精品解析：浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

临平区树兰实验学校2025-2026学年九年级（上）开学调研数学问卷 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共13小题） 1. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A. 132° B. 120° C. 112° D. 110° 4. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角，，，的度数之比可能是（　　　） A. 3：1：2：5 B. 1：2：2：3 C. 2：7：3：6 D. 1：2：4：3 7. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ） A. 24 B. 22 C. 12 D. 6 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ） A. x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B. x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C. x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D. x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 10. 在平面直角坐标系中，设函数（a是常数，）． ①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点． ②如果在时，始终有y随x的增大而减小，则且． 则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 二、填空题（共6小题） 11. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为_________． 12. 如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______（结果保留）． 13. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了________（结果保留根号）． 14. 桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是_____． 15. 设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … -5 -3 1 2 3 … y … -2.79 m -2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是___，方程ax2+bx+c＝m的解是______． 16. 若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________． 三、解答题（共9小题） 17. 一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与轴的交点坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （2）在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； （3）在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 20. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是实数，）． （1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数y图象上的任意两点，其中．求当，为何值时，； （3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点．当时，求的取值范围． 24. 如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临平区树兰实验学校2025-2026学年九年级（上）开学调研数学问卷 总分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共13小题） 1. “明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ） A. 明天一定下雨 B. 明天一定不下雨 C. 明天的地方下雨 D. 明天下雨的可能性比较大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小； 根据概率的意义找到正确选项即可． 【详解】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意． 故选：D． 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，理解并掌握二次函数图像的平移规律是解题关键． 3. 如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（　　　） A. 132° B. 120° C. 112° D. 110° 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得∠ACB=56°，再根据圆周角定理可求得结果． 【详解】解：∵，， 又 ∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56° ∴∠AOB=2∠ACB=112° 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形外角的性质等知识，正确得出∠ACB度数是解题关键． 4. 已知，，是二次函数图象上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把原函数解析式化成项点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断的大小． 【详解】∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵三点中，点离对称轴较近，点在对称轴上，点离对称轴较远， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及利用抛物线的增减性是解题的关键． 5. 已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据当时，y随x的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而减小， 抛物线开口向上， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 6. 若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角，，，的度数之比可能是（　　　） A. 3：1：2：5 B. 1：2：2：3 C. 2：7：3：6 D. 1：2：4：3 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的内接四边形对角互补得到两对角的和相等为180°，比值所占份数也相等，据此解题． 【详解】解：四边形ABCD是圆内接四边形， 即比值的和与比值的和份数相等， 故A、B、C均不符合题意； ，，，的度数之比可能是，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的内接四边形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ） A. 24 B. 22 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可． 【详解】，即，解得． 故选：A 【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 9. 如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（ ） A. x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B. x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C. x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D. x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 【答案】D 【解析】 【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题． 【详解】解：因为AB固定， 所以∠AEB固定，定弦定角， 故x不随C、D运动而变化； ∵CD为定长1，∠DEC为定角60°， ∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°， 此时E在圆O′上运动，如图， 由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化， 即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 10. 在平面直角坐标系中，设函数（a是常数，）． ①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点． ②如果在时，始终有y随x的增大而减小，则且． 则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】把二次函数关系式化为，即可判定两个定点；分两种情况讨论，顶点关于a的不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】解：∵， 当时，，当时，， ∴无论a取何值，该函数图象必经两定点（-1，0），（0，-1），故①正确； ∵函数（a是常数，）对称轴为直线， 当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小， 则，解得：， ∴， 当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小， 则，解得：， ∴， 综上所述，如果在时，始终有y随x的增大而减小，则，，故②正确， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质． 二、填空题（共6小题） 11. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表： 试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000 发芽频数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850 发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95 估计该麦种的发芽概率约为_________． 【答案】0.95 【解析】 【分析】根据9批次种子粒数从1粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 【详解】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故答案为：0.95． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 如图，折扇的骨柄长为，扇面宽度为、，折扇张开的角度为，则折扇扇面的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是，半径为r，那么扇形的面积是． 求出OC的长度，根据弧长公式求出的长度即可；根据扇形的面积公式求出折扇扇面的面积即可． 【详解】解：，， ， 折扇张开的角度为， 折扇扇面的面积为． 故答案为：． 13. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内原有液体的最大深度．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】由垂径定理和勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：设交于， 由题意得：，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即截面圆中弦的长减少了， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理． 14. 桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是_____． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中依据根的判别式找到使方程x2+px+q=0有实数根的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果， ∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为， 故答案为. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 设二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），如表列出了x、y的部分对应值． x … -5 -3 1 2 3 … y … -2.79 m -2.79 0 n … 则不等式ax2+bx+c＜0的解集是___，方程ax2+bx+c＝m的解是______． 【答案】 ①. ## ②. 或##或 【解析】 【分析】根据抛物线经过点，，得到对称轴为直线，推出点关于直线的对称点是，设二次函数的解析式为，把数对代入得，解得，推出抛物线开口向上，根据抛物线的对称性，推出不等式的解集是，根据点关于直线的对称点是，推出方程的解是或． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线的对称点是， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴不等式的解集是， ∵点关于直线的对称点是， ∴方程的解是或， 故答案为：；或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握表格中的数字信息，待定系数法求二次函数的解析式，运用抛物线的对称性解一元二次不等式和一元二次方程． 16. 若二次函数在时的最大值为3，那么的值是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 三、解答题（共9小题） 17. 一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不放回画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球， ∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画出树状图如下： 一共有20种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况， 所以两次摸出的球都是白球的概率为＝． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题关键是熟练用树状图表示出所有可能，再根据概率＝所求情况数与总情况数之比． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）y＝x 2+ x﹣； （2）（0，﹣）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求； （2）令x＝0，求得y的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6）， ∴a（﹣5+1）2﹣2＝6． 解得：a＝． ∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣； 【小问2详解】 解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣， ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转，画出旋转后的； （2）在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； （3）在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知绕原点旋转180度的得到的点与原来的点关于原点对称是解题的关键． （1）根据题意可得与关于原点对称，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得的顶点的坐标是，的坐标是， 【小问3详解】 解；∵将绕原点O旋转得到，且内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标． 20. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24 （1）求CD的长； （2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【答案】（1）CD=24m；（2）2小时 【解析】 【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长； （2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用（小时），所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 【详解】（1）∵直径AB=26m， ∴OD=， ∵OE⊥CD， ∴， ∵OE：CD=5：24， ∴OE：ED=5：12， ∴设OE=5x，ED=12x， ∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132， 解得x=1， ∴CD=2DE=2×12×1=24m； （2）由（1）得OE=1×5=5m， 延长OE交圆O于点F， ∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m， ∴（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满． 21. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 22. 如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E、F． （1）求证：点D为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为5，，点P是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】（1） ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点D为的中点； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明为△ACB的中位线得到，然后计算即可； （3）作C点关于的对称点，交于P，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 而， ∴为的中位线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作C点关于的对称点，交于P，连接，如图， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵点C和点关于对称， ∴， ∴， 作于H，如图， 则， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称最短路径问题、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相关的定理内容并灵活应用是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是实数，）． （1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，为函数y图象上的任意两点，其中．求当，为何值时，； （3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点．当时，求的取值范围． 【答案】（1）2个，理由见解析；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的差别式进行判断即可； （2）由对称轴为直线得，代入函数解析式结合得一元二次方程，求解即可； （3）根据函数图象的顶点在第二象限，且过点列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 函数图象与x轴的交点个数为2个． （2）对称轴为直线， ∴ ， ， 当时，， 即， ∵，且 ，． （3）抛物线顶点在第二象限， ，解得，． 抛物线过， ，即． 由题意得， ， ， ． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，在中，D在边上，圆O为锐角的外接圆，连接并延长交于点E． （1）若，请用含的代数式表示； （2）如图2，作，垂足为F，与交于点G，已知． ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1） （2） ①证明：∵， ∴， 设，由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴； ②6 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，利用圆周角定理得到，再由等边对等角结合三角形内角和定理即可得到； （2）①由，得到，设，由（1）得：，则，由此证明，即可证明；②如图，作，，垂足分别为M、N设，则，，证明，得到，由三线合一定理得到，则，证明四边形为矩形，得到，再由三线合一定理得到，即可推出． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，作，，垂足分别为M、N， 设，则，， ∵ ∴， ∴ ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理等等，通过作出辅助线，利用三线合一定理进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $