第3章 圆的基本性质（复习课件）数学浙教版九年级上册

该初中数学课件系统梳理了圆的基本概念、垂径定理、圆心角与圆周角定理、弧长及扇形面积公式等核心内容，通过单元知识图谱将基本概念分类应用与定理公式逻辑串联，考点串讲从圆的定义弦弧等基础概念延伸至点与圆的位置关系外接圆性质，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识点-题型-训练”三阶复习策略，题型剖析按圆的相关概念垂径定理等模块设计例题，如通过旋转性质解决圆内接四边形角度问题，针对训练包含基础选择与综合解答题，如利用垂径定理求弯路半径培养数学思维中的推理意识和模型意识。这种设计既帮助学生巩固知识，又为教师提供分层教学资源，提升复习效率。

单元复习课件 第三章 圆的基本性质 浙教版·九年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.区分圆的基本概念，熟练掌握垂径定理、圆心角定理、圆周角定理，以及弧长公式和扇形面积公式. 3.将实际问题转化为圆的几何模型，综合运用垂径定理、圆周角定理及内接四边形性质解决复杂几何推理题． 2. 通过实践探究理解定理推导过程，掌握定理与公式的常规解题思路； 体会圆的知识在实际场景中的应用价值，培养合作探究意识. 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：圆的相关概念 圆：平面上，到 的距离等于 的所有点组成的图形叫作圆。以点O为圆心的圆，记做“O”，读做“圆O”. 圆上各点到圆心的距离都等于 。 定点 定长 半径 O 圆的定义 . 战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径. 考点串讲 知识点一：圆的相关概念 如图，连结圆上任意两点的线段叫做弦. 经过圆心的弦AB叫做直径. 显然，直径等于半径的2倍. 【注意】 （1）弦和直径都是线段. （2）直径是弦,是经过圆心的特殊弦， 是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （3）半径不是弦. 弦 考点串讲 知识点一：圆的相关概念 （1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A、B为端点的弧记做 ，读作“弧AB”． （2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）劣弧和优弧: 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的 ，读做“ 弧BC ”. 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的，读做“ 弧BAC ”. 弧 考点串讲 知识点一：圆的相关概念 （1）等圆：半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆． （2）等弧：能够重合的圆弧称为相等的弧． O1 r O2 r 如图，O1与O2就是两个等圆． 等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 长度相等的弧不是等弧. 等圆和等弧 考点串讲 知识点二：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内，点在圆上，点在圆外. O r O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB __OC__OD = ___． = = = r B A D C E F 点E在圆内，点F在圆外， 则OE __r ，OF __r ． < > 考点串讲 知识点三：外接圆 A B C 过已知一点可作无数个圆． 过已知两点也可作无数个圆． 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 圆的个数 考点串讲 知识点三：外接圆 1. 外接圆与内接三角形 O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做O的内接三角形. 到三角形三个顶点的距离相等. 2.三角形的外心 ●O A B C 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边垂直平分线的交点. 性质： 定义： 一个圆可以有无数个内接三角形，但是一个三角形只有一个外接圆. 考点串讲 知识点三：外接圆 A B C ●O A B C C A B ┐ ●O ●O 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 考点串讲 知识点四：图形的旋转 定义 把一个平面图形绕着平面内某点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转. 三要素 性质 旋转中心；旋转方向；旋转角度 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 旋转前后的图形全等. 旋转 考点串讲 知识点五：垂径定理 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①直径（过圆心的线段）， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. 辅助线 连半径, 作弦心距. 勾股定理 方程思想 知二求三 考点串讲 知识点六：圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 两个圆心角 两条弦 两条弧 知一求二 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 考点串讲 知识点七：圆周角 圆周角定理： ① 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 如图，∠BAC = ∠BOC。 O B C A O B C A O B C A 考点串讲 知识点七：圆周角 圆周角定理： ② 同弧或等弧所对的圆周角相等； 如图，∠BAC = ∠BMC = ∠BNC。 O B C M N A 考点串讲 知识点七：圆周角 圆周角定理的推论： 直径所对的圆周角是90°，90°的圆周角所对的弦是直径； 如图，∠BAC = 90°，BC是直径。 O C B A 考点串讲 知识点八：圆的内接四边形 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补。 如图，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 如图，∠C = ∠BAE。 C D A B O C D A B O E 考点串讲 知识点九：正多边形 E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 考点串讲 知识点十：弧长及扇形面积 弧长 计算公式： 扇形 公式 阴影部分面积 求法： 整体思想+割补法 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 弧长和 扇形面积 考点串讲 题型一、圆的相关概念 例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上. A B C D O 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = OC，OB = OD. 又∵ AC = BD， ∴ OA = OB = OC = OD. ∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心， 以 OA 为半径的圆上. 题型剖析 题型一、圆的相关概念 例2 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 20°，求∠AOC 的度数． 解：如图，连接 OD. ∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径， AB = 2DE，∴OD = DE. ∴∠DOE =∠E = 20°. ∴∠ODC =∠DOE＋∠E = 40°. ∵ OC = OD，∴∠C =∠ODC = 40°. ∴∠AOC = ∠C＋∠E = 40°＋20° = 60°. 题型剖析 题型一、圆的相关概念 已知：如图，在O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD． 求证：OC=OD． 证明：∵OA、OB为O的半径， ∴OA=OB. ∴∠A=∠B. 又∵AC=BD， ∴△ACO≌△BDO. ∴OC=OD. 例3 题型剖析 题型二、点与圆的位置关系 例4 题型剖析 题型二、点与圆的位置关系 例5 C 题型剖析 题型二、点与圆的位置关系 点P不在O上，若点P到O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则O的半径是______________． 6.5 cm或2.5 cm 例6 题型剖析 题型三、外接圆 解：如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D， ∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B= 120°. ∵OD⊥AC，OA=OC，∴∠AOD=∠COD = 60°， ∴∠OAD=30°，∴OD=AO=2. 在Rt△OAD中，根据勾股定理得AD =2， ∴AC=2AD =4. 如图， O是△ABC的外接圆，∠B=60°，O的半径为4.求AC的长. 例7 题型剖析 题型三、外接圆 个顶点 例8 题型剖析 题型四、图形的旋转 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度． 解析：连接EE′， 由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°， ∴∠BE'E=45°， EE′=2 在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3， EE′=2 由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°， ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°. 135 例9 题型剖析 题型四、图形的旋转 例10 题型剖析 题型四、图形的旋转 由勾股定理得， 例10 题型剖析 题型五、垂径定理 如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半径. 解：设半径为r. ∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=150m. 在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2， 即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m. 例11 题型剖析 题型五、垂径定理 圆O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离. M A O C D B N 解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N， 连接OB，OD.由垂径定理可得： BMAB12cm，DNCD5cm 又∵OBOD13cm 在Rt△OBM， Rt△ODN中， 由勾股定理得：OM5cm，ON12cm ∴AB和CD之间的距离MNOMON7cm 或MNOMON17cm M N O A C D B 分类讨论 例12 题型剖析 题型六、圆心角 ∴AC∥OD. 如图，AB是⊙O的直径，若= .求证：AC∥OD. 证明：连接OC. ∴∠BOD=∠COD. ∵OA=OC， ∵BD=CD， ） ） ∴∠A=∠C. ∵∠COB=∠A+∠C=∠COD+∠BOD， ∴∠A=∠C=∠COD=∠BOD， 例13 题型剖析 题型六、圆心角 例14 题型剖析 题型七、圆周角 例15 题型剖析 题型七、圆周角 如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC = CD，DB的延长线交O于点E，连接CE。 ( 1 ) 求证：∠A = ∠D； ( 2 ) 若的度数为108°，求∠E的度数。 ( 1 ) 证明：连接BC， ∵AB为O的直径， ∴∠ACB = 90°，即AD⊥BC， 又∵AC = CD， ∴AB = BD，∴∠A = ∠D； O A C D B E 例16 题型剖析 题型七、圆周角 如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC = CD，DB的延长线交O于点E，连接CE。 ( 1 ) 求证：∠A = ∠D； ( 2 ) 若的度数为108°，求∠E的度数。 O A C D B E ( 2 )解：∵的度数为108°， ∴∠EBA = 54°， 又∵∠EBA = ∠A + ∠D，∠A = ∠D， ∴∠A = ∠EBA = 27°， 又∵ = ，∴∠E = ∠A = 27°。 例16 题型剖析 题型八、圆的内接四边形 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E， ∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 例17 题型剖析 题型八、圆的内接四边形 如图，已知等腰三角形 ABC，∠ACB = 120°， 且 AC = BC = 4，在平面内任作 ∠APB = 60°，BP的最大值为________。 解：∵∠ACB = 120°，∠APB = 60°， ∴A、P、B、C四点共圆， ∴当BP是圆的直径时，BP最长， ∴∠PAB = 90°，∴∠ABP = 30°， 过点C作AB的垂线交PB于点O，则点O即为圆心， ∵∠ACB = 120°，且AC = BC = 4， ∴∠ACB = 30°，∴∠BCO = 60°， ∴△OBC是等边三角形， 8 P O ∴OC = BC = 4， ∴BP = 2OC = 8。 例18 题型剖析 题型九、正多边形 例19 题型剖析 题型九、二次函数的几何应用 . 例20 题型剖析 题型九、二次函数的几何应用 C 例21 题型剖析 1. 针对训练 3.在半径为5的中，有两平行弦 ，，且 ，，则 弦 的长为_ ________________． <m></m> 或 <m></m> 或 <m></m> 2. A.2 B.3 C.4 D.5 B 针对训练 4.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证：A、B、C三点在同一个圆上. 证明：作AB的中点O，连接OC. ∵△ABC是直角三角形. ∴OA=OB=OC= AB. ∴A、B、C三点在同一个圆上. A C B O 针对训练 解：如图，连接 OC. ∵OC=OB ， ∴∠OCB=∠OBC = 40°， ∴∠BOC=180°-40°×2 = 100°， ∴∠AOC=100°+30° = 130°， ∵OC=OA ， ∴∠OAC=∠OCA = 25°. 针对训练 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6. D是以点A为圆心，以4为半径的圆上一点，连结BD，M为BD的中点，求线段CM长度的最大值． 针对训练 7. 针对训练 9.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为 . 8.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) D A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 针对训练 10.如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA=4， OB=3，OC=5. 求∠AOB的度数. 解：将△BOA绕点B顺时针旋转60°得△BPC，连接OP，如图， 由旋转的性质得BP=BO，∠OBP=60°. ∴△OBP 为等边三角形， ∴OP=OB=3. 由旋转的性质得PC=OA=4. ∵在△OPC 中，OP2+PC2=32+42 =OC2. ∴∠OPC=90°，∴∠CPB=∠OPB+∠OPC=60°+90°=150°， ∵旋转后的图形与旋转前的图形全等，∴∠AOB=∠CPB=150°. 针对训练 , 11. 针对训练 11. 针对训练 12. 由勾股定理得， 针对训练 13.如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC； 解：(1)因为= ， 所以AB=AC. 又∠ACB=60° ， 所以△ABC是等边三角形， 所以AB=BC=CA， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC. 针对训练 13.如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°. (2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形. 解： (2)连接OD，如图. 因为D是的中点，所以 AD= BD， 所以∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°. 又OD=OA，OD=OB， 所以△OAD和△OBD都是等边三角形， 所以OA=AD=OD，OB=BD=OD， 所以OA=AD=DB=BO，所以四边形OADB是菱形. 针对训练 14.如图，AB为⊙O的弦，点C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交⊙O于点E，F.求证：AE=BF. ） ） 即∠AOE=∠BOF， 证明：∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC. 又∵OA=OB， ∴∠OAC=∠OBD， ∴∠OCD-∠OAC=∠ODC-∠OBD， ∴∠AOC=∠BOD， ∴AE=BF. ） ） 针对训练 15. E 针对训练 由勾股定理得，, 解得CD=3 E 15. 针对训练 16.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算， (1)求圆内接正六边形面积． (2)圆内接正八边形的面积为_____． (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416,如图，若圆O的半径为1.（在求圆内接正多边形面积时，通过分割成三角形，利用特殊角解决） 针对训练 (1)求圆内接正六边形面积． 由勾股定理得， . 针对训练 (2)圆内接正八边形的面积为_____． 由勾股定理得， . 针对训练 (3)运用“割圆术”，用圆内接正十二边形近似估计圆O的面积，可得圆内接正十二边形面积是_____，可得π的估计值为_____． 针对训练 17. 针对训练 核心定理：抓 “条件” 与 “结论”，破 “难点”​ 垂径定理：核心是 “直径垂直弦（非直径）”→“平分弦 + 平分弦所对的两条弧”， 需牢记 “弦为直径时定理不适用” 的特殊情况，解题时可通过 “作半径垂直弦” 构造直角三角形；​ 三大角定理： 圆心角定理（同圆 / 等圆中，圆心角→弧→弦的等价关系） 圆周角定理（同弧 / 等弧→圆周角 = 1/2 圆心角） 内接四边形性质（对角互补，外角 = 内对角）， 需注意 “同弧” 是圆周角定理的关键条件，内接四边形性质可结合圆周角定理推导。 课堂总结 感谢聆听! 如图，沿数轴平移直线至P′C，P″D. 当点P在点O右侧时，即P′C与⊙O相切时，切点为C， ∴OC⊥P′C，∴CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤， 同理，当点P在点O左侧时，即P″D与⊙O相切时， 切点为D，0≤x≤. ∴综上所述，0≤x≤.故选C. 已知⊙O的圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是(　 　) A．－1≤x≤1 B．－≤x≤ C．0≤x≤ D．x＞ 【解析】分两种情况讨论： 当点P在⊙O内时，⊙O的半径是＝6.5(cm)； 当点P在⊙O外时，⊙O的半径是＝2.5(cm)． 【解析】 如解图，取AB的中点E，连结EM，CE，AD. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10. 又∵E是AB的中点，∴CE＝eq \f(1,2)AB＝5. ∵M是BD的中点，E是AB的中点， ∴EM＝eq \f(1,2)AD＝2. 易知CM的取值范围是CE－EM≤CM≤CE＋EM， ∴3≤CM≤7， ∴最大值为7. $