重难点02：比较大小的难点解构与思维升级 讲义-2026届高三数学一轮复习

重难点02：比较大小的难点解构与思维升级 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、单调性法比大小（直接法） 3 题型二、媒介值法比大小（以0,1作媒介） 4 题型三、作差、商法比大小 5 题型四、构造函数法比大小 5 题型五、指对同构法比大小 6 题型六、放缩法比大小 7 题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 7 知识网络・核心根基深扎牢 一、单调性法 1. 底数相同、指数不同的指数式，如，利用指数函数的单调性比较大小。 2. 指数相同、底数不同的幂式，如和，利用幂函数的单调性比较大小。 3. 底数相同、真数不同的对数式，如，利用对数函数的单调性比较大小。 4. 抽象函数定义法比较大小，如函数单调递增（或递减）且，则（或）。 注：除上述函数外，通常也可能结合其它函数（如三角函数、分段函数、对勾函数等）或函数性质（奇偶性、轴对称、点对称等）比较大小 二、媒介值法 当需要比较的多个数，其底数、指数、真数均不相同，且直接通过作差法、商法等常规方法难以直接判断大小时，就可以使用媒介值法。具体来说，就是寻找像 0、1 或者其他能明确判断数的大小关系的数作为媒介值，然后将需要比较的数分别与媒介值进行比较，再依据这些比较结果，结合函数的单调性等性质，来确定这些数之间的大小关系。 三、作差、商法 1. 作差法：作差与0比较大小。 2. 作商法：作商与1（或-1）比较大小。 注：作差、商后若不能直观得出与0,1，-1等的大小关系，需要构造函数，利用单调性判断。 四、构造函数法 1. 作差、商后直接构造函数，利用单调性、极值、最值判断。 2. 观察需比较数的结构，总结同构规律，利用单调性、极值、最值判断。 常见同构模型： 1. 积型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 。 2. 商型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 。 3. 和差型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 六大超越函数图像： 四、构造函数法 解决指数、对数、幂函数、三角函数比较大小时，以下3组切线放缩模型最常用： 1. 指数放缩 ） ） 时取等号） 2. 对数放缩 ，（当且仅当时取等号） ，当且仅当时取等号。 3. 三角函数放缩 注：不等式链： 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、单调性法比大小 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 举一反三 【1-1】已知，则（） A. B. C. D. 【1-2】设，则的大小关系为（） A. B. C. D. 【1-3】设，则（） A. B. C. D. 题型二、媒介值法比大小 典例探究 【典型例题】已知，，，则的大小关系是（） A. B. C. D. 举一反三 【2-1】已知，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【2-2】已知试比较的大小（） A. B. C. D. 【2-3】已知，则下列大小比较正确的是（） A. B. C. D. 题型三、作差、商法比大小 典例探究 【典型例题】若是正实数，满足大小（） A. B. C. D. 举一反三 【3-1】若，则A、B的大小关系为（） A． B． C． D．无法确定 【3-2】若，则下列不等式中一定不成立的是（） A. B. C. D. 【3-3作商】设为正实数，且，则（） A. B. C. D. 题型四、构造函数比大小 典例探究 【典型例题】设，则（） A. B. C. D. 举一反三 【4-1】已知的大小关系为（） A. B. C. D. 【4-2】设，则（） A. B. C. D. 【4-3】设，则（） A. B. C. D. 题型五、指对同构法比大小 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 举一反三 【5-1】已知，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【5-2】若，则（） A. B. C. D. 【5-3】设，则下列选项正确的是（） A. B. C. D. 题型六、放缩法比大小 典例探究 【典型例题】已知则 ( ) A. B. C. D. 举一反三 【6-1】已知为自然对数的底数，则（） A. B. C. D. 【6-2】已知，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【6-3】若，则（） A. B. C. D. 题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 举一反三 【7-1】已知，则（） A. B. C. D. 【7-2】已知，则（） A． B． C． D． 【7-3】设，则（） A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点02：比较大小的难点解构与思维升级 （培优固本提能讲义） 知识网络·核心根基深扎牢 1 实战演练·能力进阶攀高峰 3 题型一、单调性法比大小（直接法） 3 题型二、媒介值法比大小（以0,1作媒介） 5 题型三、作差、商法比大小 6 题型四、构造函数法比大小 8 题型五、指对同构法比大小 10 题型六、放缩法比大小 12 题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 14 知识网络・核心根基深扎牢 一、单调性法 1. 底数相同、指数不同的指数式，如，利用指数函数的单调性比较大小。 2. 指数相同、底数不同的幂式，如和，利用幂函数的单调性比较大小。 3. 底数相同、真数不同的对数式，如，利用对数函数的单调性比较大小。 4. 抽象函数定义法比较大小，如函数单调递增（或递减）且，则（或）。 注：除上述函数外，通常也可能结合其它函数（如三角函数、分段函数、对勾函数等）或函数性质（奇偶性、轴对称、点对称等）比较大小 二、媒介值法 当需要比较的多个数，其底数、指数、真数均不相同，且直接通过作差法、商法等常规方法难以直接判断大小时，就可以使用媒介值法。具体来说，就是寻找像 0、1 或者其他能明确判断数的大小关系的数作为媒介值，然后将需要比较的数分别与媒介值进行比较，再依据这些比较结果，结合函数的单调性等性质，来确定这些数之间的大小关系。 三、作差、商法 1. 作差法：作差与0比较大小。 2. 作商法：作商与1（或-1）比较大小。 注：作差、商后若不能直观得出与0,1，-1等的大小关系，需要构造函数，利用单调性判断。 四、构造函数法 1. 作差、商后直接构造函数，利用单调性、极值、最值判断。 2. 观察需比较数的结构，总结同构规律，利用单调性、极值、最值判断。 常见同构模型： 1. 积型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 。 2. 商型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 取对数：变形为，构造函数 。 3. 和差型：不等式： 同左：变形为，构造函数。 同右：变形为，构造函数。 六大超越函数图像： 四、构造函数法 解决指数、对数、幂函数、三角函数比较大小时，以下3组切线放缩模型最常用： 1. 指数放缩 ） ） 时取等号） 2. 对数放缩 ，（当且仅当时取等号） ，当且仅当时取等号。 3. 三角函数放缩 注：不等式链： 实战演练・能力进阶攀高峰 题型一、单调性法比大小 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 【答案】 D 【分析】 比较的大小关系，利用指数函数和对数函数的单调性可判断各选项的正误。 【详解】，，，即， 所以，，，则，即A错误； ，所以，，，即正确. 故选： 举一反三 【1-1】已知，则（） A. B. C. D. 【答案】 A 【分析】 比较的大小关系，利用指数和对数函数的单调性与媒介值0,1可判断各选项的正误。 【详解】 函数上单调递增，则； 函数上单调递减，所以，，故； 而。 故选：A 【1-2】设，则的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】 D 【分析】 利用指数和对数函数的单调性各选项的正误。 【详解】 因单调递增，上单调递减，上单调递减。则。 即。 故选：D 【1-3】设，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先利用对数运算性质进行化简，再利用对数函数单调性分别求所在的范围，即可得到的大小。 【详解】，则，则；，则； 又，则；，则，所以。 综上 故选：B。 题型二、媒介值法比大小 典例探究 【典型例题】已知，，，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【分析】本题可将指数式转化为对数式，再结合对数函数的性质，利用0，1作为媒介值来比较的大小。 【详解】根据指数式与对数式的互化公式： ，即; ，; ，，即; 综上，. 故选 B. 举一反三 【2-1】已知，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据媒介值0,1确定的大小关系。 【详解】由 故选：B 【2-2】已知试比较的大小（） A. B. C. D. 【答案】 B 【分析】将与媒介值0,1比较，即可得到结论。 【详解】，， 所以 故选 B。 【2-3】已知，则下列大小比较正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由对数函数及指数函数的单调性，利用0，1作为媒介值来比较的大小。 【详解】因为，即，，即， 所以可得：， 故选C. 题型三、作差、商法比大小 典例探究 【典型例题】若是正实数，满足大小（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用作差法结合指数、对数性质求解. 【详解】。故。 作差计算：，即。 作差计算：，即。 故选B. 举一反三 【3-1】若，则A、B的大小关系为（） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法结合完全平方公式和平方的非负性比较大小. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 【3-2】若，则下列不等式中一定不成立的是（） A. B. C. D. 【答案】AD 【分析】利用作差法结合不等式基本性质求解. 【详解】选项 A：要判断是否成立，可作差：。 因为，即，所以A符合题意。 选项 B：令，，此时成立。 选项 C：因为，则，所以，由传递性可得成立。 选项 D：因为，不等式两边同乘得：，即，化简得。但一定不成立。 综上，答案是AD 【3-3作商】设为正实数，且，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设，将表示，再用作商比较法比较大小即可。 【详解】， 令，， 所以， 所以， 又因为， 故选C。 题型四、构造函数比大小 典例探究 【典型例题】设，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先作商，再构造函数，结合单调性求解. 【详解】因为，由，可得，令，则，则为增函数， 又恒成立，则，则，令恒成立，则，则恒成立， 则，则，则，综上， 故选 D. 举一反三 【4-1】已知的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】观察式子结构，构造，结合单调性求解. 【详解】设，则时，在上递增，上递减。由于 故选 B。 【4-2】设，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】观察式子结构，利用换底公式变形式子，构造，结合单调性求解. 【详解】构造函数，，，令，令，所以上单调递减。 故，变形可得，即； 又，所以，又因为，所以， 综上，。 故选B. 【4-3】设，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】变形结构，构造函数，结合单调性求解即可. 【详解】。 当上单调递增；当上单调递减。 将进行变形：；；。 比较自变量大小：。 因为上单调递减，所以，即。 所以答案选 A。 题型五、指对同构法比大小 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】变形结构得到，，构造函数，结合单调性求解即可. 【详解】因为，，故设，则。 求导得，，令，则，所以函数单调递减，所以，所以在上恒成立，所以函数上单调递减。 因为，所以， 故选：B 举一反三 【5-1】已知，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】变形结构得到,，构造函数，结合单调性求解即可. 【详解】由题意可知,，于是构造函数，则。 当；故单调递增，在上单调递减。 而，。 又。 所以答案选 B. 【5-2】若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】变形结构得到，构造函数，结合单调性求解即可. 【详解】由。 令上的增函数，上的减函数，所以上的增函数。 根据增函数的性质，由。 因为。 根据对数函数性质，，故A正确，B错误。 又因为的大小不确定，所以CD无法确定。 故选A. 【5-3】设，则下列选项正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】变形结构得到,构造函数结合单调性求解. 【详解】不等式，令， 则等价于，，时，上单调递增，，则， 由； 若。 综上所述，设。 故选 B。 题型六、放缩法比大小 典例探究 【典型例题】已知则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由指数放缩不等式得到，对数放缩不等式得到即可求解. 【详解】由指数放缩不等式得到，进而； 由对数放缩不等式得到（当且仅当时取等号），所以， 即），所以，即； 综上所述：。 故选：D. 举一反三 【6-1】已知为自然对数的底数，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由指数放缩不等式得到，对数放缩不等式得到即可求解. 【详解】由指数放缩不等式得到，即 由对数放缩不等式得到（当且仅当时取等号），所以， ），所以，即； 综上所述：。 故选：B. 【6-2】已知，则的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由指数、对数性质以及放缩不等式即可求解. 【详解】由指数放缩不等式得到， ，即 由对数放缩不等式得到（当且仅当时取等号），所以， 则， 综上所述：。 故选：B. 【6-3】若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由放缩不等式，即可求解. 【详解】由指数放缩不等式， 则 由对数放缩不等式（当且仅当时取等号）， 所以 综上所述：。 故选：A. 题型七、指、对、幂及三角函数比大小综合问题 典例探究 【典型例题】已知，则（） A. B. C. D. 【答案】 A 【分析】利用 0，1媒介值，结合对数函数、三角恒等变换、指数函数的知识，比较的大小关系。 【详解】因为，而，所以； 根据二倍角的正切公式：； 在； 根据指数函数的性质：。 所以. 故选 A. 举一反三 【7-1】已知，则（） A. B. C. D. 【答案】 B 【分析】，结合对数函数、三角函数性质，利用媒介值，，比较的大小关系。 【详解】因为，，所以。 因为，，所以。 综上可知，。 故选：B。 【7-2】已知，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数、三角函数与对数函数性质，并用媒介0,1即可比较判断作答。 【详解】 因上单调递增，则；； 函数上单调递增，则，即。 所以。 故选：B 【7-3】设，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】构造含三角函数的新函数，用单调性即可比较判断作答。 【详解】。 设，所以，所以函数上单调递增。 所以。 根据已知得， 可设， 则， 所以函数调递增， 所以。 综上，。 故选：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $