计算得到答案. 【详解】，满足两根之和为，且 故，根据韦达定理得到 ，故 故选： 【点睛】本题考查了方程解的问题，韦达定理，集合知识，意在考查学生的综合应用能力. 三、解答题 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用公式法求解含绝对值符号的不等式. （2）等价变形不等式，按分段，并结合绝对值的三角不等式求解. 【小问1详解】 当时，，由，得， 即，则，解得， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 不等式， 当时，原不等式成立； 当时，由绝对值三角不等式，得，当且仅当取等号， 因此，即，解得，则， 所以实数的取值范围是. 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间； （2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值. 【小问1详解】 ∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 19. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点. （1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； （3）求的最大值. 【答案】（1）联立与得：， 由直线与椭圆有一个公共点可知：， 化简得：； （2）由题意得：， 因为，所以∥，故， 其中，， 所以， 为定值，该定值为1； （3）4 【解析】 【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出；（2）利用点到直线距离公式得到，，结合∥，求出，结合第一问的结论证明出为定值1；（3）利用向量线性运算及点在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到 ，利用基本不等式求出最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 由题意得：点在直线的同侧， 所以， ，（其中为的夹角）， 由此可知：， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为4. 【点睛】对于圆锥曲线定值问题，要能够利用题干信息用一个变量求解出要求的量，可以是直线的斜率，也可以是点的坐标，然后代入计算得到定点. 20. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，将，代入的解析式，对进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解； （2）将代入的解析式，，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值转化成必有两个不等的实数根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解； （3）将代入的解析式，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当，时，， 则，故，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，定义域为， 所以， 因为既存在极大值，又存在极小值， 所以必有两个不等的实数根， 当时，不符合题意， 故，令，解得或且 所以且， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，或， 所以， ， 由题意，得对任意的恒成立， 因为当时，在上单调递减， 所以，故， 所以，且，则. 令，其中， 所以， 令，则， 当，即时，，在上单调递增， 所以，即，符合题意， 当，即时，设方程的两根分别为，， 则，，不妨设， 当时，，在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键是将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市上海中学东校2025-2026学年高三上学期暑假返校评估测试数学试卷 2025.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分36分） 1. 所有满足的集合的个数是___________. 2. 等号成立时的范围___________. 3. 曲线平行于直线的切线方程为___________. 4. 已知函数在区间上的最大值是2,则实数______. 5. 已知是第二象限的角，化简：=___________. 6. 某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为____________. 7. 在直角三角形中，点是斜边B的中点，点为线段的中点，则 . 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝，则的值是________． 9. 将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 10. 已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为______. 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 12. 已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分） 13. 若，则不等式成立的一个充要条件是（ ）． A. B. C. D. 14. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差 B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1 C. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4 D. 若，则事件A，B相互独立 15. 如图，ABCD是四面体.已知，，以下两个语句中：①棱AB与棱CD一定相等；②棱AC与棱BD不一定相等；下列选项判断正确的是（ ） A. ①，②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①，②都错误 16. 设函数,设集合，设，则为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 三、解答题 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知向量，且， （1）求函数在上的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 19. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点. （1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； （3）求的最大值. 20. 已知函数. （1）当，时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围； （3）当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $