第一次月考复习培优数学试卷 （范围：三角形）2025-2026学年苏科版八年级上册

2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考复习培优 数学试卷（范围：三角形） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如图，，于点，于点，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 6.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是(    ) A. B. C. 与互余的角有个 D. 点是的中点 8.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为_______． 10.如图，的两条高，相交于点，请添加一个条件，使得不添加其他字母及辅助线，你添加的条件是______． 11.中，，，平分交于点，，垂足为点，且，则的周长是______． 12.如图，中，，，的平分线与线段的垂直平分线交于点连接、，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度． 13.如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若，则______ 14.如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接若，，则的大小为          度． 15.如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______． 16.在等腰三角形中，，边上的中垂线交边于点，垂足为点，的平分线交边于点，交于点，连接交于点则下列结论正确的是          ． 表示周长； ； 若，则； 若，则图中有个等腰三角形； 若，则． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． 当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； 当为的角平分线时，若，，求的度数． 18.本小题分 如图，已知，，和相交于点． 求证：≌； 判断的形状，并说明理由． 19.本小题分 某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动如图，现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置． 20.本小题分 如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．   若的周长为，求的长；   若，求的度数． 21.本小题分 如图，在中，于点，于点，且，平分，． 求的度数； 求的度数． 22.本小题分 老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． 求证：． 如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 23.本小题分 【问题背景】如图，为上一点，，，求证：≌； 【变式运用】如图，，，，的延长线交于点，求证：． 24.本小题分 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条等腰分割线； 在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 25.本小题分 如图，在中，，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． 求证：； 当取何值时，与全等？ 求证：在运动过程中，不管取何值，都有． 26.本小题分 如图，已知，平分，是上一点，，且与，分别交于点，求证：． 如图，在的条件下，当绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时，中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 如图，已知求证：是等边三角形；． 27.本小题分 在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【概念理解】如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形，则四边形          筝形填“是”或“不是”． 【性质探究】如图，已知四边形是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． 【拓展应用】 如图，是锐角三角形的高，将沿边所在直线翻折后得到，将沿边所在直线翻折后得到，延长，交于点． 若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 若，，，，求的长． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级上学期第一次月考复习培优 数学试卷（范围：三角形） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边． 根据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三条线段是否能组成三角形，本题得以解决． 【解答】 解：，，，不能组成三角形，故选项A错误， ，，，不能组成三角形，故选项B错误， ，，，不能组成三角形，故选项C错误， ，，，能组成三角形，故选项D正确， 故选：． 2.如图，，于点，于点，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查全等三角形的性质和判定先证明和全等，得出，即可求出． 【解答】 解：，， ， ， ，， ≌， ， ， ， ， ． 故选B． 3.如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据三角形内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 解：在中， ，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选：． 本题主要考查作图基本作图，线段垂直平分线的概念及其性质，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 4.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：作于，如图， 是中的平分线，，， ， ， ， ， 故选D． 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作于，根据角平分线的性质得出，再利用三角形的面积等于，解答即可． 5.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键根据等腰三角形的判定逐项判断即可． 【解答】 解：由可得，则为等腰三角形，故A能推出是等腰三角形； B.由且，可得，则可得，即为等腰三角形，故B能推出是等腰三角形； C.由，，无法求得或，故C不能推出是等腰三角形； D.由，，可得为线段的垂直平分线，可得，故D能推出是等腰三角形； 故选C． 6.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论． 解：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ，， ， ， 故选：． 7.如图，点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点，则以下结论错误的是(    ) A. B. C. 与互余的角有个 D. 点是的中点 【答案】C  【解析】解：点，分别是，平分线上的点，于点，于点，于点， ，， ， ，故A选项结论正确； 在和中， ， ， ，， 同理可得，， ，故B选项结论正确； 与互余的角有，，，共个，故C选项结论错误； ， 点是的中点，故D选项结论正确． 故选：． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，同理可得，，然后求出，然后对各选项分析判断即可得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 8.如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】 解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最短周长． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为_______． 【答案】  【解析】解：、分别是，的中点， ，， ． 故答案为：． 根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：的面积是的面积的倍，的面积是的面积的倍，依此即可求解． 本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 10.如图，的两条高，相交于点，请添加一个条件，使得不添加其他字母及辅助线，你添加的条件是______． 【答案】答案不唯一  【解析】【分析】 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．添加，根据三角形高的定义可得，再证明，然后再添加可利用判定． 【解答】 解：添加， 的两条高，， ， ，， ， 在和中， ， 故答案为：答案不唯一． 11.中，，，平分交于点，，垂足为点，且，则的周长是______． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线上的性质和线段的和差关系求值．利用线段相等，进行线段的转移是解决本题的关键． 由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到，，加上，三角形的周长为，于是周长可得． 【解答】 解：中，，平分交于点，，垂足为点， ， ， 的周长． 故答案为． 12.如图，中，，，的平分线与线段的垂直平分线交于点连接、，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度． 【答案】  【解析】解：，为的平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 在和中， ≌， ， ， 由折叠的性质可知，， ， 在中，， 故答案为：． 根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，证明≌，根据全等三角形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13.如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若，则______ 【答案】  【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 解：的垂直平分线交于点， ． 的垂直平分线交于点， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 14.如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接若，，则的大小为          度． 【答案】  【解析】解：，， ， 故答案为：． 根据三角形的内角和得出，根据等腰三角形两底角相等得出，进而根据角的和差得出． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键． 15.如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质和线段垂直平分线性质的知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等过作于，于，求出，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，证≌，求出，推出，即可得出答案． 【解答】 解：如图：过作于，于，则， ， ， ，，， ， 为中点，， ， 在和中， ， ≌， ， ． 故答案为． 16.在等腰三角形中，，边上的中垂线交边于点，垂足为点，的平分线交边于点，交于点，连接交于点则下列结论正确的是          ． 表示周长； ； 若，则； 若，则图中有个等腰三角形； 若，则． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是根据垂直平分线和角平分线的性质得到相等的角，进而得到等腰三角形． 根据垂直平分线的性质得到，通过等量代换即可判断正确；当时，有，故错误；根据等腰三角形的性质得到，由内角和为即可求正确；根据等腰三角形的判定可以得到等腰三角形共有个，故错误；根据等腰三角形的性质和三角形内角和为可以求出，故正确． 【解答】 解：是的垂直平分线， ， ，故正确； 是的角平分线， 是的角平分线， 当时，有，故错误； 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 即，故正确； ， 为等腰三角形， 是的垂直平分线， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ，， 和是等腰三角形， 是的角平分线， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， 综上共有个等腰三角形，故错误； 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，故正确， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． 当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； 当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】解：为边上的中线， ， 为边上的高，， ， ． 在中， ，， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ．  【解析】本题灵活考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键． 利用三角形中线定义及三角形面积求出长； 利用三角形内角和先求，再用外角性质和直角三角形性质求出． 18.本小题分 如图，已知，，和相交于点． 求证：≌； 判断的形状，并说明理由． 【答案】证明：在与中， ≌； 是等腰三角形， 理由如下： ≌， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 由“”可证≌； 由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得，即可得结论． 19.本小题分 某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在、两处参加劳动，另外两个班的同学在道路、两处劳动如图，现要在道路、的交叉区域内设置一个茶水供应点，使到、的距离相等，且使，请你找出点的位置． 【答案】解：连接，作的中垂线；作的角平分线交的中垂线于点；如图   【解析】本题考查了角平分线的性质及中垂线的性质的应用，本题要求满足两个条件，可考虑逐个满足，则交点就可同时满足题目要求，这是这种作图题的规律，要熟练掌握．角平分线上的点到角两边的距离相等，又中垂线上的点到线段两端的距离相等，所以点 应是的角平分线与的中垂线的交点． 20.本小题分 如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．   若的周长为，求的长；   若，求的度数． 【答案】街：，分别垂直平分和， ，， 的周长 ， 的周长为， 即的长为； ， ， ，， ， ， ，， ，， ． 即的度数为  【解析】见答案． 21.本小题分 如图，在中，于点，于点，且，平分，． 求的度数； 求的度数． 【答案】解：因为， 所以； 因为于点，，且， 所以平分， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 由知，， 所以， 所以．  【解析】此题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟记角平分线的判定定理及定义是解题的关键． 由三角形的内角和求解即可； 由于点，，且，即可判定平分，即可得出，结合已知，再根据三角形的内角和求解即可． 22.本小题分 老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． 求证：． 如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)连接AP，∵， 又，，，∴. ∵，∴.   (2)如图，. 理由：连接PA、PB、PC，因为， 所以. 因为，所以   【解析】 略  略 23.本小题分 【问题背景】如图，为上一点，，，求证：≌； 【变式运用】如图，，，，的延长线交于点，求证：． 【答案】(1)证明：∵∠D＝∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．  ∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD．∵∠D＝∠E＝90°，AC＝BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；  (2)过点B作BD⊥EM，交EM的延长线于点D．  由（1）知△AEC≌△CDB，∴BD＝EC＝CF，AE＝CD．∵∠FCM＝∠D＝90°，∠FMC＝∠BMD，∴△FMC≌△BMD(AAS)，∴CM＝MD，∴AE＝2CM． ​​​​​​​   【解析】 略  略 24.本小题分 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割称为等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条等腰分割线； 在中，为的等腰分割线，，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 【答案】(1)∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2∠C．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形，∴AE是△ABC是一条等腰分割线．  (2)∵线段AD即为所求分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角形．①如图①，当AD＝CD＝BD时，∠C＝∠CAD＝30°，∴∠ADB＝∠C＋∠CAD＝30°＋30°＝60°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝60°；②如图②，当AD＝BD＝AC时，∠ADC＝∠C＝30°．∵AD＝BD，∴∠B＝∠DAB．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝30°，∴∠B＝15°；③如图③，当AD＝BD，AC＝CD时，，∵∠ B＝∠BAD，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝37.5°．综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．   【解析】 见答案  见答案 25.本小题分 如图，在中，，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． 求证：； 当取何值时，与全等？ 求证：在运动过程中，不管取何值，都有． 【答案】(1)∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM．在Rt△AFD和Rt△AMD中，∴ Rt△AFD≌Rt△AMD（HL），∴AF＝AM．  (2)若△DFE与△DMG全等，且DF＝DM，∠EFD＝∠GMD＝90°，∴EF＝MG，①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上，∴EF＝10－2t，MG＝4－t，∴10－2t＝4－t，解得t＝6（不合题意，舍去）；②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上，EF＝10－2t，MG＝t－4，∴10－2t＝t－4，∴．∵综上所述，当时，△ DFE与△DMG全等．  (3)∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM．∵，，∴．∵点E以2 cm/s的速度从点A向点F运动，动点G以1 cm/s的速度从点C向点A运动，∴AE＝2t cm，CG＝t cm，∴，即，∴在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED＝2S△DGC．  【解析】 见答案  见答案  见答案 26.本小题分 如图，已知，平分，是上一点，，且与，分别交于点，求证：． 如图，在的条件下，当绕点逆时针旋转使得点落在的反向延长线上时，中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 如图，已知求证：是等边三角形；． 【答案】(1)如图①，过点A作于点G，于点H， 则.∵，∴， ∴，即. ∵OM平分，，，∴. 在和中， ∴，∴.   (2)（1）中的结论还成立.证明如下：如图②，过点A作于点G， 于点H，则. ∵，∴. ∴，即. ∵OM平分，，，∴. 在和中， ∴，∴.   (3)①如图③，设点F，M分别在BO，OA的延长线上. ∵，∴， ∴，即OM平分.由（2）知， ∵，∴是等边三角形. ②如图③，在OC上截取，连接BN. ∵，∴是等边三角形，∴，. ∵是等边三角形，∴， ∴，即. 在和中，∴， ∴，∴，即.   【解析】 略  略  略 27.本小题分 在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【概念理解】如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形，则四边形          筝形填“是”或“不是”． 【性质探究】如图，已知四边形是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． 【拓展应用】 如图，是锐角三角形的高，将沿边所在直线翻折后得到，将沿边所在直线翻折后得到，延长，交于点． 若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 若，，，，求的长． 【答案】(1)是  (2)性质：筝形有一组对角相等，即；一条对角线被另一条对角线垂直平分，即垂直平分．（答案不唯一） 证明：连接，．因为，，所以垂直平分．又因为，所以，所以．   (3)①的度数为或或．  ​​​​​​​ ②由折叠的性质，得，，，，，．所以，．设，则，．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以．   【解析】 略  略  提示：由折叠的性质，得，，，所以，所以分情况讨论：当时，，所以，所以，因为，所以；当时，同理可得；当时，同理可得综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或或． 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