专题03 旋转与中心对称（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转与中心对称 常考考点概览 考点01 生活中的旋转现象 考点02 利用旋转的性质求线段或角度 考点03 旋转与平面直角坐标系综合 考点04 旋转与几何、函数的综合 专题05 中心对称图形的识别 专题06 中心对称的性质 专题07 中心对称与平面直角坐标系 地 城 考点01 利用旋转的性质求线段或角度 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 【答案】A 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、飞驰的火车，是属于平移，则此项不符合题意； C、传送带移动，是属于平移，则此项不符合题意； D、电梯的运行，是属于平移，则此项不符合题意； 故选：A． 2．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 二、填空题 3．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 地 城 考点02 利用旋转的性质求线段或角度 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮罗定·期中)风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称，将除以转子叶片个数即可求出的值． 【详解】解： 故选：C． 2．(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．熟悉以上性质是解题关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，， 则为等腰直角三角形， ． 故选：B． 3．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键． 分两种情况：①当点E在的延长线上时，②当点E在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ①当点E在的延长线上时，如图，过点B作于G，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 在中， 根据勾股定理得，； ②当点E在的延长线上时，如图，过点B作于H，则， 在中，， ∴， 根据勾股定理得， ∴， 在中， 根据勾股定理得，． ∴或． 故选：D． 4．(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)如图，正方形中，点 G 为对角线 上一点， ． 且，连接 ． 将线段绕点 A 逆时针旋转得到线段， 使 ， 则的度数为（  ）      A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 5．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键． 6．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，由等边三角形的性质可得，，，进而由锐角三角函数得到，再根据旋转的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点为等边的边的中点， ，，， 在中，， ， ∵绕点逆时针旋转后得到， ， 故选：． 7．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕图形旋转，结合等腰直角三角形、等边三角形的性质，通过连接辅助线 ，利用角的和差关系求解的度数．解题思路为：先由旋转性质得出且，判定为等边三角形；再结合是等腰直角三角形，求出相关角的度数，最终通过角的组合算出 ． 【详解】解：连接， 绕点逆时针旋转得到 ， 是等边三角形 ， 在中，， 是等腰直角三角形 ∵，，， ∴（） ∴ ∴ 故选： ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定及性质，等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握旋转前后图形的对应关系，以及特殊三角形的角度、边长性质，通过连接辅助线、，构建角的和差关系是解题关键． 二、填空题 8．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识．由旋转的性质和勾股定理得出的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得， ， 根据勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 9．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和可得，所以再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故答案为：． 三、解答题 10．(23-24九上·广东广州香江中学·期中)如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．    (1)若，，求的长； (2)若，，连接，求的度数． 【答案】(1)的长为 (2)的度数为 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，由此即可求解； （2）根据旋转的性质，全等三角形的性质可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴的长为． （2）解：如图所示，连接，    由（1）可知，， ∴，，， ∴是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 11．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，正方形中，，分别是边，上的点，将绕点逆时针旋转交的延长线于点． (1)用三角板和直尺、铅笔依题意补全图形并标上相应的字母； (2)若正方形的边长为12，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形的性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形中的半角模型是解题的关键． （1）直接根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质可得，，根据旋转的性质可得，，从而证明三点共线，然后利用正方形中的半角模型证明；设，从而可得，，然后在Rt中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转性质得：， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 由旋转性质得：， 则， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 12．(23-24九上·广东东莞黄江镇·期中)正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 地 城 考点03 旋转与平面直角坐标系综合 一、单选题 1．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，全等三角形的性质与判定根据图形或点旋转之后要结合旋转的角度求出旋转后的点的坐标．求出按顺时针方向旋转旋转得到坐标为． 【详解】解：过点P作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示： 则， 根据旋转可知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴坐标为， 故选：C． 2．(23-24九上·广东广州东风实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作，垂足为，通过证得，得出，求出得到点的坐标为，由每旋转4次为一个循环，即可得出第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同，从而得出第2023次旋转结束时，点的坐标为． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示，    ，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， 点的坐标为，    如图，过，作y轴和x轴的垂线，垂足分别为D，E， 每次旋转， ，，即， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 即第1次旋转后点C的坐标为， 同理可得：第2次旋转后点C的坐标为， 第3次旋转后点C的坐标为， 每旋转4次为一个循环． ， 第2023次旋转结束时点的位置和第3次旋转结束时点的位置相同， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查图形的规律，图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键． 二、填空题 3．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，，则旋转后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据中，，可得，再由绕原点O顺时针旋转，得到，即可求出旋转后点C的坐标． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵绕原点O顺时针旋转，得到， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25九上·广东广州七中教育集团及教学联盟·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，扇形的面积计算，勾股定理： （1）根据旋转的性质作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）先利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求；    （2）解：∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过的图形面积为：。 5．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图，的顶点坐标分别为、、． (1)以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出； (2)分别写出三个顶点的坐标； (3)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到．请直接写出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图，勾股定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可； （2）根据三个顶点在坐标系中的位置可写出三个顶点的坐标即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点，用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）如图，即为所作： （2）由图可得， ； （3）点B旋转到点C的位置， ， 点C旋转后，在A的左边2个单位，上边一个单位， 而， ， ， 线段的长度. 6．(24-25九上·广东珠海前山中学·期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，．    (1)画出关于y轴对称的； (2)画出将绕原点O顺时针旋转所得的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和旋转 （1）根据关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，确定A、B、C的对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）利用旋转的性质和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求．    7．(23-24九上·广东惠州茂峰学校·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出绕点O逆时针旋转后的．并写出点、的坐标． (2)在（1）的条件下，求以点A为顶点，且过点的抛物线的解析式． 【答案】(1)画图见解析，、 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，待定系数法求二次函数解析式，正确找到旋转后的对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转方式先找到A、B对应点的位置，然后顺次连接，再求出的位置即可； （2）把抛物线解析式设为顶点式，再代入的坐标求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴、；    （2）解：设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴该抛物线解析式为 8．(23-24九上·广东广州铁一中学·期中)如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)求点A运动到点所经过的路径长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题主要考查旋转及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质及弧长计算公式是解题的关键； （1）根据旋转分别得出点A、B、C的对应点，然后连线即可； （2）连接，由题意易得，，然后根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】（1）解：所得如图所示： （2）解：由作图可知：从点A运动到点所经过的路径为一段圆弧长，连接， ∴，， ∴点A运动到点所经过的路径长为． 9．(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； (2)连接，则的面积为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)5 【分析】本题考查作图——旋转变换，网格中三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求 则， 故答案为：； （2）解：如图， 则 10．(24-25九上·广东江门蓬江区第九中学·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点O逆时针旋转后的； (2)在（1）的条件下，求点B到经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，求弧长，勾股定理： （1）根据所给旋转方式和网格的特点找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点B到经过的路径长为． 地 城 考点04 旋转与几何、函数的综合 一、填空题 1．(23-24九上·广州越秀区广东实验中学·期中)如图，以的斜边为一边在同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】把绕点A逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，，，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，然后求出点A、C、O、B四点共圆，求出，然后求出，判断出点C、三点共线，过点A作于F，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求解即可． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，    ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵正方形的中心为O， ∴， ∵， ∴点A、C、O、B四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴点C、三点共线， 过点A作于F，则， ∴， 在中，， ∴正方形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，四点共圆的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线构造出全等三角形和直角三角形． 2．(23-24九上·广东中山纪雅学校·期中)已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    【答案】 【分析】相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积=的面积的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转， ，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形, ， 三点共线， ， 又， , ∵重叠部分的面积 的面积的面积， ∴重叠部分的面积 即旋转后的图形，与原图形重叠部分的面积为． 【点睛】本题考查菱形的性质，菱形对角线互相垂直，菱形四条边相等，以及旋转变化，旋转前后对应边相等，对应角相等． 3．(24-25九上·广东东莞外国语学校·期中)如图，在中，，，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】设的交点为点D，证明，利用勾股定理，三角形面积公式解答即可． 【详解】解：设的交点为点D， ∵，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 4．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为； ； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据正三角形性质，得；根据旋转的性质，得，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形，可判断 ③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④． 【详解】解：如图，连接； 为等边三角形， ，； 由题意得：，， 为等边三角形，， ，选项错误； 在与中， ， ， ， 可以由绕点逆时针方向旋转得到，选项正确； 在中，， 为直角三角形， ，，选项正确； ，选项正确． 综上所述，正确选项为 ， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 二、解答题 5．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求点的坐标和此抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标． (3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当，当，，三点共线时，最大，延长交抛物线的对称轴于点，为所求， 先求出直线的表达式，然后求得其与抛物线对称轴的交点即可； （3）点在抛物线的对称轴上，设，过作对称轴于，设对称轴于轴交于点，利用得到，由全等三角形的对应边相等得到，，表示出坐标，将坐标代入抛物线解析式中求出相应的值，即可确定出的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与抽交于点和点， ， ， ， 时，， ； （2）解： 点是抛物线对称轴上的一个动点，当， 当，，三点共线时，最大， 延长交抛物线的对称轴于点，为所求， 设直线为：，代入，，那么有 ，解得， 直线的表达式为：， ， 该抛物线对称轴为， 点的横坐标为， 将代入，， ． （3）解：抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上， 设， ①当时， 线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上， ，， 过作对称轴于，设对称轴与轴交于点，如图所示： ， ， 在与中，， ， ，， ，代入，得：， 解得：，（舍去）， ②当时，要使，由图可知点与点重合， ，，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，三角形三边关系的应用，利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 6．(24-25九上·广东中山华辰实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于点，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点的坐标是，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①若点在此抛物线上，求出的值及相应点的坐标； ②若点是轴上的任一点，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，点的坐标为；时，点的坐标为；②当取最小值时，点的坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定及性质等知识，利用全等三角形的判定及性质得点的坐标为是解题的关键． （1）根据直线解析式可得点、的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可； （2）由题意可知，，当点在轴上方时，如图，过点作轴于，，由旋转易证，得，，则，可知点的坐标为，如图，当点在轴上及其下方时，，同理可得，点的坐标为，进而可知，点在直线上； ①由点在此抛物线上，可知点为直线与抛物线的交点，得，求解即可； ②由题意知点在直线上，结合点是轴上的任一点，点在直线上，可知，，易知当点，点，与点重合时，取等号，即当取最小值时，点、点，与点重合，即可求得点的坐标为． 【详解】（1）∵直线分别与，轴交于点，， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵抛物线恰好经过这两点． ∴， 解得， ∴； （2）∵，， ∴，， 当点在轴上方时，如图，过点作轴于，， 由旋转可知：，， 则， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴点的坐标为， 如图，当点在轴上及其下方时，， 同理可得：， ∴，， 则， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为， 可知，点在直线上； ①∵点在此抛物线上， ∴点为直线与抛物线的交点， 即：， 解得：，， 当时，，当时，， ∴当时，点的坐标为；时，点的坐标为； ②∵， ∴点在直线上， 又∵点是轴上的任一点，点在直线上， ∴，， 当点，点，与点重合时，取等号， ∴当取最小值时，点、点，与点重合， 即：当取最小值时，点的坐标为． 7．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到．      【问题探究】 如图①连接，，延长交线段于点． （1）试探究和的数量关系，并加以说明； （2）是否成立，若成立，给予证明，若不成立，说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，点是的中点，点是上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度的取值范围是_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】该题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，正确做出图形． （1）根据旋转可得，，根据等腰三角形的性质得出，再根据余角的性质即可求解． （2）如图，作 于 交 的延长线于 ．证明，得出，再证明，即可得出． （3）在 中，勾股定理得出，根据 为 中点，得出，由旋转可知： ，得出，根据点 是 上的动点，点 是上的动点，得出当 在处时， 最小，值为 6，当 在处时， 最大，值为10，再分为当 C、M、 不共线时，，当C、M、共线时，画出图形，得出最小和最大，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由如下： 根据旋转可得，， ， ， ，， ． （2）， 理由如下： 如图，作 于 交 的延长线于 ． ，， ， ∴， ，， ， ． （3）在 中，， ∵ 为 中点， ， 由旋转可知： ， ， ∵点 是 上的动点，点 是上的动点， 当 在处时， 最小，值为 6，当 在处时， 最大，值为10， 当 C、M、 不共线时，， 当C、M、共线时，如图，最小， 此时 ， 如图，最大， 此时 ， 综上，． 8．(24-25九上·广东广州黄广中学·期中)如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线求解； （2）先判断出，得出，同（1）的方法来求解； （3）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵点，是，的中点， ∴，． ∵点，是，的中点， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 由旋转知，． ，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 同（1）的方法得， ∴． 同（1）的方法得，， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时，面积最大， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． 9．(23-24九上·广东广州白云中学·期中)（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【详解】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 10．(23-24九上·广东深圳龙岗区外国语学校·期中)如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见解析 (4)的最大为12 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 地 城 考点05 中心对称图形的识别 一、单选题 1．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2．(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 3．(24-25九上·广东广州番禺区香江实验中学·期中)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，正确把握相关定义是解决问题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 4．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 5．(24-25九上·广东肇庆华赋实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别；一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选：A． 6．(23-24九上·广东汕头濠江区区华南师范大学附属濠江实验学校·期中)如图图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 故选：． 7．(24-25九上·广东广州番禺区金海岸实验学校初中部·期中)在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．(23-24九上·广东珠海九洲中学·期中)垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但它不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：B． 二、填空题 9．(23-24九上·广东中山华侨中学·期中)如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 ．    【答案】② 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 地 城 考点06 中心对称的性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山街道联考·期中)如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 2．(23-24九上·广东汕头第四中学·期中)如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 3．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 二、填空题 4．(24-25九上·广东云浮罗定·)如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了中心对称的性质和全等三角形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键．先根据中心对称的性质得到，得到，进而可得出的长． 【详解】解∶∵与关于点A中心对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为∶6． 三、解答题 5．(23-24九上·广东惠州惠阳区第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题：      (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转后得到，并写出的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形，画绕原点旋转的图形，正确找到A、B、C对应点的位置是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）先找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接，再写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∴．    6．(23-24九上·广东中山小榄镇·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的． (2)作关于原点对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图-对称变换，旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得； （2）根据对称的性质可得； 【详解】（1）如图所示，就是所求 （2）如图所示，就是所求    7．(23-24九上·广东韶关乐昌·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)分别写出点，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的表示： （1）根据原点对称的点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，计算坐标后，画图形即可； （2）根据原点对称的点，横坐标，纵坐标分别互为相反数，计算坐标即可．熟练掌握对称点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴关于原点中心对称的点的坐标分别为，，． 画图如下：    则即为所求． （2）∵，，， ∴关于原点中心对称的点的坐标分别为，，． 8．(23-24九上·广东广州南武教育集团·期中)正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：    (1)画出绕点顺时针旋转后的； (2)画出关于原点对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是： （1）利用旋转变换的性质分别作出各点的对应点，依次连接即可； （2）利用中心对称的性质分别作出各点的对应点，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，即为所求． 地 城 考点07 中心对称与平面直角坐标系 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，已知点，则点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于原点对称的点横坐标、纵坐标均互为相反数即可得到答案． 【详解】解：∵点和点关于原点对称，点，， ∴点的坐标是， 故选：A． 2．(24-25九上·广东韶关浈江区行之实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即可得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 3．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质可得a、b的值，再计算的值即可解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 4．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，熟练掌握“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标的特点求出、的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ， 则． 故选：A． 二、填空题 5．(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，则坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是可以直接写出答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称的点的坐标变化规律． 【详解】解：∵点关于原点对称的点坐标为， ∴坐标为是， 故答案为：． 6．(24-25九上·广东肇庆地质中学·期中)已知点、点关于原点对称，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于原点对称的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 根据两点关于原点对称的坐标特征，可求得a与b的值，从而可求得的值． 【详解】∵点、点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：2023． 7．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期中)若点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．利用关于原点对称点的性质得出m，n的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故答案为： 8．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)二次函数的图象关于原点对称的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数即可求解顶点坐标，再结合开口方向可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向下． 与点关于原点对称的点的坐标为， 新二次函数图象的顶点坐标为，开口向上． 新二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 9．(23-24九上·广东汕头第四中学·期中)已知点，关于原点对称，则 ， ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，二元一次方程组的应用．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 根据关于原点对称的点的坐标特点列出方程，解方程分别求出x、y值，即可． 【详解】∵点，关于原点对称， ∴， 解得． 故答案为：；． 三、解答题 10．(24-25九上·广东中山卓凯教育·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，， (2) 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图旋转变换、三角形的面积，熟练掌握中心对称性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，，； （2）的面积为． 11．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知点与关于原点对称，求a，b的值. 【答案】， 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数列方程组求解即可． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， 解得， 12．(23-24九上·广东广州花都区秀全中学·期中)如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中，请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出关于坐标原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标_____； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】本题考查的是画关于原点对称的图形，坐标与图形面积，熟练的画关于原点成中心对称的图形是解本题的关键； （1）先确定A，B，C关于原点对称的对应点，，，再顺次连接，并根据的位置可得其坐标； （2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形， ∴． （2）． 13．(23-24九上·广东惠州大亚湾澳头实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)作与关于原点O成中心对称的，写出坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】本题考查作图-中心对称、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质可得答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）作图如下： ∵和关于原点成中心对称， ∴； （2）的面积=， 的面积为． 14．(23-24九上·广东汕头滨海中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图对称变换，轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握中心对称及轴对称的性质． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可； （2）先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）如图所示，              15．(23-24九上·广东阳江江城区阳江实验学校·期中)如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．    (1)画出关于原点对称的；并写出点、、的坐标； (2)若点为轴上一点，当取得最小值时，画出点，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，，，； (2)点位置见解析图，． 【分析】（）根据原点对称的性质作图即可解答； （）如图，作点作关于轴的对称点，连接交轴于点，通过一次函数求出点坐标即可； 此题考查了关于原点对称，轴对称的性质和一次函数等知识点，根据题意正确作图和熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据点的位置可知：， ，， ∴关于原点对称的点分别为，，， 在坐标系中描点，然后连接，，， 如图，    ∴即为所求； （2）如图，当取得最小值时，则作点作关于轴的对称点，连接交轴于点，    则即为所求，， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转与中心对称 常考考点概览 考点01 生活中的旋转现象 考点02 利用旋转的性质求线段或角度 考点03 旋转与平面直角坐标系综合 考点04 旋转与几何、函数的综合 专题05 中心对称图形的识别 专题06 中心对称的性质 专题07 中心对称与平面直角坐标系 地 城 考点01 利用旋转的性质求线段或角度 一、单选题 1．(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)下列运动形式属于旋转的是（   ） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 2．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 二、填空题 3．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 地 城 考点02 利用旋转的性质求线段或角度 一、单选题 1．(24-25九上·广东云浮罗定·期中)风车山因其山顶的风车而得名，这些巨大的风车在山巅屹立，仿佛守护着这片净土．如图是罗定风车山的图片，图中风力发电装置的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n的值可以是（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 2．(24-25九上·广东珠海香洲区立才学校·期中)如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 3．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 4．(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)如图，正方形中，点 G 为对角线 上一点， ． 且，连接 ． 将线段绕点 A 逆时针旋转得到线段， 使 ， 则的度数为（  ）      A． B． C．或 D．或 5．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)如图，在等边中，，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．(23-24九上·广东江门新会第二中学·期中)如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，连接，则的长为 ． 9．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是 ． 三、解答题 10．(23-24九上·广东广州香江中学·期中)如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上．    (1)若，，求的长； (2)若，，连接，求的度数． 11．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，正方形中，，分别是边，上的点，将绕点逆时针旋转交的延长线于点． (1)用三角板和直尺、铅笔依题意补全图形并标上相应的字母； (2)若正方形的边长为12，，且，求的长． 12．(23-24九上·广东东莞黄江镇·期中)正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 地 城 考点03 旋转与平面直角坐标系综合 一、单选题 1．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·广东广州东风实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O在原点上，，，，轴，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第2023次旋转后点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转，得到，若，，则旋转后点的坐标为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·广东广州七中教育集团及教学联盟·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下，求线段扫过的图形面积. 5．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图，的顶点坐标分别为、、． (1)以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，请画出； (2)分别写出三个顶点的坐标； (3)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到．请直接写出线段的长度． 6．(24-25九上·广东珠海前山中学·期中)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，．    (1)画出关于y轴对称的； (2)画出将绕原点O顺时针旋转所得的； 7．(23-24九上·广东惠州茂峰学校·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出绕点O逆时针旋转后的．并写出点、的坐标． (2)在（1）的条件下，求以点A为顶点，且过点的抛物线的解析式． 8．(23-24九上·广东广州铁一中学·期中)如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)求点A运动到点所经过的路径长． 9．(24-25九上·广东珠海城东中学·期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； (2)连接，则的面积为______． 10．(24-25九上·广东江门蓬江区第九中学·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． (1)画出绕点O逆时针旋转后的； (2)在（1）的条件下，求点B到经过的路径长（结果保留π）． 地 城 考点04 旋转与几何、函数的综合 一、填空题 1．(23-24九上·广州越秀区广东实验中学·期中)如图，以的斜边为一边在同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则正方形的边长为 ．    2．(23-24九上·广东中山纪雅学校·期中)已知，如图，菱形的边长为2，，将菱形绕顶点在平面内顺时针旋转得到菱形，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为 .    3．(24-25九上·广东东莞外国语学校·期中)如图，在中，，，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 4．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为； ； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 二、解答题 5．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求点的坐标和此抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标． (3)点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，求点的坐标． 6．(24-25九上·广东中山华辰实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴交于点，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点的坐标是，将线段绕着点逆时针旋转得到线段． ①若点在此抛物线上，求出的值及相应点的坐标； ②若点是轴上的任一点，当取最小值时，求点的坐标． 7．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到．      【问题探究】 如图①连接，，延长交线段于点． （1）试探究和的数量关系，并加以说明； （2）是否成立，若成立，给予证明，若不成立，说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，若，，点是的中点，点是上的动点，在绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是点，则线段长度的取值范围是_______． 8．(24-25九上·广东广州黄广中学·期中)如图1，在中，，，点，分别在边上，，连接，点，，分别为的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 9．(23-24九上·广东广州白云中学·期中)（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 10．(23-24九上·广东深圳龙岗区外国语学校·期中)如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 地 城 考点05 中心对称图形的识别 一、单选题 1．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东东莞沙田瑞风实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东广州番禺区香江实验中学·期中)下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东汕头金平区金园实验中学·期中)下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东肇庆华赋实验学校·期中)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·广东汕头濠江区区华南师范大学附属濠江实验学校·期中)如图图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东广州番禺区金海岸实验学校初中部·期中)在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 8．(23-24九上·广东珠海九洲中学·期中)垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物 二、填空题 9．(23-24九上·广东中山华侨中学·期中)如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 ．    地 城 考点06 中心对称的性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东汕头潮南区峡山街道联考·期中)如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 2．(23-24九上·广东汕头第四中学·期中)如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 3．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 二、填空题 4．(24-25九上·广东云浮罗定·)如图，已知与关于点A中心对称，若，则的长为 ．    三、解答题 5．(23-24九上·广东惠州惠阳区第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题：      (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点O顺时针旋转后得到，并写出的坐标． 6．(23-24九上·广东中山小榄镇·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出旋转后的． (2)作关于原点对称的图形． 7．(23-24九上·广东韶关乐昌·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于原点中心对称的； (2)分别写出点，，的坐标． 8．(23-24九上·广东广州南武教育集团·期中)正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：    (1)画出绕点顺时针旋转后的； (2)画出关于原点对称的． 地 城 考点07 中心对称与平面直角坐标系 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，已知点，则点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东韶关浈江区行之实验学校·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2024 4．(24-25九上·广东韶关翁源县·期中)已知和关于原点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 二、填空题 5．(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为，则坐标为 ． 6．(24-25九上·广东肇庆地质中学·期中)已知点、点关于原点对称，则 ． 7．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期中)若点与点关于原点对称，则 ． 8．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)二次函数的图象关于原点对称的图象解析式为 ． 9．(23-24九上·广东汕头第四中学·期中)已知点，关于原点对称，则 ， ． 三、解答题 10．(24-25九上·广东中山卓凯教育·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出，使与关于原点成中心对称，并写出点，的坐标； (2)求的面积． 11．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知点与关于原点对称，求a，b的值. 12．(23-24九上·广东广州花都区秀全中学·期中)如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，其中，请在所给的直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)画出关于坐标原点O成中心对称的图形，并写出点的坐标_____； (2)求的面积． 13．(23-24九上·广东惠州大亚湾澳头实验学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)作与关于原点O成中心对称的，写出坐标； (2)求的面积． 14．(23-24九上·广东汕头滨海中学·期中)如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于原点对称的，并写出的坐标； (2)在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出的坐标． 15．(23-24九上·广东阳江江城区阳江实验学校·期中)如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上．    (1)画出关于原点对称的；并写出点、、的坐标； (2)若点为轴上一点，当取得最小值时，画出点，并直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $