第二十一章 一元二次方程·质量评估试卷 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程·质量评估试卷（B） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．方程的解是（  ） A． B． C．， D．， 5．已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 6．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 评卷人 得分 二、填空题（每小题3分，共15分） 7．方程是关于的一元二次方程，则的值为 ． 8．在中，，，，于点，则线段的长度为 ． 9．当分式的值为0时，则实数x的取值是 ． 10．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 11．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 评卷人 得分 三、解答题（每小题6分，共18分） 12.若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 13．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 14．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 评卷人 得分 四、解答题（每小题7分，共21分） 15．中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 16．解方程时，有一名同学的解答如下： 上述过程中有无错误？如有错误请指出错误的地方，并写出正确的解题过程． 17．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 评卷人 得分 五、解答题（每小题8分，共16分） 18．用长为78米的竹篱笆围一个面积为750平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长45米），另三边用竹篱笆围成， (1)求鸡场的长与宽各为多少米？ (2)能否围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场？如果能，说明围法；如果不能，请说明理由． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 评卷人 得分 六、解答题（每小题10分，共20分） 20．2024北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 21．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 评卷人 得分 七、解答题（每小题12分，共12分） 22．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)当为何值时，为等腰三角形？ (2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，、间的距离等于？ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… )人教版九年级（上）· 数学（2025） 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B D B B 1．C 解：A． 未说明，故A错误； B． 有两个未知数， ∴不是一元二次方程，故B错误； C． ，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，故C正确； D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误； 故选∶C． 2．D 解：由题意得，， ∴， 故选：． 3．B 解：A、，方程有两个相等实数根，故此项不符合题意； B、，方程没有实数根，故此项符合题意； C、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意； D、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意． 故选：B． 4．D 由，得， 或， ，． 故选：D． 5．B ∵， ， ∴，则 故选：B． 6．B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 7． 解：根据题意得，， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 8．或 解：如图， ∵，， 设，则， ∵ ∴ 在中， ∴ 整理得： 解得： 即：或 当时，； 当时，； 故答案为：或． 9．2 解：∵分式的值为0， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：2． 10．2 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 11． 解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 12． 解：将代入原方程得：， ， ． 答：的值为 13．(1) (2) 解：（1）整理，得， ， 即， 解得． （2）根据平方差公式，得， 整理，得， 或， 解得． 14．(1)见解析 (2)见解析 （1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 15．参观人数的月平均增长率为． 解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 16．有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式．正确的解题过程见解析 【分析】先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后根据整理后的方程找出二次项系数，一次项系数及常数项，最后根据求根公式解方程． 【详解】解：有错误．错误之处在于没有先把方程化成一般形式． 正确的解题过程如下： 将原方程化成一般形式为， 则，， ， ， ; 故该同学的答案有错误，错误在于没有将原方程化为一般形式进行分析二次项系数、一次项系数和常数项． 17． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 18．(1)鸡场的长为30米，宽为25米 (2)不能，理由见解析 （1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：鸡场的长为30米，宽为25米； （2）解：不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根， 即不能围成一个面积为900平方米的长方形养鸡场． 19．(1)见解析 (2)或 （1）证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 20．(1)购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件 (2)当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元 (3)30元 （1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 依题意得：， 解得：． 答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件． （2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值，此时． 答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元． （3）设每件款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存 售价应定为30元 答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 21．(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 （1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 22．(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) （1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $