第二章一元二次方程单元综合练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第二章一元二次方程单元综合练习 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．y21 C．x2+x﹣2＝0 D．x3+3x﹣6＝0 2．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 3．若一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个根为1，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 4．某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．6000（1+x）2＝6200 B．6000（1﹣x）2＝6200 C．6000（1+2x）＝6200 D．6000x2＝6200 5．一元二次方程5x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 6．若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0 7．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 8．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形AEGH．则能列出关于x的一元二次方程是（　　） A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝39 C．x2+10x＝64 D．x2+10x＝89 9．不论x，y取任何实数，x2﹣4x+y2+6y+8总有（　　） A．最大值8 B．最小值8 C．最大值﹣5 D．最小值﹣5 10．如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m 二．填空题（共6小题） 11．写一个解为x1＝4，x2＝5的一元二次方程 　 　 ．（答案不唯一） 12．方程y2＝8y的根是 　 　 ． 13．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 　 　 人． 14．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是 　 　 ． 15．如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 　 　 m． 第15题图 第16题图 16． 如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．则运动 　 　 秒后P、Q两点相距25cm． 三．解答题（共9小题） 17．解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）x2﹣2x＝2﹣x； （2）x2﹣6x+8＝0． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值． 19．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根． ①求k的取值范围； ②如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边（AB）的长为x m． （1）用含x的代数式表示BC边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为36m2，求BC边的长． 21．李明准备进行如下操作试验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于62.5cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元． （2）按这样的降价措施，该商场每天获利能否达到1300元？若能，求出售价；若不能，请说明理由． 23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）如果方程的一个根为﹣1，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根； （3）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 24．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知x＞0，求式子的最小值． 解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即12）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　 　 时，式子取到最小值，最小值为 　 　 ； （2）分式是 　 　 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式 　 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 　 　 个； （3）用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知x＞1，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 25．某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为75cm2． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 第二章一元二次方程单元综合练习 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C B A B D B 一．选择题（共10小题） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．2x+1＝0 B．y21 C．x2+x﹣2＝0 D．x3+3x﹣6＝0 【解答】解：A．2x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； B．y21不是整式方程，该选项不符合题意； C．x2+x﹣2＝0是一元二次方程，该选项正确，符合题意； D．x3+3x﹣6＝0，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2．将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1 【解答】解：将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，可得3x2﹣5x+1＝0， 则a，b，c的值分别为3，﹣5，1， 故选：D． 3．若一元二次方程x2﹣4x+a＝0的一个根为1，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4 【解答】解：由条件可得1﹣4+a＝0， 解得a＝3， 故选：A． 4．某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（　　） A．6000（1+x）2＝6200 B．6000（1﹣x）2＝6200 C．6000（1+2x）＝6200 D．6000x2＝6200 【解答】解：由题意可得， 6000（1+x）2＝6200， 故选：A． 5．一元二次方程5x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【解答】解：∵5x2﹣3x﹣1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×5×（﹣1）＝9+20＝29＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．若关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1且m≠0 【解答】解：∵关于x的方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m＞﹣1且m≠0． 故选：B． 7．已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根， 所以a+b＝﹣6， 将x＝a代入方程得， a2+6a﹣2＝0， 即a2+6a＝2， 所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4． 故选：A． 8．公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先构造边长为x的正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到面积为64的正方形AEGH．则能列出关于x的一元二次方程是（　　） A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝39 C．x2+10x＝64 D．x2+10x＝89 【解答】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形， ∴（x+5）2＝64， 整理得：x2+10x＝39， 故选：B． 9．不论x，y取任何实数，x2﹣4x+y2+6y+8总有（　　） A．最大值8 B．最小值8 C．最大值﹣5 D．最小值﹣5 【解答】解：∵x2﹣4x+y2+6y+8＝x2﹣4x+4+y2+6y+9﹣5＝（x﹣2）2+（y+3）2﹣5， 又（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴x2﹣4x+y2+6y+8总有最小值﹣5， 故选：D． 10．如图，小军的爸爸用一段15m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6m）的矩形鸭舍，其面积为24m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A．4m或12m B．4m C．2m或6m D．2m 【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为（15+1﹣x）m， 根据题意得：（15+1﹣x）x＝24， 解得：x1＝4，x2＝12（不符合题意，舍去）， 即BC长为4m， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．写一个解为x1＝4，x2＝5的一元二次方程 　（x﹣4）（x﹣5）＝0（答案不唯一）　 ．（答案不唯一） 【解答】解：根据题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝0． 故答案为：（x﹣4）（x﹣5）＝0（答案不唯一）． 12．方程y2＝8y的根是 　y1＝0，y2＝8　 ． 【解答】解：y2＝8y， 移项，得y2﹣8y＝0， ∴y（y﹣8）＝0． ∴y＝0或y﹣8＝0． ∴y1＝0，y2＝8． 故答案为：y1＝0，y2＝8． 13．有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有49人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为 　343　 人． 【解答】解：设一个人可以传染x个人，则第2轮感染x（1+x）人， 由题意得：1+x+x（1+x）＝49， 整理得：x2+2x﹣48＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣8（舍）， ∴经过三轮后患了感冒的人数为：49+49×6＝343（人）， 故答案为：343． 14．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是 　﹣4　 ． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n， ∴m+n＝3，mn＝1， ∴﹣m﹣n﹣mn ＝﹣（m+n）﹣mn ＝﹣3﹣1 ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 15．如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 　2　 m． 【解答】解：设人行通道的宽度为x，将矩形绿地平移，如图所示， ∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x 由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x） 解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）故答案为：2 16．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．则运动 　10　 秒后P、Q两点相距25cm． 【解答】解：设运动x秒后P、Q两点相距25cm， 则CP＝2x cm，CQ＝（25﹣x）cm， 由题意得：（2x）2+（25﹣x）2＝252， 整理得：x2﹣10x＝0， 解得：x1＝10，x2＝0（不合题意，舍去）， 故答案为：10． 三．解答题（共9小题） 17．解方程：（用合适方法解一元二次方程） （1）x2﹣2x＝2﹣x；（2）x2﹣6x+8＝0． 【解答】解：（1）原式变形为：x2﹣x﹣2＝0， ∴（x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2； （2）原始分解成 （x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2﹣x1﹣x2＝3，求k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2+k+1）≥0， 整理得：﹣4k﹣4≥0， 解得：k≤﹣1； （2）∵一元二次方程为x2﹣2kx+k2+k+1＝0， ∴x1x2＝k2+k+1，x1+x2＝2k， ∵x1x2﹣x1﹣x2＝3， ∴x1x2﹣（x1+x2）＝3， ∴k2+k+1﹣2k＝3， 整理得：k2﹣k﹣2＝0， 解得：k1＝﹣1，k2＝2， ∵k≤﹣1， ∴k＝﹣1． 19．已知一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根． ①求k的取值范围； ②如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【解答】解：①∵一元二次方程（k﹣2）x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k＜4且k≠2． ②结合①可知k＝3， ∴方程x2﹣4x+k＝0变形为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． 当x＝1时，有1+m﹣1＝0， 解得：m＝0； 当x＝3时，有9+3m﹣1＝0， 解得：． 20．如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，使其一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18m，设矩形垂直于墙的一边（AB）的长为x m． （1）用含x的代数式表示BC边的长； （2）若该矩形养殖场的面积为36m2，求BC边的长． 【解答】解：（1）∵AB的长为x m，栅栏总长度为18m， ∴BC的长为（18﹣2x）m； （2）根据题意得：x（18﹣2x）＝36， 整理得：x2﹣9x+18＝0， 解得：x1＝3，x2＝6， 当x＝3时，18﹣2x＝18﹣2×3＝12＞10，不符合题意，舍去； 当x＝6时，18﹣2x＝18﹣2×6＝6＜10，符合题意． ∴BC＝12﹣2×6＝6（m）． 21．李明准备进行如下操作试验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于62.5cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由． 【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为x cm，较长的这段为（40﹣x）cm， 由题意得：（）2+（）2＝62.5， 整理得：x2﹣40x+300＝0， 解得：x1＝10，x2＝30， 当x＝10时，较长的为40﹣10＝30（cm）； 当x＝30时，较长的为40﹣30＝10（cm）＜30cm（不符合题意，舍去）； 答：李明应该把铁丝剪成10cm和230m的两段； （2）李明的说法正确，理由如下： 设剪成的较短的这段为y cm，较长的这段为（40﹣y）cm， 由题意得：（）2+（）2＝45， 整理得：y2﹣40y+440＝0， ∵Δ＝（﹣40）2﹣4×440＝﹣160＜0， ∴原方程无实数根， ∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于45cm2． 22．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元． （2）按这样的降价措施，该商场每天获利能否达到1300元？若能，求出售价；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每天售出（20+2x）件， 由题意得：（20+2x）（40﹣x）＝1200， 整理得：x2+30x+200＝0， 解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝20， 答：若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元，理由如下： 设每件衬衫应降价y元，则每天售出（20+2y）件， 由题意得：（20+2y）（40﹣y）＝1300， 整理得：y2+30y+250＝0， ∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0， ∴方程无实数根， ∴按这样的降价措施，该商场每天获利不能达到1300元． 23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长． （1）如果方程的一个根为﹣1，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根； （3）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）将方程的一个根x＝﹣1代入原方程得：a+c﹣2b+（a﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC为等腰三角形． （2）当△ABC为等边三角形，则a＝b＝c， ∴原方程为2ax2+2ax＝0， 整理得x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1； （3）由条件可知Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， 整理得：b2﹣a2+c2＝0， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形． 24．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知x＞0，求式子的最小值． 解：令a＝x，，则由，得，当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即12）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当x＝　3　 时，式子取到最小值，最小值为 　6　 ； （2）分式是 　真分式　 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式 　1　 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 　4　 个； （3）用篱笆围一个面积为100m2的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知x＞1，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【解答】解：（1）由，得： x226， 当且仅当x时，即x＝3时，式子有最小值，最小值为6． 故答案为：3，6； （2）是真分式； 1； ∵1的值是整数，且x为整数， ∴x+1为5的因数， ∴x+1的值为1、﹣1、5、﹣5， ∴x的值为0、﹣2、4、﹣6． 故答案为：真分式；1；4； （3）设这个矩形的长为x m，宽为y m，由题意得：xy＝100． 由，得： x+y≥2220， 当且仅当x＝y时，即x＝10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m． ∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m； （4）设yx﹣1， 由，得： y＝x﹣1224， 当且仅当x﹣1时，即x＝3时，式子最小值，最小值为4， ∴分式取到最大值，最大值为． 25．某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片（如图1，图2中，AB＝AC＝20cm，∠A＝90°，要求学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为75cm2． （1）方方同学很快完成了自己的设计（如图1），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽． （2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽． 【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，∠A＝90°， ∴BCAB＝20m，∠B＝∠C＝45°， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DGF＝∠EFG＝90°， ∴∠DGB＝∠EFC＝90°， ∴△DGB和△EFC是等腰直角三角形， ∴DG＝BG＝EF＝FC， 设长方形的DG为x（cm），则GF为（202x）cm， 由题意，得x（202x）＝75， 化简，得2x2﹣20x+75＝0， 解得x1，x2， ∴202x＝15cm或5cm， ∴长方形卡片的长和宽分别为cm，5cm或15cm，cm； （2）根据题意画图如下： 设长方形的长AF＝a（cm），则宽为（20﹣a）cm， 由题意，得a（20﹣a）＝75， 化简，得a2﹣20a+75＝0，解得a1＝15，a2＝5． 经检验，a1＝15，a2＝5都符合题意． ∴长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $