精品解析：点 福建省福州屏东中学2025-2026学年上学期九年级开学考试数学试卷

福州屏东中学2025～2026学年第一学期九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线y=2x2+3与y轴的交点的横坐标为0，故把x=0代入上式得y=3，交点是（0，3）． 【详解】当x=0时，y=2×0+3=3，所以交点是（0，3）． 故选B． 【点睛】考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，及与y轴交点的坐标特点． 2. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， ∴； 故选D． 3. 下列函数的图像，经过点的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的性质，将分别代入函数解析式，然后看所得出的函数值是否为即可得出正确答案． 【详解】解：A、将代入可得，不等于，故不经过点，不符合题意； B、将代入可得，不等于，故不经过点，不符合题意； C、将代入可得，故经过点，符合题意； D、将代入可得，不等于，故不经过点，不符合题意； 故选：C． 4. 在下列条件中，能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB=AD，CB=CD B. AB∥CD，AD=BC C. AB∥CD，AB=CD D. ∠A=∠B，∠C=∠D 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】A、AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； B、AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误； C、AB∥CD，AB=CD根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项正确； D、∠A=∠B，∠C=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．平行四边形的判定：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 5. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，所得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学得分的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 总分 【答案】B 【解析】 【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置，即是中位数．所以需知道这19位同学成绩的中位数． 【详解】解：19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得前10位同学进入决赛，中位数就是第10位， 因而要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学的中位数就可以， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，掌握各个统计量的特点是解题关键． 6. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质得出，证明是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（　　） A. 9 B. 12 C. 24 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解决问题； 【详解】解：∵S△ADE：S△BDE＝1：2， ∴AD：BD＝1：2， ∴AD：AB＝1：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵S△ADE＝3， ∴S△ABC＝27， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元一次不等式的应用，整式加减的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及求解不等式组是解题的关键．先将，，代入，得到，，，然后根据推得，，可得，，再用作差法证明，，即得答案． 【详解】解：抛物线上有三点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理， ， ． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 将直线向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】将直线向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为； 故答案为：． 13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 14. 如图，在中，，．若是的中点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，，是的中点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 连接，由旋转可知：，得出，证，得出，再根据勾股定理列出方程，即可解答． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ， 由旋转可知：， ∵三点共线， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零次幂，先计算二次根式的乘法，化简绝对值，零次幂，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，点C为下方一点，连接、，将绕点A逆时针旋转得到，连接，已知，，求证：． 【答案】 证明：将绕点A逆时针旋转得到， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可解答，熟练利用旋转的性质是解题的关键． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键． 先将括号内的分式通分后，再根据同分母的分式加减的运算法则计算化简，同时把除法转化为乘法，约分化为最简后，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 如图，平面直角坐标系中，点． （1）求所在直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把代入，得， 解得：； ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴直线与y轴交于点， ∴的面积． 21. 如图，在矩形中，是的中点，点在线段上． （1）尺规作图：求作菱形，使得点，，分别在，，上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 菱形即为所求： （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质：对角线互相垂直平分作图即可； （2）利用垂直平分线的性质，结合勾股定理即可解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，设，则， 四边形是菱形， ． 是的中点， 垂直平分， ． 四边形是矩形， ． 在中，根据勾股定理，得：， ， 解得． ． 【点睛】本题考查矩形，菱形的相关性质．了解“菱形的对角线互相垂直平分”是作图的基础；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，将所求线段进行转化，再结合勾股定理，解方程即可．其中解方程时，完全平方公式展开是易错点． 22. 已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）当，，时，求的值； （2）求证：为非负数． 【答案】（1） （2） 证明：∵，． ， ， ， ， 即是非负数． 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、分式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意代入，，求出，，再根据即可求解． （2）根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解； 【小问1详解】 解：当，，时， ，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 23. 2025年4月24日17时17分，火箭点火发射，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某校八年级举办以“大国航天筑梦星辰”为主题的航天知识竞赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是分，分，分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 8 c 乙 a 9 10 丙 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______分，______分，______分； （2）在面试中，评委对______的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是______（①平均数，②中位数，③众数，④方差）（填序号，填一个即可）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】（1），，8 （2）丙，④； （3）综合成绩最高的是乙同学，乙同学将代表年级参赛； 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与折线统计图，求平均数、加权平均数，中位数与众数，用方差判断稳定性等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）求出乙同学的平均数即可得的值；根据丙同学的得分即可求得中位数；观察甲同学得分的条形统计图即可求得众数； （2）根据两种统计图中数据的波动程度即可判断； （3）分别求出三位同学的综合成绩即加权平均数即可确定； 【小问1详解】 解：； 丙同学的得分为5个8分，3个9分，2个10分， 中位数为第、两个数据的平均数， 则； 由条形统计图知，甲同学得分中8分出现的次数最多，故； 故答案为：，，8； 【小问2详解】 解：由条形统计图和折线统计图知，甲同学的最低分为5分，最高分为10分；乙同学的最低分为6分，最高分为10分；丙同学的最低分为8分，最高分为10分；显然丙同学的得分极差最小，波动程度也最小，即方差最小；故面试中，评委对丙的评价更一致，依据是方差； 故答案为：丙；④； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩：； 乙的综合成绩：； 丙的综合成绩：； 则乙的综合成绩最高，故乙同学将代表年级参赛． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将代入求得抛物线的函数表达式，将函数表达式化为顶点式即可求解； （2）①根据抛物线的对称性求解即可； ②分和两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，则抛物线， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①由抛物线得对称轴为直线， ∵和是抛物线上的两点，且对于，有， ∴点关于直线对称， ． ②当时，，则， ∴当时，抛物线的开口向上，且， ∵点关于直线的对称点为， 又时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， ∴当时，都有，则， 解得：， ． 当时，抛物线的开口向下，且， ∵点关于直线的对称点为， 又时，随的增大而减小， ∴当时，都有，不符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为． 25. 如图1，在中，，点D在边上（不与B，C重合），点E在边，且，过点A作于点F，点G是的中点，连接． （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作于点H，判断的值，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ，， ， ， ． （2） 证明：如图，延长至点，使得，连接． ∵， ∴垂直平分． ， ， ， ， 又， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 即． （3）1，理由如下： 如图，连接． ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，然后结合，从而可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”进行判定； （2）延长至点，使得，连接，通过证明，结合三角形中位线定理分析推理； （3）连接，通过证明分析推理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形判定和性质，三角形中位线定理等知识点，添加合适的辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2025～2026学年第一学期九年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线与轴的交点是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 3. 下列函数的图像，经过点的是（ ）． A. B. C. D. 4. 在下列条件中，能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是（ ） A. AB=AD，CB=CD B. AB∥CD，AD=BC C. AB∥CD，AB=CD D. ∠A=∠B，∠C=∠D 5. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，所得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学得分的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 总分 6. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若S△ADE：S△BDE＝1：2，S△ADE＝3，则S△ABC为（　　） A. 9 B. 12 C. 24 D. 27 10. 已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 将直线向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为_____ 13. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，在中，，．若是的中点，则的长为_____． 15. 如图，在“”的正方形网格中，的度数为________． 16. 如图，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，当点C，，三点共线时，交于点E，则的长度是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，点C为下方一点，连接、，将绕点A逆时针旋转得到，连接，已知，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平面直角坐标系中，点． （1）求所在直线的解析式； （2）求的面积． 21. 如图，在矩形中，是的中点，点在线段上． （1）尺规作图：求作菱形，使得点，，分别在，，上（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，若，，求的长． 22. 已知实数a，b，c，m，n满足，． （1）当，，时，求的值； （2）求证：为非负数． 23. 2025年4月24日17时17分，火箭点火发射，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某校八年级举办以“大国航天筑梦星辰”为主题的航天知识竞赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是分，分，分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 8 c 乙 a 9 10 丙 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______分，______分，______分； （2）在面试中，评委对______的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是______（①平均数，②中位数，③众数，④方差）（填序号，填一个即可）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点． ①若对于，，有，求m的值； ②若对于，，都有，求m的取值范围． 25. 如图1，在中，，点D在边上（不与B，C重合），点E在边，且，过点A作于点F，点G是的中点，连接． （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）如图2，过点A作于点H，判断的值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $