专题2.4 双曲线的简单几何性质重难点题型讲义（1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

该高中数学讲义以“双曲线的简单几何性质”为核心，构建了从定义到性质、从基础题型到综合拓展的完整知识体系。通过清晰的思维导图梳理对称性、范围、顶点、离心率与渐近线五大核心概念，辅以表格对比不同标准方程下的参数关系，直观呈现重难点分布与内在逻辑联系，帮助学生建立结构化认知框架。 讲义的亮点在于精准匹配新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”和“数学语言”的融合训练。例如在题型六中引导学生由离心率反推标准方程，强化符号意识与运算能力；在例题十一中借助a、b、c齐次式求渐近线，体现逻辑推理与模型观念的应用。每类题型均配有典型例题与变式练习，如拓展训练三中关于渐近线交点问题的设计，既适合基础薄弱生掌握基本方法，又为优生提供探究空间。讲义还附有自我检测模块与错题归因提示，有效支持学生自主复习，助力教师实施分层教学与精准讲评。

专题2.4 双曲线的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型二 双曲线的对称性 题型三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型四 等轴双曲线 题型五 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型六 根据离心率求双曲线的标准方程 题型七 由双曲线的离心率求参数的取值范围 题型八 已知方程求双曲线的渐近线 题型九 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型十 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型十一 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 拓展训练一 双曲线的性质及应用 拓展训练二 双曲线离心率相关问题 拓展训练三 渐近线方程相关求解 知识点一：双曲线的简单性质 1、对称性 (1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心. 2、范围 由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.： 3、顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点. 如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长． 4、离心率 (1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即. (2)因为c>a>0,所以e>1. (3)因为,所以. 【知识剖析】 细解双曲线的范围和顶点 1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置. 3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点. 5、渐近线 一般地，直线 和称为双曲线的渐近线． 【知识剖析】 对双曲线渐近线的四点说明 1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点． 2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解． 4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)． 【即时训练】 1．（2025·河北·一模）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 【经典例题一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例1】（2023·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线的上焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值． 1．（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西南昌·期中）若点在双曲线上，则的最小值是 ． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为轴正半轴上一点，求的最小值. 【经典例题二 双曲线的对称性】 【例1】（2023·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（    ） A．4 B． C．6 D． 2．（多选题）（2024·广东汕头·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 3．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，设双曲线的两支分别为．正三角形的三顶点位于此双曲线上，若在上，在上，求的坐标． 【经典例题三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】 【例1】（2023·广西·模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京顺义·期中）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·高考真题）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 4．（23-24高二·江苏·课后作业）（1）求离心率为，虚半轴长为2的双曲线的标准方程． （2）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． （3）已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． （4）求一条渐近线方程为3x＋4y＝0，且经过点的双曲线的标准方程． 【经典例题四 等轴双曲线】 【例1】（2023·湖南张家界·二模）将函数的图象绕原点逆时针旋转得到曲线，则曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知等轴双曲线经过点，且对称轴都在坐标轴上，求它的标准方程． 1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·广东·阶段练习）已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C．四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点） D． 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ． 4．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中画出方程表示的曲线. 【经典例题五 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    1．（2025·全国·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 3．（24-25高三上·山东·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为 . 4．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【经典例题六 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）若双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．求的方程． 1．（24-25高二上·山西·期中）若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A．渐近线方程为 B．渐近线方程为 C． D． 3．（2023·河南开封·一模）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm． 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点A作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，求的面积． 【经典例题七 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例1】（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）设k为实数，已知双曲线的离心率，求k的取值范围． 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·广东·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为 . 4．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知双曲线. (1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围. 【经典例题八 已知方程求双曲线的渐近线】 【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二·江苏·假期作业）求双曲线上任意一点M到两条渐近线的距离的乘积，并把结论推广到一般的双曲线. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 3．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过点，且与双曲线的左支有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围； (3)记双曲线的左顶点为，右焦点为，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数；若不存在，请说明理由. 【经典例题九 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（    ） A． B． C．10 D．11 【例2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程． 1．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线 （）的渐近线方程为 且双曲线C的右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【经典例题十 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·四川绵阳·期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程； (1)短轴长为，离心率的椭圆； (2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线． 1．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·北京西城·期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 【经典例题十一 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程】 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆，双曲线，其中.若与的焦距之比为，则的渐近线方程为（   ）. A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·福建莆田·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若，求双曲线的渐近线方程 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 4．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. (1)求的渐近线方程； (2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 【拓展训练一 双曲线的性质及应用】 【例1】（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线：的左焦点为，过的直线交双曲线的左、右两支分别于点，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 1．（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高三下·上海浦东新·开学考试）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为 . 4．（22-23高二·全国·课后作业）与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线（椭圆，双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若是圆的直径，是圆上一点（异于），均与坐标轴不平行，则． (1)试根据点和直径的特殊位置，写出椭圆和双曲线的类似结论； (2)对于任意位置满足条件的点和直径，证明（1）中的其中一个结论． 【拓展训练二 双曲线离心率相关问题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【例2】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为 . 4．（22-23高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 【拓展训练三 渐近线方程相关求解】 【例1】（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·福建·期中）（1）求与双曲线有相同渐近线且过点的双曲线方程； （2）已知双曲线的离心率为，求该双曲线渐近线方程. 1．（24-25高三上·北京·开学考试）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（    ） A．C的焦点在y轴上 B．C的方程为 C．C的焦点到其渐近线的距离为 D．直线与C有两个公共点 3．（23-24高二下·浙江温州·阶段练习）双曲线，设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这篇文章中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样．事实上，有极小部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径．    (1)结合图象，求出该双曲线的渐近线方程． (2)如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm，试求出该粒子路径的模型． 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为关于渐近线的对称点，若在双曲线上且，且的面积为16，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽(    ) A．米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（22-23高二上·湖南永州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点作直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（    ） A． B．点的横坐标为 C．直线的斜率 D．的内切圆的面积 7．（多选题）（24-25高二下·云南·阶段练习）双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C． D．的面积为 8．（多选题）（22-23高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 10．（多选题）（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知双曲线的离心率为，将上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为双曲线的一个焦点 C． D．的虚轴长为 11．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线上的点，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 13．（2022高二·全国·专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为 ． 14．（江西省南昌市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    15．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 16．（23-24高三上·广东·阶段练习）记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. (1)求的渐近线方程； (2)记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 17．（2025高三下·全国·专题练习）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.求双曲线C的离心率. 18．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求； (3)求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程. 19．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 20．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 双曲线的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型二 双曲线的对称性 题型三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型四 等轴双曲线 题型五 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型六 根据离心率求双曲线的标准方程 题型七 由双曲线的离心率求参数的取值范围 题型八 已知方程求双曲线的渐近线 题型九 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型十 求共渐近线的双曲线的标准方程 题型十一 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 拓展训练一 双曲线的性质及应用 拓展训练二 双曲线离心率相关问题 拓展训练三 渐近线方程相关求解 知识点一：双曲线的简单性质 1、对称性 (1)在双曲线的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以双曲线关于x轴(轴)对称,即坐标轴是双曲线的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则双曲线关于原点对称,这个对称中心称为双曲线的中心. 2、范围 由方程得，所以双曲线上的任意一点都满足即因此，双曲线在不等式与所表示的区域内，即位于两条直线和外侧的区域．如图所示.： 3、顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点. 如图,双曲线的两个顶点的坐标分别为．显然顶点是双曲线两支之间距离最近的点．两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的实半轴长．为轴上的两个点，线段叫作双曲线的虚轴，它的长度等于，其中叫作双曲线的虚半轴长． 4、离心率 (1)我们规定,双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用e表示,即. (2)因为c>a>0,所以e>1. (3)因为,所以. 【知识剖析】 细解双曲线的范围和顶点 1.从双曲线的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.双曲线有两个顶点、两个焦点，共四个特殊点，研究双曲线时一定要注意这四个特殊点的位置. 3.已知双曲线的两个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以原点为圆心，以c为半径作弧交实轴于两点，这两点就是该双曲线的焦点. 5、渐近线 一般地，直线 和称为双曲线的渐近线． 【知识剖析】 对双曲线渐近线的四点说明 1.随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点． 2.由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成0，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常把双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)求解． 4.与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线系的方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0)． 【即时训练】 1．（2025·河北·一模）双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程，可知渐近线方程为，再结合条件及间的关系，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：B. 2．．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 【经典例题一 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例1】（2023·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断. 【详解】由，左右两边同时平方得， 即， 该方程可表示双曲线的右支，如图所示，    故的最小值为， 故选：A. 【例2】（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线的上焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值． 【答案】c-a 【分析】根据两点间距离公式，结合双曲线的范围、配方法进行求解即可. 【详解】设，则有，， ， 当P在双曲线上支时，因为，所以， 所以的最小值为； 当P在双曲线下支时，因为，所以， 因此，的最小值为， 综上所述：的最小值为； 1．（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出渐方程，则由点是渐近线上一点，，由点在以为直径的圆内，得，化简可求得结果. 【详解】由题可知：，渐近线为， 因为点是渐近线上一点， 所以， 因为点在以为直径的圆内， 所以，即， 所以，得， 解得， 即的取值范围为， 故选：A 2．（多选题）（2023·江苏南京·二模）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质得到AB正确，取特殊值排除CD，得到答案. 【详解】对选项A：，故，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：取，满足，此时不成立，错误； 对选项D：取，满足，此时，错误. 故选：AB 3．（23-24高二上·江西南昌·期中）若点在双曲线上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据点在曲线上可以二元化一元得到，再由二次函数的性质得到结果. 【详解】点在双曲线上，故， 进而得到：， 二次函数对称轴为，开口朝上， 结合二次函数图像及性质可知： 当时，有最小值. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期中）如图，的顶点在射线上，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足，当点在上移动时，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为轴正半轴上一点，求的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)设，由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得，即点的轨迹的方程. (2)由题意设，计算可得，分类讨论和两种情况，结合二次函数的性质有的解析式即可. 【详解】（1）因为两点关于轴对称，所以边所在直线与轴平行， 设，由题意，得，， 所以，， 因为， 所以，即， 所以点的轨迹的方程为 （2）设，则， 因为点在 ，所以， 所以 若，即，则当时，； 若，即，则当时， 所以，的最小值. 【经典例题二 双曲线的对称性】 【例1】（2023·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称，即可得到答案. 【详解】左支内最短的焦点弦，又， 所以与左、右两支相交的焦点弦长， 因为实数使得的直线恰有3条， 根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称. 如图所示：    所以当时，有3条直线满足题意. 故选：C 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【答案】 【分析】由双曲线对称性可知，利用勾股定理可构造方程得到，结合双曲线的关系可求得结果. 【详解】由题意得：，；由双曲线对称性可知：， ，即，整理可得：， 即，，. 1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质可得，再利用双曲线的定义即得. 【详解】由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且， 由可知，， ∴. 故选：C. 2．（多选题）（2024·广东汕头·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】AC 【分析】利用关于原点对称，可判断A，利用趋近于0时点的位置，得出大于，从而判断B．设，计算斜率可判断C，由三角形外角定理得，从而可判断D． 【详解】双曲线关于原点对称，又直线过原点，所以关于原点对称， 由得四边形为平行四边形，A正确； 当，点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有，B错． 设，则，由轴知，， 而，C正确； 中，，因此，D错； 故选：AC． 【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的对称性，解题关键是得出关于原点对称，则设后就可得出坐标，斜率的关系随之可得，利用平面几何知识判断AD，利用趋近于0的变化趋势得出点变化趋势，从而得出的变化趋势． 3．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则 . 【答案】20 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】解：双曲线和圆都关于轴对称， 不妨设，， 所以. 联立，得， 则， 故. 故答案为：20 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，设双曲线的两支分别为．正三角形的三顶点位于此双曲线上，若在上，在上，求的坐标． 【答案】，． 【分析】根据已知及双曲线的对称性知关于直线对称，进而得到直线的方程为联立求坐标，利用对称性得坐标. 【详解】因为式子中互换后仍不变，所以双曲线关于直线对称． 又，所以是以为圆心的圆与双曲线的两个交点， 所以关于直线对称． 于是直线的方程为， 而， 即，代入，得（舍），， 所以，由对称性知． 【经典例题三 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】 【例1】（2023·广西·模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程. 【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 故选：D 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (2)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (3)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (4)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. 【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得的值和焦点的位置，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （2）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （3）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （4）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. 1．（23-24高三上·江西宜春·阶段练习）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合焦点到渐近线的距离为求解即可. 【详解】由一个焦点到一条渐近线的距离为2，得， 又因双曲线的实轴与虚轴相等，所以， 由双曲线焦点在轴上，可知双曲线方程为. 故选：D. 2．（22-23高三上·北京顺义·期中）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列关于a，b，c的方程组求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 由已知得，解得， 所以双曲线的标准方程为 故选：A. 3．（2024·山东·高考真题）已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意求圆与坐标轴的交点得，，进而得双曲线的焦点为，顶点为，即，进而得答案. 【详解】解：对于圆， 令，得圆与坐标轴的交点分别为，， 令，由于，故无解. 所以圆与坐标轴的交点为，， 所以，根据题意得，双曲线的焦点为，顶点为 所以， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 4．（23-24高二·江苏·课后作业）（1）求离心率为，虚半轴长为2的双曲线的标准方程． （2）已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． （3）已知双曲线的焦距为16，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程． （4）求一条渐近线方程为3x＋4y＝0，且经过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）或；（2）；（3）或；（4）. 【分析】根据双曲线的离心率、虚轴长、焦点位置及焦距、渐近线及所过的点，结合双曲线参数的关系求双曲线的标准方程． 【详解】(1)由题意，b＝2，，所以，解得， 所以双曲线的方程为或. (2)因为双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为 (a>0, b>0)， 所以渐近线方程为，即，即， 又，可得， 故双曲线的方程为. (3) ① 若双曲线的焦点在x轴上，则可设双曲线的标准方程为 (a>0, b>0)， 所以渐近线方程为，即，即， 又，可得， 故双曲线的方程为. ② 若双曲线的焦点在y轴上，则可设双曲线的标准方程为 (a>0, b>0)， 所以渐近线方程为，即，即， 又，可得， 故双曲线的方程为. 综上，所求双曲线的方程为或. (4)依题可设双曲线的方程为 (λ≠0)，又双曲线经过点， 所以，解得λ＝1，则双曲线的标准方程为. 【经典例题四 等轴双曲线】 【例1】（2023·湖南张家界·二模）将函数的图象绕原点逆时针旋转得到曲线，则曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据曲线的图像绕原点逆时针旋转后得到的曲线为等轴双曲线，两顶点间的距离为与两交点间的距离求解. 【详解】直线与联立，得两交点的坐标为，， 则旋转后的双曲线两顶点间的距离为， 所以函数的图象绕原点逆时针旋转得到的双曲线方程为. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知等轴双曲线经过点，且对称轴都在坐标轴上，求它的标准方程． 【答案】 【分析】依题意设双曲线方程为，代入点的坐标求出的值，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 因为等轴双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. 1．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右 依次交于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等轴双曲线的几何形式，能够确定是等腰三角形，即可求解. 【详解】由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点）， 由，得，则， 所以. 故选：C 2．（多选题）（22-23高二上·广东·阶段练习）已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C．四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点） D． 【答案】BD 【分析】对于A，由等轴双曲线定义可得答案. 对于B，因C为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，由题可得答案. 对于C，由B选项可知四边形OPMQ为矩形，再设，表示出可得答案. 对于D，分别计算与即可. 【详解】因为等轴双曲线，则，渐近线为. 对于A，，故A错误. 对于B，因双曲线C两条渐近线互相垂直，则直线MP与直线MQ互相垂直，故其斜率乘积为，为定值.故B正确. 对于C，由B选项分析可知，可知四边形OPMQ为矩形.又设， 则. 因在双曲线上，故，则，故C错误. 对于D选项，由C选项分析可知. 又.故D正确. 故选：BD 3．（24-25高二上·重庆长寿·期末）等轴双曲线的一个焦点是，则双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，设方程为，根据焦点坐标，可求得，即可得答案. 【详解】设等轴双曲线方程为，一个焦点是，则，则. 故双曲线的标准方程是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中画出方程表示的曲线. 【答案】图形见解析 【分析】化简方程得或，再作图即可. 【详解】解：由，得， 得，得或，即或， 如图所示： 【经典例题五 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接，根据直线的斜率有，从而得到，.设，则，根据双曲线定义，在和中，由余弦定理得①.②.两式结合得，计算离心率即可. 【详解】如图，连接，因为直线的斜率为，所以， 结合，所以，. 设，则，因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得①. 在中，由余弦定理得， 即，整理得②. 由①②可得，即，所以的离心率为. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    【答案】 【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出顶点A坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率. 【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴，    令正六边形的边长为2，则， 令所求双曲线为，则，A在双曲线上， 所以，解得，故， 则. 1．（2025·全国·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，是双曲线上两点且满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可以确定A、B两点的大概位置，再结合双曲线的性质，求出和的三边长，利用余弦定理以及a、b、c本身的关系可以求解出a、b的比值关系，从而求出离心率大小． 【详解】设双曲线左焦点为，连接，因为，，所以三点共线，A、B分别在双曲线两支上，且，，根据双曲线的定义可知，，，在和中，由余弦定理可得， ， 又，整理化简可得，所以， 故选：D．    2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图所示，，是双曲线的实轴的顶点，，是虚轴的顶点，，是左、右焦点，在双曲线上且直线过右焦点，并且轴．以下几个选项中说法正确的是（   ）    A．双曲线是黄金双曲线 B．若，则该双曲线是黄金双曲线 C．若，则该双曲线是黄金双曲线 D．若，则该双曲线是黄金双曲线 【答案】ABCD 【分析】对于A:利用离心率公式求出离心率即可判断；对于B: 将整理为，求出离心率即可判断；对于C：由，借助勾股定理化简计算即可；对于D：由易得是等腰直角三角形，同时得到，整理化简即可. 【详解】选项A：由，可知：， 所以， 所以该双曲线是黄金双曲线，故A正确． 选项B：由，可得，两边同除以， 得，从而，该双曲线是黄金双曲线，故B正确． 选项C：，，， 因为，所以， 即，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故C正确． 选项D： 因为直线过右焦点，并且轴， 所以则， 由易得是等腰直角三角形， 所以，即， 从而，由B正确可知该双曲线为黄金双曲线，故D正确． 故选：ABCD. 3．（24-25高三上·山东·开学考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，，则E的离心率为 . 【答案】 【分析】不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为，根据，可得，在中，根据，结合，可得关于的方程，即可求解. 【详解】 如图，不妨设在直线上，且在第一象限，坐标为， 因为，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，即， 整理可得，解得，则， 在中，，所以， 两边平方可得，又， 所以，即， 解得或（舍）. 故答案为：. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】思路一：设直线的倾斜角为，则，将离心率表示成的函数即可；思路二：设，根据条件求出，将离心率表示成的函数即可；思路三：由四边形为矩形，得出，设代入双曲线方程，结合离心率公式得出，再由得出该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】解法1：如图，设直线的倾斜角为，则． 由，可得，结合余弦定理可得，， 利用双曲线的对称性以及双曲线的定义可知， ， 由于，所以． 解法2：设，由，得， 结合三角函数的定义可得，， 利用双曲线的对称性及双曲线的定义，可得， 则双曲线的离心率． 由于直线，，则，所以， 故． 解法三：设直线的倾斜角为，则，所以， 设双曲线的左焦点为，设点在第一象限内，连接， 由根据双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，所以， 则，代入双曲线方程可得， 所以，所以， 解得，由 可得， 所以，所以，即. 【经典例题六 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）若双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由解析式得到双曲线的的值，由离心率建立等式，求得参数的值，然后知道轴长. 【详解】由解析式可知双曲线的，， 所以离心率，所以， 即， 所以虚轴长. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．求的方程． 【答案】 【分析】根据离心率的概念，将点代入双曲线方程，建立方程组，解之即可求解． 【详解】如下图： 由已知可得，所以， 又因为，得①，则，即， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②得，所以， 所以双曲线方程为：． 1．（24-25高二上·山西·期中）若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程和离心率可求得，由双曲线的定义得解. 【详解】由双曲线的离心率为2，可得， 解得，所以， 又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为. 故选：B. 2．（多选题）（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知双曲线的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则（   ） A．渐近线方程为 B．渐近线方程为 C． D． 【答案】BC 【分析】由离心率可求得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离，可得是等边三角形，可求得. 【详解】由题意可得，设，则， 所以圆A的圆心为，半径长为t，双曲线的渐近线方程为，即， 圆心A到渐近线的距离， 所以弦长， 可得是边长为b的等边三角形，即有． 故选：BC. 3．（2023·河南开封·一模）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为 cm． 【答案】 【分析】由已知，根据题意，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出之间的关系，由题意底直径为6cm，所以双曲线过点，下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径. 【详解】 由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 由已知可得，，且， 所以，所以双曲线方程为， 底直径为6cm，所以双曲线过点， 下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得： ，解得： ， 所以喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点A作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件可设方程为，然后根据离心率求出即可得. （2）根据点到直线的距离求出，根据勾股定理得，然后根据面积公式求解即可 【详解】（1）由双曲线过点，可设方程为， 则，得， 双曲线的标准方程为． （2）根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线， 有，， 的面积．    【经典例题七 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例1】（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）设k为实数，已知双曲线的离心率，求k的取值范围． 【答案】. 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】因为表示双曲线的方程，所以有，因此， 因为， 所以由， 即k的取值范围为. 1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线C：的离心率，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用离心率公式计算即可. 【详解】若曲线C：表示双曲线，且， 则双曲线标准方程为，， 则，即. 故选：A. 2．（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·一模）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据双曲线的解析式，确定取值范围，分和两种情况结合双曲线离心率列出方程解得即可. 【详解】因为双曲线方程为，所以有， 解得或；双曲线离心率为 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得； 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得；所以或. 故选：BC 3．（2025·广东·模拟预测）已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为 . 【答案】3 【分析】根据双曲线的几何性质可知则，再根据斜率列出等式求解即可． 【详解】设双曲线焦距为，则， 则. 故答案为：3. 4．（23-24高二上·广西梧州·期中）已知双曲线. (1)若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程； (2)若双曲线的离心率，求实数的取值范围. 【答案】(1)焦点坐标为，；顶点坐标为，；渐近线方程为 (2) 【分析】（1）代入，求出的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案； （2）根据已知求出的值，得出，根据的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，双曲线的方程为， 所以，双曲线的焦点在轴上，且，，， 所以，，，， 所以，双曲线的焦点坐标为，； 顶点坐标为，； 渐近线方程为 （2）由已知可得，，，， 所以，，，， ， 因为， 所以有，即， 整理可得，， 解得. 【经典例题八 已知方程求双曲线的渐近线】 【例1】（24-25高三上·广东·开学考试）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可. 【详解】由，且该双曲线的焦点在纵轴， 所以双曲线的渐近线方程为， 故选：A 【例2】（22-23高二·江苏·假期作业）求双曲线上任意一点M到两条渐近线的距离的乘积，并把结论推广到一般的双曲线. 【答案】答案见解析 【分析】求出渐近线方程，设出点的坐标，利用点到直线距离公式求出距离，两距离相乘可得答案. 【详解】设为双曲线上任意一点， 则，即，渐近线方程为， 即和， ∴点M到直线的距离为， 点M到直线的距离为， 所以， 推广：一般的双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积为， 理由如下： 双曲线的渐近线方程为，取双曲线上任意一点， 则点N到两渐近线方程距离为， 可得点到两渐近线距离乘积为， 又，故， 故. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线的方程和得P点坐标，再由P点在C上求出即可由渐近线的定义得解. 【详解】设，因为，，所以直线的方程为， 又，所以，得， 又点P在直线上，所以，则，所以, 所以，解得，故所求渐近线斜率为.    故选：C 2．（多选题）（2025·江西·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，A，B是E上两点，其中B在E的右支上，l是E的斜率为正的渐近线，P是l上一点．已知，则（   ） A．若A在E的左支上，则A为E的左顶点 B．若，则 C．若轴，则 D．若点A在E的右支上，则 【答案】ACD 【分析】根据，可得A，B均为E的顶点可判断A；根据三点共线，得从左到右三点顺序分别为A，B，有可判断B；当三点共线时恰为2，不妨设，取B关于l的对称点，当三点共线时最小可判断C；利用双曲线定义得可判断D． 【详解】对于A，因为，E的左、右两支的顶点距离也为2，故若A在E的左支上， 则A，B均为E的顶点，故A正确； 对于B，若，则三点共线，考虑A中的情况依然符合题意， 此时从左到右三点顺序分别为A，B，，有，故B错误； 对于C，P是l上一点，若轴，注意到当三点共线时恰为2， 不妨设A在第一象限，则， 取B关于l的对称点，， 则当三点共线时最小， 即，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过点，且与双曲线的左支有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围； (3)记双曲线的左顶点为，右焦点为，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在实数 【分析】（1）由离心率结合双曲线的定义求解双曲线的标准方程即可； （2）结合双曲线的渐进线分析直线与双曲线的交点个数，从而得到斜率的取值范围即可； （3）根据点M的坐标设出和的正切值，结合二倍角的正切函数求解即可. 【详解】（1）由已知双曲线离心率为2，则，得， 所以双曲线方程为，又焦点到渐近线的距离为，可得， ，所以双曲线方程为 （2）由题意知直线斜率显然存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线，得， 当时，，解得：，且， 当时，与双曲线的渐近线方程的斜率一致，双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为， 又因为直线过定点 所以当时，时，直线与双曲线的左支只有一个公共点，成立； 当时，时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，不成立； 当时，直线与双曲线左支有两个交点，不成立； 当时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，成立， 当时，直线与双曲线右支有两个公共点，不成立； 当时，时，直线与双曲线的左支只有一个交点即与左支相切，成立； 当时，时，直线与双曲线的右支只有一个交点即与右支相切，不成立； 综上所述，或时，直线与双曲线的左支有且只有一个公共点； （3）存在，理由如下， ①当点时，，，可求得. ②当点的横坐标不为2时，可设，，， ， ， ， 和都在内，所以 综上可知，存在实数符合题意 【经典例题九 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）著名的原子核物理学之父欧内斯特·卢瑟福在一篇论文中描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点与双曲线中心的距离为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】A 【分析】由题可知双曲线的一条渐近线方程为，再利用过点即可求解. 【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得， 设双曲线的方程为， 将代入计算可得，解得， 所以该粒子路径的顶点与双曲线的中心的距离为． 故选：A. 【例2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程． 【答案】． 【分析】根据题意，由双曲线的定义结合其渐近线方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】    设的中点为M，连接．由，故，即． 在中，，故． 根据双曲线的定义有，即，即，即，即，故双曲线的渐近线方程是，即． 1．（24-25高二上·天津·期末）已知双曲线 （）的渐近线方程为 且双曲线C的右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，即可求出,的值，从而得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 可得，其右焦点为，可得，又， 解得，， 则双曲线的方程为：． 故选：A  ． 2．（多选题）（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知双曲线C的渐近线方程为，焦距为，则满足条件的双曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据双曲线焦点的位置讨论，结合条件即得. 【详解】若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为； 若双曲线C的焦点在轴上，可设方程为， 则，解得，双曲线C方程为. 故选：AD. 3．（24-25高二下·上海黄浦·期中）若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ． 【答案】3 【分析】由题意可得出渐近线的斜率，据此列方程求解即可. 【详解】若双曲线的一条渐近线与直线平行， 故，解得：. 故答案为：3. 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线交于第一象限内的点，若轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求该圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得出，再将点代入方程即可得到结果. （2）由轴被以为直径的圆所截得的弦长为2，求出B点坐标，即可求出半径进而得到圆的方程. 【详解】（1）由点在双曲线上，得① 由渐近线方程，得②， 解①②得，所以双曲线的标准方程为 （2）设的中点为，过作轴，垂足为． 依题意得，即，因为，所以， 所以（为点的横坐标），得， 代入双曲线的方程，得，所以，所以． 所以以为直径的圆的圆心为， 半径， 故所求圆的方程为． 【经典例题十 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入求解即可. 【详解】设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为， ∵所求双曲线过点， ∴代入， 得，即， ∴与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程是， 即. 故选：A. 【例2】（22-23高二上·四川绵阳·期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程； (1)短轴长为，离心率的椭圆； (2)与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，可得出椭圆的标准方程； （2）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】（1）解：由题意可知，解得. 若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为， 若椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为. 综上所述，所求椭圆的标准方程为或. （2）解：设所求双曲线方程为， 将点代入所求双曲线方程得， 所以双曲线方程为，即． 1．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 2．（多选题）（23-24高三上·江西·阶段练习）已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求得双曲线的渐近线方程为，根据选项，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线：的离心率为，可得， 又由，解得，所以双曲线的渐近线方程为， 对于A中，双曲线，可得渐近线方程为，不符合题意； 对于B中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于C中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意； 对于D中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意. 故选：BCD. 3．（23-24高三上·北京西城·期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为 ． 【答案】 【分析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，则设双曲线C的方程为，把点代入，解得λ，即可得出答案． 【详解】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线C的方程为， 又因为双曲线C过点，所以，解得， 所以，所以双曲线C的方程为． 故答案为：． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点在双曲线的图像上． (1)若点为双曲线上一动点，点为直角坐标系内一定点，求中点的轨迹方程； (2)是否存在这样的双曲线，它与双曲线有相同的渐近线，且点到上的动点的最小值为？若存在，请求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)双曲线： 【分析】 （1）先根据点在双曲线上，求出双曲线方程；设点坐标为，根据为中点，可表示出，然后根据点在双曲线上，可得点的轨迹方程. （2）先根据有共同渐近线设双曲线的方程，再设以为圆心，为半径的圆，由双曲线与圆相切，可得双曲线的方程. 【详解】（1）∵在双曲线上，所以， 所以双曲线：. 设，∵为中点，所以点坐标为：， 又在双曲线上，所以，即为点轨迹方程. （2）假设所求双曲线存在， 因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，可设双曲线：. 以为圆心，为半径的圆为：， 联立方程组：，消去得： ，整理得：. 由得：. 所以，所求双曲线的方程为：即. 【经典例题十一 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程】 【例1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆，双曲线，其中.若与的焦距之比为，则的渐近线方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出椭圆与双曲线的焦距以及双曲线的渐近线方程，依题意得到方程，即可得到，即可得解. 【详解】椭圆的焦距为， 双曲线的焦距为，渐近线为， 因为与的焦距之比为，所以，所以， 即，所以，所以双曲线的渐近线为，即. 故选：C. 【例2】（23-24高二上·福建莆田·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若，求双曲线的渐近线方程 【答案】 【解析】设右焦点为，由已知可求得为的中位线，，由勾股定理可求得，进而求得渐近线方程. 【详解】设右焦点为， ∵， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴，， ∵，∴，∵切圆于，∴，∴， ∵，，∴， ∴由勾股定理得， ∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程：. 1．（2025·湖北·模拟预测）已知为坐标原点，为双曲线：的右焦点，，为的左右顶点，M为C上一点，轴，过的直线分别交y轴和线段于H，N两点，直线交y轴于G点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用相似三角形建立关系求得，进而得到，得解. 【详解】如图，设，由，得， 由，可得，即，则， 又，得，即， ，即，解得， ，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理和性质，结合双曲线和渐近线的对称性、双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】由对称性，不妨设，另一个焦点为，连接， 也不妨设l与渐近线垂直，垂足为点A，与交于点B， 因为A是线段FB的中点，且l与垂直， 所以，因此三角形是等腰三角形，因此， 则由对称性可知，，又， 所以有， 因此由对称性可知渐近线的斜率， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）双曲线左右焦点为，在双曲线上存在一点，使且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】延长交另一支于，分别在和中，利用余弦定理和双曲线定义联立求解可得，然后可得渐近线方程. 【详解】延长交另一支于，连接，由于双曲线关于原点成中心对称， 所以为平行四边形，所以，， 设，，在中，由余弦定理得①， 由双曲线定义可得，即②， 由①-②整理可得， 在中由余弦定理得③， 由③-②整理可得， 所以，即，所以渐近线方程为． 故答案为： 4．（23-24高二上·辽宁·期中）已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为. (1)求的渐近线方程； (2)设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线. 【答案】(1) (2)，点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得，从而直接求出双曲线的渐近线方程； （2）设出M，N的坐标，根据两点距离公式及已知可得，再利用向量坐标运算公式得，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹. 【详解】（1）离心率是，离心率是. 由得，所以的渐近线方程是. （2）不妨设在上，在上，则，. 因为，所以， 即， 因为，设，则，故， 化简得点轨迹方程是. 则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆. 【拓展训练一 双曲线的性质及应用】 【例1】（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线：的左焦点为，过的直线交双曲线的左、右两支分别于点，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，求得，将点的坐标代入双曲线的方程，求得，结合，即可求解. 【详解】由题意，双曲线：的左焦点为， 设，可得， 因为，即，可得， 所以， 又由点都在双曲线上，可得，整理得， 又由，可得， 因为，解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法点拨：根据，求得，将点的坐标代入双曲线的方程，求得，结合求解是解答的关键. 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 1．（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得； 【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以． 故选：C 2．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，双曲线上一点P满足PA=2，则PF的长度可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】设，根据点P在双曲线上且PA=2，则可求得的值，从而可求得的值，进而可求得PF的长度． 【详解】设，则，，， 则，得或， 当时，，此时， 当时，，此时． 故选：AB． 3．（23-24高三下·上海浦东新·开学考试）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由向量的运算即可得到，再根据双曲线的性质即可求解. 【详解】解：为的中点， . 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课后作业）与圆类似，连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线（椭圆，双曲线）中心（即对称中心）的弦叫做有心曲线的直径．对圆，由直径所对的圆周角是直角出发，可得：若是圆的直径，是圆上一点（异于），均与坐标轴不平行，则． (1)试根据点和直径的特殊位置，写出椭圆和双曲线的类似结论； (2)对于任意位置满足条件的点和直径，证明（1）中的其中一个结论． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆的左右顶点为，上顶点为，得，进而类比得到一般的结论，双曲线同理可求解即可； （2）是椭圆的一条直径，，设是椭圆上一点（异于），，进而结合椭圆的方程计算即可证明. 【详解】（1）解：对于椭圆，设左右顶点为，上顶点为， 所以，， 所以，一般地，若是椭圆的直径，是椭圆上异于的一点，且均与坐标轴不平行，则； 同理，一般地，若是双曲线的直径，是双曲线上异于的一点，且均与坐标轴不平行，则；同理可证明双曲线的结论． （2）证明：（椭圆）设是椭圆的一条直径，， 设是椭圆上一点（异于），， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以. （双曲线）设是双曲线的一条直径，， 设是双曲线上一点（异于），， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【拓展训练二 双曲线离心率相关问题】 【例1】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知焦点在轴上的双曲线C的渐近线方程是，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线C的渐近线方程得出的值，再根据即可得答案. 【详解】由题意，设双曲线C的方程为． 因为渐近线方程为，依题意，， 所以双曲线C的离心率． 故选：B. 【例2】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．点为双曲线右支上的一点， (1)若点到轴的距离为2，的面积为，求双曲线的标准方程； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积以及离心率计算可得结果； （2）设，结合双曲线定义以及勾股定理计算可求得的长，再由正切值定义计算可得. 【详解】（1）设点，由题意知． 则，解得． 由题意知，所以， 所． 所以双曲线的方程为． （2）设，则由双曲线定义得，则． 由勾股定理得，则． 由题意知，代入上式得， 解得或（舍去）， 所以． 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 2．（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）（多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（　　） A．若，则 B．若的面积为，则 C．若线段的中点在y轴上，则 D．内切圆的圆心到轴的距离为1 【答案】BCD 【分析】由离心率公式和点到直线的距离公式，可得a，b，c，由双曲线的定义可判断A；由焦点三角形的面积公式可判断B；由轴，计算可判断C；由双曲线的定义和内切圆的性质，可判断D． 【详解】渐近线方程为， 由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ， ，所以 或，选项A错； 记，则， 由，可得，即有，所以，选项B对： 因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对； 取点在双曲线的右支上，如图所示， ， 又因为，解得，， 所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对． 故选：BCD． 3．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知双曲线的离心率为，过右焦点的直线交双曲线于两点，当轴时，，则双曲线方程为 . 【答案】 【分析】先求出，进而得到，再结合离心率和关系式求解即可. 【详解】令，则，解得，则，则 则，解得，则双曲线方程为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·江西·期中）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点． (1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围； (2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，求该直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式得出，进而解得实数的取值范围； （2）先得出双曲线的方程，再联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系结合题意可得斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线方程可知，，，，， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围是； （2）由（1）可知，，解得，所以双曲线方程为， 设，，过点的直线方程为， 由，消去整理得， ，， 由，，，解得， 所以该直线斜率的取值范围是． 【拓展训练三 渐近线方程相关求解】 【例1】（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求双曲线方程为，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设所求双曲线方程为，又双曲线过点， ∴，即， ∴双曲线方程为，即， 故选：D． 【例2】（23-24高二·福建·期中）（1）求与双曲线有相同渐近线且过点的双曲线方程； （2）已知双曲线的离心率为，求该双曲线渐近线方程. 【答案】（1）；（2）当双曲线的焦点坐标在轴时，双曲线的渐近线方程为：；当双曲线的焦点坐标在轴时，双曲线的渐近线方程为：. 【解析】（1）由条件设双曲线方程为，将点代入可得答案. (2) 双曲线的离心率为，可得,即，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可. 【详解】解：（1）由题意可设要求的双曲线方程为， 把点代入可得. ∴双曲线方程为：. （2）双曲线的离心率为，可得，可得，所以， 当双曲线的焦点坐标在轴时，双曲线的渐近线方程为：； 当双曲线的焦点坐标在轴时，双曲线的渐近线方程为：. 1．（24-25高三上·北京·开学考试）若双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线离心率公式可得，结合双曲线渐近线方程求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为； 故选：C 2．（多选题）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（    ） A．C的焦点在y轴上 B．C的方程为 C．C的焦点到其渐近线的距离为 D．直线与C有两个公共点 【答案】BC 【分析】根据点在直线下方即可判断A选项，根据渐近线方程和C过点求出和即可判断B选项，求出的焦点到其渐近线的距离即可判断C选项，根据直线与渐近线平行即可判断D选项. 【详解】点在直线下方， 的焦点在x轴上，A选项错误； ，解得， ，的方程为，选项正确； 的焦点到其渐近线的距离为，选项正确； 直线与渐近线平行， 直线与C有一个公共点，选项错误． 故选： 3．（23-24高二下·浙江温州·阶段练习）双曲线，设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ． 【答案】， 【分析】所有与共渐近线的双曲线可表示为：，代入点，即得解 【详解】由题意，双曲线与共渐近线， 所有与共渐近线的双曲线可表示为： 由于过点，代入得到 ，即 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这篇文章中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样．事实上，有极小部分粒子从金箔上反弹．如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径．    (1)结合图象，求出该双曲线的渐近线方程． (2)如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm，试求出该粒子路径的模型． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角求解； （2）根据（1）及定点到中心距离为求解. 【详解】（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为，故一条渐近线斜率， 由渐进线的对称性知，双曲线的两条渐近线方程为. （2）由图知，双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm，所以， 又由(1)知，，所以， 所以该粒子路径模型为.      1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 2．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点为关于渐近线的对称点，若在双曲线上且，且的面积为16，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意合理作图，依据的面积和中位线定理建立方程，求解即可. 【详解】    如图，设，，令一条渐近线为，即， 且渐近线与交于点，故，而，可得， 由已知得点为关于渐近线的对称点，则， 故是的中点，而是的中点，故是的中位线， ，而，故， 故，已知的面积为16，得， 结合，解得，，， 则C的方程为，故D正确. 故选：D 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶距离水面6米，水面宽米，若水面下降6米，则水面宽(    ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系，求出双曲线方程，数形结合即可求解. 【详解】如图所示，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在对称轴为y轴建立直角坐标系， 设双曲线标准方程为：(a＞0)， 则顶点，， 将A点代入双曲线方程得，， 当水面下降6米后，， 代入双曲线方程得，， ∴水面宽：米. 故选：B. 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为：，得，由进行求解． 【详解】由两直线垂直可得双曲线C的一条渐近线的斜率， 设焦点在x轴上的双曲线C的方程为， 则它的渐近线方程为，结合题意得到， 故C的离心率． 故选：A 5．（23-24高三上·云南·阶段练习）双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程. 【详解】由题知，， 又，则的横坐标为， 根据对称性不妨设在轴上方， 由，解得，则， 于是，故， 即，，化简可得， 于是，即， 故渐近线方程为：. 故选：B 6．（多选题）（22-23高二上·湖南永州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点作直线与双曲线的右支交于，两点，若，则（    ） A． B．点的横坐标为 C．直线的斜率 D．的内切圆的面积 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用直角三角形即内切圆的性质求出内切圆的半径，即可判断D 【详解】由双曲线：可得， 如图所示，由题意知，解得，故A正确； 在中，由等面积法知，解得， 代入双曲线方程得，又因为点在双曲线的右支上，故，故B正确； 由图知当点在第一象限，， 由对称性可知，若点在第四象限，则，故C不正确； 设的内切圆为，圆切于，连接 易得，， 四边形是正方形， 故的内切圆半径， 对应面积为，故D正确． 故选：ABD 7．（多选题）（24-25高二下·云南·阶段练习）双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】根据题干求出焦距， 再由得点E为三角形OMN的重心，从而有，得，再结合可求出a,b的值，进而可求得渐近线方程、离心率、三角形OMN的面积. 【详解】如图：    设双曲线的焦距为，与轴交于点， 由题可知，则，由， 得点为的重心，可得， 即，，得，得，， 对于A：双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：， 故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：联立方程,解得, 故M，N的坐标为， 所以．故D正确； 故选：ABD． 8．（多选题）（22-23高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作交于，则可得，，，过作轴交于，求出将点的坐标代入双曲线的方程化简即可得到答案. 【详解】作交于，则可得，，， 过作轴交于，则，所以， 即，整理可得， 由双曲线的定义可得， 又因为，所以，解得， 可得，可得①， 而在双曲线上，所以，② ②联立可得， 将点的坐标代入双曲线的方程可得：，即， 由，整理可得，解得，所以， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：AB. 9．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】ABD 【分析】先解出方程的根得到离心率，然后分情况讨论是椭圆还是双曲线，根据公式即可求得结果. 【详解】对于方程，可求得根为， 当圆锥曲线为椭圆时，即且，离心率， 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 若，则， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 当圆锥曲线为双曲线时，即，离心率， 此时， 此时离心率， 当时，，两边平方可得，解得； 综上实数的值可能是或或， 故选：ABD. 10．（多选题）（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知双曲线的离心率为，将上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为双曲线的一个焦点 C． D．的虚轴长为 【答案】AB 【分析】由曲线关于两条直线都对称，得双曲线的对称轴，由双曲线与轴是否相等确定实轴与虚轴，此时得出旋转角度，可判断C，然后由双曲线的性质求解判断ABD：双曲线与实轴的交点是顶点，顶点到中心的距离是实半轴长，由离心率再求得半焦距，从而可得焦点坐标，由求得后可得虚轴长． 【详解】的两条对称轴为，而与曲线没有交点，为曲线实轴所在直线，所以，选项C不正确； 和联立可得，，所以，选项A正确； 因为离心率为，所以，为一个焦点，B正确； ，虚轴长为，D不正确. 故选：AB． 11．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法1，变形给定方程，令并用表示，再利用基本不等式求出最小值；法2，令，与双曲线方程联立，利用方程组有解，借助判别式列式求解. 【详解】解法1：由，得， 令，则，，，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 解法2：设，依题意，方程组有实数解， 即关于的一元二次方程有实根， 因此，解得， 所以的最小值为. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 13．（2022高二·全国·专题练习）与双曲线具有相同渐近线，且两顶点间的距离为2的双曲线方程为 ． 【答案】或 【分析】先设与具有相同渐近线的双曲线方程为，再讨论和，结合两顶点间的距离为2求出值，即可求出双曲线的方程. 【详解】设与具有相同渐近线的双曲线方程为， 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 当时，双曲线的方程为， 又因为两顶点间的距离为2，所以， 即，所以双曲线的方程为； 综上所述，双曲线的方程为或. 故答案为：或. 14．（江西省南昌市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．    【答案】/ 【分析】求出过右焦点垂直于渐近线的直线方程为，与垂直的渐近线联立得到点的坐标，再根据得到点的坐标，利用点在另一条渐近线上得到，进而求出离心率. 【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 又直线过点，可得直线的方程为， 联立直线与直线的方程， 解得，则，所以点的坐标为. 在直线的方程中，令，可得， 所以点的坐标为. 因为，所以为的中点， 设点的坐标为， 可得，解得. 因为点在另一条渐近线上， 所以将代入可得：. 化简可得，即， 又因为，所以，则. 所以. 故答案为：. 15．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】联立渐近线与圆的方程求解出点坐标，然后根据中点关系求解出的坐标，将的坐标代入双曲线可求得关系式，由此可求渐近线方程. 【详解】设，圆的方程为， 由可得， 又因为，且为中点，所以为中点， 所以，可得， 将代入双曲线方程可得， 化简可得，所以，即， 所以渐近线方程为， 故答案为：. 16．（23-24高三上·广东·阶段练习）记双曲线的左、右焦点分别为，其上一点满足. (1)求的渐近线方程； (2)记的右顶点为，射线上两点，满足. （i）若点的横坐标为，求点的坐标（用表示）； （ii）已知点在圆上，若的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由双曲线的定义及题中条件可求出的值，从而求得的渐近线方程； （2）（i）由题意可得，由点斜式确定的方程，设的横坐标为，再根据两点之间的距离公式和题中条件，求得，从而可得点的坐标为； （ii）首先根据双曲线的方程求出，再根据（i）中结论及，确定，又圆的圆心为，半径为，将的取值范围转化为定点到圆上一动点的距离问题即可求解. 【详解】（1）由双曲线的定义知，，可得， 将点代入双曲线，则，故， 因此可得的方程为：， 则的渐近线方程为. （2）（i）显然，而，故的斜率， 因此可得的方程为， 故，设的横坐标为， 则，于是， 故， 于是点的坐标为. （ii）沿用（i）的结论，记的半焦距为，则， 故，，则，由已知， 故，解得，故， 由（1），所以圆的方程为，圆心为，半径为， 于是，且， 故的取值范围为. 17．（2025高三下·全国·专题练习）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.求双曲线C的离心率. 【答案】 【分析】由题，点在以为直径的圆周上，结合三角函数的定义，求得，结合角的关系和直线的斜率公式可得，结合离心率公式计算求解. 【详解】由，则点在以为直径的圆周上，得， 不妨假设p在y轴右侧，设渐近线的倾斜角为，则， 那么由三角函数的定义，可设） 注意，且，故，则， 故x轴，即.如图，    因为即， 所以，故， 所以， 所以，所以. 18．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求； (3)求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知列关于的方程组，求解与的值，则双曲线的方程可求； （2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解； （3）对于不为0的实数，共渐近线的双曲线方程为，将点代入即可解答. 【详解】（1）由已知可得可得：，， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的右焦点为，由点斜式得直线的方程为， 由消去得：， 设，，显然， 所以，， 所以 （3）设所求双曲线的标准方程为， 将代入可得， 所以该双曲线的标准方程为. 19．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【分析】解法一、由焦半径公式，代入计算可得，再根据即可求解；解法二、根据双曲线第二定义，又可解，再利用即可求解. 【详解】解法一：设，则，. . ，. . . ， 为所求. 解法二：由已知及双曲线第二定义，有， .① 又据双曲线第一定义知.② 联立①②得，. 由平面几何知识可知， ，即. ， 为所求. 20．（上海市宝山区2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率. (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由，得到，结合，求得，即可求得双曲线的方程； （2）设，由点为第一象限，其中，根据为等腰三角形，分或或，三种情况讨论，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率， 可得，所以且， 又因为，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）解：由（1）知，双曲线的方程为，可得， 设，因为点为第一象限，其中， 又因为为等腰三角形，可得或或， 若，则在线段的中垂线上，则（舍去）； 若，则，所以， 联立方程组，其中，解得，所以点； 若，同理可得，其中， 解得，所以点， 综上可得，点或. 学科网（北京）股份有限公司 $