八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册前两章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点在第一象限，则关于x的不等式的解集（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象不经过第三象限 C．它可以由平移得到 D．y随x的增大而增大 6．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地距离s（）和骑行t（）的函数关系如图，（1）他们都骑行了，（2）乙在途中停下，（3）甲乙两个人同时到达目的地，（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度，根据图象信息，以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24八年级下·福建莆田·开学考试）甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶（在两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立刻以原速返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是（　　）小时 A． B． C． D． 8．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点．一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点到达处时，运动的总路径的长为（       ）    A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（   ） A．乙车的速度为 B．两地相距 C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 12．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且A在B的右侧，连接，若在所围成区域内（含边界）． （1）若，横坐标和纵坐标都为整数的点有 个． （2）横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4，那么a的取值范围为 14．（24-25八年级下·四川自贡·期中）已知函数，当 时，直线过原点；为 数时，函数随的增大而减小． 15．（24-25七年级下·河南开封·期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 16．（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 17．（2024·河北唐山·一模）在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度，圆心角是扇形按图中的方式摆放，动点从原点出发，沿着“半径弧弧半径半径...”的曲线运动，若点在线段上运动的速度为每秒个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第秒运动到点(为自然数)，则的坐标是 ；的坐标是 ． 18．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 20．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某数学兴趣小组成员为探究关于的不等式组解的情况，设计任务如下，请你帮助他们解决相关问题． 任务一：当不等式①，②均取等号时，即，求的值． 任务二：（1）当不等式①取等号时，即，求的取值范围； （2）将满足条件的的值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形是___________（填“直线”、“射线”或“线段”）． 任务三：计算机将满足不等式组的的值分别作为横、纵坐标在平面直角坐标系上描点如图．小明结合图象和以上两个任务解决的过程，猜想：的取值范围是．该猜想是否正确，并说明理由． 21．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式：． (1)求，，的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 22．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上任意一点，且满足，求点P的坐标． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）A地到B地的路程为，由于B地灾情紧张，A地物资中心对B地进行支援．甲、乙两辆物资车分别从A地和B地出发匀速行驶相向而行．甲车到B地后立即按原速度返回，已知乙车的速度为每小时，且到A地后停止行驶，原地待命．它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如图所示． (1)______，______； (2)请你求出甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出甲车出发多长时间两车相距． 24．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）李华同学寒假计划将社会实践活动与勤工俭学相结合，用元批发男、女两种款式的羽绒服进行销售，男款每件进价元，售价元；女款进价元，售价元，若购进男、女两种款式的羽绒服共件，其中男款羽绒服不少于件． (1)求李华同学男款羽绒服最多批发多少件？ (2)实际销售时，对男款羽绒服以每件优惠元（为整数）的价格进行优惠促销活动，女款羽绒服价格不变，则李华同学应如何进货，为多少元才能获得最大利润？ 25．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外每分钟收费元；B类收费标准如下：不收取月租费，但通话费按元/min计． (1)设通话时间为x和手机话费为y，请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式． (2)若每月平均通话时长为200分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 27．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点． （1）求点的坐标； （2）当点落在的中点时，求点的坐标； （3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，点. （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）一次函数（为常数）. ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期第一次月考押题重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：八年级上册前两章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若点在第一象限，则关于x的不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了第一象限内点的坐标特征，以及解一元一次不等式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据第一象限内点的坐标特征得到，进而推出，再结合不等式性质解一元一次不等式，即可解题． 【详解】解：点在第一象限， ， 则， 解得， 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，，…；则根据图示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由图可得，，，，，，，，…… 其中，，， 结合图象可得，的横坐标等于，纵坐标等于， ， 点的坐标为， 故选C． 3．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，点，的坐标分别为，，若将线段移至，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换--平移，代数式求值．由平移前后对应点的坐标，可确定平移方式，从而可得和即可得的值． 【详解】解：∵点平移后的对应点为，，点平移后的对应点为，， ∴线段向右平移个单位，向上平移个单位， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A ． 4．（2023九年级·全国·专题练习）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（   ） A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）对于函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象必经过点 B．它的图象不经过第三象限 C．它可以由平移得到 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平移问题等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质即可判断A、B、D，根据一次函数图象平移得到相同即可判断C． 【详解】解：A、把代入，则，则它的图象不经过点，故本选项不符合题意； B、由于，则它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项符合题意； C、由于函数与函数的不同，故不能由平移得到，故本选项不符合题意； D、由于，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意， 故选：B． 6．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地距离s（）和骑行t（）的函数关系如图，（1）他们都骑行了，（2）乙在途中停下，（3）甲乙两个人同时到达目的地，（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度，根据图象信息，以上说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象获取信息，解答即可． 本题考查了函数的图象，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：（1）根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了，故原说法正确； （2）乙在出发后，路程不增加，故乙在途中停留了，故原说法正确； （3）由图象可知，甲比乙早到了小时，原说法不正确； （4）相遇后，甲直线上升得快，甲的速度大于乙的速度，故原说法不正确， 故选：B． 7．（23-24八年级下·福建莆田·开学考试）甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶（在两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立刻以原速返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是（　　）小时 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的应用，由函数图象可得两车的速度差为千米/小时，设乙车原速度为千米/小时，则乙车后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时，由图象可得，解方程得到乙车原速度为千米/小时，后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时，即可求出乙车返回与甲相遇时间为时，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，之间的距离为千米， 两车的速度差为：千米/小时， 设乙车原速度为千米/小时，则乙车后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 即乙车原速度为千米/小时，后来速度为千米/小时，甲的速度为千米/小时， 乙车到地时，甲车距地的距离为：千米， 乙车返回与甲相遇时间为：时， ∴甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是小时， 故选：． 8．（2025·青海玉树·模拟预测）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为（单位：）．两车之间的距离为（单位：）．图中的折线表示与之间的函数关系．下列结论：；普通列车出发与动车相遇；普通列车行驶时，动车到达终点乙地；经过或两车相距，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像的应用，熟练掌握图像相关数据是解题的关键. 折线分三段：第一段两车相向而行，第二段背向而行至动车到达乙地，第三段普通列车行至甲地（动车停止）． ①t时刻是相遇后两车相距180千米的时刻，用3小时加两车共行驶180千米的时间即可. ②初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； ③全程除以动车速度即为动车到达终点时间； ④设经过，两车相距，列方程解答验证是否是或． 【详解】解：由图象可得， 普通列车的速度为：， 动车的速度为：， ，故正确，符合题意； 普通列车出发与动车相遇，故正确；符合题意； ， 即普通列车行驶时，动车到达终点乙地，故错误，不符合题意； 设经过，两车相距， 相遇前：，得； 相遇后：，得； 即经过或两车相距，故正确，符合题意； 故选：B． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点．一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点到达处时，运动的总路径的长为（       ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线l1:y=x+1可知,A（0,1）,则B1纵坐标为1,代入直线l2:y=x+中,得B1（1,1）,又A1、B1横坐标相等,可得A1（1,2）,则AB1=1,A1B1=2-1=1,可判断AA1B1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得A1A2B2、A2A3B3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y轴的直线上两点横坐标相等,及直线l1、l2的解析式,分别求AB1+A1B1,A1B2+A2B2的长,得出一般规律． 【详解】解：由直线直线l1：y=x+1可知，A（0，1），根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1（1，1），AB1=1， A1（1，2），A1B1=2-1=1，AB1+A1B1=2， B2（3，2），A2（3，4），A1B2=3-1=2，A2B2=4-2=2，A1B2+A2B2=2+2=4=22， …， 由此可得An-1Bn+AnBn=2n， 所以,当动点到达处时,运动的总路径的长为, 故选． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律． 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（   ） A．乙车的速度为 B．两地相距 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像，分别求出甲、乙行驶的时间，速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 本题考查函数图像与行程问题，理解其数量关系是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为， ∴甲用行驶了， ∴甲的速度为 由可知乙用追上了甲， 此时甲行驶了，路程是， ∴乙用了行驶了， ∴乙的速度是， 故A选项错误，不符合题意； B、由可知，时甲、乙两车相距， ∴，即A、B两地相距， 故B选项错误，不符合题意； C、，即甲、乙两车最远相距， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，， ∴ ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键．根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值确定出点的横坐标与纵坐标，即可得解． 【详解】解：点P在第四象限且到x轴距离为5，到y轴距离为3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，点，点，点，且A在B的右侧，连接，若在所围成区域内（含边界）． （1）若，横坐标和纵坐标都为整数的点有 个． （2）横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4，那么a的取值范围为 【答案】 6 【分析】本题考查坐标与图形的性质，一元一次不等式组的应用，分析题目找出横纵坐标为整数的个点存在于线段AB上是解题的关键． （1）把代入，进而确定横坐标和纵坐标都为整数的点即可． （2）根据“点，点，点，且在的右侧，连接，，若在，，所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为”，得出除了点外，其它个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段上，从而求出的取值范围． 【详解】解：（1）当时，则：点，点， ∵， ∴在所围成区域内横坐标和纵坐标都为整数的点有，共6个； 故答案为：6 （2）∵点在点的右侧， ∴， 解得：， 记边，，所围成的区域（含边界）为区域，则落在区域的横纵坐标都为整数的点个数为个， ∵点，，的坐标分别是，，， ∴区域的内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点， ∴已知的个横纵坐标都为整数的点都在区域M的边界上， ∵点的横纵坐标都为整数且在区域的边界上， ∴其他的个都在线段上，如图， ∴， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·四川自贡·期中）已知函数，当 时，直线过原点；为 数时，函数随的增大而减小． 【答案】 / 负 【分析】此题考查了一次函数的性质和增减性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将，代入即可求解； （2）根据一次函数的性质，时，y随x的增大而减小，列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：（1）当直线过原点，则时，， ∴， 解得：． ∴当时，直线过原点； （2）∵函数随的增大而减小， ∴， 解得：． ∴为负数时，函数随的增大而减小． 故答案为：；负 . 15．（24-25七年级下·河南开封·期末）某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键． 根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，，即． 故答案为：． 16．（2025·湖北·模拟预测）一次越野跑中，小明和小刚同时出发，当小明跑了米时，小刚跑了米，此后两人分别以a米/秒、b米/秒的速度匀速跑，他们之间的距离y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，读懂函数图象并获取准确的等量关系，列出方程组是解题的关键．由图和题意可知：不妨设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，又过秒时，小刚追上小明，秒时小刚到达终点，秒时小明到达终点，由此列出方程组求得、，进一步求得答案即可． 【详解】解：设此后小明和小刚分别以米秒和米秒匀速跑，由题意得 ， 解方程组得． 所以全程米． 故答案为： 17．（2024·河北唐山·一模）在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度，圆心角是扇形按图中的方式摆放，动点从原点出发，沿着“半径弧弧半径半径...”的曲线运动，若点在线段上运动的速度为每秒个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第秒运动到点(为自然数)，则的坐标是 ；的坐标是 ． 【答案】 【分析】设第n秒运动到（n为自然数）点，根据点K的运动规律找出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“（，）；（，）；（，）；（，）”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设第n秒运动到（n为自然数）点， 观察，发现规律：（，）；（，）；（，）；（，）；（，）；…… ∴（，）；（，）；（，）；（，）； ∵2020=4×504+4， ∴（，）； 故答案为：（，）；（，）． 【点睛】本题考查了规律题型中的点的坐标，准确找出坐标变化规律是解题的关键． 18．（24-25八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表： 2 下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与方程的关系、求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系、两点间距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由表格结合直线的表达式即可判断①；先用a表示出m、n，然后判断的正负即可；③根据一次函数解析式判断③即可；先求得直线L过定点，然后根据两点之间垂线段最短以及两点间距离求解即可判定④． 【详解】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确； 由题意可得：，解得：， ∵， ∴，不一定大于零， ∴不一定成立，即②错误； 若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方， ∴这两条直线平行， ∴， ∴，解得：， ∴，即③正确； ∵， ∴两式相加可得：， ∴，， ∴， 令，解得：， ∴直线l过定点， 根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即 ， ∴的最大值为． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． (2)点P的坐标是 (3)点P移动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标； （2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是． （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 20．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某数学兴趣小组成员为探究关于的不等式组解的情况，设计任务如下，请你帮助他们解决相关问题． 任务一：当不等式①，②均取等号时，即，求的值． 任务二：（1）当不等式①取等号时，即，求的取值范围； （2）将满足条件的的值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形是___________（填“直线”、“射线”或“线段”）． 任务三：计算机将满足不等式组的的值分别作为横、纵坐标在平面直角坐标系上描点如图．小明结合图象和以上两个任务解决的过程，猜想：的取值范围是．该猜想是否正确，并说明理由． 【答案】任务一：；任务二： （1）；（2）射线；任务三：猜想正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 任务一：即可得出y的值，代入即可求出x； 任务二：（1）由⑤可得，将其代入⑥中，即可求得x的取值范围； （2）因为有一个端点已经固定，所以坐标平面内由这些点组成的图形是射线； 任务三：不等式①取等号时，由⑤可得，将其代入⑥中，即可求得y的取值范围． 【详解】解：任务一：， 由可得， 解得：， 把代入③，， 解得：， ； 任务二：（1）， 由⑤可得，将其代入⑥中， 可得， 解得； （2）因为有一个端点已经固定，所以坐标平面内由这些点组成的图形是射线， 故答案为：射线； 任务三：猜想正确，理由如下： ， 当不等式①取等号时，， 由⑤可得，将其代入⑥中， 可得， 解得， 故猜想正确． 21．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式：． (1)求，，的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形． （1）利用绝对值和算术平方根的非负性求解即可； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵点的坐标为， ∴四边形的面积 ． 22．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上任意一点，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何综合． （1）根据题意求出点C的坐标，将，C的坐标代入中求解，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点B的坐标，设点P的坐标为，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， 点C的坐标为． 将，的坐标代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：当时，有，解得， 点B的坐标为， 设点P的坐标为， ∵， 即：， 整理得， 解得，， 点P的坐标为或． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）A地到B地的路程为，由于B地灾情紧张，A地物资中心对B地进行支援．甲、乙两辆物资车分别从A地和B地出发匀速行驶相向而行．甲车到B地后立即按原速度返回，已知乙车的速度为每小时，且到A地后停止行驶，原地待命．它们离各自出发地的距离与行驶时间之间的关系如图所示． (1)______，______； (2)请你求出甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； (3)直接写出甲车出发多长时间两车相距． 【答案】(1)8， (2)； (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程，解题的关键是根据已知列出函数关系式及分类思想的应用． （1）由已知直接可得的值，根据乙车速度及路程为480千米可得的值； （2）由图可得甲车速度是，分两种情况可得到甲车离出发地A地的距离与行驶时间之间的函数关系式； （3）分三种情况：两车相遇前相距千米，两车相遇后相距千米，乙车到达A地后，甲车返回距A地千米，分别列出方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：由甲车到B地后立即返回可得：， 乙车的速度为每小时， ． 故答案为：8，； （2）解：由图可得甲车速度是， 当时，， 当时，， ∴； （3）解：当两车相遇前相距千米时，根据题意得： ，解得， 当两车相遇后相距千米时，根据题意得： ，解得， 乙车到达A地后，甲车返回距郑州千米， 根据题意得：，解得， 综上所述，甲车出发或或，两车相距千米． 24．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）李华同学寒假计划将社会实践活动与勤工俭学相结合，用元批发男、女两种款式的羽绒服进行销售，男款每件进价元，售价元；女款进价元，售价元，若购进男、女两种款式的羽绒服共件，其中男款羽绒服不少于件． (1)求李华同学男款羽绒服最多批发多少件？ (2)实际销售时，对男款羽绒服以每件优惠元（为整数）的价格进行优惠促销活动，女款羽绒服价格不变，则李华同学应如何进货，为多少元才能获得最大利润？ 【答案】(1)件 (2)李华同学批发男款羽绒服件，批发女款羽绒服件时，为元才能获得最大利润 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意可以得到，然后即可得到的取值范围，从而可以得到李华同学男款羽绒服最多批发多少件； （2）根据题意，可以写出利润关于的函数解析式，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值，以及此时和的值． 【详解】（1）解：设李华同学男款羽绒服批发件，则女款羽绒服批发件， 由题意可得：， 解得， 男款羽绒服不少于件， ， 答：李华同学男款羽绒服最多批发件； （2）解：设利润为元， ， ，为整数，， 当，为整数时，随的增大而增大，此时，，取得最大值为，， 当时，； 当，为整数时，随的增大而减小，此时，，取得最大值为，， 答：李华同学男款羽绒服批发件，女款羽绒服批发件时，为元才能获得最大利润． 25．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+b交y轴于点A（0，1），交x轴于点B（3，0）.平行于y轴的直线x=1交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x=1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）. （1）求直线AB的表达式； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP=2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标. 【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）n﹣1；(3) （3，4）或（5，2）或（3，2） 【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）根据铅直高度与水平宽度的积可得三角形的面积； （3）先计算当S△ABP＝2时，P的坐标，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，分三种情况讨论：分别以三个顶点为直角顶点画三角形，根据图形可得C的坐标． 【详解】（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b， 把点A（0，1），点B（3，0）代入得：解得：， ∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+1； （2）∵P（1，n）， ∴D（1，），即PD＝n﹣， ∴S△ABP＝PD▪OB＝（n﹣）×3＝n﹣1； （3）当S△ABP＝2时，2＝n﹣1，解得n＝2， ∴点P（1，2）． ∵E（1，0）， ∴PE＝BE＝2， ∴∠EPB＝∠EBP＝45° ①如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC， 过点C作CN⊥直线x＝1于点N． ∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°， ∴∠NPC＝∠EPB＝45°． 又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC， ∴△CNP≌△BEP， ∴PN＝NC＝EB＝PE＝2， ∴NE＝NP+PE＝2+2＝4， ∴C（3，4）． ②如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC， 过点C作CF⊥x轴于点F． ∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°， ∴∠CBF＝∠PBE＝45°． 又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP， ∴△CBF≌△PBE． ∴BF＝CF＝PE＝EB＝2， ∴OF＝OB+BF＝3+2＝5， ∴C（5，2）． ③如图3，∠PCB＝90°， ∴∠CPB＝∠EBP＝45°， ∠CPB＝∠EBP，BP＝BP，∠PCB＝∠PEB＝90° ∴△PCB≌△BEP， ∴PC＝CB＝PE＝EB＝2， ∴C（3，2）． ∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC， 综上所述点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）． 【点睛】本题是待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，以及三角形的面积的综合应用，求得直线的解析式是关键． 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外每分钟收费元；B类收费标准如下：不收取月租费，但通话费按元/min计． (1)设通话时间为x和手机话费为y，请写出A，B两种计费方式分别对应的函数表达式． (2)若每月平均通话时长为200分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由． 【答案】(1)A类：，B类： (2)应该选择B类缴费方式，见解析 【分析】本题主要考查了函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数解析式． （1）根据两种收费方式，列出函数解析式即可； （2）根据两种收费方式求出费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得， A类：， B类：； （2）解：应该选择B类缴费方式，理由如下： 根据题意得， A类：当时，（元）， B类：当时，（元）， ∵， ∴应该选择B类缴费方式． 27．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，将一个正方形纸片放置在平面直角坐标系中，点，．动点在边上，点在边上，沿折叠该纸片，使点的对应点始终落在边上(点不与，重合)，点落在点处，与交于点． （1）求点的坐标； （2）当点落在的中点时，求点的坐标； （3）当点在边上移动时，设，求点的坐标(用表示)． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）因为C点为正方形的端点，且正方形的边长及坐标轴中的位置已知，所以可以很快确定出C点的坐标， （2）运用图形的翻折，设OE=x可以将边长AE、AM、EM用x表示出来，再运用勾股定理，即可求出x的值，E点的坐标便可知， （3）将OE的长设为a，AM的长设为t，将边长AE、AM、EM用a、x表示出来，再运用勾股定理，便可求出a与t的关系式，则E点坐标便可求得． 【详解】解：（1）证明：∵正方形，，， ∴，且每个内角都是90°，即，， ∴点的坐标为． （2）∵M为AC中点， ∴， 设，则，， 在中，，即，求得， ∴． （3）设点E的坐标为， 由题意可知：，，， 在中，，即， 整理得， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题主要考查了写出直角坐标系中点的坐标、折叠问题与勾股定理的结合、正方形中的动点问题，做题的关键在于通过折叠的图形其边长一一对应相等，所以可以将未知的边长用已知量来表示，之后再运用计算公式进行求解，便可得出答案． 28．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，点. （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）一次函数（为常数）. ①求证：一次函数的图象一定经过点； ②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）①见解析，②且. 【分析】（1）根据待定系数求解析式即可； （2）设直线与轴的交点为点，求出点D的坐标，然后根据可得出结果； （3）①把一次函数整理为的形式，再令x+3=0，求出y的值即可； ②根据直线一定经过点A,而且与线段BC有交点，可得直线在绕着点A从直线AC顺时针旋转到直线BC之间的区域，再结合a≠0从而得出结果. 【详解】解：（1）设直线的解析式是，将点，点代入的，得 ，解得， ∴直线的解析式是； （2）设直线与轴的交点为点， 则点的坐标为， ； （3）①证明：∵， 令x+3=0，得x=-3,此时y=2. ∴必过点，即必过点； ②当直线与直线AC重合时，可得4=3a+2,解得a=, 当直线与直线AB重合时，可得1=a+3a+2,解得a=, ∴a的取值范围是：且. 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了是利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点以及与几何图形的综合问题，有一定的难度. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $