清单03 函数的概念与性质（考点清单，知识导图+11个考点清单+题型解读）高一数学上学期湘教版2019

清单03 函数的概念与性质 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 【清单02】函数的单调性 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （3）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. 区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 【清单03】函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单04】函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【考点题型一】具体函数的定义域 注意：求函数的定义域要注意两点：一是函数的各部分同时有意义；二是答案一定要写成集合（区间）的形式. 【例1】（23-24高一上·海南海口·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由有意义，可得，解得且.故选：D. 【变式1-1】．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出定义域. 【详解】因为，所以且， 所以定义域为， 故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式有意义列式计算即可. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为． 故选：B. 【变式1-3】（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】解：由题意可得对任意恒成立， 所以， 解得， 所以实数取值范围是. 故答案为： 【考点题型二】抽象函数的定义域 【例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可. 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用抽象函数定义域的求解方法可得答案. 【详解】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式2-2】（2025高一·课时作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 【变式2-3】（23-24 黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 【考点题型三】求函数的值域 【例3】（23-24高一上·重庆云阳·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，所以，故值域为．故选：D 【变式3-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设，则，， 所以， 因为，在上单调递减， 所以，所以函数的值域为． 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为，所以的值域为，即，故选：A. 【考点题型四】相同函数的判断 注意： 定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．而判断两个函数是否为同一个函数的关键就是判断函数的三要素是否相同. 【例4】（23-24高一上·湖南永州·月考）（多选）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【解析】A选项，由于，所以两个函数是同一函数. B选项，的定义域为，的定义域是，所以不是同一函数. C选项，的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数. D选项，的定义域为，且. 所以两个函数是同一函数.故选：AD 【变式4-1】（2024高一·江苏·专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 【考点题型五】求函数的解析式 【例5】（2024高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【分析】利用配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法求解各题，注意定义域. 【详解】（1）因为， 所以. （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以. 解法二（配凑法）：， 因为，所以. （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或. （4）设， 则， 所以，解得， 所以. （5）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，. 【点拨】函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【变式5-1】（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式利用换元法即可得出函数的解析式. 【详解】令，则且，所以，因此. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【变式5-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【解析】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （3）设， 则， 所以，解得或， 所以或． （4）对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 【考点题型六】函数单调性的判断 【方法技巧】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【易错警示】函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 【例6】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【解答】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】 由题意，设，结合和定义法证明函数的单调性，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 所以， 因为且，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【变式6-4】（23-24高一上·广东茂名·月考）已知，则函数的单调递增区间为 . 【答案】 【解析】，画出函数图象， 结合图象得函数的单调递增区间为. 【考点题型七】已知函数的单调性求参数 【例7】（23-24 黑龙江牡丹江·期末）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得．故选：A． 【变式7-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先分段，由单调递减依次得，，但还需保证，由此即可求解. 【详解】由题意当时，单调递减，则，即， 当时，单调递减，则， 要保证单调递减，则还需，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线， 其对称轴左侧的图象是下降的， ∴，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出二次函数的对称轴，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 【变式7-4】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将分式函数用常数分离法转化成简分式，再根据函数的单调性即可求得参数范围. 【详解】由， 因为在区间上是增函数，所以，解得． 故答案为： 【考点题型八】函数奇偶性的判断 【例8】（22-23高一上·广东湛江·期中）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A.因为的定义域为， 且，A正确； B.因为的定义域为R， 且 ，B正确 C.因为的定义域为， 设，则，所以，则， 同理当时，，所以函数是奇函数，C正确； D.由，即，解得 , 所以函数的定义域是 ，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：ABC 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数，符合题意； 对于B中，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，不符合题意； 对于B中，函数，所以函数为非奇非偶函数函数，不符合题意. 故选：B. 【变式8-2】（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）给定四个函数，其中是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】应用奇偶性定义判断各函数的奇偶性，即得答案. 【详解】由且定义域为R，则为奇函数，A对； 由且定义域为，则为奇函数，B对； 由，显然不为奇函数，C错； 由，显然不为奇函数，D错. 故选：AB 【变式8-3】（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数定义逐项判断作答. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是. 故选：C 【变式8-4】（2024高一·课时练习）已知函数的定义域为R，并且满足， (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【解题思路】（1）利用赋值法即可得到函数的特殊值； （2）利用奇偶性的定义，结合赋值思想即可得出判断. 【解答过程】（1）令，则; （2）是奇函数，证明如下： 令，得， ， 故函数是R上的奇函数． 【考点题型九】函数奇偶性的应用 【方法技巧】 1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【例9】（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 【变式9-1】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则. 故选：D． 【变式9-2】（23-24高二下·广西北海·期末）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】设，则，即，即 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以， 故选： A. 【变式9-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【答案】 【分析】利用奇函数的定义计算即可得答案. 【详解】函数在上为奇函数，且当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【考点题型十】分段函数 【例10】（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知当时，，故要使函数的值域为， 需满足，解得，故的取值范围是，选：D 【变式10-1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式10-2】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，分与两种情况，解不等式，求出解集. 【详解】，故， 当时，有，解得或，即，或； 当时，，解得，即； 综上，不等式的解集是； 故选：B． 【变式10-3】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，， 当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为. 故选：A. 【考点题型十一】函数性质的综合应用 【例11】（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 【变式11-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为的图象的对称轴为，且开口向上， 所以在上严格增，且在R上是偶函数， 所以，两边平方得，所以.故答案为： 【变式11-2】（23-24 山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对于任意不等实数都满足， 即当时，；时， 故在区间上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以不等式， 又，由在区间上单调递增. 则，即，解得，或， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 函数的概念与性质 （11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的概念 1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素： （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集． （3）函数的对应关系：. 3、相等函数与分段函数 （1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． （2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。 【清单02】函数的单调性 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （3）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. 区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 【清单03】函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单04】函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 2、函数奇偶性的几个重要结论 （1）为奇函数⇔的图象关于原点对称；为偶函数⇔的图象关于y轴对称． （2）如果函数是偶函数，那么． （3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． （4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 【考点题型一】具体函数的定义域 注意：求函数的定义域要注意两点：一是函数的各部分同时有意义；二是答案一定要写成集合（区间）的形式. 【例1】（23-24高一上·海南海口·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·江西新余·期中）若已知函数定义域为，则实数的取值范围是 ． 【考点题型二】抽象函数的定义域 【例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【变式2-2】（2025高一·课时作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【变式2-3】（23-24 黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】求函数的值域 【例3】（23-24高一上·重庆云阳·月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·四川内江·阶段练习）函数的值域为 ． 【变式3-3】（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】相同函数的判断 注意： 定义域、对应关系和值域是函数的三个不可分割的要素，其中定义域和对应关系是最本质的要素，这两个确定了，值域也就确定了．而判断两个函数是否为同一个函数的关键就是判断函数的三要素是否相同. 【例4】（23-24高一上·湖南永州·月考）（多选）下列各组函数中，是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-1】（2024高一·江苏·专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型五】求函数的解析式 【例5】（2024高一·江苏·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)已知为二次函数，且，求； (5)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【点拨】函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【变式5-1】（23-24高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知是一次函数，且，求； (4)定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【考点题型六】函数单调性的判断 【方法技巧】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 【易错警示】函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 【例6】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式6-1】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【变式6-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性. 【变式6-4】（23-24高一上·广东茂名·月考）已知，则函数的单调递增区间为 . 【考点题型七】已知函数的单调性求参数 【例7】（23-24 黑龙江牡丹江·期末）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【变式7-4】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ． 【考点题型八】函数奇偶性的判断 【例8】（22-23高一上·广东湛江·期中）（多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）下列函数中的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（23-24高一上·广西南宁·期中）给定四个函数，其中是奇函数的有（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024高一·全国·课后作业）下列函数中，是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（2024高一·课时练习）已知函数的定义域为R，并且满足， (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【考点题型九】函数奇偶性的应用 【方法技巧】 1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【例9】（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【变式9-1】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式9-2】（23-24高二下·广西北海·期末）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 ． 【考点题型十】分段函数 【例10】（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高二下·山东青岛·期末）设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【考点题型十一】函数性质的综合应用 【例11】（22-23高一下·云南昭通·期末）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ． 【变式11-2】（23-24 山东济宁·期末）已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$