1.5 有理数的大小 教学设计 2025-2026学年数学青岛版七年级上册

《1.5 有理数的大小》第1课时教案 学科 初中数学 年级册别 七年级上册 共1课时 教材 青岛版 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 教材分析 本课是七年级上册第一章“有理数”的第五节内容，是在学生已掌握自然数、小数、分数大小比较的基础上，进一步拓展到有理数范围内的大小比较。教材通过真实生活情境——城市最低气温数据，引导学生借助数轴直观理解有理数的大小关系，构建“数形结合”的数学思想。重点在于揭示“在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数”这一核心规律，并由此推导出正数、负数与零的关系以及两个负数之间的比较方法。该内容为后续学习有理数运算、不等式和函数图像奠定基础，具有承上启下的关键作用。 学情分析 七年级学生已具备一定的数感，能熟练比较自然数、小数和分数的大小，但对负数的抽象性仍存在认知障碍，尤其难以理解“绝对值越大反而越小”的反直觉现象。学生思维以具体形象为主，抽象逻辑能力正在发展，因此需要借助温度计、数轴等可视化工具降低认知难度。部分学生可能存在符号混淆、方向判断错误等问题，需通过反复练习与情境对比强化理解。教学中应注重从生活经验出发，创设真实问题情境，激发探究兴趣，采用合作探究与教师引导相结合的方式突破难点。 课时教学目标 数学观念 1. 能够在真实情境中识别并运用有理数进行大小比较，体会数与现实生活的联系。 2. 理解数轴作为“数与形”桥梁的作用，建立数形结合的思想意识。 科学思维 1. 能通过观察数轴上点的位置关系，归纳出有理数大小比较的一般规律。 2. 能运用类比推理的方法，由正数比较迁移至负数比较，提升逻辑推理能力。 探究实践 1. 能独立在数轴上标出有理数对应点，并按顺序排列大小。 2. 能通过计算绝对值，准确比较两个负数的大小，掌握“绝对值大的反而小”的规则。 态度责任 1. 在小组合作中积极参与讨论，尊重他人观点，养成严谨求实的学习态度。 2. 能主动反思自身错误，如符号误判、方向混淆等问题，形成自我纠错意识。 教学重点、难点 重点 1. 掌握利用数轴比较有理数大小的基本方法，理解“右大左小”的规律。 2. 理解并应用“正数＞0＞负数”，以及“两个负数，绝对值大的反而小”的结论。 难点 1. 理解“两个负数，绝对值大的反而小”这一反直觉规律，克服直观思维干扰。 2. 准确在数轴上确定负数位置，尤其是接近零的负数与正数之间的相对关系。 教学方法与准备 教学方法 情境探究法、合作探究法、讲授法、数形结合法 教具准备 多媒体课件、温度计模型图、可移动数轴板、彩色磁贴、练习卡 教学环节 教师活动 学生活动 情境导入，任务驱动 【5分钟】 一、创设真实情境，引出核心问题 （一）、展示天气预报视频片段，引入气温比较任务 1. 教师播放一段模拟天气预报视频：画面中出现五个城市的地图与实时气温数据，语音播报：“今天全国多地气温差异明显，北京-6℃，济南0℃，乌鲁木齐-10℃，兰州-5℃，上海4℃。” 2. 提问引导：“同学们，你们从这段播报中获取了哪些信息？如果要安排一场跨城旅行，你会优先选择哪个城市？为什么？” 3. 引导学生关注“气温高低”这一关键因素，追问：“我们该如何科学地将这五个城市的气温从低到高排序？仅凭感觉行吗？” 4. 板书课题：《1.5 有理数的大小》，强调本节课的任务是“用数学方法精确比较有理数的大小”。 5. 明确学习目标：学会用数轴比较有理数大小，并掌握负数比较的特殊规则。 二、观察发现，初步感知规律 （一）、出示气温数据表，引导学生自主排序 1. 教师投影教材中的气温表格： | 城市 | 北京 | 济南 | 乌鲁木齐 | 兰州 | 上海 | |--------|------|------|----------|------|----- | 最低气温/℃ | -6 | 0 | -10 | -5 | 4 | 2. 提问：“请同学们先尝试在草稿纸上写出这些数的大小顺序，说说你是怎么想的。” 3. 邀请几位学生分享排序结果，记录不同答案，如：-10 < -6 < -5 < 0 < 4 或 -6 < -10 < -5 < 0 < 4 等。 4. 指出矛盾点：“大家的答案不一致，说明我们需要一个统一的标准来判断大小。” 5. 引出温度计模型：教师拿出一个实物温度计，演示液柱随温度变化的上下移动，强调“温度越高，液柱越高；温度越低，液柱越低”。 6. 追问：“如果我们把温度计竖起来，像一条线一样，能不能表示这些气温数值？” 7. 引导学生联想：温度计上的刻度就是一条数轴，数字从下往上依次增大。 8. 板书：从低到高 = 自下而上 = 数轴上自左向右。 1. 观看天气预报视频，提取关键信息。 2. 尝试在草稿纸上按从低到高排列五个城市的气温。 3. 分享排序思路，表达选择旅行城市的理由。 4. 思考为何需要统一标准进行比较。 5. 观察温度计模型，理解液柱高度与温度高低的关系。 评价任务 情境理解：☆☆☆ 排序尝试：☆☆☆ 观察联想：☆☆☆ 设计意图 通过贴近生活的天气预报情境，激发学生学习兴趣，唤醒已有经验。借助温度计模型建立“数轴”概念雏形，实现从生活经验到数学抽象的自然过渡，为后续数轴教学铺垫。设置开放性问题引发认知冲突，促使学生主动寻求更科学的比较方法。 探究新知，建构模型 【15分钟】 一、动手操作，构建数轴模型 （一）、小组合作：制作简易数轴，标出气温数据 1. 教师分发小组材料包：一张A3纸（代表数轴）、尺子、铅笔、彩色磁贴（标有-10, -6, -5, 0, 4）。 2. 明确任务要求：“请每组在纸上画一条直线，标出0点，然后用磁贴将五个城市的气温数据准确粘贴上去，确保它们从左到右按从低到高的顺序排列。” 3. 巡视指导，关注各组是否正确区分正负方向，是否能合理分配单位长度。 4. 提醒：“注意，-10应该在最左边，4在最右边，0在中间。-6和-5谁更靠左？为什么？” 5. 请一组代表上台展示成果，其他组进行观察与质疑。 6. 引导全班总结：“在数轴上，从左到右的顺序就是从小到大的顺序。” 7. 板书核心规律：**在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大**。 8. 用红色箭头标注这条规律，强化记忆。 二、深化理解，归纳比较法则 （一）、思考与交流：探索数的分类关系 1. 教师提问：“观察数轴，你能发现正数、负数和0之间的大小关系吗？” 2. 引导学生观察：所有正数都在0的右边，所有负数都在0的左边。 3. 得出结论：**正数 > 0 > 负数**。 4. 追问：“如果两个数都是负数，比如-6和-5，哪个更大？它们的绝对值分别是多少？” 5. 学生回答后，教师板书：|-6|=6，|-5|=5，6>5。 6. 再次提问：“-6比-5小，但它的绝对值却更大，这说明什么？” 7. 引导学生发现规律：**两个负数，绝对值大的反而小**。 8. 用黑板画出两条数轴对比：一条显示-6和-5的位置，另一条显示它们的绝对值长度，帮助学生直观理解。 9. 强调：“比较两个负数时，不能只看绝对值大小，必须记住‘大绝对值=小数值’。” 10. 举例巩固：比较-1.1和-1.09，让学生先猜再验证。 11. 引导学生说出完整逻辑链：因为|-1.1|=1.1，|-1.09|=1.09，1.1>1.09，所以-1.1<-1.09。 1. 小组分工合作，绘制数轴并粘贴气温数据。 2. 讨论并确定每个数的准确位置，特别是负数之间的相对顺序。 3. 观察同伴作品，提出疑问或建议。 4. 归纳总结数轴上的大小规律。 5. 参与讨论，理解正负数与0的关系。 6. 探究两个负数的比较规则，形成“绝对值大则数值小”的认知。 评价任务 模型构建：☆☆☆ 规律归纳：☆☆☆ 规则理解：☆☆☆ 设计意图 通过动手制作数轴，让学生亲历“从具体到抽象”的建模过程，增强空间感知能力。小组合作促进思维碰撞，提升协作能力。通过对比分析、追问引导，帮助学生突破“负数越大越冷”的直觉误区，深刻理解“绝对值大反而小”的本质原因，建立正确的数学观念。 巩固应用，内化提升 【15分钟】 一、基础练习：数轴标数与连接 （一）、完成课本“练习”第1题 1. 教师投影题目：在数轴上表示下列各数，并用“<”把它们连接起来： ， ， ， ， 。 2. 提问：“这些数中有几个负数？它们分别位于0的哪一侧？” 3. 引导学生先确定单位长度，再逐一标点：-3.5在-3和-4之间，-2在-2处，-4/5=-0.8在-1和0之间。 4. 示范如何从左到右读取顺序，用“<”连接： -3.5 < -2 < -0.8 < 0 < 3。 5. 强调：连接时必须保证每一个“<”都成立。 6. 学生独立完成，教师巡视，收集典型错误（如-3.5位置错误、-4/5误认为-1.25）。 二、变式训练：多角度比较 （一）、完成课本“练习”第2题 1. 投影题目：比较下列各组中两个数的大小： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， 。 2. 第一组：引导学生回忆“正数 > 0 > 负数”，直接得出结论： 。 3. 第二组：强调“负数小于0”，直接得出： 。 4. 第三组：重点讲解，引导学生计算绝对值：|-1.1|=1.1，|-1.09|=1.09，1.1>1.09，所以-1.1 < -1.09。 5. 提问：“为什么-1.1比-1.09小？虽然它看起来‘更长’？” 6. 用数轴再次演示：-1.1在-1.09的左边，所以更小。 7. 强调：不要被“长度”迷惑，要看数轴上的位置。 三、拓展挑战：解决实际问题 （一）、完成“复习巩固”第3题 1. 教师展示新的气温表： | 城市 | 北京 | 太原 | 哈尔滨 | 武汉 | 上海 | 南京 | |--------|-------|-------|--------|------|-------|------| | 月平均气温/℃ | | | | | | | 2. 任务：“请将这些城市的月平均气温按从高到低的顺序排列。” 3. 引导学生先找出最大值（武汉7℃），再逐步比较其余数。 4. 组织小组竞赛：每组派代表上台写排序结果，最快且正确的小组加分。 5. 全班核对答案：7 > 5 > 4.6 > -2.2 > -3.1 > -15.4。 1. 独立在练习本上绘制数轴，标出五个数的位置。 2. 按照从左到右的顺序，用“<”连接所有数。 3. 完成三道比较题，书写完整推理过程。 4. 参与小组竞赛，积极抢答并核对答案。 评价任务 标数准确：☆☆☆ 连接规范：☆☆☆ 应用正确：☆☆☆ 设计意图 通过阶梯式练习，从基础标数到复杂比较，层层递进，巩固新知。利用竞赛形式调动积极性，培养竞争意识。真实情境的应用题让学生体会到数学的价值，增强解决问题的信心。及时反馈与纠正，帮助学生查漏补缺，提升运算准确性。 总结反思，升华认知 【5分钟】 一、知识梳理，构建结构 （一）、引导学生回顾本课核心内容 1. 教师提问：“今天我们学习了什么？最重要的规律是什么？” 2. 学生回答后，教师板书思维导图： - 核心规律：在数轴上，右边的点表示的数 > 左边的点表示的数。 - 三大关系：正数 > 0 > 负数；两个负数，绝对值大的反而小。 - 两种方法：数轴法、绝对值法。 3. 强调：“数轴是我们的‘放大镜’，能帮我们看清数的大小关系。” 二、思维拓展，引发深度思考 （一）、提出开放性问题，激发探究欲望 1. 教师抛出问题：“有没有最小的正整数？有没有最小的正有理数？” 2. 引导学生思考：正整数可以无限小（如1, 0.1, 0.01...），但没有最小值。 3. 类比：“同样，最大的负有理数也不存在，因为总能找到更接近0的负数。” 4. 提问：“有没有绝对值最小的数？是多少？” 5. 引导学生发现：0的绝对值是0，是最小的，任何非零数的绝对值都大于0。 6. 结论：**绝对值最小的数是0**。 7. 延伸思考：“有没有绝对值最大的数？” 8. 学生讨论后回答：没有，因为数可以无限大。 1. 回顾本课所学知识，参与思维导图构建。 2. 思考并回答开放性问题，表达自己的见解。 3. 理解“0是绝对值最小的数”这一重要结论。 评价任务 归纳清晰：☆☆☆ 思维活跃：☆☆☆ 理解深入：☆☆☆ 设计意图 通过系统性总结，帮助学生将零散知识整合为结构化体系。开放性问题的设计打破常规思维定势，培养学生批判性思维和探究精神。引导学生从“会做”走向“懂理”，提升数学素养。 作业设计 【5分钟】 一、基础巩固 1. 在数轴上表示下列各数，并用“<”连接： ， ， ， ， 。 2. 比较下列各组数的大小，填入“>”或“<”： （1） ___ ；（2） ___ ；（3） ___ ；（4） ___ 。 3. 判断对错，并说明理由： （1）所有的负数都比0小。（ ） （2）两个负数中，绝对值大的数反而大。（ ） （3）-1比-2大。（ ） （4）在数轴上，-3在-2的右边。（ ） 二、综合提升 4. 某天早晨，某地气温为-8℃，中午上升了5℃，傍晚又下降了3℃。请计算傍晚的气温，并将这三个时刻的气温按从低到高排列。 5. 写出所有绝对值小于3的整数，并在数轴上标出它们的位置。 6. 如图，在数轴上，点A表示有理数a，点B表示有理数b。已知a < 0，b > 0，且|a| > |b|。请将a，-a，b，-b用“<”连接起来。 （图略，示意：a在原点左侧远端，b在原点右侧近端） 1. xx 2.xx 3.xx 4.xx 评价任务 书写规范：☆☆☆ 推理严密：☆☆☆ 思维拓展：☆☆☆ 设计意图 作业设计遵循“基础—提升—创新”三级递进原则。第一题巩固数轴标数与连接技能；第二题强化符号判断与规则应用；第三题辨析易错点，培养严谨态度；第四题结合生活情境，考查综合运算能力；第五题加深对“绝对值”概念的理解；第六题融合数轴、相反数、大小比较，提升综合分析能力。 【答案解析】 一、基础巩固 1. -3 < -2.5 < -0.5 < 0 < 1 2. （1）<；（2）>；（3）>；（4） 3. （1）√；（2）×；（3）√；（4）× 二、综合提升 4. 中午气温：-8 + 5 = -3℃；傍晚气温：-3 - 3 = -6℃。 三个时刻气温从低到高：-8℃ < -6℃ < -3℃。 5. 绝对值小于3的整数有：-2, -1, 0, 1, 2。 6. 因为a < 0，所以-a > 0；因为b > 0，所以-b < 0。 又因为|a| > |b|，所以a < -b（a在-b的左边），且-b < b，-a > b。 最终顺序：a < -b < b < -a。 板书设计 《1.5 有理数的大小》 主标题：数轴上的秘密 —— 如何比较有理数大小 📌 核心规律： 在数轴上，右边的点所表示的数 > 左边的点所表示的数 → 用箭头表示：← 左 → 右 📊 三大关系： 1. 正数 > 0 > 负数 2. 两个负数，绝对值大的反而小 例：|-6|=6，|-5|=5，6>5 ⇒ -6 < -5 ✅ 方法总结： - 数轴法：标点 → 读序 - 绝对值法：比绝对值 → 定大小 🎯 关键词： 数轴、大小、绝对值、右大左小、负数反向 教学反思 成功之处 1. 成功创设“天气预报”真实情境，极大激发了学生的学习兴趣，课堂参与度高。 2. 动手制作数轴的环节设计巧妙，学生在实践中深刻理解了“右大左小”的规律，有效突破了负数比较的难点。 3. 开放性问题“有没有最小的正有理数？”引发了学生的深度思考，体现了数学思维的延展性。 不足之处 1. 部分学生在处理-1.1与-1.09这类接近零的负数时仍易出错，需增加专项练习。 2. 小组合作中个别成员参与度不高，今后需设计更具分工性的任务。 3. 时间分配稍显紧张，拓展题讲解不够充分，可在下节课预留时间进行补充。 学科网（北京）股份有限公司 $