2.2三角形全等的判定（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

2.2三角形全等的判定 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 利用SAS判定三角形全等 题型二 利用ASA或AAS判定三角形全等 题型三 利用SSS判定三角形全等 题型四 利用HL定理判定三角形全等 题型一 利用SAS判定三角形全等 1.如图，，，，，则为 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】运用证明，得根据三角形内角和定理可求的度数．则易求的度数．  【解析】解：如图，，  ，    ，   在和中，  ，      故选：  2.如图，已知，请添加一个条件使得，则可添加的条件是 ______只填写一个即可 【答案】 【分析】由，加上公共角，所以当时，可根据“”判断 【详解】解：在与中，  ，    故答案为：答案不唯一  2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）已知：如图，．问：与全等吗？请说明理由． 【答案】与全等，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由题意知，．证明即可． 【详解】解：与全等．理由如下； ∵， ∴，即． ∵，， ∴． 4．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，点分别是正五边形的边上的点，连接交于点，且． (1)与全等吗？为什么？ (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． （1）利用正五边形的性质得出，，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出，进而得出即可得出答案． 【详解】（1），理由为： ∵五边形是正五边形， ∴． 在与中， ， ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，由可得，由可得，即可由证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点在直线上，， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6.如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点若，，的面积. 【答案】12.8 【详解】解：和都是等腰直角三角形，，  ，，  在和中，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、三角形的面积公式等知识，证明是解答该题的关键． 题型二 利用ASA或AAS判定三角形全等 1．（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定方法．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法即可证明． 【详解】， ，， 点D是的中点， ， 在与中， ， ． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长． 【答案】5 【分析】先根据证明，则可得，即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵、是 的高， ， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 又， ， ． 故答案为：5. 3.（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，，，点在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可判断． 【详解】证明：和相交于点， ． 在和中， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 4．八年级上·四川自贡·期末）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论． 【详解】在上取点F，使    ∵，分别是，的平分线 ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键． 题型三 利用SSS判定三角形全等 1．如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知条件结合公共边，即可根据证明两三角形全等． 【详解】解：在和中， ∴．故选：C． 2．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 3．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角的判定，由，可证，再利用“”证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 4．如图，已知、相交于O，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练的利用证明三角形全等是解本题的关键；连接，再证明即可． 【详解】解：连接，如图∶ 在与中， ∴ ∴． 5．如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用证明△ACE≌△ACF，得出即可；（2）根据△ACE≌△ACF ，得出，推出，利用证明，得出即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∴， ∴； （2）证明：∵由（1）得△ACE≌△ACF， ∴， ∴180°－∠ACE=180°－∠ACF，即， 在和中， ， ， ∴． 题型四 利用HL定理判定三角形全等 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 2．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 3．如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 【答案】 (答案不唯一) (答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，． （1）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案； （2）斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：，， ， （1）在中， ， ， 利用，需补充一个条件是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． （2）在和中， ， 利用，需补充一个条件(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 4．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 【答案】的长度为8． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， ∴， ∴， 答：的长度为8． 6．如图，于点D，于，交于，,求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的判定得出，即可证明 【详解】证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 1.如图，在中，，，点是边上的中点，则的长满足的条件是 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】分析如图，延长到点，使根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论．  【详解】解：如图，延长到点，使  点是的中点已知，  ，  在和中，  ，    ，  ，  ，  ，    故选：  【点睛】此题主要考查了全等三角形的判断和性质，掌握倍长中线是解决该问题的关键. 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 3.如图，为线段上一动点不与点、重合，在的上方分别作和，且，，，、交于点有下列结论：①；②；③∠DPA=∠DCA；④C点到∠APB两边的距离相等其中正确的是 ______把你认为正确结论的序号都填上 【答案】①②③④; 【详解】解：，  ，即，  在和中，  ，  ，  ，故①正确；  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，故②正确；  ∴∠DPA=∠DCA故③正确；  如图，连接，过点作于，于，    ，  ，，  ，  ，  故④正确，  故答案为：①②③④．  【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质定理和判定，三角形内角和定理，三角形面积，外角的性质等，综合性较强，熟练掌握各种结论是解此题的关键． 4．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． (1)和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 【答案】(1)是 (2)①；②见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵， ∴和是兄弟三角形； （2）证明：①． 延长至，使， ∵为的中点， ， 在和中， ， ， ． ②∵， ， ， ， 又 ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵， ． 5．已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）证明，则，等量代换即可得到结论； （2）证明，则，等量代换即可得到结论； （3）证明，则，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵ ∵ 1．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①．对量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点、在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出、两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答；方案一：__________．方案二：__________． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 【答案】(1)②，③ (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行判断即可； （2）先根据平行线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质即可得。 【详解】（1）方案一：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 方案二：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：②，③ （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2三角形全等的判定 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 利用SAS判定三角形全等 题型二 利用ASA或AAS判定三角形全等 题型三 利用SSS判定三角形全等 题型四 利用HL定理判定三角形全等 题型一 利用SAS判定三角形全等 1.如图，，，，，则为 A. B. C. D. 2.如图，已知，请添加一个条件使得，则可添加的条件是 ______只填写一个即可 2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 3．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）已知：如图，．问：与全等吗？请说明理由． 4．（23-24八年级上·陕西延安·期中）如图，点分别是正五边形的边上的点，连接交于点，且． (1)与全等吗？为什么？ (2)求的度数． 5．（2024·广东广州·三模）如图，点在直线上，，且，求证：． 6.如图，把两个角的直角三角板放在一起，点在上，、、三点在一条直线上，连接，延长线交于点若，，的面积. 题型二 利用ASA或AAS判定三角形全等 1．（2024·甘肃武威·三模）如图，在中，点D是的中点，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．求证：． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在 中，H是高和的交点，且，已知，，求的长． 3.（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，，，点在边上，．求证：． 4．八年级上·四川自贡·期末）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    题型三 利用SSS判定三角形全等 1．如图，在 和 中 ，，， 在不添加任何辅助线的条件下， 可判断，  判断这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，求证：． 4．如图，已知、相交于O，，．求证． 5．如图，在四边形中，，点，分别在，上，连接，，，，， (1)试说明：； (2)试说明：． 题型四 利用HL定理判定三角形全等 1．如图，因为：，，垂足分别为、，且，所以与全等的理由是(    ) A． B． C． D． 2．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 3．如图所示，已知，，要使．    （1）若利用，需补充一个条件 ． （2）若利用，需补充一个条件 ． 4．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，    (1)求证：； (2)若，求的度数 5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度． 6．如图，于点D，于，交于，,求证： 1.如图，在中，，，点是边上的中点，则的长满足的条件是 A. B. C. D. 2.（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3.如图，为线段上一动点不与点、重合，在的上方分别作和，且，，，、交于点有下列结论：①；②；③∠DPA=∠DCA；④C点到∠APB两边的距离相等其中正确的是 ______把你认为正确结论的序号都填上 4．我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，在和中，． (1)和________兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，试说明，小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，试判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：． 5．已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 1．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图①．对量员在地面上找一点，在连线的中点处做好标记，从点出发，沿着与平行的直线向前走到点处，使得点与点、在一条直线上，测出CE的长度 如图②，测量员在地面上找一点，沿着向前走到点处，使得，沿着向前走到点处，使得，测出、两点之间的距离 测量结果 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三角形全等的条件：①；②或；③，请选择一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等的条件？ 答；方案一：__________．方案二：__________． (2)请写出方案一计算水潭的宽度的过程． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$