专题2.2 椭圆的简单几何性质重难点题型专训（1个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题2.2 椭圆的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型二 椭圆的对称性 题型三 求椭圆的顶点坐标 题型四 求椭圆的长轴、短轴 题型五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型六 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 题型七 根据离心率求椭圆的标准方程 题型八 由椭圆的离心率求参数的取值范围 拓展训练一 椭圆的性质及应用 拓展训练二 椭圆离心率相关问题 知识点一：椭圆的简单性质 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即坐标轴是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于原点对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【知识剖析】 细解椭圆的范围和顶点 1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.在画椭圆时,常利用椭圆上的点的横、纵坐标的取值范围先画出矩形，然后在矩形内画出椭圆的草图. 3.椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. 4.已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. 【即时训练】 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，进而椭圆焦点所在轴求解即可得答案. 【详解】解：因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3 所以，即， 所以， 因为椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆的标准方程是. 故选：A 2．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】先根据直线过椭圆的顶点求出的值，在结合椭圆的性质与离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意知，直线与坐标轴的交点坐标为. 因为椭圆，即. 所以，可知. 所以，所以. 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 【经典例题一 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据题意，可设，得到，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由椭圆，可设，其中， 则，其中， 因为，所以， 即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意. 故选：A. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求椭圆上的点到直线的最短距离． 【答案】 【分析】由题设，根据点到直线的距离公式及三角恒等变形可得最值. 【详解】由题知，设椭圆上一点， 则点到直线的距离 ，其中， 所以当，即时，， 所以最短距离为. 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆性质要使题设条件成立只需在椭圆左右顶点时，此时应用余弦定理可得，进而求m的范围. 【详解】由椭圆的性质知：当在椭圆左右顶点时最大， ∴椭圆上存在一点使，只需在椭圆左右顶点时， 此时，，即，又， ∴，解得，又， ∴. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、、，设过点分别与直线、平行的直线为、，作出图形，分析可知四边形为平行四边形，可得出，利用两点间的距离公式结合椭圆的有界性可求得的最小值. 【详解】设过点分别与直线、平行的直线为、，如图： 设、、，则，， 显然四边形为平行四边形，故的中点与的中点重合， 则，即， 又因为椭圆上任意一点，所以，即， 即， 而，所以当时，. 故选：A. 3．（2024·河南漯河·三模）已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 ．（用表示） 【答案】 【分析】由垂直平分线性质和点在椭圆上可得且，结合椭圆的有界性有，即可求参数范围. 【详解】设的坐标分别为和． 因线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即． 又交点为，故，即① 由在椭圆上，则 将上式代入①，得② ，得， 且， ， . 故答案为： 4．（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用已知点建立方程组求解即得. （2）设，且，利用两点间距离公式可得，再利用椭圆上的点坐标的范围即可求得. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意设，且， 由，得， 则(*)， 因，， 则， 代入(*)式，可得：， 化简得， 因，得， 即得， 故实数的取值范围是. 【经典例题二 椭圆的对称性】 【例1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知分别为椭圆的左､右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由已知得出点位置，根据已知在中求解，即可得出答案. 【详解】 由已知是等腰三角形结合椭圆的对称性可知，为的上或下顶点，且，所以. 不妨设为的上顶点，则， 所以. 故选：C. 【例2】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆方向，再利用椭圆的范围推理得证. （2）利用椭圆的定义及性质求出周长的表达式，再由（1）的结论求出最小值. 【详解】（1）依题意，，，则椭圆方程为， 由点P在椭圆上，得点P的坐标满足，即，其中， 则，由，得， 所以． （2）依题意，四边形是平行四边形， 则的周长， 又设，则， 由（1）得，当，即点P落到椭圆的上下顶点时，取得最小值1， 所以的周长最小值为6. 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】椭圆的长半轴长，半焦距， 由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称， 则四边形为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则， 而，所以. 故选：D 2．（22-23高三·全国·对口高考）椭圆与直线相交于A，B两点，C，D两点在椭圆上，如果四边形为平行四边形，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和平行四边形的对称性，可知直线和直线关于原点对称，则可求出直线的方程. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以， 设直线的方程为，依题意可知直线和直线关于原点对称， 则原点到直线和到直线的距离相等， 所以，解得（舍去）， 所以直线的方程为. 故选：B.    3．（22-23高二下·四川德阳·期末）已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为 ． 【答案】1 【分析】利用椭圆的对称性和条件，得出四边形为矩形，设设，根据条件建立方程得到，再利用等面积法即可求出结果. 【详解】因为椭圆，所以， 连接，由椭圆的对称性知，， 又，所以四边形为矩形， 设，则，得到， 设的内切圆半径为，则， 得到，解得.    故答案为：1. 4．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件列出方程组，求解、、，进而得到椭圆的标准方程； （2）利用圆和椭圆的对称性，结合向量垂直的性质求出交点坐标，再根据直线垂直的关系确定圆心坐标和半径，从而判断圆是否存在并求出圆的方程. 【详解】（1），即. 将代入，得，代入， 化简得，解得，（负值舍去），所以， 故椭圆的标准方程为. （2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，，是两个交点，且，. 由圆和椭圆的对称性可知，，，. 由（1）知，，所以，. 因为，则，即，可得. 又因为点在椭圆上，所以，联立可得. 整理得，解得或. 当时，，重合，此时题设要求的圆不存在. 当时，. 过，分别与，垂直的直线的交点即为圆，设. 因为，即，解得. 则圆的半径. 所以圆的方程为. 【经典例题三 求椭圆的顶点坐标】 【例1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B， 所以，， 所以． 故选：D 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）已知椭圆，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，则，写出直线和直线的方程，利用消去和即可得到结果. 【详解】由椭圆方程可知：，则，， 设，则，则， 当时，则有： 直线的方程为：，直线的方程为：， 可得， 又因为，所以，即， 当时，也符合上式， 所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是. 1．（2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程． 【详解】 由题意，设椭圆方程为，左焦点为，则，， 因为， 所以，故， 所以 ， 解得，， 又，， 解得，，故椭圆方程为. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分椭圆焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，已知椭圆过点，故， 因为长轴长是短轴长的2倍，所以，即， 所以椭圆的方程为． 综上所述，椭圆的方程为或． 故选：BC． 3．（22-23高二下·陕西安康·开学考试）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】 设出圆心与半径，根据过椭圆的上顶点、左右顶点，由半径相等列方程求解. 【详解】 由及圆心位置知：圆经过椭圆的上顶点坐标为，左右顶点坐标为， 设圆的圆心，半径为，则，解得，， 故圆的方程为. 故答案为：. 4．（2024高二·全国·专题练习）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个？ 【答案】满足条件的三角形至少有12个，最多有个 【分析】根据题意，作图，利用分类讨论思想，选定两个顶点连线之后，分其连线为底或腰进行找等腰三角形，为底时利用垂直平分线的性质，为腰时利用圆的性质，结合椭圆的对称性，可得答案. 【详解】不妨设， 如图1，连接， 当为等腰三角形的底时，作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接，则为等腰三角形，满足题意， 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 如图2，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆，    则圆的方程为， 联立，消得， 解得或， 当时，，则交点有， 当，即时， 则圆与椭圆相交于点，连接， 其中满足要求，三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； 当，即时， 则圆与椭圆相交于点三点， 当，即时，则圆与椭圆相交于点两点， 综上，当为等腰三角形的腰时，符合题意的三角形的个数可能是个或个； 如图3，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，    连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个， 如图4，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点， 连接，此时为等腰三角形，满足题意，共有2个，    由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦，所以不能作为等腰三角形的腰， 而作为底时，刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 综上所述，满足要求的等腰三角形个数为或， 所以满足条件的三角形至少有12个，最多有个， 【点睛】方法点睛：两圆一线，是平面几何中等腰三角形存在性问题的通用解法，这里以椭圆为背景进行考察，基本思路没有变化，但要注意两圆一线所得到的等腰三角形有不满足要求的，要舍去. 【经典例题四 求椭圆的长轴、短轴】 【例1】（24-25高二上·广东·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A．1 B．6 C．3或6 D．2或4 【答案】B 【分析】讨论焦点的位置，再利用椭圆定义可得答案. 【详解】因为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得（舍去）； 若椭圆的焦点在轴上，则，则由得，故椭圆的长轴长为6． 故选：B． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为，求椭圆的方程. 【答案】 【详解】由题意得，据此可求得椭圆方程. 【分析】由题知，，，， 由的面积为，得，    又，代入可得，， 所以椭圆的方程为. 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的性质，根据，，可得，，求解，然后推出椭圆的长轴长． 【详解】 椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 于，，， 可得，，， 解得， 所以所求椭圆的长轴长为， 故选：A． 2．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由椭圆方程得出其长轴与短轴长，再由已知可得参数值． 【详解】由已知椭圆标准方程是， 若，则由已知得，， 若，则，， 故选：BC． 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴方程为 【答案】 【分析】由题知椭圆关于原点对称，则长轴过原点，长半轴长为椭圆上的点到原点的最大距离，令，整理得，根据判别式求出的最大值，从而得到及长轴方程. 【详解】因为， 所以椭圆关于原点对称，则长轴过原点，长半轴长为椭圆上的点到原点的最大距离， 令， 即，，解得， 易知，所以， ，此时， 所以长轴方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆，其左、右焦点分别为，，离心率，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，求该椭圆的长轴长． 【答案】 【分析】借助焦点三角形面积公式与内切圆性质，结合椭圆定义计算即可得. 【详解】由，故，由，故， 又的内切圆的面积为，故有，即， 由内切圆性质可得， 即有，由， 化简可得，又，故， 即该椭圆的长轴长为.    【经典例题五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由题得出的半焦距为2，短半轴长为2，进而得出长半轴长为，再根据离心率公式得出，即可求解． 【详解】由的方程可得的半焦距为，短半轴长为2， 故由题意可得的半焦距为2，短半轴长为2， 所以的长半轴长为， 所以，则， 故选：C． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 【答案】 【分析】由直线和的方程求点的横坐标，根据点在直线上，得到关于a，c齐次式，再求椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，点的坐标分别为，，， 所以直线的方程为，直线的方程为. 由和，消除，得，即为点的横坐标. 因为点在直线上，所以. 整理得，所以， 所以离心率. 1．（24-25高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（   ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【分析】由离心率相同及已知得到、即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得，进而判断D. 【详解】选项A：因为离心率相同，所以，即，且， 所以，所以，故A错误； 选项B： 因为，所以， 由选项A解析 ，可得，即， 所以，故B正确； 选项C：由题意可得满足椭圆方程， 又因为，所以，所以，所以，故C正确； 选项D：因为，所以，. 设，由椭圆对称性知关于x轴对称，所以, 所以直线斜率，直线斜率， 所以， 所以，故D正确． 故选：BCD． 3．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 【答案】 【分析】设过右焦点的直线方程为，，联立椭圆方程，结合题意可得，进而计算求解即可. 【详解】过右焦点斜率为0的直线不符合题意，设过右焦点的直线方程为，， 已知， 联立，得， 即． 因为， 即， 即， 所以， 可得，从而， 即，即， 所以，解得． 故，所以离心率的取值范围为． 【经典例题六 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 【例1】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知点是椭圆的两个焦点，若椭圆的离心率的取值范围是，则以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．不确定 【答案】C 【分析】利用离心率的定义结合圆与椭圆的对称性判定即可. 【详解】因为椭圆的离心率越大，椭圆越扁平， 当时，，此时以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为2个，即椭圆的上下顶点， 因为椭圆离心率，即椭圆变扁平，所以此时以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为4个. 故选：C 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）扁平程度是椭圆的重要形状特征．观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 【答案】答案见解析 【详解】利用离心率来刻画椭圆的扁平程度．如图所示， 在中，，记，则， 越大，越小，椭圆越扁平； 越小，越大，椭圆越接近于圆． 1．（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 2．（多选题）（22-23高二上·江西抚州·期中）天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆，如图所示，记两个行星的运行轨道分别为椭圆，，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短 B．椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍短 C．椭圆的离心率大于椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比 【答案】AD 【分析】由图可直接判断长轴长与短轴长关系；由偏离圆心程度可判断离心率关系、短轴长与长轴长之比. 【详解】由图可知，椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短，故A项正确； 椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍长，故B项错误； 椭圆更接近圆，故椭圆的离心率小于椭圆的离心率，当时，，，则椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比，故选项C错误，D项正确. 故选：AD. 3．（23-24高二上·湖北随州·期末）若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论： ①和一定有交点； ②若，则； ③若，则； ④设与在第一象限内相交于点，若，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④ 【解析】通过时的图像可知和没有交点，根据两椭圆相同，结合，得到，根据分析法得到所需条件与矛盾，根据椭圆对称性，结合得到两椭圆之间离心率的关系，从而得到. 【详解】对于结论①，当时，椭圆的图像完全在椭圆的内部， 此时和没有交点，所以①错误； 对于结论②，因为两椭圆的焦距相等，即相等，可得， 因为，所以得到 由可得， 所以得到， 所以得到，所以②正确； 对于结论③，由可得， 即，即， 从而得到，与条件中的矛盾， 所以③错误； 对于结论④，因为两椭圆的相同，若两椭圆的离心率相同， 则根据对称性可知，两椭圆在第一象限的交点，其横纵坐标应相等， 而此时与在第一象限内相交于点，， 则椭圆更接近圆，或椭圆更扁，即， 所以，得到， 所以④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查焦距相等的椭圆间的关系，椭圆的几何性质，根据椭圆的形状判断离心率的大小，考查了化归与转化的思想，属于中档题. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与． 【答案】（1）更接近于圆；（2） 更接近于圆. 【分析】探究可得离心率越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率， 所以越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. （1）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆； （2）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率， 因为，所以椭圆更接近于圆. 【经典例题七 根据离心率求椭圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，由离心率得到方程，求出答案. 【详解】由题意知或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上：或 故选：C 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据焦距得到，再根据离心率得到，则得到标准方程； （2）根据短轴长求出，再分两种情况写出椭圆方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意知，，， ， ，从而， 椭圆的标准方程是． （2）设椭圆的标准方程为或， 由得， 又，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为或． 1．（24-25高二上·山东威海·期中）椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率为求得椭圆方程为，设，利用切线长公式求解. 【详解】    由题知，解得，， 所以椭圆， 设，，， 设的圆心为，半径为，则，， 因为与圆相切， 所以 ， 当时，. 故选：C. 2．（多选题）（23-24高三上·湖北·阶段练习）在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（   ） A． B． C．大于 D． 【答案】ACD 【分析】结合离心率为黄金分割比例的性质即可求解. 【详解】因为，则， 所以，即， 所以，，. 因为，所以，即大于. 故选：ACD 3．（2023·陕西渭南·模拟预测）设椭圆，的离心率分别为．若，则 ． 【答案】/ 【分析】分别根据，椭圆的方程得出，.进而得出，列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】对于椭圆，由方程可得，， 所以，， 所以，. 对于椭圆，由方程可得，，， 所以，，，， 所以，. 又， 所以，，， 即， 整理可得，解得. 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． (1)求的标准方程； (2)求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）. 【答案】(1) (2)；“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 【分析】（1）先根据条件求出椭圆的方程，再根据相似比即可求出的标准方程； （2）结合（1）即可求出离心率. 【详解】（1）设椭圆的焦半距为，椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半距分别为， 则由题意得，，，，解得， 设椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 因，且相似比为，则， 即，得， 则的标准方程为. （2）由（1）可知的离心率为，则与C的离心率相等， 结论：“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 证明：椭圆：， 设椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 椭圆的上下顶点分别为，左右焦点分别为， 因，设相似比为，则， 即，得， 则的离心率为，即“相似三角形关联椭圆”的离心率相等. 【经典例题八 由椭圆的离心率求参数的取值范围】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】B 【分析】由离心率的定义即可求解. 【详解】由题意可知：， 所以， 解得：， 故选：B 【例2】（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）把点代入椭圆方程，可得，由，可求b的取值范围； （2）由离心率和（1）中结论，求得椭圆方程，分类讨论直线的位置，联立方程组，利用弦长公式结合不等式的性质求的最大值. 【详解】（1）∵在椭圆，∴，有，所以， 又∵，所以，∵，∴； （2）由（1）可知，又， 所以，椭圆. 因为直线与相切，故. 若直线的斜率不存在，不妨设直线为：，代入椭圆方程可得此时线段. 若直线的斜率存在，可设直线的方程为：. 由直线与相切，故，可得：. 联立得，所以， 线段. 又因为，所以. 当且仅当，故当时，的最大值为2. 综上所述：当时，线段的最大值2. 1．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，由椭圆的定义求得，结合，整理得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，点P是椭圆上位于y轴右侧的一点，可得， 设，则， 由椭圆的定义可知，因此， 又因为是右焦点，所以，即，整理得， 所以，解得， 即. 故选：D.          2．（多选题）（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆的离心率，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AD 【分析】讨论椭圆的焦点位置，确定，根据离心率求得m的值，可得答案. 【详解】当椭圆的焦点坐标在x轴上时， ， 由可得：，解得； 当椭圆的焦点坐标在y轴上时，， 可得：，解得， 综上可知m的值为3或， 故选：AD 3．（23-24高二下·全国·期末）已知椭圆G：（）的左、右焦点分别，，离心率，点M是椭圆G上任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，根据椭圆的定义可得，再结合与不等式的性质求解即可. 【详解】设，，则由椭圆定义可知，， ∴．由椭圆性质可知， ∴，∴， ∴， 即，即． 故答案为： 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知椭圆C的方程为； （1）求k的取值范围；          （2）若椭圆C的离心率，求的值． 【答案】（1）k∈（1，5）∪（5，9）（2）2或8 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的方程的定义得到解出这个不等式即可；（2）要分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况，结合求解即可． 解析： （1）∵方程表示椭圆， 则 （2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a= ，b= ∴c= ②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=． ∴c= ∴k=8； ∴k的值为2或8． 【拓展训练一 椭圆的性质及应用】 【例1】（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】根据题意，曲线， 则曲线M上的点到点和距离之和为， 根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆， 其中，则，所以曲线M的方程为， 设点满足且，可得， 圆的圆心为，半径为1， 则， 又函数在单调递减，所以， 所以的最小值是. 故选：C 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点是椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，求的最值. 【答案】（1）;（2）最小值为；最大值为. 【分析】（1）选①：由点在椭圆上并代入椭圆方程求出椭圆参数，进而写出椭圆方程；选②：由圆的性质知：△为等腰三角形，结合可得，根据椭圆的定义写出椭圆方程. （2）令，应用两点距离公式及点在椭圆上构造关于m或n的二次函数，利用二次函数的性质及椭圆的有界性，即可求的最值. 【详解】（1）选①：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且， ∴，又，即， ∴，则， ∵， ∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4， ∴的轨迹方程为. （2）令，而， ∴，而，即， ∴，而， ∴在上递增，， ∴，即最小值为，最大值为. 1．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化的周长，即可求解. 【详解】设的另一个焦点为，根据椭圆的对称性知， 所以的周长为， 当线段为椭圆短轴时，有最小值6，所以的周长的最小值为14. 故选：B 2．（多选题）（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线被椭圆截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的对称性可以直接得到答案. 【详解】由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C中的直线与直线或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等. 而由直线的位置关系及椭圆图形知B、D不满足题意 故选：AC 3．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用椭圆的性质得到的范围，再利用椭圆的定义将转化为关于的二次函数，从而得解. 【详解】由题意知，，所以， 设，则，即， 由，得， 故， 所以当时，取得最大值9， 当或时，取得最小值5， 故的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，点，知的值，再由得，即可得到椭圆方程； （2）在中，结合椭圆的定义及余弦定理可得，进而求得的面积. （3）设，表示的坐标，根据椭圆的有界性即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题设得到，且，即，∴, 故椭圆方程为：. （2）∵为椭圆上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积. （3）设，则，所以，. 因为， ， . ∵，∴. 所以的取值范围是.    【拓展训练二 椭圆离心率相关问题】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形性质把用表示后，利用椭圆的定义得出的关系式，整理后可求得离心率. 【详解】由题意，在等腰中，，底边上的高为， 所以． 又由椭圆的定义可知，，因此， 可得，即，所以或（舍去）， 故选：C． 【例2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得的值，由离心率可得的值，进而可求出的值，可得椭圆方程； （2）联立，由题意可得为中位线，进而可得，在直角三角形中，可得为上顶点或下顶点，可得直线的斜率. 【详解】（1）由题意可得，又，可得， 所以， 所以椭圆C的方程为：. （2）连接，由O为的中点，而D为的中点，所以OD为中位线，即， 即，设，可得， 在中，，所以， 整理可得，可得， 所以可得A为上顶点或下顶点， 所以直线AB斜率为或，即或． 所以k的值为． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为是上一点，且线段的中点在轴上，（为坐标原点），则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合椭圆的定义可得，求出得解. 【详解】由在轴上，得，而是线段的中点，是线段的中点， 则，，， 解得，由离心率为，得半焦距，， 由，得，所以. 故选：A 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（多选）若椭圆的离心率为，则m的值可以为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】AD 【分析】分类讨论椭圆的焦点位置计算即可. 【详解】将原方程化为标准方程，则有且． 当，即时，则，满足要求； 当，即时，则，也满足要求. 综上m的值可以为或4， 故选：AD． 3．（23-24高三上·四川成都·期末）已知椭圆的离心率为，则 . 【答案】或 【分析】借助椭圆的性质计算即可得. 【详解】当，所以，解得. 当，所以，解得. 故答案为：或. 4．（22-23高二上·江苏徐州·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且与轴垂直，直线与椭圆的另一个交点为． (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求椭圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求点的坐标，再利用，建立等量关系，即可求解离心率； （2）首先利用中位线的关系，求点的纵坐标，再根据比例关系求点的坐标，代入椭圆方程，联立即可求解. 【详解】（1）记，则， 由，得，， 如图，因为,所以点在点的上方，即， 则 ； ，或（舍去） （2）   记直线与轴的交点为，则①， 轴，垂足为点， 由比例关系可知，, 将的坐标代入椭圆方程得② 由①②及得，所以椭圆的方程为． 1．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，分别是椭圆：的左、右两个焦点，求得m的范围，当点位于短轴端点时，取最大值，要使上存在点满足，则的最大值大于或等于，从而可得答案. 【详解】解：由，分别是椭圆：的左、右两个焦点， 则，当点位于短轴端点时，取最大值， 要使上存在点满足，则的最大值大于或等于， 即点位于短轴端点时，大于或等于， 则，解得． 故选：A. 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，且离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义和离心率列方程化简可求. 【详解】设椭圆的左焦点为，    因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形， 所以， 在中，， 根据椭圆定义可知：， 所以， 所以， 因为离心率为，所以， 所以，即. 故选：A． 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】先求出，由可得，，进而得到直线的方程为，，可求得，再建立方程可求得，可得，进而结合椭圆定义求解即可. 【详解】由题意，，则， 所以直线的方程为， 联立，解得或，即， 则，， 由，则，则， 则，即， 则，整理得，即， 又，则，即， 则，， 则直线的方程为，而椭圆， 联立，解得或，即， 则，解得，则， 所以的周长为. 故选：B. 4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆上存在点，使得曲线关于点对称.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的几何性质可得，由函数图象的平移可得，即可将代入椭圆得，即可根据不等式求解. 【详解】因为椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，所以,整理得. 因为，所以其图象由奇函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，所以关于点对称，故. 将代入椭圆的方程，得. 两边同时乘并整理，得， 所以椭圆的长轴长.又，所以， 所以，所以. 所以椭圆的长轴长的取值范围是. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，代入椭圆方程可得，进而求得点的坐标为，由题设建立方程可得，进而求解即可. 【详解】设点的坐标为，有，得， 点的坐标为，点的坐标为，则直线的斜率为， 可得直线的方程为，代入， 可求得点的坐标为， 而直线的斜率为，直线的斜率为， 有， 可得，即，则，即， 则. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高二上·广东东莞·期中）神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船，神舟十七号也于2023年10月26日成功发射，神舟飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G，若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．的周长为 D．面积的最小值是4 【答案】BC 【分析】根据圆过椭圆的焦点和短轴与半圆的直径重合可得b，c，然后可得a，即可判断A；根据椭圆性质可知，然后可得范围，可判断B；利用椭圆定义可求的周长，可判断C；由，可得，根据椭圆和圆的性质，结合图形可得面积的最大值，可判断D. 【详解】因为半圆所在的圆过椭圆的焦点， 所以椭圆半焦距，圆的半径， 又椭圆的短轴与半圆的直径重合，所以椭圆短半轴， 所以，椭圆的长轴长，A错误； 因为，，所以，B正确； 由题知，为椭圆的下焦点，所以， 又，所以的周长为，C正确； 设，则， 由图可知，当直线l与x轴重合时，有最大值4，D错误. 故选：BC 7．（多选题）（24-25高一上·江西·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的直线方程是 C．直线的斜率为 D．的周长是8 【答案】ACD 【分析】根据离心率可得，即得为等边三角形，根据等边三角形的性质和点斜式方程可判断B，结合椭圆焦点三角形可判断D，根据点差法可判断C. 【详解】由于，故A正确， 由于，故为等边三角形，故, 因此，, 因此直线的直线方程为，即，B错误, ,则， 故, ,故，故C正确， 对于D, 为等边三角形，且,故是的垂直平分线， 故，故D正确， 故选：ACD    9．（多选题）（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据椭圆的性质判断焦点位置，再结合椭圆离心率公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】因为，则恒成立， 所以由C的离心率为，得，解得或． 故选：BD 10．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 11．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则 ． 【答案】 【分析】求出的坐标，利用两点间的距离公式即可得 【详解】在椭圆中，，∴， 在椭圆上关于原点对称， 设，由对称性，不妨设点在第一象限， 所以， 因为，所以，， ，或， 所以， 所以， 故答案为： 12．（23-24高二下·江西景德镇·期末）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】6 【分析】根据点A，B，C，D在以BD为直径的圆上，设，，结合圆的性质以及所给的面积关系可得及，从而表示圆的方程，代入A点坐标计算即可得解， 【详解】连接BD，根据题意可得，， 由可得点A，B，C，D在以BD为直径的圆上， 又原点O为圆上的弦AC的中点，所以圆心在AC的垂直平分线上，可得圆心在x轴上， 设，，则，又可得， 故圆心坐标为，所以圆的方程为， 将代入化简得即，又，所以， 所以，所以该椭圆的短轴长为6. 故答案为：6. 13．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题可得，结合离心率公式化简即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 由题可得：，即，化简得：， 所以椭圆的离心率为：， 故答案为： 14．（24-25高二上·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 15．（2024高二·全国·竞赛）已知椭圆，其离心率是椭圆上两点，为的垂直平分线，交轴于点的中点为，则 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，利用点差法求出直线的斜率，再结合已知建立方程求出. 【详解】由，得，则，设， ，两式相减得， 直线的斜率，而直线的斜率， 由，得，则，解得． 16．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程； （2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：圆的圆心为，半径． 圆的圆心为，半径， ，所以圆内含于圆． 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 从而，，所以，所以点的轨迹方程为． （2）解：设点，则，则， 则， 所以，，所以， ， . 所以的取值范围为． 17．（2025高三·全国·专题练习）设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 【答案】证明见解析 【分析】设，由，利用已知条件结合相关性质证明即可. 【详解】证明：如图，设，由， ， 因为，所以， 所以，又，， 所以，① 又点在椭圆上，所以，② 将①代入②得：， 由，， 所以设为方程的两个不同的根， 则， 又，所以， 所以，所以有， 即， 所以，所以， 又，所以椭圆的离心率的取值范围为. 18．（2025高三·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】由题意结合椭圆定义表示出相关线段的长，利用余弦定理可列式，化简可得，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 由，可得， 又， 故， 即， 化简可得，即得， 解得或（舍去），故椭圆的离心率为. 19．（2025高二上·上海·专题练习）（1）已知椭圆的一个焦点为，且过点，求：椭圆的标准方程； （2）已知椭圆经过，两点，求：此椭圆的标准方程； （3）已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点，求：此椭圆的标准方程； 【答案】（1）；（2）；（3）或 . 【分析】（1）先确定椭圆焦点位置以得到标准方程形式，再根据焦点坐标求，由椭圆上点的坐标求，利用椭圆中，，的关系求，最后得出标准方程； （2）先设椭圆的一般方程，将两点坐标代入得到方程组，解方程组求出参数，再化为标准方程； （3）先求出已知椭圆的离心率，再分焦点在轴和轴上两种情况设椭圆方程，代入已知点求解参数，得到标准方程. 【详解】（1）根据题意，椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为.显然，，则，故椭圆C的标准方程为; （2）设方程为，则有，解得，则所求椭圆的标准方程为; （3）椭圆的离心率. 当焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程是， 所以，解得，所以所求椭圆方程为. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为， 所以，解得，所以椭圆的标准方程为. 因此，所求椭圆标准方程为或. 20．（2025高三·全国·专题练习）阿波罗尼斯圆是阿波罗尼斯的研究成果之一．如果动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图所示，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，射线平分，射线平分． （i）求的取值范围； （ii）将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）方法一：特殊值法圆上取点，结合阿波罗尼斯圆和椭圆离心率计算得椭圆方程；方法二：设，有（常数），可得结合，解得得到椭圆的方程． （2）（i），结合，有，令，，设，，因为直线l的斜率，，因为，解得取值范围． （ii）由（i）知，，根据阿波罗尼斯圆定义设该圆圆心为，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有，解得．结合，计算得到，得到直线l的方程； 【详解】（1）方法一：特殊值法，令，，且，解得， 所以，，椭圆的方程为． 方法二：设，由题意（常数）， 整理得，故 又因为，解得，．所以，椭圆的方程为． （2）（i）， 又因为，所以，令，则， 设，则，又因为直线l的斜率，所以， 代入， 得，即， 因为，所以． （ii）由（i）知，， 如图所示，由阿波罗尼斯圆定义知S，T，F在以B，D为定点的阿波罗尼斯圆上， 设该圆圆心为，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有， 即，解得．，故． 又因为， 所以 ， 解得，，故， 直线l的方程为．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 椭圆的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 根据椭圆的有界性求范围或最值 题型二 椭圆的对称性 题型三 求椭圆的顶点坐标 题型四 求椭圆的长轴、短轴 题型五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型六 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 题型七 根据离心率求椭圆的标准方程 题型八 由椭圆的离心率求参数的取值范围 拓展训练一 椭圆的性质及应用 拓展训练二 椭圆离心率相关问题 知识点一：椭圆的简单性质 1.对称性 (1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即坐标轴是椭圆的对称轴. (2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于原点对称,这个对称中心称为椭圆的中心. 2.范围 因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示. 3.顶点 椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点. 如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,. 线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长. 4.离心率 (1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即 . (2)因为a>c>0,所以0<e<1. 【知识剖析】 细解椭圆的范围和顶点 1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围. 2.在画椭圆时,常利用椭圆上的点的横、纵坐标的取值范围先画出矩形，然后在矩形内画出椭圆的草图. 3.椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置. 4.已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点. 【即时训练】 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【经典例题一 根据椭圆的有界性求范围或最值】 【例1】（23-24高二上·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求椭圆上的点到直线的最短距离． 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）设，为椭圆：（）的上、下焦点，若在椭圆上存在一点，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南漯河·三模）已知椭圆是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是 ．（用表示） 4．（2025·江西·二模）已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【经典例题二 椭圆的对称性】 【例1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知分别为椭圆的左､右顶点，点在上，若是一内角为的等腰三角形，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例2】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（22-23高三·全国·对口高考）椭圆与直线相交于A，B两点，C，D两点在椭圆上，如果四边形为平行四边形，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·四川德阳·期末）已知为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则的内切圆半径为 ． 4．（2025·天津武清·一模）已知椭圆 过点 ，分别为椭圆的左、右焦点且 (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆交于两点(在的左侧)，都是圆的切线且？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【经典例题三 求椭圆的顶点坐标】 【例1】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【例2】（22-23高二·全国·随堂练习）已知椭圆，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程. 1．（2023·四川甘孜·一模）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，曲线的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知椭圆以坐标轴为对称轴，经过点，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·陕西安康·开学考试）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 4．（2024高二·全国·专题练习）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个顶点为椭圆的顶点.关于这样的等腰三角形有多少个？ 【经典例题四 求椭圆的长轴、短轴】 【例1】（24-25高二上·广东·期末）已知椭圆上一点到的两个焦点的距离之和为，则的长轴长为（    ） A．1 B．6 C．3或6 D．2或4 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为，求椭圆的方程. 1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·四川南充·阶段练习）常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽·开学考试）在平面直角坐标系中，椭圆的长轴方程为 4．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆，其左、右焦点分别为，，离心率，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，求该椭圆的长轴长． 【经典例题五 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 【例1】（24-25高二上·全国·课前预习）已知椭圆和，且经过的焦点，的两个焦点与的顶点重合，设的离心率分别为，则（   ） A． B． C．1 D． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 1．（24-25高三上·山西长治·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束，根据规划，国家体育馆成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆，国家体育馆内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列正确的是（   ） A． B． C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，则 D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为 3．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 【经典例题六 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系】 【例1】（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知点是椭圆的两个焦点，若椭圆的离心率的取值范围是，则以为直径的圆与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．不确定 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）扁平程度是椭圆的重要形状特征．观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 1．（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高二上·江西抚州·期中）天文学上可以大致认为部分行星的运行轨道为椭圆，如图所示，记两个行星的运行轨道分别为椭圆，，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长比椭圆的长轴长的两倍短 B．椭圆的短轴长比椭圆的短轴长的两倍短 C．椭圆的离心率大于椭圆的离心率 D．椭圆的短轴长与长轴长之比大于椭圆的短轴长与长轴长之比 3．（23-24高二上·湖北随州·期末）若椭圆：（）与椭圆：（）的焦距相等，给出如下四个结论： ①和一定有交点； ②若，则； ③若，则； ④设与在第一象限内相交于点，若，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与； （2）与． 【经典例题七 根据离心率求椭圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【例2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，其离心率为，焦距为8； (2)已知椭圆的离心率为，短轴长为． 1．（24-25高二上·山东威海·期中）椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高三上·湖北·阶段练习）在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（   ） A． B． C．大于 D． 3．（2023·陕西渭南·模拟预测）设椭圆，的离心率分别为．若，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，． (1)求的标准方程； (2)求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）. 【经典例题八 由椭圆的离心率求参数的取值范围】 【例1】（24-25高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【例2】（2023·湖北·模拟预测）已知椭圆过点. (1)若椭圆E的离心率，求b的取值范围； (2)已知椭圆E的离心率，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆相切，求线段的最大值. 1．（22-23高二下·内蒙古赤峰·期末）已知椭圆E：的离心率的取值范围是，其左右焦点分别是，，若P为椭圆上位于y轴右侧的一点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选题）（23-24高二上·河北保定·期中）已知椭圆的离心率，则m的值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·期末）已知椭圆G：（）的左、右焦点分别，，离心率，点M是椭圆G上任意一点，则的取值范围是 ． 4．（23-24高二上·江苏宿迁·阶段练习）已知椭圆C的方程为； （1）求k的取值范围；          （2）若椭圆C的离心率，求的值． 【拓展训练一 椭圆的性质及应用】 【例1】（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点 ②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆 （1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程； （2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点是椭圆上的点，，分别是椭圆的左右焦点，求的最值. 1．（2024·河北·二模）过椭圆的中心作直线交椭圆于两点，是的一个焦点，则周长的最小值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 2．（多选题）（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线被椭圆截得的弦长为8，下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为 . 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，点在上，为椭圆的一个动点. (1)求的方程. (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【拓展训练二 椭圆离心率相关问题】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，满足，且点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆（其中）的离心率为，左右焦点分别为，． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆C交于不同的两点，过原点作的垂线，垂足为D．若点D恰好是与A的中点，求的值． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为是上一点，且线段的中点在轴上，（为坐标原点），则（    ） A． B． C． D．1 2．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）（多选）若椭圆的离心率为，则m的值可以为（　　） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高三上·四川成都·期末）已知椭圆的离心率为，则 . 4．（22-23高二上·江苏徐州·期中）设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且与轴垂直，直线与椭圆的另一个交点为． (1)若直线的斜率为，求椭圆的离心率； (2)若直线在轴上的截距为1，且，求椭圆的方程． 1．（23-24高二上·浙江·期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，且离心率为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为．直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．若，且，则的周长为（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆上存在点，使得曲线关于点对称.若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离大于其焦距，则椭圆的长轴长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知椭圆，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（23-24高二上·广东东莞·期中）神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船，神舟十七号也于2023年10月26日成功发射，神舟飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G，若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是 C．的周长为 D．面积的最小值是4 7．（多选题）（24-25高一上·江西·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 8．（多选题）（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的直线方程是 C．直线的斜率为 D．的周长是8 9．（多选题）（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知椭圆C：的离心率为，则m的值可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 11．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则 ． 12．（23-24高二下·江西景德镇·期末）椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 13．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆的右顶点与上顶点之间的距离等于焦距，则的离心率为 ． 14．（24-25高二上·四川自贡·期中）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 15．（2024高二·全国·竞赛）已知椭圆，其离心率是椭圆上两点，为的垂直平分线，交轴于点的中点为，则 ． 16．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知动圆与圆外切，与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)求的取值范围． 17．（2025高三·全国·专题练习）设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 18．（2025高三·全国·专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 19．（2025高二上·上海·专题练习）（1）已知椭圆的一个焦点为，且过点，求：椭圆的标准方程； （2）已知椭圆经过，两点，求：此椭圆的标准方程； （3）已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点，求：此椭圆的标准方程； 20．（2025高三·全国·专题练习）阿波罗尼斯圆是阿波罗尼斯的研究成果之一．如果动点与两定点的距离之比是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．    (1)求椭圆的标准方程； (2)如图所示，过右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点（点在轴上方），点是椭圆上异于的两点，射线平分，射线平分． （i）求的取值范围； （ii）将点看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $