八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪科版2024）

八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平面直角坐标系、函数与一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·模拟预测）若点位于第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·全国·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图所示，第一次移动到，第二次移动到，．．．，第n次移动到，则的坐标是(    ) A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 8．（2024八年级·广东深圳·竞赛）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 9．（2024·广东·模拟预测）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　） ①快车的速度为；②慢车的速度；③E点坐标为；④线段的函数关系式为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 10．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，点均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 12．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 14．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线与x轴交于点A，与过点的直线交于点C，点D为线段上一动点，点E在直线上，满足，交直线于点F，点G、H、P分别是的中点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 16．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）在平面直角坐标系中，若，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，． (1)线段的“勾股距”________； (2)若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”. 17．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 18．（2025·陕西汉中·模拟预测）一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题： (1)请你说明点与点的实际意义． (2)当两车之间距离时，经过了多长时间？ 19．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    (1)求点，的坐标及四边形的面积注：四边形的面积用表示 (2)在轴上是否存在一点，连接，，使，若存在这样一点，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时不与，重合，的值是否变化，若变化请说明理由，若保持不变请进行证明并求出其值． 20．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 21．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 22．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）设直线（是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为，求的值． 23．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）． (1)直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为______； (2)求线段DE的长（用含t的代数式表示）； (3)点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：平面直角坐标系、函数与一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值，再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式，通过绝对值方程求解的值．本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解，熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键． 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 2．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标，长方形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵， ∴细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处， 即细线的另一端所在位置点的坐标是． 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）若点位于第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，用数轴表示不等式组的解集，以及各象限内点的坐标特征，熟练掌握第四象限内点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标小于0，用数轴表示不等式组的解集是解题关键． 由P点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 在数轴上表示为： 故选：D． 4．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题的关键． 根据点的平移规律解答即可． 【详解】将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点的坐标是，即． 故选：D． 5．（22-23八年级上·全国·期中）已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象是解决本题的关键． 先根据正比例函数的性质确定的取值范围，再根据一次函数的性质判断一次函数的图象特征． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， 对于一次函数，其中一次项系数， ∴一次函数随的增大而增大， 即函数图象从左到右上升， ∵， ∴一次函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综合以上分析，一次函数的图象过第一、三、四象限． 故选：B． 6．（23-24七年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图所示，第一次移动到，第二次移动到，．．．，第n次移动到，则的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标变化规律，仔细观察图象，得到点的坐标变化规律是解题的关键．根据图象可得移动4次完成一个循环，从而可根据该变化规律求得的坐标． 【详解】解：，，，，，，…， 结合坐标变化规律与图象特征，可知移动4次完成一个循环， ， 的坐标为， 则的坐标是． 故选：A． 7．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标，矩形的周长，掌握知识点是解题的关键． 由点A，B，C，D的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵，， ∴细线的另一端所在位置是点C，点C的坐标是． 故选：C． 8．（2024八年级·广东深圳·竞赛）对于平面直角坐标系中任意两点，，称为M，N两点的直角距离，记作：．如：，，则．若是一定点，是直线上的一动点，称的最小值为P到直线的直角距离，则到直线的直角距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，新定义，理解直角距离的含义是解题的关键．根据直角距离的定义，点P到直线的直角距离即为P到该直线上所有点的直角距离的最小值．设直线上的点Q坐标为，计算，可知当时，取到最小值0，此时最小，即可得解． 【详解】解：设直线上的点Q坐标为， 则， 当时，取得最小值0，此时直角距离最小为2， 到直线的直角距离为2， 故选：． 9．（2024·广东·模拟预测）快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中快车休息1.5小时．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为千米，慢车行驶的路程为千米，图中折线表示与x之间的函数关系，线段表示与x之间的函数关系，下列说法正确的是（　　） ①快车的速度为；②慢车的速度；③E点坐标为；④线段的函数关系式为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，利用一次函数的性质和数形结合思想是解题的关键． 根据函数图象中的数据可以求得快车和慢车的速度以及E点坐标；设线段所表示的y与x之间的函数表达式是，利用待定系数法解答即可求出线段的函数关系式． 【详解】快车的速度为：（千米/小时），故①说法正确； 慢车的速度为：（千米/小时），故②说法正确； 点E的横坐标为：，则点E的坐标为，故③说法正确； 快车从点E到点C用的时间为：（小时）， 则点C的坐标为， 设线段所表示的y与x之间的函数表达式是， ，解得， 即线段所表示的y与x之间的函数表达式是，故④说法正确； 故选：D． 10．（2025八年级·全国·竞赛）如图，点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．若在x轴正半轴上有整点（n为正整数），则内部（不包括边界）的整点个数m的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，新定义，点的规律．先理解整点的定义，再研究当时，整点为共三个点，当时，点B的横坐标的值是4；当点B的横坐标为8时，即时，整点个数，当点B的横坐标为12时，即时，整点个数，故当点B的横坐标为（n为正整数）时，，即可作答． 【详解】解：如图： ∵点A的坐标是，像这样横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．且在x轴正半轴上有整点（n为正整数）， ∴当时，则点B在点时，内部（不包括边界）的整点为共三个点， ∴当点B的横坐标的4时，； 当点B的横坐标为8时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， 当点B的横坐标为12时， 即时，内部（不包括边界）的整点个数， ∴当点B的横坐标为（n为正整数）时，； 故选：B 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，点均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】4048 【分析】写出到的坐标，找到它们纵坐标与下标的规律，用代数式表示这个规律，根据点的纵坐标为列出方程，解方程即可得到n的值．本题考查点的坐标规律，找出坐标与下标n的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知 ∵点的纵坐标为， ∴在第三象限， 第三象限的点的纵坐标与下标n的关系为： 纵坐标 则当时，解得， 故答案为：4048． 12．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 先由待定系数法求出一次函数和正比例函数的解析式，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴将代入，则， 解得：， 再将代入，则， 解得：， ∴一次函数与正比例函数解析式分别为，， ∴不等式即为， 解得：， 故答案为：． 14．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，直线与x轴交于点A，与过点的直线交于点C，点D为线段上一动点，点E在直线上，满足，交直线于点F，点G、H、P分别是的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/1.2 【分析】本题考查直线方程、两直线交点坐标、两点的中点坐标及线段长度公式，解题的关键是熟练掌握直线方程的求解，线段长度的表示． 根据题意求出点，设，利用，求出点，再根据直线交点坐标的求法得到点，接着根据中点坐标求法得到点，表示出即可得到最小值． 【详解】解：由题知， ，所以， 设，则， 又E在直线上，所以可设， 则， 两边平方得， 即，解得或， 又，所以， 设直线的方程为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 则，解得，所以， 所以中点，的中点， 故的中点， 则， 所以当时，取得的最小值． 故答案为：． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图标明了李华同学家附近的一些地方． (1)根据图中所建立的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标； (2)某星期日早晨，李华同学从家里出发，经过了点，，，，写出他路上经过的地方． 【答案】(1)学校的坐标为、邮局的坐标为； (2)李华经过的地方依次为：商店、公园、汽车站 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据网格图写出学校、邮局的坐标； 根据坐标在平面直角坐标系中找出相应的位置，可以写出经过的地方． 【详解】（1）解：由图可得：学校的坐标为、邮局的坐标为； （2）解：由图可得：是李华家， 是商店， 是公园，是汽车站， 李华从家里出发经过的地方依次为：商店、公园、汽车站． 16．（2024八年级上·安徽阜阳·竞赛）在平面直角坐标系中，若，式子的值就叫做线段的“勾股距”，记作．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系中，． (1)线段的“勾股距”________； (2)若点在第三象限，且，求并判断是否为“等距三角形”﹔ 【答案】(1)5 (2)11，不是“等距三角形” 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据“勾股距”的定义求出，，，再根据等距三角形的定义判断即可； 【详解】（1）解：由“勾股距”的定义知：， 故答案为：； （2）解：， ， 点在第三象限， ，， ， ， ，即， ， ， ，，， 不是为“等距三角形”； 17．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 18．（2025·陕西汉中·模拟预测）一列快车从甲地驶向乙地，一列慢车从乙地驶向甲地．两车同时出发．设慢车的行驶时间为（），快车与慢车之间的距离为（）．请你根据图像回答下列问题： (1)请你说明点与点的实际意义． (2)当两车之间距离时，经过了多长时间？ 【答案】(1)点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻 (2)或 【分析】（）根据题意及函数图象解答即可； （）根据函数图象求出慢车和快车的速度，再分两车相遇前距离和两车相遇后距离，分别列出方程解答即可； 本题考查了函数图象的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：点的实际意义是快车到达乙地的时刻，点的实际意义是慢车到达甲地的时刻； （2）解：由函数图象可得，慢车的速度为，快车的速度为， ①两车相遇前距离， 则， 解得； ②两车相遇后距离， 则， 解得； 答：当两车之间距离时，经过了或． 19．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，现同时将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．    (1)求点，的坐标及四边形的面积注：四边形的面积用表示 (2)在轴上是否存在一点，连接，，使，若存在这样一点，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时不与，重合，的值是否变化，若变化请说明理由，若保持不变请进行证明并求出其值． 【答案】(1)，8 (2)点的坐标为或； (3)的值不变，值为，见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质和三角形面积公式． （1）根据平移的性质得到点，的坐标及，，根据面积公式计算可得； （2）根据面积关系得，求出即可； （3）过点作，依据平行线公理的推理可得到，由平行线的性质和角的和差关系可证明，故此可求得问题的答案； 【详解】（1）∵点，的坐标分别为， ∴， ∵将点，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点，的对应点，， ∴， ∴，， ∴； （2） ∴， ∴ ∴ ∴点的坐标为或； （3）解：的值不变，值为1，理由如下， 过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 21．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 22．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）设直线（是正整数）与两坐标轴所围成的图形的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，需要熟练掌握并理解.在解题中，要能根据题意找出规律是解答此题，即使用拆项的方法来解题． 依据题意，首先画出函数的草图，求出直线与两坐标轴的交点，再求出围成的图形的面积． 【详解】解：直线与轴、y轴的交点坐标分别为， 所以， 故 . 23．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与直线和直线分别交于点E，D（D在E的上方）． (1)直线和直线交于点M，填空：点M的坐标为______； (2)求线段DE的长（用含t的代数式表示）； (3)点N是y轴上一动点，且为等腰直角三角形，直接写出t的值及点N的坐标． 【答案】(1) (2)，且 (3)当时，N点坐标为或；当时，N点坐标为；当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为 【分析】（1）联立方程，解方程组即可求得； （2）将x=t代入解析式，得到D，E的坐标，DE的出就是纵坐标的差； （3）根据直线在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点坐标． 【详解】（1）解：解得 ∴M， 故答案为：． （2）当时，；当时，． ∴D点坐标为，E点坐标为． ∵D在E的上方， ∴，且． （3）∵△NDE为等腰直角三角形， ∴∠NED=90°，NE=DE或∠NDE=90°，ND=DE或∠END=90°，NE=ND. 若∠NED=90°，NE=DE时，则N(0,-t)，(t>0)或(t<0)， 解得t=-4(舍去)或， ∴N(0，)， 若∠NDE=90°，ND=DE，则N(0, )，(t>0)或(t<0) 解得t=-4(舍去)或， ∴N(0，)， 若∠END=90°，NE=ND，则N(0, )，(t>0)或(t<0) 解得t=4或， ∴N 或N． 综上所述：当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为或； 当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为； 当时，为等腰直角三角形，此时N点坐标为． 【点睛】此题考查了两条直线相交或平行问题，难度很大，涉及变量较多，解答时需要将x转化为t，然后根据等腰三角形的性质进行推理，由于情况较多，容易造成漏解，故解答时要仔细． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $