专题2.5圆的方程重难点题型讲义（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

专题2.5圆的方程重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心（或半径）求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 圆过定点问题 题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径 拓展训练一 圆的标准方程相关问题求解 拓展训练二 圆的一般方程相关问题求解 知识点一：圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【即时训练】 1．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的外接圆方程，将，，代入即可求解. 【详解】设的外接圆方程为， 所以，解得， 所以外接圆的方程为. 故选：. 2．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 知识点二：二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【即时训练】 1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】若方程表示圆，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为 . 【答案】或， 【分析】将其配方，即可根据求解. 【详解】由可得， 故，解得或， 故答案为：或， 【经典例题一 由圆心（或半径）求圆的方程】 【例1】（2023·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 1．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理可构造方程求得半径，进而得到圆心坐标，由此可得圆的方程. 【详解】设该圆的半径为，如图， 由题意知：，，， 由勾股定理得：，即，解得：， ，即圆的圆心为，则圆的方程为. 故选：A. 2．（多选）（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 3．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【详解】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 4.（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和圆上的点求圆的半径，可得圆的标准方程. （2）根据垂径定理，圆心在线段的垂直平分线上，又圆心在直线上可求圆心，再求半径，得圆的标准方程. 【详解】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径 故圆的标准方程为 （2）因为圆与y轴交于点，所以圆心在直线y=3上. 又圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径， 故圆的标准方程为. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 【答案】 【分析】设圆的标准方程，将3个点的坐标代入圆的标准方程，建立方程组，解出a，b，r即可. 【详解】设所求的方程是．① 因为，，三点都在圆上，分别代入方程①． 得即 三式两两相减，整理得解得 代入，得． 所以的外接圆的标准方程是． 1．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助待定系数法计算即可得. 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 2．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，根据条件建立方程组，联立方程求解出，即可求解. 【详解】设圆的方程为， 因为圆过点是，，三点， 所以①，②，③， 由①②得到④，由②③得到⑤， 由④⑤解得，代入①，得， 所以圆的方程为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为、，求这个圆的方程． 【答案】 【分析】根据题意可得圆心为垂直平分线与垂直平分线的交点，从而可得圆心坐标，再根据求得半径，从而可写出圆的方程. 【详解】令，所求圆的半径为. 因为圆过点，所以圆心在垂直平分线上，即圆心在直线上， 同理,圆过点，则圆心在直线上， 所以圆心， 所以， 所以所求圆的方程为.    【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：    曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求出下列方程表示的圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)圆心为，半径 (2)圆心为，半径 (3)圆心为，半径 (4)圆心为，半径 【分析】由圆的标准方程为，分析即得解 【详解】（1）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （2）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （3）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 （4）由于圆的标准方程为 故表示的圆的圆心为，半径 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】先根据条件证明，然后即可得到答案. 【详解】命题等价于到的距离属于，即，从而. 故的所有可能取值为，共个. 故选：B. 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 【答案】ABD 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径即可判断四个选项的正误，进而可得符合题意的选项； 【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误； 对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误， 对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确； 对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误， 故选：ABD. 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 【答案】2 【分析】设圆心为，由题意列式求解，即得答案. 【详解】因为圆C的圆心在直线上， 故设圆心为，由题意可得圆的半径为或， 则，解得，即得圆的半径为2， 故答案为：2 4．（23-24高二上·山西朔州·期中）求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 【答案】（x﹣4）2+（y+3）2=25，圆的半径为 【分析】设出圆的一般方程，把代入所设,得到关于的方程组，求解,即可求得圆的一般方程，化为标准方程，进一步求得圆心坐标与半径. 【详解】设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则，解得D=﹣4，E=3，F=0， ∴圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0， 化为（x﹣4）2+（y+3）2=25， 可得：圆心是（4，﹣3）、半径r=5． 【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于简单题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（   ） A．；1 B．； C．；1 D．； 【答案】D 【分析】首先化简为圆的标准方程，再求圆心和半径. 【详解】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：D 【例2】（2023高三·全国·专题练习）当，时，把化简成圆的标准方程的形式． 【答案】 【分析】将原式移项并整理得到，进而化为圆的标准式，注意参数k的范围. 【详解】由题设，则， 又，，则. 1．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】化圆的一般方程为标准方程即可得解. 【详解】由可得圆的标准方程：， 故圆的半径为3. 故选：C 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】因为，则，且中点为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程为，展开得， 故选：A. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知圆的方程为，其面积为，则 . 【答案】 【分析】把圆的一般方式化为标准方程即可得到圆的半径，利用圆的面积即可求得结果. 【详解】由得，圆的半径为， 由圆的面积为得，，解得. 故答案为：. 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆心坐标为，半径为5的圆的方程 (2)是圆心坐标为，半径为的圆的方程 (3)不是圆的方程，理由见解析 【分析】（1）将方程配方成圆的标准方程的形式，可知其表示的是以为圆心，半径为5的圆； （2）将方程两边除以4，化简可得其表示的是圆心坐标为，半径为的圆； （3）通过配方可知方程无解，即其表示的不是圆的方程. 【详解】（1）原方程可以化为， 即，是圆的方程； 圆心坐标为，半径为5． （2）方程两边除以4，得． 将左边配方，得，是圆的方程； 即圆心坐标为，半径为． （3）因为原方程可以化为，即， 又因为满足上述方程的实数x，y不存在，所以原方程不是圆的方程． 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）判断与是否是圆的方程，并说明原因. 【答案】答案见解析 【分析】根据圆的一般方程对表达式进行判断即可得出结论. 【详解】易知即为，其中 满足，其圆心为，半径为的圆； 对于来说，，不是圆的方程. 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【答案】A 【分析】圆的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】表示圆， 则，解得. 故选：A 2．（多选）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】AB 【分析】由求出的取值范围，对各选项逐一验证即可. 【详解】由或. 故选：AB 3．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课前预习）当时，方程表示什么图形？当时，方程表示什么图形？ 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①当时，方程表示点． ②当时，方程不表示任何图形． 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【详解】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据题设建立方程求解即可. 【详解】，， 代入，得， 化简得， 则动点的轨迹方程为． 1．（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【详解】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 【答案】. 【分析】设该圆的一般方程为，把题干所给条件代入解方程组即可. 【详解】设该圆的一般方程为， 令，得，所以； 令，得，所以. 所以，所以.① 又，两点在圆上， 所以，② .③ 由①②③，得，，，经验证符合题意， 故所求圆的方程为. 【经典例题七 圆过定点问题】 【例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【例2】（23-24高三·全国·专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 【答案】证明见解析. 【分析】把动圆方程转化为关于实数a的一元一次方程，利用恒等式知识可得定点坐标． 【详解】证明：圆系方程可化为. 设. ∵对（）恒成立， ∴，解得或. 因此，圆系过定点和. 1．（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆． 【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆M的圆心和半径，可排除B，C选项，再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线的位置． 【详解】解：由x2＋y2－2ax＋2by＝0，得， 所以圆心，半径为， 由此可知圆过坐标原点，所以排除B，C， 由选项A，D可知， 所以直线l：ax－y＋b＝0过一、三、四象限， 故选：A． 3．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程； （2）设定点坐标，，表示出圆的方程，当为变量时，，能使该等式恒成立，即且，解方程组可得定点坐标． 【详解】（1）因为圆心在直线上， 所以设圆心的坐标为. 又因为动圆经过坐标原点， 所以动圆的半径，所以半径的最小值为. 并且此时圆的方程为：. （2）设定点坐标，，因为圆的方程为： 所以， 即， 因为当为变量时，，却能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点，. 【经典例题八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】求两圆的圆心，再求直线方程. 【详解】圆的圆心为， 圆可化为， 所以圆心为，圆心所在直线的斜率为，所以两圆圆心所在直线的方程为. 故选：C 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 【答案】证明见解析 【分析】找出圆心坐标，消去参数即可. 【详解】证明：由圆方程得： ． 设圆心坐标为，则， 由得，代入化简得：， 所以不论为何值，圆心在同一直线上． 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先转化为圆的标准方程，求圆心，再求两点间距离. 【详解】根据题意，圆可化为， 所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为． 故选：B 2．（多选）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 【答案】ACD 【详解】圆可化为.圆心坐标为适合方程. 正确，不适合错误，把代入圆的方程适合，正确，又， 正确.故选ACD. 3．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 4．（23-24高二上·辽宁盘锦·期末）已知圆，直线． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求实数的值． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为；（2）或. 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的圆心坐标和半径； （2）利用圆心到直线的距离等于半径，可得出关于的等式，进而可解得实数的值. 【详解】（1）圆的方程化为标准方程为：， 故圆的圆心坐标为，半径为; （2）圆心到直线的距离为，整理得，解得， 故实数的值为或． 【点睛】本题考查圆心坐标与半径的求解，同时也考查了利用直线与圆相切求参数，考查计算能力，属于基础题. 【拓展训练一 圆的标准方程相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【答案】B 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. (1)求圆C的方程； (2)若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）设，，由中点坐标公式可得，，代入圆C方程，整理即可求解. 【详解】（1）设圆C方程：， 由已知，解得， ∴圆C的方程为. （2）设点，. ∵， ∴. 整理得，， ∵点B在圆C上，∴， ∴点M的轨迹方程为. 1．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得. 【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根， ，， 显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则， 设过三点的圆方程为，由，得， 显然是的两个根，于是， 又，联立解得，又， 因此，而当或时，， 所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能. 故选：A 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 【答案】ABC 【分析】求出线段的垂直平分线的方程，两条垂直平分线的交点坐标即为圆心坐标，再求得半径后可得圆标准方程，求出后可判断各选项． 【详解】OM中点，中点，OM的垂直平分线PE的直线方程为①．MN的垂直平分线PF的直线方程为②． 联立①②，得解得则点为PE，PF的交点，即为圆心，，即为圆的半径．所以圆的方程为．． 故选：ABC． 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知点，，，则的外接圆方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法进行求解即可. 【详解】设外接圆的方程为， 因为，，， 所以，解得， 因此外接圆的方程为，， 故答案为：. 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，结合斜率公式即可得解； （2）设的外接圆方程为，利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）设， 由题意得，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为； （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以的外接圆方程为. 【拓展训练二 圆的一般方程相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 【例2】（24-25高二上·广东汕头·期中）（1）一条光线从点射出，遇反射，反射光线所在直线的倾斜角为，若，求反射光线所在直线方程； （2）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）求出点关于的对称点，求出斜率即可得反射光线所在直线方程； （2）直接根据待定系数法即可得结果. 【详解】（1）设点关于的对称点， 由题意得，解得，即， 由于，所以， 可得反射光线所在直线的斜率， 所以反射光线所在直线方程为，即. （2）设的外接圆的方程为， 由题意得，解得， 所以的外接圆的方程为， 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 2．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 由题意知,圆过点，和， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故选：A 3．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    【答案】 【分析】利用给定条件求解圆的半径，再求周长即可. 【详解】如图，以为原点建系，易知，连接，    不妨设中点为，直线中垂线所在直线方程为， 化简得，所以圆心为，半径为，且经过点 即，化简得， 解得， 结合题意可得，故圆的周长为. 故答案为： 4．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】选择见解析； 【分析】设圆方程为，利用待定系数法即可得解； 【详解】若选①： 依题意，设圆方程为，，， 则，解得， 所以圆方程为，标准方程为． 若选②： 依题意，设圆方程为，， 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆方程为，标准方程为. 若选③： 依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径， 所以圆标准方程为. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为． 故选：D. 2．（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由弦的垂直平分线确定圆心坐标，求得半径即可. 【详解】由题意圆心在的垂直平分线上即在上， 也在的垂直平分线上即在上， 所以圆心坐标为：，， 所以圆的标准方程为：， 故选：A 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简圆的表达式，得出圆心坐标和半径，利用所有点都在第二象限，即可得出的取值范围. 【详解】由题意， 在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3．    ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【详解】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 5．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【详解】由方程表示圆得，， 解得. 圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 6．（多选）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 【答案】AC 【分析】先计算圆P的圆心及半径，在利用点到圆心的距离与半径的大小关系一一判定即可. 【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 易知，，，， 所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内． 故选：AC． 7．（多选）（2023·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项. 【详解】对于A，点在圆上，故A正确； 对于B，点在圆上，故B正确； 对于C，点都不在圆上，故C错误； 对于D，点都不在圆上，故D错误； 故选：AB. 8．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 9．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 10．（多选）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或. 【详解】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】利用两点距离公式，即可求解圆心和半径得解，或者利用圆的几何性质，根据弦的垂直平分线经过圆心可得圆心，即可由两点距离求解半径得解. 【详解】方法一：圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则，解得， 所以圆的标准方程为． 方法二：弦的中点为，且直线平行于轴， 则弦的垂直平分线为直线，即圆心． 所以半径， 则圆的标准方程为． 故答案为： 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题可得圆心坐标，求出半径即可得到圆的标准方程；由向量的线性运算可得，即，代入点坐标求解即可. 【详解】由解得所以． 设半径为，则， 则圆的标准方程为． ，即， 又，所以， 故点在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：，. 13．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，把圆的方程化成标准方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为， ∴圆的半径为. 故答案为：. 14．（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出. 【详解】依题意，圆转化为标准方程得，所以圆心坐标为. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 【答案】， 【分析】由题设，令其为，令则是的两个根，经过，，三点的圆为，将点代入得，，进而有，令求定点坐标. 【详解】由题设，可得，故， 令，则，不妨令其为，令 令，则，且， 所以或，则是的两个根， 经过，，三点的圆为， 所以，即是的两个根，则， 且且（否则与中一点重合且为原点），则， 综上， ，则， 令，可得，即或， 对应分别为，所以圆必过，. 故答案为：， 16．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 【答案】 【分析】利用待定系数法即可列方程求解半径和圆心，进而得解. 【详解】设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的标准方程为：. 17．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知直线，一束光线从原点射出，经反射． (1)写出原点到反射光线距离的取值范围（只写结果即可，不需要写出求解过程）； (2)若反射光线平分，求入射光线对应的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称的性质，结合反射的性质进行求解即可； （2）根据点关于线对称的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】（1）设原点关于的对称点坐标为， 所以有， 因此原点关于的对称点坐标为，如图，    当入射光线方向为方向时，到反射光线的距离取最小值0； 因为直线的斜率为， 所以反射光线斜率不等于，故到反射光线的距离取不到， 可无限接近，故原点到反射光线距离的取值范围是． （2）由，得的标准方程为， 故反射光线过圆心． 设关于的对称点为， 则解得 故入射光线的直线方程为． .   18．（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【答案】 【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解. 【详解】解：由题意可知，则方程可化为. 所以，即，解得或， 当时，方程为，方程配方得，不符合题意； 当时，方程为，方程配方得，符合题意； 综上所述，. 19．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【答案】(1)存在， (2)过定点或 【分析】（1）令，得，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程. （2）设过A，B，C的圆P的方程为列出方程组利用圆系方程，推出圆P方程恒过定点即可. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程． （2）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【答案】（1）；（2），圆心坐标为，半径为. 【分析】（1）求出中点和斜率后可求垂直平分线的方程； （2）利用待定系数法可求圆的一般方程，化简后可求圆心和半径。 【详解】（1）的中点为，而的斜率为， 故中垂线的方程为. （2）设圆的一般方程为， 由题设有，解得， 故圆的一般方程为，化简得到， 故圆的圆心坐标为，半径为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5圆的方程重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 由圆心（或半径）求圆的方程 题型二 求过已知三点的圆的标准方程 题型三 由标准方程确定圆心和半径 题型四 圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型六 求圆的一般方程 题型七 圆过定点问题 题型八 由圆的一般方程确定圆心和半径 拓展训练一 圆的标准方程相关问题求解 拓展训练二 圆的一般方程相关问题求解 知识点一：圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径). 圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【即时训练】 1．（24-25高二上·海南·阶段练习）的三个顶点的坐标分别为，，，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 知识点二：二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【即时训练】 1．（2025·四川眉山·三模）方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为 . 【经典例题一 由圆心（或半径）求圆的方程】 【例1】（2023·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 1．（2025·海南·模拟预测）如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 4.（24-25高二上·广东深圳·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点. 【经典例题二 求过已知三点的圆的标准方程】 【例1】（23-24高二上·天津南开·期中）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程． 1．（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆经过三个点分别是，，，则圆的方程为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过原点，且与轴、轴的交点的坐标分别为、，求这个圆的方程． 【经典例题三 由标准方程确定圆心和半径】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求出下列方程表示的圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）若圆上恰好有两点到点的距离为3，则整数的取值个数共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．圆的圆心为，半径为5 B．圆的圆心为，半径为b C．圆的圆心为，半径为 D．圆的圆心为，半径为 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为 . 4．（23-24高二上·山西朔州·期中）求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 【经典例题四 圆的一般方程与标准方程之间的互化】 【例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（   ） A．；1 B．； C．；1 D．； 【例2】（2023高三·全国·专题练习）当，时，把化简成圆的标准方程的形式． 1．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知圆的一般方程为，则圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知圆的方程为，其面积为，则 . 4．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由． (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 二元二次方程表示的曲线与圆的关系】 【例1】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·课堂例题）判断与是否是圆的方程，并说明原因. 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 2．（多选）（24-25高二上·重庆巫溪·期中）方程表示圆，则实数a的可能取值为（ ） A． B．2 C．1 D．0 3．（2025高三·全国·专题练习）若点在圆外，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高二上·全国·课前预习）当时，方程表示什么图形？当时，方程表示什么图形？ 【经典例题六 求圆的一般方程】 【例1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）到两定点和的距离的比等于2（即），求动点的轨迹方程． 1．（23-24高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过，，，则圆的一般方程为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 【经典例题七 圆过定点问题】 【例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高三·全国·专题练习）求证：对任意实数，动圆恒过两定点. 1．（23-24高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 2．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【经典例题八 由圆的一般方程确定圆心和半径】 【例1】（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知圆与圆，则两圆圆心所在直线的方程为（   ） A．或 B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求证：不论为何值，圆的圆心在同一直线上． 1．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 3．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 4．（23-24高二上·辽宁盘锦·期末）已知圆，直线． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若直线与圆相切，求实数的值． 【拓展训练一 圆的标准方程相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【例2】（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，并且过原点和. (1)求圆C的方程； (2)若线段的端点，端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 1．（2024·四川绵阳·二模）已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别为，，，则（    ） A．三角形OMN外接圆的方程为 B．三角形OMN外接圆的半径长为5 C．三角形OMN外接圆的圆心坐标 D．大于三角形OMN外接圆的半径 3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知点，，，则的外接圆方程为 . 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）的顶点的垂心（三条高交点）为． (1)求顶点的坐标； (2)求的外接圆方程． 【拓展训练二 圆的一般方程相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·广东汕头·期中）（1）一条光线从点射出，遇反射，反射光线所在直线的倾斜角为，若，求反射光线所在直线方程； （2）的三个顶点分别是，，，求的外接圆的方程． 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·江苏·假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·模拟预测）正方形草地边长到距离为到距离为，有个圆形通道经过，且经过上一点，求圆形通道的周长 .（精确到）    4．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径. 问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程； 注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林·期中）过点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（    ） A．在圆P上 B．在圆P内 C．在圆P内 D．在圆P外 7．（多选）（2023·辽宁葫芦岛·二模）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 9．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 10．（多选）（23-24高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 11．（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆经过，两点，圆心在轴上，则圆的标准方程是 ． 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为 ． 13．（24-25高二下·上海·期末）圆的半径为 ． 14．（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程，则该圆心坐标是 15．（2025高三·全国·专题练习）已知函数过定点，且与坐标轴有3个不同的交点，，，那么经过，，三点的圆一定经过定点 ． 16．（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程. 17．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）已知直线，一束光线从原点射出，经反射． (1)写出原点到反射光线距离的取值范围（只写结果即可，不需要写出求解过程）； (2)若反射光线平分，求入射光线对应的直线方程． 18． （23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 19．（24-25高二下·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 20．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程． （2）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 学科网（北京）股份有限公司 $