专题05 实际问题与二次函数 3大高频考点（期中真题汇编）九年级数学上学期人教版

专题05 实际问题与二次函数 3大高频考点概览 考点01 二次函数的最值 考点02 根据实际问题列二次函数关系式 考点03 二次函数的应用 地 城 考点01 二次函数的最值 一、选择题 1．（24-25九上•山东烟台•福山区期中）若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25九上•河北廊坊•期中）若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九上•山西朔州•期中）当x≤a时，二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值为6，则a的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．﹣1或1 D．1 4．（24-25九上•山东济南•钢城区期中）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 5．（24-25九上•广东珠海•香洲区期中）“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2的最大值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）已知点P（m﹣1，n），Q（m+1，n），M（m+3，n），N（m+2，n﹣1），二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式y＝ax2+bx+c，当a的值最大时，所对应的二次函数图象所经过的点为（　　） A．点P，点Q和点M B．点P，点Q和点N C．点P，点M和点N D．点Q，点M和点N 二、填空题 7．（24-25九上•辽宁朝阳•凌源市期中）已知：二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3在m﹣1≤x≤m+2的范围内有最小值，则这个最小值是　 　． 8．（24-25九上•江苏苏州•姑苏区期中）如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　． 9．（24-25九上•湖南长沙•岳麓区期中）已知抛物线y＝2x2﹣3经过点P（m，n），则2m+n的最小值是　 　． 10．（24-25九上•四川泸州•龙马潭区期中）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为 　 　 ． 三、解答题 11．（24-25九上•重庆江津区•期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5）． （1）求b，c的值； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． 12．（24-25九上•江苏苏州•期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 地 城 考点02 根据实际问题列二次函数关系式 一、选择题 13．（24-25九上•江苏盐城•期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x） C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2 14．（24-25九上•广东深圳•福田区期中）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 15．（24-25九上•广东东莞•期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 16．（24-25九上•云南昆明•官渡区期中）如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝4cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 17．（24-25九上•内蒙古赤峰•松山区期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为949.5万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝949.5x（1+x） C．y＝949.5（1+x）2 D．y＝949.5+（1+x）2 18．（24-25九上•福建福州•闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜5），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（　　） A．y＝10x﹣120 B．y＝﹣10x+120 C．w＝（10x+120）（25﹣20﹣x） D．w＝（﹣10x+120）（50﹣x） 二、填空题 19．（24-25九上•上海闵行区•期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是　 　． 20．（24-25九上•陕西西安•新城区期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式　 　． 21．（24-25九上•湖北武汉•硚口区期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是　 　． 22．（24-25九上•湖南常德•桃源县期中）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　 　． 地 城 考点03 二次函数的应用 一、选择题 23．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车可以滑行4秒后才停止 B．汽车滑行2秒时停止 C．滑行速度先变大后变小 D．滑行的最远距离是22米 24．（24-25九上•天津河东区•期中）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 25．（24-25九上•浙江杭州•上城区期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝﹣5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　） A．90元，4500元 B．80元，4500元 C．90元，4000元 D．80元，4000元 26．（24-25九上•浙江杭州•滨江区期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 27．（24-25九上•山东烟台•福山区期中）一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（　　） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 28．（24-25九上•天津北辰区•期中）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 29．（24-25九上•河北邢台•任泽区期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是　 　m． 30．（24-25九上•内蒙古赤峰•松山区期中）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为yx2x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为　 　m时，竖直高度达到最大值． 31．（24-25九上•广东珠海•期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　 　米时，水面宽8米． 32．（24-25九上•重庆渝中区•期中）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为　 　米． 三、解答题 33．（24-25九上•广东广州•越秀区期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 34．（24-25九上•山东烟台•期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？ （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 实际问题与二次函数 3大高频考点概览 考点01 二次函数的最值 考点02 根据实际问题列二次函数关系式 考点03 二次函数的应用 地 城 考点01 二次函数的最值 一、选择题 1．（24-25九上•山东烟台•福山区期中）若实数x、y满足2x2﹣6x+y＝0，则x2+y+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 解：由2x2﹣6x+y＝0，得y＝﹣2x2+6x， ∴x2+y+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16， 故当x＝4时，x2+y+2x的最大值是16． 答案：C． 2．（24-25九上•河北廊坊•期中）若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 解：由题意，∵y＝x2﹣3x﹣m＝（x）2m， ∴当x时，y取最小值为m． ∵最小值是非负数， ∴m≥0． ∴m． 答案：D． 3．（24-25九上•山西朔州•期中）当x≤a时，二次函数y＝x2﹣2x+3的最小值为6，则a的值为（　　） A．﹣1或3 B．﹣1 C．﹣1或1 D．1 解：二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的开口向上，当x＝1时，y有最小值2． 当y＝6时，x2﹣2x+3＝6， 解得x1＝﹣1，x2＝3． 当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小， 当x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x+3则最小值是6， 所以a＝﹣1． 答案：B． 4．（24-25九上•山东济南•钢城区期中）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（　　） A．5 B．﹣5或 C．5或 D．﹣5或 解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ①m＞0，抛物线开口向上， x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4， 解得：m＝5； ②m＜0，抛物线开口向下， ∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4， ∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4， 解得：m； 答案：C． 5．（24-25九上•广东珠海•香洲区期中）“整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2的最大值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 解：设y＝﹣（x2﹣2x）2﹣4（x2﹣2x）+2＝﹣t2﹣4t+2＝﹣（t+2）2+6， ∴抛物线y＝﹣（t+2）2+6开口向下，对称轴为直线t＝﹣2， ∴t＞﹣2时，y随t的增大而减小， ∵t＝x2﹣2x＝（x+1）2﹣1， ∴t≥﹣1， ∴t＝﹣1时，﹣（t+2）2+6＝5为函数最大值， 答案：B． 6．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）已知点P（m﹣1，n），Q（m+1，n），M（m+3，n），N（m+2，n﹣1），二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式y＝ax2+bx+c，当a的值最大时，所对应的二次函数图象所经过的点为（　　） A．点P，点Q和点M B．点P，点Q和点N C．点P，点M和点N D．点Q，点M和点N 解：当抛物线过点P，点Q和点N时，对称轴为直线， ∴m＜m+1＜m+2， ∵n＞n﹣1， 由抛物线的开口向下可知a＜0， 当抛物线过点P，点M和点N时，对称轴为直线， ∴m+1＜m+2＜m+3， ∵n＞n﹣1， ∴抛物线的开口向上，此时P，M两点之间的距离为m+3﹣m+1＝4， ∴a＞0， 当抛物线过点Q，点M和点N时，对称轴为直线， ∴m+2＜m+3， ∵n＞n﹣1， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0， 此时QM＝m+3﹣m﹣1＝2， ∵4＞2， ∴当抛物线过点P，点M和点N时，a值最大； 答案：C． 二、填空题 7．（24-25九上•辽宁朝阳•凌源市期中）已知：二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3在m﹣1≤x≤m+2的范围内有最小值，则这个最小值是 　﹣1　 ． 解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+3的对称轴是直线x＝m， 又∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵二次函数在m﹣1≤x≤m+2的范围内有最小值， ∴x＝m+2时，y的值最小，最小值＝﹣（m+2）2+2m（m+2）﹣m2+3＝﹣m2﹣4m﹣4+2m2+4m﹣m2+3＝﹣1． 答案：﹣1． 8．（24-25九上•江苏苏州•姑苏区期中）如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+3在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 　8　 ． 解：设P（x，﹣x2+x+3）， 四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2x2+2x+6+2x＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8， 当x＝1时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为8． 答案：8． 9．（24-25九上•湖南长沙•岳麓区期中）已知抛物线y＝2x2﹣3经过点P（m，n），则2m+n的最小值是 　　 ． 解：∵抛物线y＝2x2﹣3经过点P（m，n）， ∴n＝2m2﹣3． ∴2m+n＝2m+2m2﹣3 ＝2（m）2． ∴当m时，2m+n的最小值是． 答案：． 10．（24-25九上•四川泸州•龙马潭区期中）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为 　4　 ． 解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 答案：4． 三、解答题 11．（24-25九上•重庆江津区•期中）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5）． （1）求b，c的值； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值． 解：（1）∵函数的图象经过点（0，﹣3），（﹣2，5），将数据代入解析式可得： ∴， ∴； （2）由（1）得：函数解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，且当x＝﹣3时，y的值最大，最大值为6， ∵﹣4≤x≤0， ∴当x＝﹣3时，y的值最大，最大值为6． 12．（24-25九上•江苏苏州•期中）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 解：∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积•AC•BD， 设AC＝x， ∵AC+BD＝10， ∴BD＝10﹣x， ∴四边形ABCD的面积SAC•（10﹣AC） x2+5x （x﹣5）2， ∵0， ∴当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为． 地 城 考点02 根据实际问题列二次函数关系式 一、选择题 13．（24-25九上•江苏盐城•期中）为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝100（1﹣x） B．y＝100（1+x） C．y＝50（1+x）2 D．y＝50（1﹣x）2 解：由题意可得： 第一次降价后的价格为50（1﹣x）元， ∴第二次降价后的价格为50（1﹣x）2元， 又∵两次降价后的价格为y元， ∴y与x的函数关系式为：y＝50（1﹣x）2． 答案：D． 14．（24-25九上•广东深圳•福田区期中）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 解：∵铁栅栏的全长为15米，AB＝x米， ∴平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 答案：D． 15．（24-25九上•广东东莞•期中）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 解：设每本降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本， 根据题意得，y＝（20﹣x）（300+10x）， 答案：A． 16．（24-25九上•云南昆明•官渡区期中）如图，在加工太阳镜时为了美观会将眼镜下半部分轮廓制作成抛物线的形状，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4cm，最低点C在x轴上，高CH＝2cm，BD＝4cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 解：如图，∵对应的两条抛物线关于y轴对称，BD＝4cm， ∴GB＝GD＝2cm， 由条件可知A，B关于对称轴对称， ∴， ∴GH＝4cm， ∴B（﹣2，2），C（﹣4，0）， ∴D（2，2），F（4，0）， 设右轮廓DFE所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2，把D（2，2），代入，得：， ∴右轮廓DFE所在抛物线的解析式为； 答案：B． 17．（24-25九上•内蒙古赤峰•松山区期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为949.5万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝949.5x（1+x） C．y＝949.5（1+x）2 D．y＝949.5+（1+x）2 解：由题意得：函数的表达式为：y＝949.5（1+x）2． 答案：C． 18．（24-25九上•福建福州•闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜5），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（　　） A．y＝10x﹣120 B．y＝﹣10x+120 C．w＝（10x+120）（25﹣20﹣x） D．w＝（﹣10x+120）（50﹣x） 解：当每个降价x元（0＜x＜5）时，每个的销售利润为（25﹣20﹣x）元，每天的销售量y＝10x+120（个）． 又∵每天销售该商品获得的利润w元， ∴w＝（10x+120）（25﹣20﹣x）． 答案：C． 二、填空题 19．（24-25九上•上海闵行区•期中）用一根长15厘米的铁丝制成一个长方形框架，设长方形的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，则y关于x的函数解析式是 　y＝﹣x2x　 ． 解：由题意知，长方形的另一边长为厘米， 则面积y＝x•x2x， 答案：y＝﹣x2x． 20．（24-25九上•陕西西安•新城区期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．若设有x个房间空闲，则宾馆利润为y元．请你写出y与x的函数关系式 　y＝（180+10x﹣20）（50﹣x）　 ． 解：当有x个房间空闲时，每个房间每天的定价为（180+10x）元，入住了（50﹣x）个房间， 根据题意得：y＝（180+10x﹣20）（50﹣x）． 答案：y＝（180+10x﹣20）（50﹣x）． 21．（24-25九上•湖北武汉•硚口区期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是 　y＝﹣20x2+100x+6000　 ． 解：设每个降价x元， 每天获得利润y＝（300+20x）（60﹣40﹣x） ＝﹣20x2+100x+6000． 答案：y＝﹣20x2+100x+6000． 22．（24-25九上•湖南常德•桃源县期中）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　y＝2x2﹣4x+4　 ． 解：如图所示： ∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2． ∴∠1+∠2＝90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠HEF＝90°，EH＝EF． ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AHE与△BEF中， ∵， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， ∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x， 在Rt△AHE中，由勾股定理得： EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4； 即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）， 答案：y＝2x2﹣4x+4． 地 城 考点03 二次函数的应用 一、选择题 23．（24-25九上•福建厦门•思明区期中）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车可以滑行4秒后才停止 B．汽车滑行2秒时停止 C．滑行速度先变大后变小 D．滑行的最远距离是22米 解：∵s＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t+4）+20＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴由于惯性汽车速度变小，汽车滑行2秒，到达最远距离为20米停止， 故选项A，C，D不合题意， 答案：B． 24．（24-25九上•天津河东区•期中）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）是水平距离x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为：； ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 解：由题意，抛物线过（0，1.6），（4，4），（8，0）， 设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+c（0≤x≤8）， ∴． ∴． ∴函数的表达式为yx2x，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线x， ∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为8（米），故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为y（）24.05（米），故①正确． 综上，正确的有①②共2个． 答案：B． 25．（24-25九上•浙江杭州•上城区期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足函数关系式y＝﹣5x+550，若要求销售单价不得低于成本，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（　　） A．90元，4500元 B．80元，4500元 C．90元，4000元 D．80元，4000元 解：设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500， ∵﹣5＜0，此图象开口向下， ∴当x＝80时，w有最大值为4500元， ∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元． 答案：B． 26．（24-25九上•浙江杭州•滨江区期中）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m，则门高OE为（　　） A．9m B．m C．8.7m D．9.3m 解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣3，4）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把D（﹣3，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4）， 得4＝a（﹣3+4）（﹣3﹣4）， 解得a， ∴y（x+4）（x﹣4）． 令x＝0得y，即（0，）， ∴OE ∴门的高度约为m． 答案：B． 27．（24-25九上•山东烟台•福山区期中）一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（　　） A．1米 B．2米 C．4米 D．5米 解：令y＝3.05得：（x﹣2.5）2+3.5＝3.05， 解得：x＝4或x＝1（舍去）． 所以运行的水平距离为4米． 答案：C． 28．（24-25九上•天津北辰区•期中）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 解：设AD边长为x m，则AB边长为m， 当AB＝6时，6， 解得x＝28， ∵AD的长不能超过26m， ∴x≤26， 故①不正确； ∵菜园ABCD面积为192m2， ∴x•192， 整理得：x2﹣40x+384＝0， 解得x＝24或x＝16， ∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2， 故②正确； 设矩形菜园的面积为y m2， 根据题意得：y＝x•（x2﹣40x）（x﹣20）2+200， ∵0，20＜26， ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200． 故③正确． ∴正确的有2个， 答案：C． 二、填空题 29．（24-25九上•河北邢台•任泽区期中）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是 　24　 m． 解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600， 此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来． 因此t的取值范围是0≤t≤20； 即当t＝16时，y＝576， 所以600﹣576＝24（米） 答案：24． 30．（24-25九上•内蒙古赤峰•松山区期中）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为yx2x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 　8　 m时，竖直高度达到最大值． 解：yx2x+2（x﹣8）2+4， ∵0， ∴当x＝8时，y有最大值，最大值为4， ∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值． 答案：8． 31．（24-25九上•广东珠海•期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 　　 米时，水面宽8米． 解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点， 由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2， 把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得， 9a+2＝0， 解得：a， 所以抛物线解析式为yx2+2， 当x＝4时，y16+2， ∴水面下降米， 答案：． 32．（24-25九上•重庆渝中区•期中）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 　2　 米． 解：∵函数解析式为：， ∴y最值2． 答案：2． 三、解答题 33．（24-25九上•广东广州•越秀区期中）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）设y＝kx+b， 把（22，36）与（24，32）代入得：， 解得：， 则y＝﹣2x+80； （2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意得：（x﹣20）y＝150， 则（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理得：x2﹣60x+875＝0， （x﹣25）（x﹣35）＝0， 解得：x1＝25，x2＝35， ∵20≤x≤28， ∴x＝35（不合题意舍去）， 答：每本纪念册的销售单价是25元； （3）由题意可得： w＝（x﹣20）（﹣2x+80） ＝﹣2x2+120x﹣1600 ＝﹣2（x﹣30）2+200， 此时当x＝30时，w最大， 又∵售价不低于20元且不高于28元， ∴x＜30时，w随x的增大而增大，即当x＝28时，w最大＝﹣2（28﹣30）2+200＝192（元）， 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 34．（24-25九上•山东烟台•期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2． （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？ （3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式． 解：（1）依题意得 S＝x（28﹣x）， 当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192， 即x2﹣28x+192＝0， 解得：x1＝12，x2＝16， 答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m； （2）由题意可得出： S＝x（28﹣x） ＝﹣x2+28x ＝﹣（x﹣14）2+196， 答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2； （3）依题意得： ， 解得：6≤x≤28﹣a， S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196， ∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大， 又6≤x≤28﹣a， ∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196． 试卷第1页，共3页 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $