精品解析：上海市控江中学2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题

9月月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集，集合，则______． 2. 不等式的解集为__________． 3. 在△ABC中，，则=____________ 4. 已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 5. 已知，若，则的最小值是________， 6. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 7. 在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答） 8. 若（是虚数单位）是方程的一个根，则____ 9. 若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____； 10. 一份考卷有10道考题，分别为两组，每组5道．现要求考生选答6道，但每组最多选4道，有__________种选法． 11. 已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________. 12. 已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果． 13. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 14. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 15. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点．若对任意给定的，均存在上的三点使得与相似，则称曲线为“完备曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完备曲线”； ②存在双曲线不是“完备曲线” 下列判断正确的是（ ）． A. ①②都是真命题 B. 只有①是真命题 C. 只有②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 18. 在中，角、、对应边为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，求的面积． 19. 为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通教 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？ 20. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； （3）已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 21. 设函数和函数的定义域均是是的非空子集.若对任意，当时，总有，则称函数是函数的一个“关联函数”． （1）若，求函数的所有“关联函数”； （2）若，且函数是其自身的一个“关联函数”，求实数的取值范围； （3）已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9月月考 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 设全集，集合，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用补集的定义可得出结合. 【详解】因为全集，集合，则. 故答案为：. 2. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，转化为或，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 即不等式的解集为. 故答案为：. 3. 在△ABC中，，则=____________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，则是锐角，于是， 则，，． （或由得，因为，则．） 4. 已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 5. 已知，若，则的最小值是________， 【答案】2 【解析】 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 6. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由圆锥的侧面积公式 故答案为：2π 7. 在的展开式中，的系数为_______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项，再令的幂指数为，即可求出，再代入计算可得； 【详解】解：因为展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为； 故答案为： 8. 若（是虚数单位）是方程的一个根，则____ 【答案】 【解析】 【分析】确定方程另一根为，利用韦达定理表示出，由此可求得结果. 【详解】是方程的一个根，另一根为， ，， . 故答案为：. 9. 若是定义在上的奇函数，当时，，则=_____； 【答案】 【解析】 【分析】 利用奇函数的性质，求值. 【详解】是上奇函数，，，. 故答案为： 10. 一份考卷有10道考题，分别为两组，每组5道．现要求考生选答6道，但每组最多选4道，有__________种选法． 【答案】200 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，即可求得答案. 【详解】由题意可分3类考虑： 第一类：A组选4题，B组选2题，有种选法； 第二类：A组选3题，B组选3题，有种选法； 第三类：A组选2题，B组选4题，有种选法； 故共有（种）选法， 故答案为：200 11. 已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________. 【答案】1078 【解析】 【分析】 根据数列的递推关系式，求出数列的前几项的最大值和最小值，进而结合计算规律和等差、等比数列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由题意，数列满足：，， 由，可得； 由，可得或； 由，可得或；或； 或； 由，可得或或； 或或；或或或或； 或或或或或； 综上可得的最大值， 最小值为， 所以. 故答案为： 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 12. 已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，如图，不妨设，设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 设，，分析得到，，求出，再求出的值即得解. 【详解】设，如图， 不妨设. 则要使最小，只需最大， 设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则. ， 设，，点在平行四边形内（含边界）， 所以，由题知恒成立. 为了使最大，则为钝角，即点在第一或第四象限. 不小于到直线的距离，所以为点到直线的距离， 所以.即，即 即，即. 所以.所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为. 则的最小值为 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果． 13. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确 选项：值域为，错误 选项：值域为，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 14. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 15. 设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】数列-3，-2，-1，0，1，2，3，…是递增数列， 但不是递增数列，故不充分； 数列1，1，1，1，…的前n项和为是递增数列， 数列不是递增数列，故不必要； 故选：D 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点．若对任意给定的，均存在上的三点使得与相似，则称曲线为“完备曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完备曲线”； ②存在双曲线不是“完备曲线” 下列判断正确的是（ ）． A. ①②都是真命题 B. 只有①是真命题 C. 只有②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目完备曲线的定义，以及椭圆、双曲线图像特点，通过平移、旋转、伸缩等变换，通过角度情况来判断相似，即可得出结论. 【详解】对于命题①，在椭圆上先任选一点P，再选一点Q，则当点R运动时， 最小为0，极限情况为与点处切线所成角， 再让点Q运动，则极限情况可无限接近， 对于任意，可使绕点旋转而保持不变，且变化， 可也平移与，而保持不变，且变化， 这些变化过程是连续的， 所以可与任意给定三角形相似, 所以任意椭圆都是“完备曲线”，故命题①是真命题. 对于命题②，由于方程可表示所有离心率的双曲线， 任取三点，不妨设， 则，可取与其同向的向量， 同理与同向的向量为，， 则为所成角、为所成角， 当时，， 如图可得是锐角，范围是，且、相加小于， 对于任意，可使位置变化，且保持不变，而变化， 所以可与任意给定三角形相似, 所以任意双曲线都是“完备曲线”，故命题②是假命题. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 【答案】（1）；（2）arctan. 【解析】 【分析】（1）由V＝PE•S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可； （2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解. 【详解】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4， ∴PE＝2， 又PE⊥平面ABCD， ∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE•S正方形ABCD＝×2×42＝. （2）∵PE⊥平面ABCD， ∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴PE＝FE＝4， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角， ∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC， 又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝， 故PC与AD所成角的大小为arctan. 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥体积的求法，考查异面直线所成的角，考查计算能力和空间想象能力，解题的关键是由PF与平面ABCD所成角为45°，可得△PEF为等腰直角三角形，从而可求出的长，进而在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝可求得结果，属于中档题 18. 在中，角、、对应边为、、，其中． （1）若，且，求边长的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出，即可求出，利用正弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角化简可求出，结合两角和的正弦公式即可求出，继而求出c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 由，可得，结合， 得，即， 则，可得， 由于，故，则, 故，得； 【小问2详解】 由题意知，故， 由于，故， 结合，可知C为锐角，则， 故，， 故，得； 所以. 19. 为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通教 150 120 （1）设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小江补领了手绘款明信片40张．记事件A：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件A，是否独立； （2）设每位抵达的校友可以随机抽取2份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？ 【答案】（1），，事件A，不独立 （2）59 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求出、，根据相互独立事件的概率公式判断是否独立； （2）表示出首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品的概率，解不等式求解即可. 【小问1详解】 依题意， 书签 明信片 手绘款 40 40 普通教 150 120 ， ， ， 因为， 所以事件A，不独立. 【小问2详解】 设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件C， 则，解得， 考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数， 所以手绘款明信片的张数为59. 20. 已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上； （3）已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求出，即得其离心率； （2）设，利用代入坐标，化简得到，因点为线段的中点，故，化简计算，即可证得； （3）设直线，代入，得到韦达定理，由，结合，即得，利用韦达定理，计算推得，由求出，利用双勾函数的图象单调性即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由可得，则， 则椭圆的离心率为. 【小问2详解】 如图，设， 因是椭圆上的不同三点，则，（*） 由可得， 即①②， 由可得：， 即， 将（*）代入整理得：. 又因点为线段的中点，故， 由 ，可知点在椭圆上. 【小问3详解】 依题意，设直线，将其与联立， 消元整理得：， 显然，且，因， 则，又，则， 由 ， 因，则得，故，即得. 又函数在上单调递减，在上单调递增，且， 又由解得或，由解得或， 由函数图象可得或， 故实数的取值范围为. 21. 设函数和函数的定义域均是是的非空子集.若对任意，当时，总有，则称函数是函数的一个“关联函数”． （1）若，求函数的所有“关联函数”； （2）若，且函数是其自身的一个“关联函数”，求实数的取值范围； （3）已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据“关联函数” 的定义及换元法找出满足条件的函数即可. （2）应用新定义证明函数是增函数，将问题转化为在上恒成立，结合分离参数求最值，运用导数求在上最值即可. （3）先证明，再结合定义证明结论. 【小问1详解】 设是的关联函数， 对于， 当时，即，总有， 所以， 设，则， 所以， 所以的关联函数为. 【小问2详解】 因为是其自身的一个关联函数. 对于，当时，. 所以函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 设，则， 令，则；，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为存在定义在上的函数，使得对于任意正整数，都满足是的一个关联函数. 所以对任意，当时，有， 取，则， 取，则， 取，则， 因为 所以 若，则存在，使得，此时，矛盾， 所以， 所以对任意，对于任意正整数，当时， 有， 可得当时，， 则对于任意整数，在上单调递增， 当时，存在整数，使得， 则可得， 则是上的严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $