重难点培优02 集合新定义（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 集合新定义 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 集合新定义（★★★★★） 3 03 实战检测・分层突破验成效 21 检测Ⅰ组 重难知识巩固 21 检测Ⅱ组 创新能力提升 38 一、集合新定义问题 北京高考数学中的集合“新定义”题，以其创新性强、思维要求高而成为区分度显著的核心题型。这类题目突破教材常规，要求考生在陌生情境下理解、应用全新定义的集合概念或运算规则。以下从知识重构、重难点梳理到巩固策略进行系统解析： 一、知识重构：构建应对“新定义”的核心框架 1. 核心基础再夯实： 集合三要素： 确定性、互异性、无序性（新定义必须满足）。 基本关系与运算： 包含 (⊆)、真包含 ()、并 (∪)、交 (∩)、补 ()、差 (A - B )、全集 (U)、空集 () 的符号、含义与性质。 元素与集合关系： (属于)、 (不属于)。 常用数集符号： N (自然数集)、Z (整数集)、Q (有理数集)、R (实数集)。 集合表示法： 列举法、描述法 (重点掌握描述法定义新集合)。 有限集元素个数： |A| (基数)，理解其基本含义。 2. 关键能力拓展： 数学阅读理解能力： 精准提取题目定义的新概念、新运算、新关系。识别定义中的关键词（如“满足...条件”、“称为...”、“定义为...”）。 抽象概括能力： 将文字定义转化为数学符号语言或逻辑表达式。 逻辑推理能力： 命题逻辑：理解“且”、“或”、“非”、“蕴含”、“等价”等逻辑联结词在定义中的应用。 充要条件：判断元素满足定义的充分必要条件。 反证法：证明某个元素不属于集合或某个性质不成立。 分类讨论能力： 根据新定义的要求，对元素或子集进行合理分类，确保不重不漏。 构造与反例能力： 根据要求构造满足特定性质的集合或元素；构造反例否定某个命题。 迁移应用能力： 将基础集合知识（如子集性质、容斥原理、映射思想等）迁移到新情境中解决问题。 3. 常见新定义类型： 定义新集合： 基于某种特定条件（如元素满足的方程、不等式、数论性质、图论性质等）定义一个新集合 S。 定义新运算： 在集合上定义一种新的二元运算 ★ (如 ⊕, ×,等)，规定其运算规则。 定义新关系： 定义集合元素间的新关系 R (如“相伴”、“相邻”、“等价”等)。 定义特殊子集： 如“好子集”、“独立集”、“连通子集”、“连续子集”等，给出其具体含义。 二、重难梳理：突破瓶颈，直击要害 1. 重难点一：定义的精准理解与符号化转化 2. 重难点二：新定义下的存在性、计数与最值问题 3. 重难点三：新运算/新关系的性质探究与证明 4. 重难点四：复杂分类讨论 5. 重难点五：与其它知识模块的综合 3. 针对性训练： 专项练习： 针对不同重难点（如定义转化、存在性证明、计数问题、性质探究、分类讨论）进行专项训练。 模拟实战： 限时完成模拟题或真题，模拟考场压力。 错题反思： 建立错题本，深入分析错误原因（是定义理解偏差？分类遗漏？计算错误？思路错误？），针对性改进。 “说题”训练： 尝试向他人（或自己）清晰讲解一道题的解题思路，锻炼逻辑表达和深度理解。 三、核心思想与方法论 “新定义”的本质是“阅读理解+逻辑推理+知识迁移”的复合体。 基础是根基，定义是钥匙，逻辑是桥梁。 攻克北京高考集合新定义题，需要扎实的集合论基础、敏锐的数学阅读能力、严谨的逻辑思维、灵活的解题策略以及分类讨论、构造反例等高阶能力。通过系统性的知识重构、深刻的重难点剖析和针对性的巩固训练，考生能够建立起应对这类创新题型的强大根基和有效方法，从而在高考中从容应对，决胜千里。切记：理解定义是破题之始，缜密推理是得分之基，不畏新意方能稳操胜券。 题型一 集合新定义 【技巧通法·提分快招】 集合新定义解题技巧 建立解题流程： Step 1: 细读定义，符号转化。 慢读、精读，圈画关键词，用数学语言重述定义。 Step 2: 理解问题，明确目标。 弄清楚题目要求证明什么、求解什么、判断什么。 Step 3: 联想类比，尝试特例。 联系已有知识（基础集合、数论、组合等），用简单例子（如小集合、数字）验证定义和理解问题。 Step 4: 分析条件，确定策略。 根据问题类型（存在、计数、最值、性质、证明）和定义特点，选择合适的工具（枚举、分类、构造、反证、模型转化、性质推导）。 Step 5: 严谨推理，规范表述。 逻辑清晰，步骤完整，书写规范（尤其集合符号、逻辑符号）。分类讨论条理分明。 Step 6: 回顾检验。 检查答案是否符合定义？是否满足所有条件？分类是否完备？计数是否准确？极值是否取到？ 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2．（2025·北京·三模）记集合，表示集合中元素的个数. (1)求和； (2)求证：当为奇数时，； (3)求. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合所给不等式，可先计算出的范围，再借助的取值讨论、的取值情况即可得解； （2）先计算为奇数且使得的情况，此时有，再假设且为奇数时，若，则一定有，可得；若，则一定有，可得，即可得； （3）当时，结合所给不等式，可先计算出的范围为，再根据的奇偶情况讨论可能的取值情况，即可借助等差数列求和公式计算得解. 【详解】（1）当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故，故， 则，又，，故， 即，故； 当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故或， 若，则，又，故； 若，则，又，则， 则或，此时分别取、， 故，即； （2）当时，，故， 当时，则，由，则，即， 由，则，即，故无正整数解，故； 即； 当且为奇数时，设，，，， 则，，故，又，故， 有，故一定有解； 设，则有，，，， 则，， ， 故，即； 设， 则有，，，， 则，故，由为奇数，故， 则， 故， 即， 又，， 故，即； 综上所述，当为奇数时，； （3）当时，则，由，则，即， 由，则，即，又，故， 则，又，则，， 即， 当为奇数时，为偶数，则可取遍中所有整数， 符合要求的的个数有， 当为偶数时，为奇数，则可取遍中所有整数， 符合要求的的个数有， 故 ， 故. 3．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 【答案】(1)，； (2)（i）2；（ii）30. 【分析】（1）直接根据定义性质得，解出，再计算即可； （2）（i）取极端情况为1，3，5；取数列为2，3，4，此时；方法一：利用反证法，假设，最后分析得到与性质②矛盾的点；方法二：一般性证明，设，通过引入进行合理放缩即可；方法三：利用枚举法，枚举出所有情况即可； （ii）考虑极端情况，显然，分类讨论为偶数和为奇数即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以. （2）（i）由②可得，两个数列均值相等，则要使越大，则可考虑一组数据更集中， 一组数据更分散，作为极端情况来考虑，此时要使取到最大值，对应极端情况，取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则， 下证：的最大值为2： 法1：（反证法）假设，则，不妨设， 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去；若： 因为，所以，可得 则，与性质②矛盾，舍去； 若： 因为，所以， 则，与性质②矛盾，舍去． 所以，同理可得，所以. 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法2：（一般性证明）设，不妨设， 则， 所以，（7分） 取数列为1，3，5；取数列为2，3，4， 则成立，所以的最大值为2． 法3：（枚举法） 取为1，2，3，则只能为1，2，3，此时； 取为1，2，4，则只能为1，2，4，此时； 取为1，2，5，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，4，则可能为1，2，5，也可能为1，3，4，此时或2； 取为1，3，5，则可能为1，3，5，也可能为2，3，4，此时或2； 取为1，4，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，3，4，则可能为2，3，4，也可能为1，3，5，此时或2； 取为2，3，5，则可能为1，4，5，也可能为2，3，5，此时或2； 取为2，4，5，则只能为2，4，5，此时； 取为3，4，5，则只能为3，4，5，此时． 综上，的最大值为2． （ii）考虑极端情况，显然， 若为偶数，取为， 取为 则 解得成立； 若为奇数，取为， 取为 则 解得，与为奇数矛盾，舍去， 所以的最小值为30， 当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时取到． 证明： 记， 则， ，设 则有，其中分别表示集合的元素个数 由（i）可得， 所以（＊） 又因为，所以，进一步有， 将代入（＊）中可得 ， 再次代入（＊）中可得，解得， 另一方面，当为为11，12，13，14，15，16，17，18，19，20时． 所以的最小值为30． 4．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 【答案】(1)所有可能取值为2，3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1），先根据已知条件确定的值，然后再确定的值； （2），利用反证法，结合分类讨论进行证明； （3），采用反证法进行证明. 【详解】（1）因为，则中与相等的数有且仅有2个，除去本身，中与相等的数有且只有1个， ∴或． 当时，；当时，． 所以的所有可能取值为2，3． （2）假设中不存在等于1的项,则． 又，所以． 当时，由，则存在，使得． 所以，与假设矛盾． 当时，由，则存在，使得,且中有且只有一项与相等. ①若中有两项为2，一项为3， 则，与假设矛盾． ②若中有两项为2，一项为， 则，与假设矛盾． ③若中有一项为2，两项为3， 则，与假设矛盾． ④若中有一项为2，两项为， 则，矛盾． 综上，假设不成立，所以中存在等于1的项． （3）假设均为有限集合， 当时，, 则当时，（*） 令,下证当时，. 否则假设，则,与（*）矛盾. ∴当时，, ∵已知数列是无穷正整数数列， 所以存在，使得集合为无穷集合，矛盾， ∴假设错误，∴存在，使得集合为无穷集合． 5．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 【答案】(1)是平衡的，不是平衡的； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断，找到反例，即可判断； （2）（i）考虑，根据性质③知若，则会得到矛盾点，即可证明； （ii）设中最小的（之一）为，且，设，根据（i）的证明方法知当时，，则都不大于，最后相加即可证明. 【详解】（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 6．（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 【答案】(1)具有性质，； (2)1； (3). 【分析】（1）根据定义，计算，即可判断具有性质；在分别计算出，即可求得； （2）方法1：由已知得出，结合，得出，进而得出，并取验证的最大值可以取到；方法2：用反证法假设，由已知得出与题设矛盾，即可说明； （3）由性质可得，①，且②，①中不妨设，②中不妨设，由对称性可以设，得出，进而得出，再验证可以取到最大值即可． 【详解】（1）因为，所以具有性质； 因为， 所以． （2）方法：1： 由性质得，所以， 因为， 所以， 则，，， 所以 ， 所以， 又因为当时， 具有性质， 且， 所以的最大值为1． 方法2： 先用反证法证明， 假设， 由，则， 所以，同理， 所以， 由， 所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以， 当时，， 此时， 所以的最大值为1． （3）由性质可得， 所以①，且②， 在①中不妨设， 在②中不妨设， 由对称性可以设， 所以， 所以 ，即， 因为存在，（其中有个个）， （其中有个，个）具有性质， 并且， ， ， 所以， 综上最大值为． 7．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用定义计算即可； （2）根据数列中各项的取值范围，结合定义判定当时至少需要子列含4个数与任意4项子列和大于3矛盾即可； （3）根据新定义结合第一、二问举例说理即可. 【详解】（1）根据定义知取，有； 取，有， 取，有， 即对任意，都存在的相应子列，使得该子列的各项之和为， 所以：，，，，，，具有性质； （2）不能，理由如下： 假设，具有性质， 因为，所以M的任意四项和小于4， 所以， 则对于M的任意四项子列S，不妨设， 有， 又具有性质，，所以M的任意三项和小于3， 故不存在的子列其各项和为3，与具有性质矛盾， 所以时，不存在具有性质； （3）由题可知，时，又，所以， 由（2）道理相同可知，， 取， 因为， ，， 所以具有性质， 综上. 8．（24-25高三下·北京·阶段练习）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 【答案】(1)， (2)最大值为31，最小值为11 (3)最小值为13，理由见解析 【分析】（1）根据新定义计算； （2）根据新定义可得当集合中的数字由大于1的因子组成时，中元素个数最大，当集合中的数字构成等比数列时，中元素个数最小，然后求最值即可； （3）对集合和分类，得到，，然后分和两种情况讨论即可. 【详解】（1），. （2）最大值即：集合的非空子集为个，所以最多有31个元素， 可能构造如下：， 则集合中任意两个非空子集中得元素乘积不同，从而集合中的数字由大于1的因子组成； 最小值：不妨设，显然有， 则， 则至少有11个元素， 可能的构造如下：，集合中的元素成等比数列即可. （3）中至少有13个元素，可能得构造如下：， 所以， 证明如下： 考虑对集合进行分类：，，， 设，，，表示集合中元素的个数， 则，， 设，在对集合进行分类： ，，， 设，，，分析与的关系： 对集合中的元素：，则， 则①； 对集合中的元素：②； 对集合中的元素：， 则， 则③； ①+②+③得到 ， 因为，则当时，，当或时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 从而元素个数至少为13. 【点睛】方法点睛：新定义题目解题策略： ①仔细阅读，理解新定义内涵； ②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 9．（24-25高三下·北京·开学考试）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析； (3)2013. 【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可； （2）使用假设法，假设 存在，使得，进行计算检验，从而得出结论； （3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除）形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解. 【详解】（1）对于数列，，，，所以； 对于数列，，，，所以. （2）假设存在，使得， 则有， 由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同， 又， 所以512中必有大于等于3的奇数因子，这与无1以外的奇数因子矛盾， 故不存在，使得. （3）首先证明时，对任意的都有， 因为， 由于与均大于2且奇偶性不同， 所以含有奇数因子， 对任意的都有， 其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数，其中， 则当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 当时，由等差数列的性质可得： ，此时结论成立， 对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项， 由前面证明可知正整数不是中的项， 所以的最大值为2013. 【点睛】本题主要考查数列的综合应用，解题的关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 10．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． (1)若，数列，写出的所有可能值． (2)对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． (3)对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据时集合中元素的所有可能情况，结合的定义求出所有可能值； （2）通过合理构造来证明存在性； （3）通过合理构造并结合数学归纳法即可证明. 【详解】（1）当时，集合. 中的元素有以下几种情况： 当时，数列，根据，则. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以的所有可能值为. （2）记，， 对于集合中元素可采用天平法的思想构造， 将数列从大到小排序为， 对应的，按照从大到小的顺序交替分配，（因为为偶数，这种分配就可以完成）， 此时， 即存在使得. （3）对数列重新排列使得， 令， 易得， 对重排使得， 当为奇数时，对使用数学归纳法证明且， ①时，取，， ， ②，设，符合条件，时， 记， ， 由归纳假设， ， 令， 则，从而，， ， ， 若，则， ，令即可，同理若，则 ，令即可， 综上为奇数的情形得证. 若为偶数，令，其中， 则，使得，， 令， 则且满足，同时成立， 综上，为大于0的偶数时，存在使得同时成立 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 11．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义 . (1)若，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； (3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 【答案】(1)，最大值2； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设新定义求的值及的最大值； （2）由题设有得 ，假设删去的两个数为，有，结合，进而得到，即可证结论； （3）记为（若最大数不唯一，任取一个），根据题设中一定存在元素使得，否则与前提矛盾，进而得到，即可证结论. 【详解】（1）因为， 所以，故. 因为，所以. 所以. 所以当时，取得最大值2. （2）由的定义知：. 所以 . 设删去的两个数为，则. 由题意知，且当其中至多一个不等式中等号成立， 不妨设时，，所以， 所以， 所以，即. （3）中存在最大数， 不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）， 因为，所以存在，使得，即. 由，设集合，则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾. 所以，即. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据题设定义得到且为关键，第三问，记为（若最大数不唯一，任取一个），结合题设得到为关键. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【答案】A 【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误. 【详解】由表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错； 若，因为点集中来自集合的横坐标值一定在集合中，且纵坐标值都来自集合，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示横坐标为0的点集，即为轴所在直线，D正确. 故选：A 2．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 3．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“封闭集” B．集合为“封闭集” C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集” D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集” 【答案】B 【分析】利用共线定理可知对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”，结合“封闭集”定义分别对选项进行判断可得A错误，B正确，再举出反例CD错误． 【详解】设，，,； 则，即可得，则点在线段上， 由题意可得，若对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”， 对于A，集合，，若对于任意的，，，满足，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,，不一定满足， 图中所示，即； 故集合,不为“封闭集”，即A错误； 对于B，若,，对于任意的,，,满足，，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,，都有，即；    故可得集合,为“封闭集”，即B正确； 对于C，由选项A可知集合,不是“封闭集”， 根据对称性，如图1可知,不是“封闭集”， 则表示集合为阴影部分表示的点构成的区域如图2，显然任意的， 则线段上任意一点，都有,故是“封闭集”，故C错误，      对于D，若，都是“封闭集”，不妨取,，,； 对于任意的,，,满足，，则， 函数如下图，显然线段上任意一点,都有，即；    故,为“封闭集”，同理可得,也为“封闭集”； 而的图象如下：显然，但线段上任意一点不满足，也不满足，即，    即不一定是“封闭集”，即D错误． 故选：B． 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.例如本题，将问题转化为对于任意，线段上一点，都有，则集合为“封闭集”，利用向量共线关系即可根据函数图象求解. 4．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 5．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 6．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 【答案】 【分析】由题意知，中元素为不大于中所有值的数的集合，由于四个命题对任意符合条件的集合都满足，故均可用特殊集合来验证即可. 【详解】因为对于非空实数集合，记， 设非空实数集合满足条件 “若，则”且， 则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的集合， 对于，当集合，则，而，故错误； 对于，由于，假设中最小值为，中最小值为， 则， 因此表示不大于的所有数的集合，表示所以不大于的数的集合， 则，故②正确； 对于③，令，则，所以，故③正确； 对于④，令，，则， 所以，故④正确. 故答案为：. 7．已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【答案】(1)、、、； (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 8．已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）根据题中定义写出一个符合的即可； （2）根据题意，以的取值与1的大小比较为标准，分类讨论即可证明； （3）根据题意，分类讨论即可； 【详解】（1）由题因为， 所以若使，则可以， 此时，满足题意. （2）根据题意对于任意点集，不妨设， 且，，， 若，则，令， 则，此时恒有； 若，则，可令， 此时，则，满足题意； 若，则，令， 此时，则，满足题意； 若，则，则 令， 此时，则，满足题意； 所以对于任意点集，都存在的一个优划分，满足. （3）不妨设， 若，则B取其中一点即可满足； 若， 则必存在正整数k使得， 则有，于是， 又因为 ，当且仅当时取等号； 于是取， 即可满足且，命题得证. 【点睛】思路点睛：利用分类讨论思想，分，两类依次展开证明. 9．设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【答案】(1)27或32 (2)①证明见解析 ② 【分析】（1）对题目中所给的，我们先通过分析集合中的元素，证明，，以及，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果； （2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可. 【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理. 引理1：若具有性质，则. 引理1的证明：假设结论不成立. 不妨设，则正整数，但， 故一定属于某个，不妨设为. 则由知存在正整数，使得. 这意味着对正整数，有， ，但，矛盾. 所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证. 引理2：若具有性质，则，且. 证明：取集合. 注意到关于正整数的不等式等价于， 而由引理1有，即. 结合是正整数，知对于正整数，当且仅当， 这意味着数列恰有项落入集合，即. 而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数， 故中的元素属于且仅属于某一个，故. 所以， 从而，这就证明了引理2的第一个结论； 再考虑集合中全体元素的和. 一方面，直接由知中全体元素的和为，即. 另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列. 所以的所有元素之和为. 最后，再将这个集合的全部元素之和相加， 得到中全体元素的和为. 这就得到，所以有 . 即，从而，这就证明了引理2的第二个结论. 综上，引理2获证. 回到原题. 将从小到大排列为，则， 由引理2的第一个结论，有. 若，则， 所以每个不等号都取等，从而，故； 情况1：若，则，矛盾； 情况2：若，则，所以，得. 此时如果，则，矛盾； 如果，则，从而，故； 如果，由于，设，，则，. 故对于正整数对，有， 从而，这与矛盾. 综上，的取值只可能是或. 当时，；当时，. 所以的所有可能取值是和. （2）①由引理1的结论，即知； ②由引理2的第二个结论，即知. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理. 10．设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 11．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】(1)； (2)5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【详解】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 12．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合，并写出的值； (2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)已知数列，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解； （2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得必要性成立； 再由是递减数列，，得到，由此证明为等差数列，得到充分性成立，即可得证； （3）根据题意，得到，得出，设存在， ，推出矛盾，进而得证. 【详解】（1）由题意，数列， 可得， 所以集合，所以. （2）必要性：若为等差数列，且是递减数列，设的公差为， 当时，，所以， 则，故必要性成立. 充分性：若是递减数列，，则为等差数列， 因为是递减数列，所以， 所以，且互不相等， 所以， 又因为， 所以且互不相等， 所以， 所以， 所以为等差数列，充分性成立. 所以若是递减数列，“为等差数列”的充要条件是“”. （3）由题意集合中的元素个数最多为个， 即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾， 故，故，故由得到的彼此相异，所以. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 【答案】(1); (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1），需要根据集合的定义，将，式代入，找出满足条件的n值，从而确定集合。 （2），利用，，的条件，通过假设和反证法来证明中有无穷多个1. （3），根据等差数列的通项公式，结合均为无限集的条件，通过分析数列之间的大小关系来证明. 【详解】（1）对于集合，已知，根据的定义当且仅当，当时，. 要使，即，解得.因为n是正整数， 所以都满足. 所以 对于集合，已知，. 根据的定义当且仅当 当时，.要使，即，解得    . 当时，，满足 当时，,满足 当时，，满足 所以 （2）假设中只有有限个1.因为，所以. 由于，则存在N，当时，或者恒成立. 不妨设，那么，即，这与各项都是正整数矛盾.所以假设不成立，即中有无穷多个1. （3）设. 因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，所以.同理，因为是无限集，对于任意大的n，存在j使得， 即，整理得对任意大的n成立，.所以. 设.对于任意，存在j使得， 即，移项得. 对于这个n，也存在k使得，即， 移项得，所以，即. 同理可证，所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与集合新定义，读懂题目意思是关键.第2问想到用反证法就可解决，第3问借助集合，研究集合与集合之间的包含关系，进而得到 14．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意先分别求出，，，，则易得及的值； （2）由题可知，分析判断时，与题设矛盾，推得；再假设存在使得，经推理得出与是等差数列矛盾，可得，利用等差数列基本量运算即得； （3）根据定义得到数列是递增数列；用反证法证明，假设存在正整数，若，则推出，与假设矛盾，所以；，所以要证，只需证，且，能推出，所以，所以，所以结论成立. 【详解】（1）依题意，，，，， 故得； （2）由题可知，所以，所以． 若，则， 所以，与是等差数列矛盾． 所以． 设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 假设存在使得． 设，由得． 由得，与是等差数列矛盾． 所以对任意都有． 所以数列是等差数列，． （3）因为对于，所以． 所以，即数列是递增数列． 先证明． 假设，设正整数． 由于，故存在正整数使得，所以． 因为是各项均为正整数的递增数列，所以． 所以． 所以． 又因为数列是递增数列，所以，矛盾． 所以． 再证明． 由题可知． 设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列， 所以存在正整数，使得． 令． 若，则，即，所以． 所以，所以． 若，则， 所以． 所以，所以． 因为，所以． 所以． 综上，且． 【点睛】方法点睛：本题主要考查集合新定义问题，属于难题.对于集合新定义问题的解题策略，首先，要明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行推理和运算，最后得到结论. 15．设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意，即可直接写出； （2）由可得，结合可得，即可证明； （3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 当时，， 所以，即，， 又因为，所以， 所以， 所以； （3）对任意，令， 若且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 对，因为， 由（2）可知，令，则. 若，因为， 所以，即， 又因为，所以. 若，则， 所以. 综上，即. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识.. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【详解】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 2．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用给定的定义结合集合运算的意义推理判断D. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：D 3．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 【答案】(1),； (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据定义求出集合的子集个数即可得出结果； （2）①根据元素个数可得集合共有个非空子集，的最大值为 ； ②根据极异集合的定义，利用等比数列前项和即可得只需证明，再由元素互异性和元素的取值范围可得结论. 【详解】（1）已知集合的非空子集有15个： 计算可得，即． 集合的非空子集有15个： 计算可得，即 （2）①集合共有个非空子集，的最大值为 ②， 即证 不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为 集合是极异集合，，代表有个不同的正整数， 即， 所以中有个元素，由元素互异性可得 又，即可得， 因此数列的前项和. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新的定义，并结合数列及其前项和性质进行化简计算，并由集合元素的互异性得出结论. 4．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得. （2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 5．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集，故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:，令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ，其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论. 6．对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”. (1)试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； (2)若集合，证明：C不可能是“好集合”； (3)若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值. 【答案】(1)集合A不是“好集合”， 集合B是“好集合”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据“好集合”的定义判断即可； （2）先将集合中的元素分为10个集合，再结合“好集合”的定义证明即可； （3）根据“好集合”的定义可以得到D中的任意两个不同的元素x，y，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可. 【详解】（1）因为，因为，所以集合A不是“好集合”， 因为，，，，，，， 所以集合B是“好集合”. （2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合， ，，，，，，，，，， 所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素， 所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合， 即存在两个元素的差的绝对值不大于2， 所以C不可能是“好集合”. （3）因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y， 不妨设，都有. 要想D所含元素个数最大，则要尽可能小， 故需使得的最小值为3. 将1~2026这2026个元素按如下分组： ，，……，，， 故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是“好集合”， 故“好集合”D所含元素个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况. 7．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 【答案】(1)；；； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答. （2）令，设出集合及所其元素和，根据定义求出的元素和，求出结合不等式性质求解作答. （3）设、及中元素的和，按为奇数、偶数推理判断作答. 【详解】（1），集合A的所有2阶分拆是：；；. （2）依题意，不妨设，， 则， 而， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. （3）依题意，，，与中元素的和相等， 设与中元素的和为，集合中所有元素之和为，于是， ①当集合中存在元素为奇数时， 因为是偶数，于是是奇数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为奇数，因为为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数， 所以n为奇数； ②当集合中存在元素为偶数时， 因为是偶数，于是是偶数，对于任意，均有， 因此此时集合中的元素均为偶数，对于一个偶数，均存在正整数和奇数，使得， 显然集合中的元素除以2，仍然满足条件，将集合中的元素不断除以2，直至有一个奇数， 此时，由①可得n为奇数， 综上得：n为奇数. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决. 8．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 【答案】(1)31是可表数，1024不是可表数，理由见解析； (2)证明见解析； (3)8 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多含有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 【详解】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的，中最多有个元素， 所以； （3）由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的，为可表数， 综上，可知的最小值为，其中满足， 又当时，， 所以的最小值为. 【点睛】难点点睛：第二问关键是根据定义可确定中元素互为相反数，再利用集合间的基本关系确定元素个数的关系计算即可；第三问利用第二问的结论可设，有，利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实设任意的，存在，使，得出并结合定义确定为可表数，从而确定的最小值为满足成立的，代入求即可. 9．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析 【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值； （2）可构造恰当的映射，以证明结论； （3）第三问可通过分类讨论求解问题. 【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. （2）如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏. 10．现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集合． (1)证明：是可分比集合； (2)设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值； (3)探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，的最小值为，理由见解析. 【分析】（1）当分子比分母小时，不在区间内，当分子比分母大时，通过列举也可说明不在区间内. （2）通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7. （3）要使最小，即满足每个集合内的个数尽可能多，由（2）可知当时不成立，. 【详解】（1）当分子比分母小时，比值小于1，显然不在区间内，当分子比分母大时，由于，，故是可分比集合． （2）解法一：一方面，取，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． （3）存在，； 证明：要使最小，即满足每个集合内的个数尽可能多， 令， ， 令即可将分成了3个可分比集合， 先证明，将分成， ， 其中，， 由（2）可知当时不成立，所以. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 集合新定义 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 集合新定义（★★★★★） 3 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 6 检测Ⅱ组 创新能力提升 9 一、集合新定义问题 北京高考数学中的集合“新定义”题，以其创新性强、思维要求高而成为区分度显著的核心题型。这类题目突破教材常规，要求考生在陌生情境下理解、应用全新定义的集合概念或运算规则。以下从知识重构、重难点梳理到巩固策略进行系统解析： 一、知识重构：构建应对“新定义”的核心框架 1. 核心基础再夯实： 集合三要素： 确定性、互异性、无序性（新定义必须满足）。 基本关系与运算： 包含 (⊆)、真包含 ()、并 (∪)、交 (∩)、补 ()、差 (A - B )、全集 (U)、空集 () 的符号、含义与性质。 元素与集合关系： (属于)、 (不属于)。 常用数集符号： N (自然数集)、Z (整数集)、Q (有理数集)、R (实数集)。 集合表示法： 列举法、描述法 (重点掌握描述法定义新集合)。 有限集元素个数： |A| (基数)，理解其基本含义。 2. 关键能力拓展： 数学阅读理解能力： 精准提取题目定义的新概念、新运算、新关系。识别定义中的关键词（如“满足...条件”、“称为...”、“定义为...”）。 抽象概括能力： 将文字定义转化为数学符号语言或逻辑表达式。 逻辑推理能力： 命题逻辑：理解“且”、“或”、“非”、“蕴含”、“等价”等逻辑联结词在定义中的应用。 充要条件：判断元素满足定义的充分必要条件。 反证法：证明某个元素不属于集合或某个性质不成立。 分类讨论能力： 根据新定义的要求，对元素或子集进行合理分类，确保不重不漏。 构造与反例能力： 根据要求构造满足特定性质的集合或元素；构造反例否定某个命题。 迁移应用能力： 将基础集合知识（如子集性质、容斥原理、映射思想等）迁移到新情境中解决问题。 3. 常见新定义类型： 定义新集合： 基于某种特定条件（如元素满足的方程、不等式、数论性质、图论性质等）定义一个新集合 S。 定义新运算： 在集合上定义一种新的二元运算 ★ (如 ⊕, ×,等)，规定其运算规则。 定义新关系： 定义集合元素间的新关系 R (如“相伴”、“相邻”、“等价”等)。 定义特殊子集： 如“好子集”、“独立集”、“连通子集”、“连续子集”等，给出其具体含义。 二、重难梳理：突破瓶颈，直击要害 1. 重难点一：定义的精准理解与符号化转化 2. 重难点二：新定义下的存在性、计数与最值问题 3. 重难点三：新运算/新关系的性质探究与证明 4. 重难点四：复杂分类讨论 5. 重难点五：与其它知识模块的综合 3. 针对性训练： 专项练习： 针对不同重难点（如定义转化、存在性证明、计数问题、性质探究、分类讨论）进行专项训练。 模拟实战： 限时完成模拟题或真题，模拟考场压力。 错题反思： 建立错题本，深入分析错误原因（是定义理解偏差？分类遗漏？计算错误？思路错误？），针对性改进。 “说题”训练： 尝试向他人（或自己）清晰讲解一道题的解题思路，锻炼逻辑表达和深度理解。 三、核心思想与方法论 “新定义”的本质是“阅读理解+逻辑推理+知识迁移”的复合体。 基础是根基，定义是钥匙，逻辑是桥梁。 攻克北京高考集合新定义题，需要扎实的集合论基础、敏锐的数学阅读能力、严谨的逻辑思维、灵活的解题策略以及分类讨论、构造反例等高阶能力。通过系统性的知识重构、深刻的重难点剖析和针对性的巩固训练，考生能够建立起应对这类创新题型的强大根基和有效方法，从而在高考中从容应对，决胜千里。切记：理解定义是破题之始，缜密推理是得分之基，不畏新意方能稳操胜券。 题型一 集合新定义 【技巧通法·提分快招】 集合新定义解题技巧 建立解题流程： Step 1: 细读定义，符号转化。 慢读、精读，圈画关键词，用数学语言重述定义。 Step 2: 理解问题，明确目标。 弄清楚题目要求证明什么、求解什么、判断什么。 Step 3: 联想类比，尝试特例。 联系已有知识（基础集合、数论、组合等），用简单例子（如小集合、数字）验证定义和理解问题。 Step 4: 分析条件，确定策略。 根据问题类型（存在、计数、最值、性质、证明）和定义特点，选择合适的工具（枚举、分类、构造、反证、模型转化、性质推导）。 Step 5: 严谨推理，规范表述。 逻辑清晰，步骤完整，书写规范（尤其集合符号、逻辑符号）。分类讨论条理分明。 Step 6: 回顾检验。 检查答案是否符合定义？是否满足所有条件？分类是否完备？计数是否准确？极值是否取到？ 1．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2．（2025·北京·三模）记集合，表示集合中元素的个数. (1)求和； (2)求证：当为奇数时，； (3)求. 3．（2025·北京·三模）已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质： ①； ② 记 (1)若m=3，且，写出的值； (2)记其中表示集合A中元素的最大值. （i）若，，求的最大值； （ii）当时，若，求Q的最小值. 4．（2025·北京朝阳·二模）已知是无穷正整数数列，且对任意的，其中表示有穷集合S的元素个数． (1)若，求的所有可能取值； (2)求证：数列中存在等于1的项； (3)求证：存在，使得集合为无穷集合． 5．（2025·北京海淀·二模）记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 6．（2025·北京房山·一模）设为正整数，集合，对于集合中2个元素，若，则称具有性质．记为中的最小值． (1)当时，若，判断是否具有性质．如果是，求出；如果不是，说明理由； (2)当时，若具有性质，求的最大值； (3)给定不小于3的奇数，对于集合中任意2个具有性质的元素，求的最大值． 7．（2025·北京门头沟·一模）已知有限数列，其中，.在中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为的一个子列，对某一给定正整数，若对任意的，均存在的相应子列，使得该子列的各项之和为，则称具有性质. (1)判断：，，，，，，是否具有性质？说明理由； (2)若，是否存在具有性质？若存在，写出一个，若不存在，说明理由； (3)若，且存在具有性质，求的取值范围. 8．（24-25高三下·北京·阶段练习）对任意的非空数集A，定义：，其中表示非空数集X中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请直接写出集合和； (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由； (3)若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 9．（24-25高三下·北京·开学考试）已知数列，记集合. (1)若数列为，数列为，分别写出集合； (2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由； (3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值. 10．（24-25高三下·北京·阶段练习）已知m为大于0的偶数，集合．给定项数为的有限数列，对于集合中任意元素，记． (1)若，数列，写出的所有可能值． (2)对于各项均为正数的数列，证明：存在，使得． (3)对于各项均为正数的数列和，证明：存在，使得同时成立． 注：表示中最大的数，表示中最小的数． 11．（24-25高三上·北京东城·阶段练习）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义 . (1)若，求的值及的最大值； (2)从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； (3)求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 2．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 3．已知集合，若对于任意，以及任意实数，满足，则称集合I为“封闭集”．下列说法正确的是（    ） A．集合为“封闭集” B．集合为“封闭集” C．若是“封闭集”，则A，B都是“封闭集” D．若A，B都是“封闭集”，则也一定是“封闭集” 4．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 5．设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 6．对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题: ①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有； ②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有； ③存在符合题设条件的集合M，P，使得； ④存在符合题设条件的集合M，P，使得. 其中所有正确命题的序号是 . 7．已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 8．已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 9．设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 10．设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 11．记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 12．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合，并写出的值； (2)若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”； (3)已知数列，求证：． 13．已知无穷数列，各项都是正整数，定义集合：，； (1)已知，，直接写出集合； (2)若，，，求证：中有无穷多个1； (3)若，均为等差数列，且，均为无限集，求证：． 14．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定． (1)若，写出及的值； (2)若数列是等差数列，求数列的通项公式； (3)设集合，求证：且． 15．设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 4．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 5．已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 6．对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”. (1)试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； (2)若集合，证明：C不可能是“好集合”； (3)若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值. 7．设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集，，…，满足： ①，，…，均非空； ②，，…，中任意两个集合交集为空集； ③． 则称，，…，为集合A的一个m阶分拆． (1)若，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）； (2)若，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值； (3)设，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数． 8．已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． (1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； (2)若，证明：； (3)设，若，求的最小值． 9．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 10．现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集合． (1)证明：是可分比集合； (2)设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值； (3)探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$