专题22.6 相似形44道压轴题型专训（11大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

该初中数学讲义围绕“相似形”单元构建了清晰的知识体系，通过思维导图梳理11大题型之间的逻辑关联，用表格对比相似三角形的判定条件与性质应用，借助几何直观呈现动点问题中的动态变化过程，突出黄金分割、重心性质等重难点内容的内在联系与解题策略。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如经典例题六中通过补充条件使两三角形相似，引导学生从边角关系出发进行合情推理，培养逻辑思维和模型意识。在动点问题（例题七）中，结合函数思想分析面积变化规律，提升学生用数学语言表达现实情境的能力。每类题型均配有典型错因分析和解题模板，既帮助基础薄弱学生建立规范思路，又为学有余力者提供拓展空间，教师可据此实施分层教学，实现精准施策与高效复习。

专题22.6 相似形44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 黄金分割 题型二 相似图形 题型三 相似多边形 题型四 相似多边形的性质 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 题型七 相似三角形——动点问题 题型八 相似三角形的判定与性质综合 题型九 相似三角形的综合问题 题型十 重心的有关性质 题型十一 相似三角形实际应用 【经典例题一 黄金分割】 1．（2023九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知是线段的黄金分割点，且.若表示以为一边的正方形的面积，表示长是、宽是的矩形的面积，则 .(填“>”“＝”或“<”) 4．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【经典例题二 相似图形】 1．（23-24九年级下·山东枣庄·期中）如图，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点 P 为△ABC 的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，∠EDF＝90°，若点 Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ＝1，则 EQ+FQ＝（ ） A．5 B．4 C．3+ D．2+ 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在大小为的正方形网格中与①中三角形相似的是（ ） A．② B．③ C．④和③ D．②和④ 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 4．（2024九年级·浙江绍兴·学业考试）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【经典例题三 相似多边形】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）下列命题①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O为△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点分别为、、，则有△∽△ABC.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）下列说法错误的有（    ）个． ①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为．④两个位似图形一定是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    4．（2024·江苏南京·二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程． 【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形． 【初步思考】 （1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究． 【深入探究】 （2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明． 已知：四边形和四边形中，，． 求证：四边形四边形．证明： （3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题： ①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”； ②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”； ③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”； ④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”． 其中真命题是______．（填写所有真命题的序号） （4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程． 【经典例题四 相似多边形的性质】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知在矩形中，分别是上的点，且．两动点都以每秒的速度分别从两点同时出发沿向点运动．猜想当点运动多长时间时，矩形与矩形相似．写出你的猜想过程． 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 1．（24-25九年级上·江苏·期中）定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 4．（2024·福建宁德·一模）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河南焦作·二模）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为 . 4．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，▱ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G，使∠FBC=∠DCE． （1）求证：∠D=∠F； （2）在直线AD找一点P，使以点B，P，C为顶点的三角形与以点C，D，P为顶点的三角形相似．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法） 【经典例题七 相似三角形——动点问题】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 3．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【经典例题八 相似三角形的判定与性质综合】 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在和中，，，连接．若，，则的长为 ． 4．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点，点重合），连接，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，． (1)当为何值时，？ (2)求与的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 相似三角形的综合问题】 1．（2023·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别作 x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ） A． B．2 C．4 D．5 3．（2024·湖北武汉·三模）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【经典例题十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交于点M，N，过点N作交于点D，则四边形与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，，，是其重心，那么以、、为三边的三角形的面积是 ． 4．（2023·四川乐山·中考真题）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、. （1）如图1，当∥时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【经典例题十一 相似三角形实际应用】 1．（2024·山东潍坊·一模）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）    A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（  ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．不变 D．先变短后变长再变短 3．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长 米． 4．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.6 相似形44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 黄金分割 题型二 相似图形 题型三 相似多边形 题型四 相似多边形的性质 题型五 相似三角形的判定综合 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似 题型七 相似三角形——动点问题 题型八 相似三角形的判定与性质综合 题型九 相似三角形的综合问题 题型十 重心的有关性质 题型十一 相似三角形实际应用 【经典例题一 黄金分割】 1．（2023九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案. 【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm， 可得， 解得. 由已知可得， 解得. 综上，此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选：B 【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键. 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期末）如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案． 【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 所以线段的长度是， 故选：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个． 3．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知是线段的黄金分割点，且.若表示以为一边的正方形的面积，表示长是、宽是的矩形的面积，则 .(填“>”“＝”或“<”) 【答案】= 【详解】分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 详解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故答案为：=． 点睛：本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 4．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 【经典例题二 相似图形】 1．（23-24九年级下·山东枣庄·期中）如图，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则称点 P 为△ABC 的布洛卡点．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，∠EDF＝90°，若点 Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ＝1，则 EQ+FQ＝（ ） A．5 B．4 C．3+ D．2+ 【答案】D 【分析】根据新定义得∠2=∠3,△DQF∽△FQE,运用对应边成比例即可解题. 【详解】解：如下图,在等腰直角三角形DEF中, ∠EDF＝90°，DE=DF,∠1=∠2=∠3, ∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°, ∴∠QEF=∠DFQ, ∵∠2=∠3 ∴△DQF∽△FQE, ∴===, ∵DQ＝1， ∴FQ=,EQ=2, ∴EQ+FQ＝ 2+ 故选D. 【点睛】本题考查了新定义和三角形的相似,属于简单题,通过新定义证明三角形的相似是解题关键. 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在大小为的正方形网格中与①中三角形相似的是（ ） A．② B．③ C．④和③ D．②和④ 【答案】B 【分析】根据网格图形用勾股定理求出各边长度,利用三组对应边对应成比例即可解题. 【详解】解：如图①,该三角形的三条边长分别是2,,, 如图②该三角形的三条边长分别是3,,, 如图③,该三角形的三条边长分别是:2,,, 如图④该三角形的三条边长分别是3、,, 只有图②中的三角形的三条边与图①中的三条边对应成比例. 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的判定,属于简单题,求三角形各边长度是解题关键. 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 4．（2024九年级·浙江绍兴·学业考试）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3），，，，，． 【分析】（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和，从而可画出已知矩形的黄金线； （2）连结，设，，由折叠得，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得，从而求得，即是正方形的黄金线； （3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值． 【详解】（1）∵ ∴, 如图所示， 此时， （2）折痕是正方形的黄金线．理由如下： 如图，连结，设，，由折叠得， 在中，， ， 又，∴．解得：． 即．∴． ∴是正方形的黄金线． （3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，， 解得，； ⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，解得，； ⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得，； ⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，， ，解得，； ⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得， 故答案为：，，，，， 【点睛】本题考查了矩形的黄金分割线，黄金矩形的定义，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题三 相似多边形】 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）下列命题①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O为△ABC内任意一点，OA、OB、OC的中点分别为、、，则有△∽△ABC.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①运用相似三角形和全等三角形的定义判断即可. ②根据相似三角形的性质即可判断. ③根据多边形相似的条件判断即可. ④根据相似三角形的判定判断即可. 【详解】①相似三角形就是形状相同，大小不一定相同的三角形；而全等三角形是形状和大小都相同的三角形，所以全等三角形是特殊的相似三角形，故①错误. ②根据相似三角形的性质，可知相似三角形对应中线，对应角的平分线的比都等于相似比，故②正确. ③如正方形和矩形边数相同，对应角也相等，却不一定相似，故③错误. ④根据三角形的中位线得出三条边对应的比都为，故两个三角形相似，故④正确. 所以②④正确，选B 【点睛】本题主要考查相似三角形、多边形的判定与性质，掌握判定方法和性质是解题的关键. 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）下列说法错误的有（    ）个． ①所有的矩形都相似．②三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．③一个角为30°的直角三角形的三边之比为．④两个位似图形一定是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】①根据对应角相等对应边成比例的多边形是相似多边形来判断．②三角形三条边上中线的交点叫三角形的重心，根据平行线分线段成比例的性质求解．③根据勾股定理逆定理可得三边之比为的三角形是直角三角形，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可判断．④根据位似的定义判断． 【详解】①因为所有矩形的角都是90度，但是所有矩形的边不一定对应成比例，因此所有矩形不一定都相似．故①这种说法是错误的； ②证明：如图所示，在中，点D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点，AD、CE、BF三条中线交于点O， O点就是ABC的重心， 过点E作EHBF， ∵AE=BE，EHBF， ∴AH=FH=． 又∵AF=CF， ∴HF=CF， ∵EHBF， ∴， ∴OE=OC， ∴OE=CE， 同理可证OD=AD，OF=BF，故②这种说法是正确的； ③因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以这样的直角三角形三边比为，故③这种说法是正确的； ④位似图形的定义是：如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心．根据位似图形的定义，相似图形一定是位似图形．故④这种说法是正确的． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似的定义、位似的定义、三角形重心的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是掌握这些知识的含义． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“”或“”或“”）．    【答案】= 【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∴， ∴ 故答案为：＝． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可． 4．（2024·江苏南京·二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程． 【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形． 【初步思考】 （1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究． 【深入探究】 （2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明． 已知：四边形和四边形中，，． 求证：四边形四边形．证明： （3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题： ①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”； ②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”； ③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”； ④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”． 其中真命题是______．（填写所有真命题的序号） （4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程． 【答案】（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析． 【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例； （2）先判断出△，得出，，，进而得出△，得出，，，即可得出结论； （3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可； （4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明． 【详解】（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似， “四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形， 故答案为：菱形和正方形； （2）证明：连接、， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 即，， 综上，四边形四边形． （3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似． ②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，， 但四边形不与四边形相似． ③已知：如图，四边形和四边形中，，，． 求证：四边形四边形． 证明：连接，． ，且， △， ，，， ， ， ， ， △， ，，， ，，，，， 四边形与四边形相似； ④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似． 故答案为：③， （4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边． 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下： 已知：四边形和四边形中，，，，． 求证：四边形四边形． 证明：∵，，， ∴． 连接、， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上，四边形四边形． 【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题． 【经典例题四 相似多边形的性质】 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，于，矩形、矩形的顶点分别在、的三边上，且矩形矩形．已知下列某个选项中的线段之比可求两矩形的相似比，则这个选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，可得，，再由矩形矩形，可得两矩形的相似比等于，连接，证明，可得，可证得，从而得到，故D选项符合题意；，故A选项不符合题意；再证明， 可得，，故B，C选项不符合题意，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即，， 如图，连接， ∵矩形矩形， ∴两矩形的相似比等于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项符合题意； ∴，故A选项不符合题意； 在矩形、矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴，，故B，C选项不符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， ，即， 四边形ABFE是矩形， 是的平分线，且， ， 四边形ABFE是正方形， ， 又四边形ABCD是黄金矩形，且， ， 设，则， ， ， ， 则，， 即，选项A正确； ，， 即，选项B正确； ，， 即，选项C错误； ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质，掌握理解黄金矩形的定义是解题关键． 3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在矩形纸片中，，，截去矩形．若剩下的矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解答本题的关键． 由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：为矩形， ， 矩形与矩形相似， ，即， 解得：， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知在矩形中，分别是上的点，且．两动点都以每秒的速度分别从两点同时出发沿向点运动．猜想当点运动多长时间时，矩形与矩形相似．写出你的猜想过程． 【答案】当点运动或时，矩形与矩形相似． 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质、矩形的性质以及动态问题中的数量关系，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 设点的运动时间为，要使矩形与矩形相似，需分种情况讨论：①当矩形矩形时，②当矩形矩形时，将相关数值代入求解即可． 【详解】解：设点的运动时间为． ， ． ①当矩形矩形时，， 即，解得； ②当矩形矩形时，， 即，解得． 故答案为：当点运动或时，矩形与矩形相似． 【经典例题五 相似三角形的判定综合】 1．（24-25九年级上·江苏·期中）定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据题目中“自相似四边形”的定义，在网格中找到符合条件的点即可． 【详解】解：如图1，由，得，故为所求点； 如图2，由，得，故为所求点； 如图3，由，得，故为所求点； 如图4，由，得，故为所求点； 如图5，由，得，故为所求点； 符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 3．（23-24九年级上·上海杨浦·期末）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC= 度 【答案】145 【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD和△DBC中，已知∠ABD=∠CBD，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C，则△ABD与△DBC全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD， △ABD与△DBC相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC，∠ADB=∠C. 又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°.    【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键. 4．（2024·福建宁德·一模）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）若AB=4，求的值； （3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）16；（3）EB=EG，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰三角形的两个底角相等，等角的补角相等，证明△ABE ≌△CBF即可； （2）证明EBF△∽△ECB∽△BAF，列出比例式计算即可； （3）先证明△BEF∽△CGF，得到，根据∠EFG=∠BFC，证明△EFG∽△BFC即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．       ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB．    ∴． ∴=16．      （3）如图2 ∠EBF=∠GCF=45°， ∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF. ∴. 即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF. ∴EB=EG. 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形相似的判定方法是解题的关键． 【经典例题六 选择或补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图①，，时，． 如图②，，，则，故； 如图③，，，则，故△； 如图④，，，则△． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似． 2．（2025·河南焦作·二模）如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，由相似三角形的判断方法，即可判断．关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、，，故该选项不符合题意； B、，，故该选项不符合题意； C、，，故该选项不符合题意； D、由可得，，，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级下·全国·课后作业）在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为 . 【答案】8或 【分析】与相似要分成两种情况来进行讨论，一种是，则需；一种是，则需，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出AE的值． 【详解】∵， ∴分或两种情况讨论: ①如图(1)，当时，有， 即，解得； ②如图(2)，当时，有， 即，解得.综上所述，AE的长为8或. 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进行分析． 4．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，▱ABCD中，∠ABC为锐角，AB＜BC，点E是AD上一点，延长CE到F，连接BF交AD于点G，使∠FBC=∠DCE． （1）求证：∠D=∠F； （2）在直线AD找一点P，使以点B，P，C为顶点的三角形与以点C，D，P为顶点的三角形相似．（在原图中标出准确P点的位置，必要时用直尺和圆规作出P点，保留作图的痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】分析：(1)∠FBC＝∠DCE，只需证得∠CDE＝∠BCF即可；(2)作△FBC的外接圆与直线AD的交点和点A即是满足条件的点P. 详解：⑴证明：∵□ABCD ∴AD∥BC ∴∠DEC＝∠FCB ∵∠FBC＝∠DCE ∴∠D＝∠F ⑵正确用尺规作图作出：△BFC的外接圆交直线AD于点P1，P2，和找到与点A重合的P3点. 点睛：本题考查了圆周角的性质和相似三角形的判定，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，有两个角相等的两个三角形相似. 【经典例题七 相似三角形——动点问题】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论．利用分类讨论及方程的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵运动时间为，则，， ∵，，， ∴当与相似时，有或， 当时，则有， ∴， 解得：； 当时，则有， ∴， 解得：； 综上所述，当点、同时运动秒或秒后，与相似． 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）如图所示，中，厘米，厘米，，点从点开始沿边向以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，若以点、、为顶点的三角形与相似，则点运动的时间为（    ） A． B．2 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键.分两种情况讨论，可得或，据此解答即可． 【详解】解：∵， ①设经过后，， 根据已知条件，可得，，则， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握三角形的性质是解题的关键； 设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【答案】(1)、 (2)、2 (3)、 【分析】（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【详解】（1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 相似三角形的判定与性质综合】 1．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，．动点均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图2所示．则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中获取有效的信息，是解题的关键；观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值；根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴,即． 综上所述，． 故选：A． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键． 由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：点，分别是的三等分点， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在和中，，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，由等腰直角三角形的性质可得，再证明，得到，，进而可证明，得到，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴正半轴上，点的坐标是，点是边上一动点（不与点，点重合），连接，过点作射线交的延长线于点，交边于点，且，令，． (1)当为何值时，？ (2)求与的函数关系式． (3)在点的运动过程中，是否存在，使的面积与的面积之和等于的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时， (2) (3)点的运动过程中，存在，使的面积与的面积之和等于的面积 【分析】（）由题意知，，，，进而证明，得到，即得，解方程即可求解； （）证明，得到，即得，即可求解； （）假设存在符合题意，过点作交于点，交于点，则，由的面积与的面积之和等于的面积可得，即得，得到，再由可得，由（）所得函数关系式求出的值即可判断求解； 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：假设存在符合题意，过点作于点，交于点，则， ∵的面积与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴由（）得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴在点的运动过程中，存在，使的面积与的面积之和等于的面积． 【经典例题九 相似三角形的综合问题】 1．（2023·广西百色·中考真题）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把M点的运动过程分为AE段（）和BE段（）两个过程，然后根据题意可知在AE段，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；同理当在BE段时，分别表示出四个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图像进行判断即可 【详解】解：如下图所示，当M点的运动过程在AE段 则由题意可知 ∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点 ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵直线l⊥AB ∴∠OME=∠A=90° ∴△HAE∽△OME ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当M点的运动过程在BE段 同理当在BE段时 即 同理可以得到 ∴ ∴ ∴ 综上所述当M点的运动过程在AE段时，二次函数开口向下；当M点的运动过程在BE段时，二次函数开口向上 故选D. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算. 2．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别作 x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据轴，D点为线段EF的中点，可得， 点为线段的中点，是的中线，则有 ,求得，设，则，即 的坐标是（0，），的坐标是（，0），有， ，把点，点的坐标代入，可得的坐标是（ ，），的坐标是（，），设直线 的解析式是，把，的坐标代入，可求得直线的解析式是 ，根据点在轴上，可求得的坐标是（，0），则有 ，利用，，即有 ，利用， ，可求出， 【详解】解：∵轴，D点为线段EF的中点， ∴， ∴点为线段的中点，是的中线， ∴, ∴，即：， 设，则， 即的坐标是（0，），的坐标是（，0）， ∴，， 把点的坐标代入，得：， 把点的坐标代入，得：， ∴的坐标是（，），的坐标是（， ）， 设直线的解析式是，把，的坐标代入， 得： ，解之得： ∴直线的解析式是， ∵点在轴上，∴ 把代入直线的解析式得：， 解得， ∴的坐标是（，0）， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 3．（2024·湖北武汉·三模）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若，则= ． 【答案】 【分析】根据题意，设，，由，分别得到，，进而得到，再由列式求出x的值，代入即可得到的值． 【详解】根据题意，设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴或 ∴（由图可知） ∴当时， 当时，（舍） 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定及性质，熟练掌握相似的证明方法是解决本题的关键． 4．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 【经典例题十 重心的有关性质】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G是的重心，过点G作分别交于点M，N，过点N作交于点D，则四边形与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的重心、平行四边形的判定和性质等知识点，关键是掌握相似三角形的性质是解题的关键． 如图：连接，延长交于H，由三角形重心的性质得到，，由，推出，，由，推出，由平行四边形的性质推出，得到，由，推出，得到即可解答． 【详解】解：如图：连接，延长交于H， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据是的重心可得，过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，易证OM=ON，设，分别表示出四边形和的面积即可 【详解】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E ∵是的重心， ∴，D是BC中点 ∴BD=CD， ∵MN∥BC ∴ ∴, ∴ ∵ME∥AB ∴ ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ∵x为定值 ∴当y越小时值越大 ∴当时最大，此时GH∥BC 故选:A 【点睛】题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形的性质知识点．解题的关键是表示出． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，，，是其重心，那么以、、为三边的三角形的面积是 ． 【答案】2 【分析】如图：延长交于D,再延长,使得,根据题意可证四边形是平行四边形，即、，最后根据三角形的重心将三角形三等分以及等底等高即可解答；掌握三角形的重心是三角形的中线的三等分点是解答本题的关键． 【详解】解：如图：延长交于D,再延长,使得, ∵是中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵, ∴那么以、、为三边的三角形为 ∵, ∴平行四边形的面积为， ∴． 故答案为2． 4．（2023·四川乐山·中考真题）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、. （1）如图1，当∥时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. （3）如图3，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论成立，理由见解析；（3）（1）中结论不成立，理由见解析. 【分析】（1）根据G为重心可知，由EF∥BC可知,，故 （2）过点作∥交的延长线于点，、的延长线相交于点，则，，故要求式子，又，D是的中点，即，故有，所以原式，又有，得，故结论成立； （3）由G点为重心可知，当点与点重合时，为中点，，故当点在的延长线上时，，,则，同理：当点在的延长线上时，，故结论不成立. 【详解】（1）证明： 是△重心 ,    又∥, ,,      则.           （2）（1）中结论成立，理由如下： 如图，过点作∥交的延长线于点，、的延长线相交于点， 则， 又 而是的中点，即 又 结论成立； （3）（1）中结论不成立，理由如下： 当点与点重合时，为中点，, 点在的延长线上时，, ,则， 同理：当点在的延长线上时，， 结论不成立. 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是通过三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1与相似比结合来解题，并合理作出辅助线来解题. 【经典例题十一 相似三角形实际应用】 1．（2024·山东潍坊·一模）如图，圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影．已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（　　）    A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．1.44πm2 D．3.24πm2 【答案】B 【分析】如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，依题意可以得到△OBC∽△OAD，然后由它们的对应边成比例可以求出地面影子的半径，这样可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD，    ∴△OBC∽△OAD ∴，而OD=3，CD=1， ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= ×1.2=0.6 ∴， ∴AD=0.9 S⊙D=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为0.81πm2． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例求出地面影子的半径，就可以求出阴影部分的面积． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动，为人在路灯照射下的影子，为人在路灯照射下的影子．当人从点走向点时两段影子之和的变化趋势是（  ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．不变 D．先变短后变长再变短 【答案】C 【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得.又AB∥CD，得出，设=a,DF=b（a,b为常数），可得出，从而可以得出，结合可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果. 【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG, ∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH, ∴ 又AB∥CD，∴. 设=a，DF=b, ∴, ∴ ∴ ∴GH=， ∵a,b的长是定值不变， ∴当人从点走向点时两段影子之和不变． 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 3．（22-23九年级上·山东济南·阶段练习）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长 米． 【答案】0.32 【分析】如图：作，垂足为D，并延长交于E，然后证明，可得，最后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：作，垂足为D，并延长交于E， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（米）． ∴镜长至少为0.32米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键． 4．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 学科网（北京）股份有限公司 $