九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2012）

该初中数学九年级上册第一章复习讲义以“二次函数”为核心，构建了从概念理解到图像性质、解析式求解再到实际应用的完整知识体系。通过思维导图清晰呈现函数定义、开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素之间的逻辑关系，辅以表格对比不同形式二次函数的特征与解法，帮助学生建立结构化认知框架，精准定位易错点和高频考点。 讲义的亮点在于融合“抽象能力”“推理意识”和“模型意识”三大核心素养，设计分层练习提升思维深度。例如第7题通过表格数据推断函数性质，训练学生从具体数值中抽象规律的能力；第25题结合几何图形探究最值问题，强化数形结合与逻辑推理；第18题将喷水池情境建模为抛物线问题，体现数学语言表达现实世界的应用价值。每类题型均配有方法指导和典型错误分析，既助力基础薄弱学生掌握基本技能，又支持学优生拓展思维，教师可据此实施差异化教学，实现高效备考。

九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，函数图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）若抛物线的解析式为，则对于其图像的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数值有最小值 3．（湖南省长沙市师大附中集团联考2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考试题）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 4．（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为．若，的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2023-2024学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应如下表所示：下列说法：①；②；③；④当时，；⑤关于x的方程的解是．正确的有（    ）个． x … 0 1 2 3 … y … 3 6 7 6 … A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线M：，若，且当时，，则a的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 第II卷（非选择题） 2、 填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，，的图像都在二次函数上，则，，的大小关系是 ． 12．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；其中正确的结论有 （只填序号） 13．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有以下结论：①； ②；③；④；⑤．其中正确的序号有 ． 14.（2023-2024学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．A点距离水平面为米，即．如果曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是，该抛物线的顶点是，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位后经过点．求平移后的解析式． 16．（22-23九年级下·安徽·自主招生）解关于x的不等式． 17．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 18．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，已知点，是直线与反比例函数图象的交点 (1)求a和b的值以及该反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 19．（2025九年级上·北京·专题练习）已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，，求y关于x的函数解析式． 20．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 21．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围． 22．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与y轴相交于A点． (1)已知，若，y有最大值9，求a的值； (2)①求A点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次函数与反比例函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（23-24九年级上·全国·开学考试）下列函数中，函数图象是抛物线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数和二次函数的图象，根据一次函数，反比例函数和二次函数的图象逐项判断即可． 【详解】A．是反比例函数，图象是双曲线，故选项A不符合题意； B．是正比例函数，图象是直线，故选项B不符合题意； C．是一次函数，图象是直线，故选项C不符合题意； D．是二次函数，图象是抛物线，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）若抛物线的解析式为，则对于其图像的说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数值有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，解答的关键是熟知二次函数的顶点式及其性质． 根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线中二次项系数， ∴开口向下，故A选项不合题意； ∴抛物线的对称轴是直线，故B选项不合题意； ∴抛物线的顶点坐标为，故C选项符合题意； ∴函数值有最大值，故D选项不合题意． 故选：C． 3．（湖南省长沙市师大附中集团联考2025-2026学年九年级上学期数学第一次月考试题）已知抛物线，下列结论错误的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的性质，先把函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴当时，取最大值2，故选项C正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对选项进行判断；由于当时，，则抛物线的顶点在第四象限，从而得到抛物线开口向上，抛物线与轴有个交点，从而可对B、C选项进行判断；通过比较点和点到对称轴的距离，根据二次函数的性质得到，于是可对D选项进行判断． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线的对称轴为直线，所以选项A不符合题意； 当时，， 抛物线的顶点在第四象限， 抛物线开口向上，所以选项B符合题意； 抛物线与轴有个交点，所以C选项不符合题意； 点到直线的距离大于点到直线的距离， 而抛物线开口向上， ，所以D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为．若，的面积为，过A、B、O三点的抛物线上有异于A、B、O的一点M，点M的坐标为，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握三角形面积公式，二次函数的对称性是解题的关键 根据的面积为求得，根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴OA＝5， ∵点B的坐标为，且，的面积为， ∴． ∴， ∴， ∵抛物线经过原点和点， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线上有异于A、B、O的一点， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2023-2024学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应如下表所示：下列说法：①；②；③；④当时，；⑤关于x的方程的解是．正确的有（    ）个． x … 0 1 2 3 … y … 3 6 7 6 … A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴是直线， ∴该函数的顶点坐标是，有最大值，开口向下， ∴， ∵时，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵图象经过点， ∴，故②正确； ∵由表格可得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； 由表格可得，当时，或，故④错误； ∵函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴关于x的方程的解是．故⑤正确； 所以，正确的结论是②③⑤，共3个， 故选：B． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）次函数图象的对称轴，若关于的一元二次方程在的范围内有实数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据对称轴求出的值，从而得到，5时，函数的值，再根据一元二次方程在（为实数）的范围内有解相当于与在的范围内有交点解答． 【详解】解：抛物线的对称轴， ， 则方程，即的解相当于与直线的交点的横坐标， 方程在的范围内有实数解， 当时，， 当时，， 又， 抛物线的对称轴为，最小值为， 当时，则， 当时，直线与抛物线在的范围内有交点， 即当时，方程在的范围内有实数解， 的取值范围是， 故选：A． 9．（2023九年级上·浙江台州·竞赛）设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数，二次函数性质，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握一次函数，二次函数性质．由“逼近函数”定义逐项判断即可． 【详解】解：由“逼近函数”定义知在上，时，函数与在上是“逼近函数”， 令，     当时，最大为1，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，①正确； 令， 在上，当时，最大为1，当时，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，②正确； 令， 在上，当和时，取最大值1，时，取最小值为，③正确； 故选：D． 10．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线M：，若，且当时，，则a的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，可得，令，解得、，又可知当时，即，抛物线符合题意；再分2种情况讨论：①当时，抛物线开口向上；②当时，抛物线开口向下，再结合抛物线与x轴交点的位置进行分析即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴令，则， ∴，， 当时，即，此时， ∴当时，符合题意； 当时，抛物线与x轴的交点为和． 下面分2种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上，此时， 若，则抛物线在的图象在x轴下方，不符合题意； 若即，则抛物线在的图象y随着x的增大而增大，且满足，符合题意． ∴． ②当时，抛物线开口向下，此时， ∴抛物线在的图象在x轴上方， ∵当时，， ∴， ∴． 综上所述，a的取值范围为或． 故选：D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知点，，的图像都在二次函数上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得到抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，然后比较三个点到对称轴的距离即可求解． 【详解】解：在中，，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大， ，， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；其中正确的结论有 （只填序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数和x轴的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． 由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴为直线 得到，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则；由，，得到；由抛物线的对称轴为，当时的函数值是最大值为，可得时，得到时，，于是有． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，所以②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时的函数值是最大值为， ∴当时，； ∴，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴，所以④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 13．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有以下结论：①； ②；③；④；⑤．其中正确的序号有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到，则可对②进行判断；利用对称轴可对③进行判断；利用时函数值为正数可对④进行判断；利用结合可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 所以③错误； ∵抛物线开口向下，是对称轴，所以对应的y值是最大值， ∴，所以④正确． 当时对应的函数图象在x轴下方，即， ∴， 而， ∴，故⑤正确； 所以，正确的结论是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 14.（2023-2024学年山东省青岛市局属四校九年级（上）期末数学试卷）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．A点距离水平面为米，即．如果曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是，该抛物线的顶点是，那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，直接利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出a的值，再求出当时x的合适值即可． 【详解】解：由题意可得，设抛物线解析式为： ， 当时，， 则， 解得：， 故抛物线解析式为：， 当时，， 解得：，（不合题意舍去）， 故圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位后经过点．求平移后的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的平移及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键；根据向右平移1个单位则横坐标加1，求出平移后的抛物线顶点坐标，然后写出顶点式解析式，再将经过的点的坐标代入求出a的值，从而得解． 【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位， ∴平移后的抛物线顶点坐标为，解析式为， ∵抛物线向右平移1个单位后经过点， ∴， 解得， ∴平移后的解析式为． 16．（22-23九年级下·安徽·自主招生）解关于x的不等式． 【答案】当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 【分析】本题考查了求不等式的解集，解一元二次方程，二次函数的图象和性质． 当时，直接化为求解即可；当时，先求出方程的解，进而分两种情况借助二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】解：①当时，原不等式可化为，解得； 当时，解得，， ②当时，，即，由二次函数的性质可知，当或时，即原不等式的解集为或； ③当时，，同理可得原不等式的解集为； ∴当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 17．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 18．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，已知点，是直线与反比例函数图象的交点 (1)求a和b的值以及该反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法确定反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）由一次函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴得，， ∴点， 把点代入得：， 即反比例函数的解析式为； （2）解：根据图象可得，不等式的解集为或． 19．（2025九年级上·北京·专题练习）已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，可设，，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式． 【详解】解：设，， ∴． 把当时，；当时， 代入可得， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为． 20．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了运用描点法画函数图象、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 利用列表、描点、连线画出函数、的图象，再根据的图象和的图象关于x轴对称作图即可，． 【详解】解：观察三个函数表达式可知，三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点． 函数图象如图所示： 21．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象与性质，解不等式组，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键． （1）利用二次函数的顶点式解题即可； （2）先求出其开口方向以及对称轴，从而知道时，其函数值与时相等，从而推出，从而解得答案． 【详解】（1）解： 不妨设抛物线为：，代入点， 那么有， 解得， ； （2）解： ， 对称轴为，开口向下， 与关于对称， 时，其函数值与时相等， 当，时，均有， ， ． 22．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 23．（2025九年级上·浙江·专题练习）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与y轴相交于A点． (1)已知，若，y有最大值9，求a的值； (2)①求A点坐标； ②已知，，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由，可得，进而对称轴是直线，再结合当，有最大值，分为①若开口向下，和若开口向上，分别计算可以得解； （2）依据题意，令，则，可得；依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再由抛物线过，，可得对称轴是直线，结合，且抛物线过，，，故，即，再分类讨论计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴， ∴对称轴是直线， ∵当，有最大值， 若开口向下， ∴当时，， ∴， ∴； 若开口向上， 当时，取最大值， ∴， ∴； 综上，或． （2）解：由题意，令，则， ∴， 由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又抛物线过，， ∴对称轴是直线， ∵，且抛物线过，，， ∴，即， 第一种情形：当时，即， ∴无解． 第二种情形：当时，即． ∴． ∴． 第三种情形：当时，即． ∴． ∴． 第四种情形：当时，即． ∴无解． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $