专题03 二次函数与一元二次方程、不等关系与不等式（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版2019

专题03 二次函数与一元二次方程、不等关系与不等式（期中复习讲义） 【考试要求】 1． 会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2． 结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系. 3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． 【命题规律】 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题。 1.两个实数的大小比较 （1） 。（2） 。（3） 。 2.不等式的性质 对称性 传递性 , 可加性 ; , 可乘性 , ; , ; , 可方性 , ； , 倒数性质 , ; , 分数性质 , , ， （ 且 ）； ， （ 且 ） 3．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 5．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 类型一 比较数（式）的大小 1.设 , ，则 与 的大小关系是( ) A. B. C. D. 2. 若 ， ， ,则( ) A. B. C. D. 3.若 , 为正数，且 ，则 （用符号“＞、＜、≥、≤”填空）。 4. 与 的大小关系为 。 5.若 ，则下列不等式不成立的是( ) A. B. C. D. 6. 实数 , 满足 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 7.设 , , , ，则 ， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 8.若 , ，则一定有( ) A. B. C. D. 类型二：一元二次不等式的解法 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为________． 2．解不等式≤2. 3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1. (1)当a＝－2时，解关于x的不等式f(x)<0； (2)当a>0时，解关于x的不等式f(x)>0. 4．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．(6，7) C．[6，7) D．(6，＋∞) 5．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则a＋b＝________． 6．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是____________． 反思总结： 1．不含参数的一元二次不等式按照：变标准形、算判别式、求方程的根、写解集4个步骤求解． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)当确定方程无根时，可直接写出解集；当确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 类型三：不等式的性质 1.若 ，则下列不等式不成立的是( ) A. B. C. D. 2.若 , ，且 ，则( ) A. B. C. D. 3.设 ， ，则下列不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 4.若 ，则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 总结反思 解决不等式有关问题常用的3种方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。 2.利用特殊值法排除错误答案。 3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 2．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－16，0) B．(－16，0] C．(－∞，0) D．(－8，8) 3．设f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．R C．{x|x≠1} D．{x|x＝1} 4．(多选题)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A． B． C．[13，＋∞) D．(－∞，13) 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________． 2．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x＞0的解集是(　　) A．(－3，－2)∪(4，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－2)∪(3，4) 3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．设关于x的二次不等式ax2＋8(a＋1)x＋2a＋3≥0(a∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，不等式的全部整数解的和为______． 2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程、不等关系与不等式（期中复习讲义） 【考试要求】 1． 会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 2． 结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系. 3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式． 【命题规律】 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题。 1.两个实数的大小比较 （1） 。（2） 。（3） 。 2.不等式的性质 对称性 传递性 , 可加性 ＞ ; , ＞ 可乘性 , ＞ ; , ＜ ; , ＞ 可方性 , ＞ ； , ＞ 倒数性质 , ＜ ; , ＞ 分数性质 , , ＜ ， ＞ （ 且 ）； ＞ ， ＜ （ 且 ） 3．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有 实根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x>x2或x<x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 5．简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 类型一 比较数（式）的大小 1.设 , ，则 与 的大小关系是( A ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 。 2. 若 ， ， ,则( B ) A. B. C. D. [解析]令函数 ，则 ，易知当 时， ，函数 单调递减，因为 ，所以 ，即 。 3.若 , 为正数，且 ，则 ＞ （用符号“＞、＜、≥、≤”填空）。 [解析] ,因为 , 且 ，所以 ， ，所以 ，即 。 4. 与 的大小关系为 。 [解析] ，又 , ，所以 ，即 ,又 ,所以 。 5.若 ，则下列不等式不成立的是( C ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 , 。由函数 在 上单调递增，可得 。当 , 时， 。因此只有C中不等式不成立。故选C。 6. 实数 , 满足 ，则下列不等式成立的是( B ) A. B. C. D. [解析]由 ，得 ，所以 ，故选B。 7.设 , , , ，则 ， 的大小关系是( B ) A. B. C. D. [解析]由题意得, ，且 ， ，可得 。 8.若 , ，则一定有( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，又 ，所以 ,即 ，又因为 ，所以 ，即 。 类型二：一元二次不等式的解法 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为________． 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>. 答案： 2．解不等式≤2. 解：原不等式可化为≥0，即或解得x>或x≤1. 故所求不等式的解集为. 3．已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1. (1)当a＝－2时，解关于x的不等式f(x)<0； (2)当a>0时，解关于x的不等式f(x)>0. 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋x＋1<0，即2x2－x－1>0，解得x<－或x>1， ∴不等式的解集为. (2)当a>0时，由f(x)>0，得ax2－(a＋1)x＋1>0，即(ax－1)(x－1)>0， ①当＝1，即a＝1时，解得x≠1； ②当>1，即0<a<1时，解得x<1或x>； ③当<1，即a>1时，解得x<或x>1. 综上所述，当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a>1时，不等式的解集为. 4．若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．(6，7) C．[6，7) D．(6，＋∞) 解析：A　原不等式可化为(x－2)(x－m)<0，若m＝2，则不等式的解集是∅，若m<2，则不等式的解是m<x<2， 此时不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>2， 所以不等式的解是2<x<m， 所以不等式的解集中的4个正整数分别是3，4，5，6，故实数m的取值范围是(6，7]. 5．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2，3)，则a＋b＝________． 解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的解为x＝2或x＝3， 由根与系数的关系，得解得所以a＋b＝5－6＝－1. 答案：－1 6．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是____________． 解析：当m＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m≠0时，得0<m<4.综上，0≤m<4. 答案：[0，4) 反思总结： 1．不含参数的一元二次不等式按照：变标准形、算判别式、求方程的根、写解集4个步骤求解． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)当确定方程无根时，可直接写出解集；当确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集． 类型三：不等式的性质 1.若 ，则下列不等式不成立的是( C ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 , 。由函数 在 上单调递增，可得 。当 , 时， 。因此只有C中不等式不成立。故选C。 2.若 , ，且 ，则( D ) A. B. C. D. [解析]因为 ， ， ，所以 ,所以 ，所以 , ， , ，故选D。 3.设 ， ，则下列不等式中恒成立的是( C ) A. B. C. D. [解析]对于A，当 为正数， 为负数时， ，所以A错误；对于B,当 , 时， ，所以B错误；对于C，因为 ，所以 ，又 ，所以C正确；对于D，当 ， 时， ，故D错误。故选C。 4.若 ，则下列不等式中不成立的是( B ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，所以 ，所以B中不等式不成立。故选B。 总结反思 解决不等式有关问题常用的3种方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。 2.利用特殊值法排除错误答案。 3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析：A　由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－10<0，解得－2<x<5. 2．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－16，0) B．(－16，0] C．(－∞，0) D．(－8，8) 解析：D　∵不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R， ∴Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，∴实数a的取值范围是(－8，8)． 3．设f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．R C．{x|x≠1} D．{x|x＝1} 解析：C　∵f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)， ∴－，解得b＝－2. ∴f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴f(x)>0的解集为{x|x≠1}． 4．(多选题)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 解析：AC　由于ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－3或x>4}， 所以a>0，且ax2＋bx＋c＝0的根为－3和4. 则－＝1，且＝－12. 所以b＝－a，且c＝－12a， 从而bx＋c>0，可得x<－12(由于a>0)， 所以A正确，B不正确． 又cx2－bx＋a<0⇔12x2－x－1>0. 解之得x<－或x>，C项正确． 由于a＋b＋c＝－12a<0，D不正确． 5．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A． B． C．[13，＋∞) D．(－∞，13) 解析：B　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故a<0且－＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c>0即为－ax2＋amx－12a>0，由于a<0，x∈[1，5]，则上式可转化为m<x＋在[1，5]上恒成立，又x＋，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，故m<4.故选B. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x＜1对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得不等式(x＋m)(2－x)＜1， 即x2＋(m－2)x＋1－2m＞0对任意x∈R恒成立， 因此Δ＝(m－2)2－4(1－2m)＜0， 则m2＋4m＜0，解得－4＜m＜0. 答案：(－4，0) 2．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x＞0的解集是(　　) A．(－3，－2)∪(4，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－2)∪(3，4) 解析：B　因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2，由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，所以>0可转化为>0，解得－3<x<2或x>4.所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞)．故选B. 3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________． 解析：依题意x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的根， ∴Δ＝4a2＋32a2＝36a2>0. 且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，又x2－x1＝15， ∴225＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36a2，又a>0，从而a＝. 答案： 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．设关于x的二次不等式ax2＋8(a＋1)x＋2a＋3≥0(a∈Z)，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，不等式的全部整数解的和为______． 解析：由题意a≠0，设y＝ax2＋8(a＋1)x＋2a＋3， 又对于任意a∈Z，要使y≥0只有有限个整数解，所以a<0. 又x＝0是其中的一个解，所以2a＋3≥0，从而－≤a<0(a∈Z)， 因此a＝－1. 当a＝－1时，则原不等式化为－x2＋1≥0. 所以－1≤x≤1，不等式的整数解为－1，0，1. 从而全部整数解的和为－1＋0＋1＝0. 答案：－1　0 2．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时， 解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为 ； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为 ； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $