专题03 旋转（期中真题汇编，北京专用人教版）九年级数学上学期

专题03 旋转 2大高频考点概览 考点01 中心对称 考点02 旋转性质及综合 地 城 考点01 中心对称 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)下列图案中是中心对称图形不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·北京朝阳区·期末)在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(23-24九上·北京朝阳区·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京十一学校·期中)下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 二、填空题 8．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 9．(45-25九上·北京海淀外国语实验学校2·期中)在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 10．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)点关于原点的对称点的坐标为 ． 地 城 考点02 旋转性质及综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（   ） ①；②；③；④点的运动过程中，的最小值是1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则不可能为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 三、解答题 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 9．(24-25九上·北京·期中)在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 10．(23-24九上·北京海淀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是，的对应点）．    (1)在图中画出，点的坐标为____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 11．(24-25九上·北京第二中学·期中)在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 12．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，，得到． (1)画出绕原点O顺时针旋转得到的； (2)直接写出经过点，，A的二次函数图象的对称轴 13．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 14．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； (2)画出绕原点O顺时针旋转的； (3)外接圆圆心的坐标为 ． 15．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，、、，将绕原点O顺时针旋转得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）． (1)在图中画出； (2)旋转到的过程中，点C经过的路径长为______； (3)先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______． 16．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 17．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，旋转角，满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“近邻距”．已知点，点，点． (1)当时，记线段为图形． ①画出图形； ②若点为图形，则“近邻距”为 ； ③若线段为图形，求“近邻距”； (2)已知点，点，记线段为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“近邻距”大于，直接写出的取值范围． 18．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，三个顶点的坐标分别为 (1)请画出将关于轴成轴对称的． (2)请画出绕原点逆时针旋转的． (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点坐标为_____． 19．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)为等边三角形，射线绕点顺时针旋转得到射线，在射线上取一点，连接，过点A，C分别作射线的垂线，将点关于对称得到点，连接． (1)依据题意补全图形； (2)求证：无论为何值均为等边三角形； (3)猜想的数量关系，并证明． 20．(24-25九上·北京海淀区北京大学附属中学·期中)已知，点是直线上一动点（不含点），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接线段，过点作交直线于点． (1)如图1，点在点右侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)当点在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 21．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知等边和线段，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、和． (1)补全图形 (2)求证： 22．(24-25九上·北京第十二中学·期中)如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 23．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知，是等腰三角形，，O是内的任意一点，连接，，． (1)如图1，，，将绕点C顺时针旋转得到．点D恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，设，．当 ， 时，有最小值． 24．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在等腰中，，，，分别在，边上（点不与，重合），将线段绕点逆时针旋转后点的对应点恰好落在上． (1)当时，如图1， ①求证：； ②判断线段与的数量关系，并证明． (2)当时，如图2，若，，直接写出线段的长度______． 25．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连结，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为 ． 26．(24-25九上·北京第十二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为_______； (2)点B绕点C逆时针旋转后的点D的坐标为_______，此时点B 旋转到点D所经过的路径长为_______（结果保留根号和π）． 27．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：． 28．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E． (1)当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； (2)当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 29．(23-24九上·北京朝阳区·期中)如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 30．(24-25九上·北京朝阳区·期中)已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，． (1)如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______； (2)当点在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 2大高频考点概览 考点01 中心对称 考点02 旋转性质及综合 地 城 考点01 中心对称 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受．下列剪纸图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，该选项不符题意； 、不是中心对称图形，该选项不符题意； 、是中心对称图形，该选项符合题意； 、不是中心对称图形，该选项不符题意； 故选：． 2．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)下列图案中是中心对称图形不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．中心对称，是针对两个图形而言，是指两个图形的(位置)关系．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据其定义，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4．(23-24九上·北京朝阳区·期中)在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 5．(23-24九上·北京朝阳区·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 6．(24-25九上·北京十一学校·期中)下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键；根据“点的坐标关于原点对称，这两个点的横纵坐标都互为相反数”可得，然后代入求解即可． 【详解】解：由点和点关于原点对称，可知， ∴； 故选A． 二、填空题 8．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，因为点绕原点O旋转，故所得的点与原来的点是关于原点对称，即该点的坐标是，即可作答． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴所得的点与原来的点是关于原点对称， 即该点的坐标是， 故答案为：． 9．(45-25九上·北京海淀外国语实验学校2·期中)在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系上点的坐标的规律，熟练掌握关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点与点B关于原点对称， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 10．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)点关于原点的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标，理解关于原点对称的点，横坐标、纵坐标均变为相反数，掌握关于原点对称的性质是解题的关键 ． 根据点关于原点的对称点的坐标中，横坐标、纵坐标均变为原来点的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为： ． 地 城 考点02 旋转性质及综合 一、单选题 1．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市海淀区中国人民大学附属中学分校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D． 2．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)如图，是边长为4的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．下列说法中正确的个数是（   ） ①；②；③；④点的运动过程中，的最小值是1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据等边三角形的性质可得，，结合是的中点即可判断说法①；由旋转的性质可得，，进而证明，即可判断说法②、③；取线段的中点，连接，证明，由全等三角形的性质可得，当时，取最小值，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，即可判断说法④． 【详解】解：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，故说法①正确； ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，故说法②、③正确； 取线段的中点，连接，如图所示， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，取最小值，如下图， ∵点为的中点， ∴， ∵，，是的中点， ∴， ∴， ∴点的运动过程中，的最小值是1，故说法④正确． 综上所述，说法正确的有4个． 故选：D． 3．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，等边的边长为2，点是的中心，绕点旋转，分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论： ①； ②的面积等于的面积； ③四边形的面积始终保持不变； ④的周长的最小值为3． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】连接，利用等边三角形的性质易得，由全等三角形的性质来判断；作于，利用三角形的面积得到随的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，来求解；利用得到进而求解；利用得到，当时，最小，的周长最小来求解． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ． ∵点是的中心， 分别平分和， ∴， ，即， 而，即， ． 在和中 ，故①正确； 作于，如上图，则． ， ， .，， , 即随的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ，故错误； ， ， ∴四边形的面积，保护不变，故正确； ， 的周长 当时，最小，的周长最小，此时， 周长的最小值，所以④正确. 故正确的有：． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 4．(24-25九上·北京西城区育才学校·期中)学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是理解并掌握旋转的性质．由题意依据每次旋转相同角度，最后要形成一个正五边形，进行分析即可得出答案． 【详解】解：A．，因此绕某点每次旋转，至少要连续旋转10次才能形成一个正多边形图案，而这样旋转出的正多边形，不可能是正五边形图案，故该选项符合题意； B．，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意； C．因为，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意； D．因为，所以绕某点每次旋转，连续旋转5次正好能形成一个正五边形图案，故该选项不符合题意． 故选：A． 5．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互补，根据旋转的性质可得，，，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而求得，即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∵ ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 6．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为 ． 【答案】 【来源】北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中试卷 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转性质以及角等量代换，证明，再结合点，点，求出点的坐标即可解决问题．本题考查坐标与图形变化旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， ， ， 又， ， ． 在和中， ， ， ，． 又∵，， ，， 所以点坐标为， 则，． 在中， ． 故答案为：． 7．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，中，，将绕点逆时针旋转度（）后得到，点恰好落在上，，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得到，则，由此根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)①以点B为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； ②以原点O为旋转中心，画出将按逆时针方向旋转后的； (2)在（1）的条件下，可以由绕某点按顺时针方向旋转得到，则该点坐标为 ，旋转角的度数为 ． (3)的外接圆半径长 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，； (3) 【分析】本题考查了作图——旋转变换，旋转的性质，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据旋转的性质作图即可； （2）设旋转中心为，由旋转的性质可知，，，，结合坐标两点的距离公式，求出、值，即可得到旋转中心坐标，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，证明，得到，进而得出，从而推出，即可得到旋转角的度数； （3）由直角坐标系可知，是等腰直角三角形，再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作； ②如图，即为所求作； （2）解：设旋转中心为， 由旋转的性质可知，，，， 由（1）可知，，，，， ，， 整理得：，， 解得：，， 旋转中心坐标为， 如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点， 则，，， ，， ， ， ， ， ，即旋转角的度数为， 故答案为：，； （3）解：由直角坐标系可知，是等腰直角三角形， 的外接圆半径长等于斜边的一半， ，， ， 的外接圆半径长是． 9．(24-25九上·北京·期中)在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)根据题意补全图形，并证明：； (2)过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析，证明见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 【详解】（1）补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）； 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 10．(23-24九上·北京海淀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是，的对应点）．    (1)在图中画出，点的坐标为____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图，然后作答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1，然后作答即可． 【详解】（1）解：由旋转作图，如图1，即所求，    ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图1， ∴． 11．(24-25九上·北京第二中学·期中)在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据新定义，对于点绕上点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，反之将上的任一点顺时针旋转回去所形成的图形就是点的所有位置，据此即可求解； ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点，根据定义可得点在以为圆心,半径为的上或内部，当点横坐标加半径1，即得出最大值； ③根据定义可得点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部，随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，由到距离为时，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，则 ∴点绕时针旋转后的对应点在的外部，点绕时针旋转后的对应点在的外部 ∵，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴     ∴ ∴点绕时针旋转后的对应点为，在内部， ∴点是点关于的“逆转点”； 故答案为：． ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点， ∴点在以为圆心,半径为的上或内部， ∴点横坐标最大值为 （2）点绕上任意一点顺时针旋转得到 ∴ ∴点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部 随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，如图所示， ∴点是直线上一点，记点的横坐标为， ∴当到距离为时， 解得：或， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 12．(24-25九上·北京大兴区·期中)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接，，得到． (1)画出绕原点O顺时针旋转得到的； (2)直接写出经过点，，A的二次函数图象的对称轴 【答案】(1)作图见解析 (2)直线 【分析】本题考查了作图旋转变换， 二次函数的图象和性质，掌握利用旋转的性质画图是解本题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点，再顺次连接即可； （2） 根据点，，A坐标，运用待定系数法得出解析式求出坐标即可 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）点绕原点O顺时针旋转后，其坐标变为． 点绕原点O顺时针旋转后，其坐标变为， 设二次函数解析式为， ，， ，，代入得， ， ， 二次函数解析式为， 二次函数的对称轴是，， ，，A的二次函数图象的对称轴为直线． 13．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)如图，点A，B的坐标分别为，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标为 ； (3)连接，直接写出的度数__________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查坐标与旋转，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据点所在的位置，写出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，结合等边对等角进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知：； （3）由旋转可知：， ∴； 故答案为：． 14．(24-25九上·北京东城区东直门中学·期中)如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题： (1)与关于原点O中心对称，则的坐标为 ； (2)画出绕原点O顺时针旋转的； (3)外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据关于原点成中心对称的两点坐标之间的关系，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可根据点B的坐标求得点的坐标； （2）根据旋转的性质，分别求得三点对应的点的坐标，顺次连接，即可求解； （3）根据三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，结合顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求． 因为点B的坐标为， 故点B关于原点O中心对称的点的坐标为； （2）如图所示，分别作绕原点O顺时针旋转后对应的点 ,顺次连接，即可得到； （3）因为关于直线对称， 又关于直线对称， 所以外接圆圆心即直线与的交点， 即外接圆圆心的坐标为． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的作法，成中心对称的点的坐标之间的关系，坐标的旋转变换及三角形外接圆圆心，熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标的变换是解题的关键． 15．(24-25九上·北京十一学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，、、，将绕原点O顺时针旋转得到（点，，分别是点A，B，C的对应点）． (1)在图中画出； (2)旋转到的过程中，点C经过的路径长为______； (3)先将点B关于原点对称得到，再将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，使落在内部（不含边界），直接写出h的取值范围为______． 【答案】(1)图见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查弧长公式、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握弧长公式、旋转的性质及勾股定理是解题的关键； （1）根据旋转可先标出点，，的位置，进而问题可求解； （2）由题意可得，然后根据弧长公式可进行求解； （3）根据题意结合（1）中图形可直接进行求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：如（1）图可知：， ∴点C经过的路径长为； 故答案为； （3）解：点B关于原点对称的，由将点向右平移一个单位，向上平移h个单位得到，则， 要使落在内部（不含边界），由图可知：h的取值范围为； 故答案为． 16．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)如图，在边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，，，，均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为， (1)线段绕点顺时针旋转得到线段，在图中画出线段、； (2)线段绕点顺时针旋转得到线段，若，，三点共线，则与的关系为（用等式表示）． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据轴对称图形和旋转的性质作图即可； （）根据题意画出图形，进而根据图形解答即可求解； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，掌握轴对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，、即为所求； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴与的关系为． 17．(24-25九上·北京海淀教师进修学校·期中)在平面直角坐标系中，旋转角，满足，对图形与图形给出如下定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形．为图形上任意一点，为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“近邻距”．已知点，点，点． (1)当时，记线段为图形． ①画出图形； ②若点为图形，则“近邻距”为 ； ③若线段为图形，求“近邻距”； (2)已知点，点，记线段为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“近邻距”大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①图形见详解；②2；③ “近邻距”为； (2)或或 【分析】（1）①当时，记线段为图形．图形绕原点逆时针旋转得到图形即． ②点为图形，求出最短距离，即可求解； ③过点作于，先证为等边三角形，，根据勾股定理求出即可； （2）点，点，可求，分四种情况，将点从右往左运动，观察与图形（阴影部分）的距离为的位置，求得相应的的值，结合图形求得的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，记线段为图形．图形绕原点逆时针旋转得到图形即； ②∵点为图形N，为图形与图形的“近邻距”，， ∴“近邻距”为， 故答案为：； ③线段为图形，过点作于， 根据勾股定理， ， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴“近邻距”为； （2）∵点，点， ∴， ∴当点在轴负半轴时，，当点在轴正半轴时，， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得是等边三角形，则与负半轴的夹角为， 当时，落在负半轴， ∴当时，为图中所示阴影部分，如图所示 分四种情况， 如图所示，当，当点P在点B右边，，为“近邻距”， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时， 当时，当点P在点B右边，，且， ∴， ∴， 解得：， 如图所示，当时，过点作于点，则， 依题意，， ∴，即， 解得：， 当在的左边时，如图所示， 同理可得，， ∴， 解得：， 综合的取值范围为或或． 【点睛】本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键． 18．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，三个顶点的坐标分别为 (1)请画出将关于轴成轴对称的． (2)请画出绕原点逆时针旋转的． (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了点的坐标，两点之间线段最短，轴对称变换的性质，画旋转图形，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接交x轴于点P，连接，则，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求， ∴ 19．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)为等边三角形，射线绕点顺时针旋转得到射线，在射线上取一点，连接，过点A，C分别作射线的垂线，将点关于对称得到点，连接． (1)依据题意补全图形； (2)求证：无论为何值均为等边三角形； (3)猜想的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)，证明见详解 【分析】（1）根据题意，先过点A，C分别作射线的垂线，再将点关于对称得到点，连接，据此进行作图，即可作答． （2）因为是等边三角形，得，再结合，得，运用外角性质，根据关于对称，得，因为，即是等边三角形． （3）根据等边三角形的性质，证明，得出，结合是等边三角形，得，因为，故，因为，则，运用30度角所对的直角边是斜边的一半，得，，运用勾股定理列式计算得，，因此，即可作答． 【详解】（1）解：依据题意补全图形，如图所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵是的外角， ∴， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴无论为何值均为等边三角形； （3）解：的数量关系为，证明如下： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则， 整理得， 在中， ∴ 则 整理得， 故， ∵， ∴， 则， 即． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．(24-25九上·北京/海淀区北京大学附属中学·期中)已知，点是直线上一动点（不含点），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接线段，过点作交直线于点． (1)如图1，点在点右侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)当点在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③，理由见解析； (2)当点在点右侧时，，当点在点左侧时，． 【分析】（1）①根据题干所给作图方法分垂足在延长线上和垂足在上补全图形即可；②由旋转性质及等边三角形的判定得是等边三角形，进而得，由，得，再根据三角形的内角和定理即可得解；③分垂足在延长线上和垂足在上两种情况利用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质求解即可； （2）分点在点右侧和点在点左侧两种情况，利用全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①当垂足在延长线上时，如图， 当垂足在上时，如图， ②，理由见解析： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ③当垂足在延长线上时，如图，连接，在的延长线线上取一点，使得， 由②得， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当垂足在上时，如图，连接，在的延长线线上取一点，使得， 同理可证； （2）解：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，理由如下： 当点在点的右侧时，由（）得，； 当点在点的左侧，且点在的上方时，如图，连接，在线段上取一点，使得， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左侧，且点在的上方时，如图，连接，在的延长线上取一点，使得， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点在点右侧时，，当点在点左侧时，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质是解题的关键． 21．(24-25九上·北京海淀区锦秋学校·期中)如图，已知等边和线段，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、和． (1)补全图形 (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．(24-25九上·北京第十二中学·期中)如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 23．(24-25九上·北京大兴区·期中)已知，是等腰三角形，，O是内的任意一点，连接，，． (1)如图1，，，将绕点C顺时针旋转得到．点D恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，设，．当 ， 时，有最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)120；120 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、旋转变换的性质，掌握等边三角形的三个角是、三条边相等是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质、四边形内角和为计算即可得，根据勾股定理解答； （2）将绕点按顺时针方向旋转得，连接．根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：，， ， 由旋转的性质可知，， ； 如图， 绕点按顺时针方向旋转得， ，． ，． 是等边三角形， ，， ，， ， ，． ． 在中，， ． ． （2）解：当时，有最小值，理由如下： 如图， 将绕点按顺时针方向旋转得，连接． ，． ，，． 是等边三角形． ，． ， ． ． 四点，，，共线． 时值最小， 当时，有最小值． 故答案为：120，120． 24．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在等腰中，，，，分别在，边上（点不与，重合），将线段绕点逆时针旋转后点的对应点恰好落在上． (1)当时，如图1， ①求证：； ②判断线段与的数量关系，并证明． (2)当时，如图2，若，，直接写出线段的长度______． 【答案】(1)①证明过程见详解；②，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，①将线段绕点逆时针旋转后点的对应点恰好落在上，可得，有平角的性质可得，由三角形内角和定理可得，由此即可求证； ②如图所示，在上截取，可证，在中，，可得，结合，，即可求解； （2）在上截取，可证，得，如图所示，过点作延长线于点，是等腰直角三角形，即，可得，在中，，，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：已知是等腰三角形，，， ∴， ∴， ①证明：∵， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转后点的对应点恰好落在上， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下， 如图所示，在上截取， 由（1）可得，，由旋转可得， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 在中，， ∴，即是直角三角形， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，类比（1）的证明方法，在上截取， ∵是等腰三角形，，， ∴， 在中，， ∵旋转， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 如图所示，过点作延长线于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵，，即， ∴，负值舍去， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，理解图示中角度的大小，合理构造辅助，得到含角的直角三角形，并根据其性质求解，掌握图形旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25．(24-25九上·北京第二中学·期中)如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连结，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）①当时，延长至，使，连接，由等腰三角形的性质得，由旋转的性质得：，，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，即可得证； ②当时，同理可证；③当时，同理可证； （3）取的中点，连接，由（2）同理可证：，由角的和差可得 ，当、、三点共线时，最小，此时，的最小值为：，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； 理由如下： ①当时， 如图，延长至，使，连接， ， ，， ， 由旋转得：， ， 设， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②当时， 如图， 同理可求：； ③当时， 如图， 同理可求：； 综上所述：； （3）解：如图，取的中点，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小，如下图， 此时， 的最小值为： 在中： ， ； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间连线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间连线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． 26．(24-25九上·北京第十二中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为_______； (2)点B绕点C逆时针旋转后的点D的坐标为_______，此时点B 旋转到点D所经过的路径长为_______（结果保留根号和π）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为点M； （2）根据旋转的性质在图上作出线段，即可得到点D的坐标，再根据勾股定理求出的长，最后根据弧长公式即可求出点B 旋转到点D所经过的路径长． 【详解】（1）解：如图，点M的坐标为， 故答案为：； （2）如图，点B绕点C逆时针旋转后的点D的坐标为， ， 点B 旋转到点D所经过的路径长为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，旋转的性质，掌握相关知识是解题的关键． 27．(24-25九上·北京西城区德胜中学·期中)如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，先由等边三角形的性质得到，再由旋转的性质得到，则可证明，再利用证明，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．(24-25九上·北京十一学校·期中)已知在中，，，作点B关于射线的对称点D，连接，点M是线段上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转的角度为，得到线段，连接交射线于点E． (1)当，且点M与点C重合时，如图1，请补全图形，并求证：点E为的中点； (2)当，且点M不与点C、D重合时，连接，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)图和证明见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】本题主要考查轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线所截线段成比例及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意可直接进行作图，由题意易得是等腰直角三角形，，然后可证，进而问题可求证； （2）在上截取一点F，使得，设与交于点O，由题意可先证，然后可得，则有，进而根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由轴对称的性质可知：，， 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 即点E为的中点； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 在上截取一点F，使得，设与交于点O，如图所示，    由轴对称的性质可知：垂直平分， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点E为的中点． 29．(23-24九上·北京朝阳区·期中)如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 30．(24-25九上·北京朝阳区·期中)已知正方形，将线段绕点旋转（），得到线段，连接，． (1)如图1，当点在正方形的内部时，若平分，，则______°，四边形的面积为______； (2)当点在正方形的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求的度数； ②作的平分线交于点．交的延长线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)①见解析，；② 【分析】（1）由旋转的性质得出，证明，由全等的性质得出，可求出，过点作于点，求出的面积即可得到答案； （2）①由题意画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； ②过点作交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：将线段绕点旋转，得到线段， ， ， 正方形， ， 平分， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， 四边形的面积； （2）①解：将线段绕点旋转，得到线段， ， ， ， ， ； ②解：． 过点作交的延长线于点， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，找到正确的全等三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $