专题22.7 相似形集合60道计算题专项训练（6大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

专题22.7 相似形集合60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 由平行线截求相关线段的长度或比值 题型二 相似多边形的性质 题型三 利用相似求坐标 题型四 相似三角形——动点问题 题型五 求两个位似图形的相似比 题型六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【经典计算题一 由平行线截求相关线段的长度或比值】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，求的长． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 8．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图所示，，为的中点，求的值． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 10．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 【经典计算题二 相似多边形的性质】 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 2．（24-25九年级·全国·课后作业）如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对的两条小路的宽均相等，如果花坛的宽AB＝20，长AD＝30．试问小路的宽x和y的比值为多少时，能使得小路四周所围的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，请说明理由． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图所示的与的方格都是由边长为1的小正方形组成的．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格点上）． (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点为对称中心，画出这个四边形的中心对称图形． (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来的倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比：______． 6．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 7．（22-23九年级上·河南南阳·期中）将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．求原矩形纸片的长与宽之比． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 9．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度． 【经典计算题三 利用相似求坐标】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 2．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 4．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 5．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为线段上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得与相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标． 7．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线L的表达式； （2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标． 8．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    10．（2024九年级·全国·专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标． 【经典计算题四 相似三角形——动点问题】 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 2．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 4．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 6．（24-25九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 8．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 【经典计算题五 求两个位似图形的相似比】 1．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 4．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． (1)画出位似中心； (2)求与的周长比和面积比． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）． (1)若在y轴右侧，画出； (2)________． 7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，位似比为，将放大得，请在网格中画出（不要超出方格区域）； (2)与的面积比为_______． 8．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 9．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次应A′，B'，C′，且都在格点上． (1)在图上画出位似中心P； (2)根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比． 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，，，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 【经典计算题六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)已知的面积为m，则的面积是______． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 3．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．    (1)画出关于y轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)与的相似比是______． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，，与位似，点为位似中心，点的对应点为． (1)与的相似比为______； (2)在图中画出； (3)点是内部一个点，的对应点的坐标为______． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．      (1)请写出点P的坐标是______； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使其与的相似比为； (3)计算的面积．（写出计算过程） 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)的面积是 ； (3)的面积是 ． 8．（24-25九年级下·河南周口·单元测试）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求与的相似比； (3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.7 相似形集合60道计算题专项训练（6大题型） 题型一 由平行线截求相关线段的长度或比值 题型二 相似多边形的性质 题型三 利用相似求坐标 题型四 相似三角形——动点问题 题型五 求两个位似图形的相似比 题型六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【经典计算题一 由平行线截求相关线段的长度或比值】 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 【答案】32 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，则可证明，由平行线分线段成比例性质可得，求出即可得到答案． 【详解】解：是边上的高线， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键．直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，点D为上一点，且，过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，求的长．    【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：， ∴． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，是上的一点，且，连接，并延长交的延长线于点，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，，求出，进而可得． 【详解】解：如图，过点作，交于点，则． 是的中点， ， ． ， ， ， ． 8．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图所示，，为的中点，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造平行线． 过点E作，交于点G，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，设，求得，从而可得的值． 【详解】解：过点E作，交于点G，如图， ∵为的中点，且， ∴，， ∵ ， 设，则， ∴，则， ∴， ∴， 即的值为． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 10．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，是的中线，E是的中点，的延长线交于点F，求的值． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．根据题意先过D作的平行线，交边于G，得出，再根据D为中点可得出，；同理求得，从而得出，即可得出的值． 【详解】解：过D作的平行线，交边于G，如图所示： ∵D为中点，， ∴，即：， 又E为的中点，的延长线交于F，， ∴，即：， ∴， ∴． 【经典计算题二 相似多边形的性质】 1．（2025九年级上·上海·专题练习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 根据相似图形的对应边成比例，对应角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴，， 又∵， ∴． 2．（24-25九年级·全国·课后作业）如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形． 【答案】画图见解析 【分析】根据相似图形的性质，可放大可缩小，只要对应边的比相等，对应角相等即可． 【详解】解：按照相似比为2，放大原图形，如图所示，本题答案不唯一 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题关键是确定相似比，熟练运用相似多边形性质进行画图． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路，使得相对的两条小路的宽均相等，如果花坛的宽AB＝20，长AD＝30．试问小路的宽x和y的比值为多少时，能使得小路四周所围的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】由题可知矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似，根据对应边成比例，列方程即可解答． 【详解】解：当小路的宽x和y的比值为时，能使小路四周所围的矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD． 理由：因为矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD， 所以＝， 即＝． 整理，得4x＝6y， 所以＝． 【点睛】本题主要是把实际问题抽象到相似多边形中，利用相似多边形的相似比，列出方程，即可得出x与y的比值． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）如图所示的与的方格都是由边长为1的小正方形组成的．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个画在图2、图3中，并画出相应变换后的格点图形（顶点均在格点上）． (1)从图1的①-⑦中选一个四边形，在图2中画出这个四边形，然后以点为对称中心，画出这个四边形的中心对称图形． (2)从图1的①~⑦中选一个合适的三角形，在图3中画出这个三角形，然后画出将它的各边长扩大到原来的倍后的三角形，并写出你选择的图形与扩大后图形的面积比：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】此题主要考查了作图-位似变换，正确将三角形各边扩大是解题关键． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）根据相似形的性质作出图形即可． 【详解】（1）解：选择图形④，如图1所示： （2）解：选择图形③，如图2所示： 扩大前面积：，扩大后面积：， ∴扩大前的图形与扩大后图形的面积比为：， 故答案为：； 6．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：是菱形： (2)若，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到设，根据相似多边形的性质可得，列方程求出和的关系，从而可解答本题 【详解】（1）∵的平分线交于点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）知，四边形是菱形， 又四边形是平行四边形， ， 设，，则有： ，即， 整理得， 解得， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了靺的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出与的数量关系是解答本题的关键 7．（22-23九年级上·河南南阳·期中）将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．求原矩形纸片的长与宽之比． 【答案】原矩形纸片的长与宽之比为： 【分析】由折叠的性质可知，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，最后进行计算即可． 【详解】解：如图： 由折叠得：， 矩形与矩形相似， ， ， ， ， ， ， 原矩形纸片的长与宽之比为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形四边形，且，，，，，，．    (1)请直接写出：　　度； (2)求边和的长． 【答案】(1)83 (2)， 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和360度解决问题即可． （2）利用相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 故答案为：83． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质，灵活运用所学知识解决问题． 9．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 10．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度． 【答案】上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm． 【分析】由内外两个矩形相似可得，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的列方程可求出x的值，进而可得答案． 【详解】∵AB＝130，AD＝400， ∴， ∵内外两个矩形相似， ∴， ∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x， ∵矩形作品面积是总面积的， ∴， 解得：x＝±12， ∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去， ∴x＝12， ∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40． 答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键． 【经典计算题三 利用相似求坐标】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 2．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得； （3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 则双曲线的解析式为． （2）解：如图，连接、， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为． （3）解：， 是等腰直角三角形，， ①如图，过点作轴，交轴于点， ，符合题意， ， ； ②如图，过点作，交轴于点， 则是等腰直角三角形， 在和中，， ，符合题意， 又轴，轴轴， ， ， ，即， 综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 3．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 4．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 5．（2025·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P为线段上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得与相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=0.5x2-1.5x-2；（2）Q坐标为（0，-2）或（3，-2）． 【分析】（1）先利用抛物线的对称性求出点B的坐标，进而将点A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx-2中，解方程组，即可得出抛物线表达式； （2）设P（x,0),则Q（x,0.5x2-1.5x-2），则根据三角形相似的性质可以得到有关的线段比，从而得到关于x的方程，解方程即可得到Q的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1.5，且A（-1，0），∴B（4，0）， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为y=0.5x2-1.5x-2； （2）如图，设P（x，0)，则Q（x，0.5x2-1.5x-2），       由题意可以到：AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形， ∴由△PQB与 △CAB相似可得： ①AC：PQ=BC：PB，则， 解之可得：x=0或x=4， 经检验：x=0或x=4都是原方程的根，但x=4不符合题意， ∴Q为（0，-2）； ②AC：PB=BC：PQ，则， 解之可得：x=3或x=4， x=3或x=4都是原方程的根，但x=4不符合题意， ∴Q为（3，-2）； 综上所述，存在点P、Q使得 △PQB 与 △CAB 相似，且Q坐标为（0，-2）或（3，-2）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、三角形相似的性质、待定系数法求二次函数解析式是解题关键 ． 6．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝的图象的一支相交于点A，与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，已知AC＝2BC． （1）求一次函数的解析式； （2）若反比例函数y＝第一象限上有一点M，MN垂直于x轴，垂足为N，若△BOC∽△MNB，求点N的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）N（，0） 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于H，得到△BOC∽△BHA，求出OH，进而求出点A坐标，根据根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，设点M坐标为（m，），根据△BOC∽△MNB，得到关于m方程，求出m，舍去不合题意的解，即可求出点M坐标． 【详解】解：（1）如图，过点A作AH⊥x轴于H， ∴AH∥OC， ∴△BOC∽△BHA， ∴， ∵AC＝2BC， ∴， ∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∴， ∴BH＝3， ∴OH＝2， ∴点A的横坐标为2， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴点A的纵坐标为6， ∴A（2，6）， ∵直线y＝kx+b（k≠0）经过点A、B， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为y＝2x+2； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x+2， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， 设点M（m，）， ∵MN⊥x轴， ∴N（m，0）， ∴BN＝m+1，MN＝， ∵△BOC∽△MNB， ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）或， ∴N（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，相似等知识，综合性较强 ，根据题意添加辅助线，构造相似图形，掌握相似的判定与性质是解题关键． 7．（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线L的表达式； （2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P（﹣1，3）或（﹣3，3） 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先求出点A，点B，点D坐标，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x； （2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣4x， ∴x1＝﹣4，x2＝0， ∴点A（﹣4，0），点B（0，0）， ∴对称轴为x＝﹣2， ∴点D（﹣2，4）， 如图，设对称轴与x轴的交点为H，过点P作PQ⊥DH于Q，设点P（m，﹣m2﹣4m）， ∵△PEF∽△DAB， ∴， ∴PQ＝×4＝1， ∴|m+2|＝1， ∴m＝﹣1或﹣3， ∴点P（﹣1，3）或（﹣3，3）． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的性质、坐标与图形的性质、解二元一次方程、解绝对值方程，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用相似三角形的性质：高之比等于相似比求解是解答的关键． 8．（23-24八年级上·江西九江·期中）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C(不与点A重合)，使B，O，C三点构成的三角形与AOB相似，求点C的坐标．    【答案】(－4，0)或(－1，0)或(1，0) 【分析】先计算直线与两个坐标轴的交点A， B的坐标，分两种情况讨论，若△AOB∽△COB，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标；若△AOB∽△BOC，根据三角形相似，对应边成比例的性质，求得点C的坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A(4，0)，B(0，2)． 若△AOB∽△COB，则，即， 解得OC＝4，∴点C的坐标为(－4，0)； 若△AOB∽△BOC，则，即，解得OC＝1，∴点C的坐标为(－1，0)或(1，0)． 综上所述，点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标、分类讨论法、相似三角形的性质，是常见典型的考点，熟练掌握相关知识是解题关键． 10．（2024九年级·全国·专题练习）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线AB的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）利用反比例函数（x＞0）经过点A(m，4)和点B(6，2)，可确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可得答案； （2）根据AB解析式可得出C、D坐标，可得OD、OC得长，根据两点间距离公式可得AD得长，分PA⊥OD时，AP'⊥CD两种情况讨论，利用相似三角形得性质即可得答案． 【详解】（1）∵y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n）， ∴3=，， 解得：m＝2，n＝1， ∴A（2，3），B（6，1）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4． （2）如图，当PA⊥OD时， ∴PA∥OC， ∴△ADP∽△CDO， ∵A（2，3），点P在x轴上， ∴P（2，0）． ②当AP′⊥CD时， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∴当y=0时，x=8，x=0时，y=4， ∴C（0，4），D（8，0）， ∴AD==，OD=8，OC=4，CD==， ∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC， ∴△P′DA∽△CDO， ∴，即， 解得：DP′=， ∴OP′=OD-DP′= ∴P′（，0）， 综上所述：满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【经典计算题四 相似三角形——动点问题】 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 2．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)秒 【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）因为当、、三点共线时，两点同时停止运动，所以可用表示出此时的，，的长，利用相似三角形的性质即可求出的最大值，进而求出的取值范围； （3）因为利用相似的性质和矩形的性质可证明，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长，时间也可求出了． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：如图所示： 当、、三点共线时， ， ∴， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 秒． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为18 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）作于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，用t表示出，设四边形的面积为y，根据三角形的面积公式计算得，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，， 综上所述，或时，与相似； （2）解：作于点M， 则， ∴，即， 解得，， 设四边形的面积为y， 由题意得：， ∴当时，y有最小值18， 即当时，四边形的面积最小，最小值为18． 4．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 5．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 则同时出发，经过秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 6．（24-25九年级下·甘肃张掖·开学考试）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，当运动时间t为多少秒时？ 【答案】运动时间t为秒时， 【分析】本题考查动点相似三角形，根据题意先表示出，由，则，代入数据计算即可解答． 【详解】解：根据题意：，，，， 则， ∵点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动， ∴（秒）即， ∵， ∴，即， ∴， 解得：（符合题意）， ∴运动时间t为秒时，． 7．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，动点P从点B出发以速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒． (1)根据题意知： （用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的面积等于面积的？ (3)当运动几秒时，与相似？ 【答案】(1) (2)或秒 (3)或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论． （1）结合题意，直接得出答案即可； （2）根据三角形的面积列方程即可求出结果； （3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若，②若，然后列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：经过t秒后，； （2）解：根据题意得：经过t秒后，，则； 当的面积等于面积的时， 即， 解得；或； 答：经过或秒后，的面积等于面积的； （3）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若则，即，解得； ②若则，即，解得； 由P点在BC边上的运动速度为，Q点在边上的速度为，可求出t的取值范围应该为， 验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件． 答：当运动的时间为或秒时，与相似． 8．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 【答案】(1)点P，Q出发1秒后，可使的面积为 (2)点P，Q出发2.4秒后， 【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可； （2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为． ∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ∴，， 根据题意，得， 解得：，（舍去）   答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为； （2）解：设点P，Q出发y秒后，， ∴， ∴， ∴= ∴y=2.4      答：点P，Q出发2.4秒后，． 9．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，如果P、Q同时出发，当他们移动多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】秒或秒 【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，掌握相似三角形的性质是解题关键． 根据若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，分，两种情况讨论，据此可解出两三角形相似时所需时间， 【详解】解：设当移动x秒时，两三角形相似， ∵动点P从点B出发以的速度向点C移动，动点Q从点C从出发以的速度向点A移动，，，， ∴x的取值范围为，，， ∴， （1）当时，则， ∴， 解得：； （2）当时，则， ∴， 解得：， 验证可知（1）（2）两种情况下所求的x的值均满足条件， 综上所述，当运动时间为秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 10．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，若两点同时移动，则经过几秒时，与相似？ 【答案】3或 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 先表示，，，再分和两种情况求解． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 综上所述：经过3或秒时，与相似． 【经典计算题五 求两个位似图形的相似比】 1．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，以点为位似中心的与的周长比为，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，由位似图形的性质可得，，且相似比，再由得到，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，与的周长比为， ，，且相似比， ， ， ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在中，两个顶点在轴的上方，点的坐标为．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把放大到原来的2倍．设点的横坐标为，求点的对应点的横坐标． 【答案】点的对应点的横坐标为 【分析】设点的横坐标为，然后表示出点和点间的水平距离，再根据位似比例式计算即可得解. 【详解】解：设点的横坐标为． 由题意，得点间的水平距离为，点间的水平距离为， 把放大到原来的2倍得到， ，解得， 即点的对应点的横坐标为． 【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的性质，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比例列方程是解题的关键. 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 【答案】与的面积比为9 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的定义和性质是解题的关键． 由条件可知和是位似图形，且位似比为，利用位似图形的性质可知，可求得结论． 【详解】解：与的面积比为9． 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为3， ∴与的面积比为9． 4．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． (1)画出位似中心； (2)求与的周长比和面积比． 【答案】(1)见解析 (2)周长比为，面积比为 【分析】本题主要考查了位似变换． 正确掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出位似比． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求， （2）解：由图形得，， 与的相似比为， 与的周长比为，面积比为． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，在格点上画出，使得且相似比为． (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—位似变换，平行线分线段成比例定理． （1）将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接，，； （2）构建，为分成等份，其中点为等份点，过点的格线交于点 【详解】（1）如图，将点A向左移动1个格点单位，向上移动2个格点单位得到点M，点、、三点共线，点B向右移动1个格点单位，向上移动1个格点单位得到点N，点、、三点共线，连接连接，，，即为所作，使得且相似比为． 即为所作． （2）如图，取格点，连接、，取点为等份点，过点的格线交于点， ∴， ∵， ∴， 则点即为所作． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）． (1)若在y轴右侧，画出； (2)________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查作位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定A，B，C关于O的位似对应点、、，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：∵与关于坐标原点O位似，且相似比为 ∴． 7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，位似比为，将放大得，请在网格中画出（不要超出方格区域）； (2)与的面积比为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-位似变换，位似图形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型； （1）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可； 【详解】（1）（1）解：如图所示，即为所求，． （2）与的相似比为，故面积比为． 8．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与位似，点O为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）∵与的相似比为， ∴， ∴． （2）∵，， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于点P位似，其中顶点A，B，C依次应A′，B'，C′，且都在格点上． (1)在图上画出位似中心P； (2)根据图形，直接写出点P的坐标，及△ABC与△A′B′C′的面积比． 【答案】(1)见解析； (2)点的坐标为，与△的面积比为： 【分析】（1）连接、，交于点，即可得到结论； （2）求出边长为1和2的正方形的对角线，得到与的长，求出与的比值，根据三角形与三角形相似，由面积比等于相似比的平方即可求出面积之比． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：点的坐标为； ， 与△的面积比为：． 【点睛】此题考查了作图位似变换，解题的关键是掌握画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 10．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，的三条边与的三条边满足，，，且．的面积与的面积之间有什么关系？ 【答案】的面积为的面积的9倍 【分析】由条件可知△A′B′C′和△ABC是位似图形，且位似比为1：3，利用位似图形的性质可知△A′B′C′∽△ABC，可求得结论． 【详解】解：的面积为的面积的9倍． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，且相似比为3， ∴与的面积比为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的定义和性质是解题的关键． 【经典计算题六 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)已知的面积为m，则的面积是______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接并延长至，使得，顺次连接，则即为所求； （2）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； ； （2）解：∵和关于原点位似，的面积为m，将放大为原来的2倍后的位似图形为； ∴， 则的面积是． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． (1)在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） (2)与的相似比是 ； (3)将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）解：如图，即为所求， ． 3．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点，（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为．    (1)画出关于y轴对称的； (2)以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； (3)与的相似比是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了作图位似变换，坐标与图形变化—轴对称： （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）利用点和的坐标特征得到位似比为2，连接并延长至点使得，同理得到点，顺次连接即可得到； （3）根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）解：如图所示：即为所求；    （3）解：由图可知，，， 与的相似比， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，，与位似，点为位似中心，点的对应点为． (1)与的相似比为______； (2)在图中画出； (3)点是内部一个点，的对应点的坐标为______． 【答案】(1)： (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）结合位似的性质可得答案． （2）结合位似的性质确定对应点再作图即可． （3）根据位似的性质可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵与位似，点为位似中心，点的对应点为， ∴与的相似比为：． （2）解：如图，即为所求． （3）解：由题意得，点的坐标为． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．      (1)请写出点P的坐标是______； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使其与的相似比为； (3)计算的面积．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，并分别延长，相交于点，则点即为所求，即可得出答案． （2）根据位似的性质作图即可． （3）利用割补法求出的面积，再根据与的相似比为求出的面积． 【详解】（1）解：连接，，，并分别延长，相交于点， ∴与是以点为位似中心的位似图形， ∴点P的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，即为所求．    （3）解：， ∵与的相似比为， ∴， ∴ 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务． (1)和关于y轴对称，画出； (2)若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限． ①画出； ②__________． 【答案】(1)见解析 (2)①图见解析；② 【分析】本题考查了作图-位似变换、作图-轴对称变换． （1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可； （2）①由（1）及位似的性质进行作图即可； ②由（1）得，进而得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①如图，即为所求； ②∵和关于y轴对称， ∴， ∵与的位似比为， ∴， 即， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位 长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的2倍后的位似图形； (2)的面积是 ； (3)的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接，，并延长至，，，使得，，，顺次连接，，，则即为所求； （2）利用割补法求解即可； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）如图，为所作； （2）的面积是； （3）∵和关于原点位似，位似比为 ∴，且相似比为 ∴，即 ∴． 8．（24-25九年级下·河南周口·单元测试）图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点O； (2)求与的相似比； (3)以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 【答案】(1)作图见解答过程 (2) (3)作图见解答过程 【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线、的交点就是位似中心； （2）与的位似比等于与的比，也等于与在水平线上的投影比，即位似比为； （3）要画，先确定点的位置，因为与的位似比等于，因此，所以．再过点画交于，过点画交于． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：与的位似比等于； （3）解：如图所示，即为所求． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为． (1)在x轴下方，画出； (2)直接写出______． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键． （1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可； （2）由位似图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）由位似图形的性质可得：； 10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为．    (1)以坐标原点为位似中心，在轴上方作与的位似比为的位似图形． (2)顶点的坐标为 ，与的面积之比为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2) ； 【分析】（1）根据位似图形性质作图即可得到答案； （2）由（1）中作的位似图形得到顶点的坐标，再由相似的性质即可得到面积比． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可得顶点的坐标为；由相似三角形性质可知，与的面积之比为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查复杂作图-位似作图、坐标与图像及相似三角形性质，熟练掌握位似定义及性质是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $