第03讲 空间直角坐标系与立体几何（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 空间直角坐标系与立体几何 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 空间直角坐标系的建系原则 4 知识点2 法向量的求算标准 5 知识点3 建系证明平行、垂直 6 知识点4 建系求空间距离问题 7 知识点5 建系求线面角及二面角问题 9 题型破译 11 题型1 建立空间直角坐标系原则 11 题型2 利用直角坐标系证明直线和平面平行 15 题型3 利用直角坐标系证明平面与平面平行 20 题型4 利用直角坐标系证明直线与平面垂直 25 题型5 利用直角坐标系证明平面和平面垂直 31 题型6 利用直角坐标系求直线与平面所成角 39 题型7 利用直角坐标系求平面与平面所成角 45 题型8 利用直角坐标系求点面距、线面距、面面距 53 04真题溯源·考向感知 61 05课本典例·高考素材 70 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）证明线面平行面面角的向量求法 点到平面距离的向量求法 （2）空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法 （3）存在性问题 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第17题,15分 2024年天津卷，第17题,15分 2023年天津卷，第17题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题，设题稳定，难度中档，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面平行与垂直的问题。 3.会解空间中的角与距离问题。 知识点1 空间直角坐标系的构建策略 ①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系 ②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系 ③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系 ④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 ⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系 ⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系 自主检测如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直． 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，，则，，，； （2）， ， ． 知识点2 法向量的求算 《三种方法》 方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此平面垂线的方向向量即为平面的法向量． 方法2、待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 自主检测已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，．设， 则即令，则，，所以． 故选：A. 知识点3 建系证明垂直与平行 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 用向量方法判定空间的垂直关系：空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 自主检测如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，为线段的中点 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 知识点4 坐标处理距离问题 结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则 结论2：《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 结论3：《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 结论4：《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 结论5：《点点距离》 提示：与,的距离为 自主检测如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可知，两两垂直， 于是建立如图所示的空间直角坐标系,    则，，，， ∴，，. 设平面的一个法向量为， 即，令，则. 所以点C到平面的距离. （2）设直线与平面所成的角为， ， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 知识点5 坐标处理角度问题 结论1：异面直线所成角 ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解 ②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出 关键是求出及与 结论2：线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 结论3：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负. 自主检测如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ， 所以，得， 如图1，在中，由余弦定理得， ， 所以在图2中，，得， 由平面平面， 得平面，又平面， 所以平面平面． （2）由图1，可知, 所以，以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    则． 得， 设平面的法向量为， 则，取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，而， 则，取平面的一个法向量为， 所以， 因为平面与平面夹角不超过， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 题型1 建立空间直角坐标系原则 例1-1（2025·天津·调研）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）如图，由题意可知， 因，则 . （2）为的中点，. 是上的靠近点的三等分点，. 由两点间的距离公式，得. 例1-2在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    【答案】； 【详解】由题意 ， 所以. 又， 所以 方法技巧 ①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系 ②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系 ③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系 ④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 ⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系 ⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系 【变式训练1-1·变考法】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【答案】答案见解析 【详解】连接，如图所示， 则， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. 【变式训练1-2】（2023天津·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【答案】存在， 【详解】假设存在实数，使四点共面． 由正三棱柱的性质可知为正三角形，取的中点，连接，则． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴， 在平面内，以过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，． 因为， 所以． 若四点共面，则存在满足， 又，所以，解得， 故存在实数，使四点共面． 【变式训练1-3】已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    【答案】，，. 【详解】由于D为坐标原点，所以， 因为，，则，，，， 因为点N是的中点，点M是的中点，所以，. 题型2 利用直角坐标系证明直线和平面平行 例2-1如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1，理由见解析. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 例2-2（2025天津静海·联考）如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 【详解】（坐标法）：以为原点，，，分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，， ，则，， ， 平面的法向量可以是， 因为，平面，所以平面． 方法技巧 （1）利用共面向量定理．设为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数，使得，则． （2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行． （3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）． 【变式训练2-1·变考法】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式训练2-2】（2024天津南开·调研）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【答案】证明见解析 【详解】以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得，， 因为，所以 即，即， 所以，所以， 又因为面的一个法向量为，所以，所以， 又因为面，所以面. 【变式训练2-3】（2022天津·联考）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【详解】因为，所以， 因为四边形为矩形，所以， 又平面,平面, 所以平面，又平面，所以， 因为，所以， 由余弦定理得， 即，所以，所以， 又因为平面,平面, 所以平面， 所以以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则，， 设， 所以，， 设平面的法向量为， 则即令，则， 要证平面，则，即，解得， 所以，所以． 故在线段上存在点，使得平面． 题型3 利用直角坐标系证明平面与平面平行 例3-1（2025天津武清·调研）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． （2）因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 例3-2已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明  如图，连接，． （1） ， 由向量共面的充要条件知，四点共面. （2）方法一  ， . 又平面，平面， 平面. 方法二   ， 又，不共线，与，共面. 又平面， 平面． 方法技巧 （1）证明两平面内有两条相交直线分别平行． （2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）． 【变式训练3-1·变载体】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为，即， 所以平面平面. 【变式训练3-2】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【变式训练3-3】图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，P为线段的中点 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 题型4 利用直角坐标系证明直线与平面垂直 例4-1如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 例4-2（2025·天津·模拟预测）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 方法技巧 （1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直． （2）证明直线和平面内的任一直线垂直． （3）转化为证明直线与平面的法向量共线． 【变式训练4-1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【变式训练4-2】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【变式训练4-3】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 题型5 利用直角坐标系证明平面和平面垂直 例5-1如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，答案见解析 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 例5-2（2025天津·模拟预测）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 方法技巧 （1）转化为证明两平面的法向量互相垂直 （2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面． 【变式训练5-1·变考法】（2025天津河东·调研）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【变式训练5-2·变考法】（2024天津滨海新·联考）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，，所以， 设平面PAC的一个法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以， 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式训练5-3】在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 题型6 利用直角坐标系求直线与平面所成角 例6-1（2025·天津·调研）如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 则， 于是， 即向量共面，又向量有公共点， 所以，，，四点共面. （2）设，则，由点平面，得， 即， 则，解得， 即，，而， 则， 设平面的法向量，则， 令，得，令与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 例6-2（2025·天津·联考）如图，直三棱柱中，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取的中点为，连接， 因为，，故， 由直三棱柱的性质可得，故， 故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面.    （2）因为，故，故，设. 由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 故，且. 因为，故即，故（舍去）， 故，，又. 设平面的法向量为，则, 所以，取， 故与平面所成角的正弦值为.    方法技巧 线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 【变式训练6-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 【变式训练6-2】（2025天津·模拟预测）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    【变式训练6-3】（2025·天津·模拟预测）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.    (1)求棱的长； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)5(2)见解析 (3) 【详解】（1）因为，，所以， 中，由余弦定理， 即； （2）由（1）可知中，满足， 所以，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3）如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系，   ，，，， ，， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以. 题型7 利用直角坐标系求平面与平面所成角 例7-1（2025·天津·调研）如图，在四棱锥中，点在平面上的投影为线段的中点，且，，分别是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）法一： 因为，F分别是线段的中点，所以， 又因为为的中点，且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，所以， 因为平面，且平面，所以平面 法二： 由题意知：平面，易知两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 可得， 所以，即， 所以，又不共线，所以， 因为平面，且平面，所以平面 （2）由题意知：平面，易知两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例7-2（2025·天津·联考）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）取的中点，的中点，连接， 由题意可知四棱台为正四棱台， 则平面，线面垂直的性质知，，， 则，且，则四边形为矩形． 所以，故为与侧面所成的一个角． 因为与侧面所成角为，所以， 如图所示，以点为坐标原点，建立的间直角坐标系，    则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则平面的一个法向量为，而， 所以点到平面的距离； （2）因为，设面的法向量为， 则， 令，则面的一个法向量为， 所以，易知二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 方法技巧 二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负. 【变式训练7-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）方法一：在直三棱柱中，， 所以， 所以，所以， 又，所以，，， 则，所以， 所以， 即，又平面， 所以平面． 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 所以，即 又平面，所以平面． （2）方法一：如图，延长交于点，过点作，垂足为，连结， 则由平面得， 所以即为平面与平面的夹角． 在中，， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取得，又平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 方法三：由（1）知， 记平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值为． 【变式训练7-2】（2025天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，．    (1)证明：； (2)若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：如图1，取的中点，连接． 由，且为中点，得． 由于，且， 则四边形为正方形，故． 因为平面，且，所以平面． 又平面，故.    （2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，则为四棱锥的高， 又梯形的面积，且四棱锥的体积，联立解得． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图2所示， 则． 故． 设平面的法向量为， 则即令，得，故． 设平面的法向量为， 则即令，得，故． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为．    【变式训练7-3】（2025·天津·模拟预测）如图所示，直三棱柱.    (1)求证：； (2)若为中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在直三棱柱中，平面面， 则 又，即，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 在直三棱柱中，，则四边形为正方形 所以，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 （2）由（1）知两两互相垂直， 故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    由于，设，则， 设平面的法向量为 则：，取，则，得， 由（1）知平面，则平面的一个法向量为 由图可知二面角的平面角为锐角，记为. 则：， 即二面角的余弦值为. 题型8 利用直角坐标系求点面距、线面距、面面距 例8-1（2025·天津·调研）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； （3）因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 例8-2（2025·天津·联考）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：作于，因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面，即侧棱垂直于底面， 因为底面是正三角形，所以三棱柱为正三棱柱. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则； ， 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 设平面的一个法向量为，则， 令，则； 因为平面与平面夹角的余弦值为，所以， 解得，即. ，设点到平面的距离为，则. 方法技巧《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 【变式训练8-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题可知两两相互垂直， 如图，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又分别是棱的中点，，得 因为 所以在上的投影长为 所以点到直线的距离为 （2）由知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 【变式训练8-2】（2025天津·模拟预测）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)4(2) 【详解】（1）∵平面平面 ∴， 又 两两互相垂直， 则以点为坐标原点，分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的一个法向量 即 令，可得 ， ， 记点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为4. （2）由 ( 1 ) 可知平面的一个法向量为 平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知 ， ， 由图知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为，正弦值为， 二面角的正切值为. 【变式训练8-3】（2025·天津·模拟预测）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析，(2) 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 3．（2004·天津·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)证明平面； (2)证明平面； (3)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）方法一： 证明：连接，交于，连接． 因为底面是正方形，所以点是的中点， 在中，是中位线，所以， 而平面且平面， 所以，平面. 方法二： 证明：如图所示为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设. 连接，交于，连接． 依题意得．,,， 因为底面是正方形，所以是此正方形的中心， 故点的坐标为且．，， 所以，这表明． 而平面且平面，所以平面． （2）方法一：证明：由底面，面，得， 因为底面是正方形，有， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 因为，可知是等腰三角形，而是边的中点，所以， 又，平面，所以平面， 而平面，所以， 又，，平面，所以平面． 方法二：证明：依题意得，， 又，故， 所以， 由已知，且，面，所以平面. （3）方法一：解：由（2）知，，又已知，故是二面角的平面角． 由（2）知，，， 设正方形的边长为， 则，，， ，， 在中，， 在中，，所以， 所以，二面角的大小为． 方法二：解：设点的坐标为，，则， 从而，，， 所以， 由条件知，，即，解得， 所以点的坐标为，且，， 所以 即，故是二面角的平面角． 因为， 且，， 所以 所以 所以，二面角的大小为. 4．（2003·广东·高考真题）已知正四棱柱，E为中点，F为中点． (1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 因为， 所以， 即为与的公垂线； （2）解：， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以点到面的距离为. 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)(3) 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 1．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 因为，所以，即. （2）由（1）得，， ，， 所以. （3）由（1）知， 故. 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，，，求：      (1)点B到平面PCD的距离； (2)二面角 的平面角的余弦值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由平面，且，平面， 则，， 又， 则，，两两互相垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，        又，，， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 所以，即， 令，可得，，即， 记点到平面的距离为， 则， 所以点B到平面PCD的距离． （2）结合（1）可知平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 由图可知， 则． 3．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）证明：以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的边长为， 则 所以，， 因为，， 所以，， 因为平面，平面，， 所以平面． （2）由（1）知，是平面的一个法向量， 由点，，得， 因为， 所以， 因为平面，且， 所以平面． （3）由题可知，， 设平面的一个方向量为， 由得，取则， 因为，，即， 所以， 所以平面平面． 4．如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，，．求证：平面．    【答案】证明见解析. 【详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则是面的一个法向量， 且，而M，N分别是AE，的中点， 所以，则， 所以，即，故面，则平面.    5．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】    以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图 设,则 因此 所以，故. 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间直角坐标系与立体几何 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 空间直角坐标系的建系原则 4 知识点2 法向量的求算标准 4 知识点3 建系证明平行、垂直 5 知识点4 建系求空间距离问题 6 知识点5 建系求线面角及二面角问题 7 题型破译 8 题型1 建立空间直角坐标系原则 8 题型2 利用直角坐标系证明直线和平面平行 9 题型3 利用直角坐标系证明平面与平面平行 11 题型4 利用直角坐标系证明直线与平面垂直 12 题型5 利用直角坐标系证明平面和平面垂直 14 题型6 利用直角坐标系求直线与平面所成角 16 题型7 利用直角坐标系求平面与平面所成角 18 题型8 利用直角坐标系求点面距、线面距、面面距 20 04真题溯源·考向感知 22 05课本典例·高考素材 24 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）证明线面平行面面角的向量求法 点到平面距离的向量求法 （2）空间位置关系的向量证明线面角的向量求法，面面角的向量求法 （3）存在性问题 单选题 多选题 填空题 解答题 2025年天津卷，第17题,15分 2024年天津卷，第17题,15分 2023年天津卷，第17题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题，设题稳定，难度中档，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面平行与垂直的问题。 3.会解空间中的角与距离问题。 知识点1 空间直角坐标系的构建策略 ①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系 ②：利用_________关系，构建空间直角坐标系 ③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系 ④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 ⑤：利用底面_________，构建空间直角坐标系 ⑥：利用底面_________，构建空间直角坐标系 自主检测如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 知识点2 法向量的求算 《三种方法》 方法1、眼神法：给定一个几何体中，若所求平面的法向量直接可以从图中看出，则此_________的方向向量即为平面的法向量． 方法2、待定系数法：步骤如下： ①设出平面的法向量为． ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 ，． ③根据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有_________，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 方法三：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 自主检测已知点，，，则平面的法向量是（    ） A． B． C． D． 知识点3 建系证明垂直与平行 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：_________、_________、_________． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面_________，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 用向量方法判定空间的垂直关系：空间中的垂直关系主要是指：_________、_________、_________． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要_________，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 自主检测如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 知识点4 坐标处理距离问题 结论1：《点线距离》《异面直线求距离问题》 推导过程：已知直线的方向向量是，点则直线与直线夹角为θ，则 结论2：《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 结论3：《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 结论4：《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 结论5：《点点距离》 提示：与,的距离为 自主检测如图，在直三棱柱中，，D是棱AC的中点，    (1)求C点到平面的距离. (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 知识点5 坐标处理角度问题 结论1：异面直线所成角 ①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解 ②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式求出 关键是__________________ 结论2：线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 结论3：二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为_________则取正，若为_________则取负. 自主检测如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型1 建立空间直角坐标系原则 例1-1（2025·天津·调研）如图所示，在长方体中，，点在上，，点在上且为的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图. (1)求的坐标； (2)求线段的长度. 例1-2在直三棱柱中，，，，，为的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标．    方法技巧 ①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系 ②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系 ③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系 ④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系 ⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系 ⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系 【变式训练1-1·变考法】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【变式训练1-2】（2023天津·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，，点在上，且．是否存在实数，使四点共面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； 【变式训练1-3】已知在长方体中，，，点N是的中点，点M是的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.    题型2 利用直角坐标系证明直线和平面平行 例2-1如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    例2-2（2025天津静海·联考）如图，已知正方体，动点和分别在线段和线段上（不包括端点），且，求证：平面． 方法技巧 （1）利用共面向量定理．设为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数，使得，则． （2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行． （3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）． 【变式训练2-1·变考法】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式训练2-2】（2024天津南开·调研）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【变式训练2-3】（2022天津·联考）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？ 题型3 利用直角坐标系证明平面与平面平行 例3-1（2025天津武清·调研）如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 例3-2已知点，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：平面. 方法技巧 （1）证明两平面内有两条相交直线分别平行． （2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）． 【变式训练3-1·变载体】如图，在长方体中，，，.求证：平面平面. 【变式训练3-2】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【变式训练3-3】图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 题型4 利用直角坐标系证明直线与平面垂直 例4-1如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 例4-2（2025·天津·模拟预测）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 方法技巧 （1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直． （2）证明直线和平面内的任一直线垂直． （3）转化为证明直线与平面的法向量共线． 【变式训练4-1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【变式训练4-2】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-3】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 题型5 利用直角坐标系证明平面和平面垂直 例5-1如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 例5-2（2025天津·模拟预测）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 方法技巧 （1）转化为证明两平面的法向量互相垂直 （2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面． 【变式训练5-1·变考法】（2025天津河东·调研）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【变式训练5-2·变考法】（2024天津滨海新·联考）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面. 【变式训练5-3】在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 题型6 利用直角坐标系求直线与平面所成角 例6-1（2025·天津·调研）如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 例6-2（2025·天津·联考）如图，直三棱柱中，分别为和的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 方法技巧 线面角 提示：是线与平面法向量的夹角，是线与平面的夹角 【变式训练6-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【变式训练6-2】（2025天津·模拟预测）在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练6-3】（2025·天津·模拟预测）如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.    (1)求棱的长； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 题型7 利用直角坐标系求平面与平面所成角 例7-1（2025·天津·调研）如图，在四棱锥中，点在平面上的投影为线段的中点，且，，分别是线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 例7-2（2025·天津·联考）如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧面所成的角为.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 方法技巧 二面角的平面角 提示：是二面角的夹角，具体取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则取正，若为钝角则取负. 【变式训练7-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式训练7-2】（2025天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，．    (1)证明：； (2)若平面平面，且四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【变式训练7-3】（2025·天津·模拟预测）如图所示，直三棱柱.    (1)求证：； (2)若为中点，求二面角的余弦值. 题型8 利用直角坐标系求点面距、线面距、面面距 例8-1（2025·天津·调研）已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 (1)求证∶ 面; (2)求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； (3)求点D到平面EBF的距离． 例8-2（2025·天津·联考）在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，平面平面. (1)证明：三棱柱为正三棱柱； (2)若点为棱的中点，且平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离. 方法技巧《点面距离》 提示：分别是平面外及平面上的两点，是平面的法向量 《线面距离》 提示：分别是直线上及平面上的任意两点，是平面的法向量 《面面距离》 提示：分别是平面1及平面2的任意两点，是平面2的法向量 【变式训练8-1·变考法】（2025天津·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离 (2)求点到平面的距离. 【变式训练8-2】（2025天津·模拟预测）如图所示，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面，. (1)求点B到平面CDE的距离； (2)求二面角的正切值. 【变式训练8-3】（2025·天津·模拟预测）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 1．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 2．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 3．（2004·天津·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)证明平面； (2)证明平面； (3)求二面角的大小. 4．（2003·广东·高考真题）已知正四棱柱，E为中点，F为中点． (1)证明：为与的公垂线； (2)求点到面的距离． 5．（2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 1．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，，，求：      (1)点B到平面PCD的距离； (2)二面角 的平面角的余弦值． 3．在正方体中，点E，F分别是底面和侧面的中心．求证： (1)平面； (2)平面； (3)平面平面． 4．如图，在长方体中，E，M，N分别是BC，AE，的中点，，．求证：平面．    5．在棱长为a的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且．求证：． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $