2.2.4三角形全等的判定（HL）第4课时 教案2025-2026学年 青岛版八年级 数学上册

该初中数学教案聚焦“直角三角形全等的判定（HL）”，课堂导入先复习SAS、ASA等一般三角形全等判定方法，通过“直角三角形除直角外添加哪些条件可全等”的问题驱动，搭建从一般到特殊的知识支架，引导学生自然过渡到HL定理探究。 特色在于以几何直观和推理能力培养为核心，如让学生裁剪指定直角边与斜边的直角三角形纸片比较重合，直观感知HL定理；例题中通过连接辅助线构造全等三角形，发展推理意识。助力学生建立数学思维，为教师提供可操作的探究式教学流程，提升课堂效率。

配套初中数学青岛版（新课标） 第二章 全等三角形 2.2.4三角形全等的判定（HL）   一、教材分析 《三角形全等的判定（HL）》是青岛版初中数学八年级上册第二章《全等三角形》第二节第4课时的内容，此前学生已学过SAS、AAS、ASA、SSS等一般三角形全等判定方法，本节课聚焦直角三角形特有的“斜边、直角边”（HL）定理，是对全等三角形知识体系的补充，为后续解决直角三角形相关几何证明与计算问题奠定基础，体现了从一般到特殊的数学思维．   二、学情分析 八年级学生已具备基本几何推理能力，熟悉一般三角形全等判定，但对直角三角形独有的HL判定定理缺乏直观认知，可能在理解“HL为何仅适用于直角三角形”及灵活应用定理时存在困难．需通过动手操作和具体案例，帮助其建立定理与实际应用的联系．  三、教学目标 1．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力． 2．能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等，提升学生的知识应用能力．   四、教学重难点 重点：探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”（HL）判定定理，能运用定理证明直角三角形全等． 难点：理解HL定理的特殊性（仅适用于直角三角形），并能在复杂问题中准确选择HL定理进行证明．   五、教学过程 · 复习回顾 前边学过了哪些判定三角形全等的方法： 1．两边和它们的夹角分别相等（SAS) 2． 两角和它们的夹边分别相等（ASA) 3． 两角分别相等且其中组等角的对边相等（AAS) 4． 三边分别相等（SSS) 师生活动：教师提问引导学生回顾SAS、AAS、ASA、SSS判定方法，学生思考作答． 设计意图：复习旧知，搭建新旧知识桥梁，激发学生对直角三角形特殊判定方法的探究兴趣． · 探究新知 活动一：探究直角三角形全等的判定方法　 两个直角三角形，除直角外，增加哪两个条件，可以判定这两个直角三角形全等？ 以下三种情况均可： ①两直角边分别相等(SAS)； ②一直角边及其相邻或相对的锐角分别相等(ASA或AAS)； ③一锐角和斜边分别相等(AAS)． 师生活动：教师提问“除直角外，添加哪两个条件可判定直角三角形全等”，学生分组讨论，得出两直角边相等（SAS）、一直角边与一锐角相等（ASA/AAS）、一斜边与一锐角相等（AAS）三种情况，教师结合图形验证． 设计意图：通过问题驱动，引导学生联系一般三角形判定方法，为HL定理的引入做铺垫． 活动二：探究直角三角形全等的判定方法（HL） 如果斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 能转化为以前的方法证明吗？ 如图，将一张长方形硬纸片沿虚线剪开，可得到一张直角三角形纸片，其一条直角边长为6cm，斜边长为8cm． （1）将你的直角三角形纸片与同学的进行比较，它们能重合吗？ （2）改变上述条件中直角边和斜边的长度，再试一试． 总结：如果满足斜边和一条直角边分别相等，两个直角三角形全等． 师生活动：教师提出“斜边与一直角边相等能否判定全等”，让学生裁剪长6cm直角边、8cm斜边的直角三角形纸片，与同学比较是否重合，改变边长重复实验，归纳结论． 设计意图：通过动手操作，让学生直观感知HL定理的正确性，培养几何直观能力． 活动三：直角三角形全等的判定定理 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 注意：“HL”是直角三角形独有的判定三角形全等的方法． 师生活动：教师明确HL定理内容及“HL是直角三角形特有判定方法”的注意事项，学生理解记忆，教师答疑． 设计意图：明确定理的文字表述与适用范围，强化定理的唯一性认知． · 应用新知 例1． 如图，在四边形ABCD中，，．求证：． 分析：根据直角三角形全等的判定条件依次找出． 证明：如图，连接． 在和 中，， 所以． 所以． 总结：在证明两条线段相等或两个角相等时，若它们不在两个全等三角形中，可以通过添加辅助线，构造两个全等三角形，使待证的线段或角分别是这两个全等三角形的对应边或对应角． 例2．如图，已知AD是△ABC的高，点E为AD上一点，且，．求证：． 分析：做辅助线证明，然后根据角之间的关系证明． 证明：延长BE交AC于点F．因为为的高，所以． 所以．在和中， 所以．所以． 在中，，所以． 所以．因为， 所以． 所以．所以． 师生活动：教师讲解例1、例2，引导学生分析辅助线添加思路（如连接BD、延长BE），利用HL证明全等，再通过角的转化证明线段相等或垂直，学生尝试书写证明过程． 设计意图：通过例题示范，培养学生运用HL定理解决问题的能力，掌握构造全等三角形的技巧． · 课堂练习 1．如图，点D为的边的中点，，，垂足分别为点，. 求证：（1）；（2）． 分析：对于这类几何证明题，关键在于合理利用已知条件，通过分析待证线段或角所在的三角形，找到证明三角形全等的条件，再利用全等三角形的性质进一步推导． 证明：（1）D是的BC边的中点，，， ，、均为直角三角形； 在和中， ，； （2）所以，所以，所以． 2．如图，在中，，垂足为点D，点E在AD上，连接CE，，．求证：． 分析：通过证明，来证明． 证明：因为，所以，即和都是直角三角形． 因为，所以，则． 总结：根据直角三角形全等判定定理“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ），可得． 师生活动：学生独立完成两道证明题，教师巡视指导，选取答案展示并点评，强调HL定理的应用条件． 设计意图：巩固HL定理的应用，反馈学生对定理的掌握情况． 限时训练 1．如图，有甲、乙、丙三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是，所用的判定方法是． 2．如图，OE是的平分线，于点D，于点，，都经过点E，则图中全等的三角形共有(　　) A．3对　 B．4对 C．5对　 D．6对 3． 如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，点E，F为垂足，． 求证：（1）； （2） ． 分析：（1）先证明Rt△ACE≌Rt△CBF，再利用全等三角形的性质推导角的关系． （2）由于，则，利用线段之间的关系推导即可． 证明：（1）因为，，所以， 在和中， 所以．所以CAE=BCF． 因为． 所以． 证明：（2）由（1）得， 所以．又因为，， 所以． 4．如图，在线段AD上有两点E，B，且，分别以AB，DE为直角边在线段AD同侧作和，，． 求证：． 分析：结合线段的和差关系，能够推导出，利用直角三角形全等的“HL”定理来证明两个三角形全等． 证明：因为，，，所以． 在和中，，所以． 所以．又因为，， 所以 总结：通过证明三角形全等得到两个角相等是常见的证明方法． 师生活动：学生在规定时间内完成4道题（含选择、证明），教师公布答案并讲解易错题，如第3题需通过HL证明全等后推导角的关系． 设计意图：提高学生解题速度与应变能力，深化HL定理在综合问题中的应用． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．使用HL定理时，需要满足哪两个条件？ 设计意图：师生共同回顾HL定理内容、适用范围及应用场景，帮助学生梳理知识脉络，强化记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $