精品解析：浙江省宁波中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷

2024学年度宁波中学高一分班考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的结果在哪两个连续整数之间（ ） A. 7与8 B. 8与9 C. 9与10 D. 10与11 3. 某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ） A. B. C D. 4. 若展开，则展开式中的系数等于（ ） A. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和； B. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和； C. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的求和之积； D. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的求和之积； 5. 如图，等边的周长为，是边上的中线，是延长线上一点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定有实数根； ②当，，时，方程一定没有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等实数根. 其中表述正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组，只有正数解的概率为（ ）. A. B. C. D. 9. 已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共10分） 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 D. 存在三个点，使得为等边三角形 11. 已知函数定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为__________. 13. 已知非零实数a、b满足，则等于__________. 14. 阅读下面材料，在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算.现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab=N（a>0.a≠1，N>0），则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8，所以log28=3；因为，所以.我们可以根据对数的定义得到对数的性质：loga（M•N）=logaM+logaN；根据对数的性质计算：___________. 四、解答题（共80分） 15. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E､F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 16. 集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 18. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 19. 阅读以下材料：对于三个实数a､b､c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题： （1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________； （2）①如果，求=___________ ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”. ③运用②的结论，若，则x+y=___________； （3）在同一直角坐标系中作出函数，，图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度宁波中学高一分班考数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念即可解答. 【详解】选项A，旋转180°，与原图形不能够完全重合，不是中心对称图形； 选项B，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形； 选项C，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形； 选项D，旋转180°，能与原图形能够完全重合，是中心对称图形； 故选：D. 2. 的结果在哪两个连续整数之间（ ） A. 7与8 B. 8与9 C. 9与10 D. 10与11 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简 再估算的大小，进一步求解. 【详解】， ， ， . 故选：C. 3. 某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程． 【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元， 依题意可得. 故选：B． 4. 若展开，则展开式中的系数等于（ ） A. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和； B. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和； C. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的求和之积； D. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的求和之积； 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法的分配律可知：即为五个一次式中有三个一次式取，另外两个一次式取常数（即为1，2，3，4，5取两个数），再相乘，对所有结果合并同类型． 【详解】根据乘法的分配律可知：本题五个一次式中每个一次式取一项相乘，再合并同类项 即为五个一次式中有三个一次式取，另外两个一次式取常数（即为1，2，3，4，5取两个数），再相乘，对所有结果合并同类型 ∴的系数等于在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和 故选：A． 5. 如图，等边的周长为，是边上的中线，是延长线上一点，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等边三角形与等腰三角形中线的性质计算每条边长，从而可得答案. 【详解】如图，过点作， ∵，∴是的中点. ∵等边的周长为12，是边上的中线， ∴， ∴，∴，即， ∴的周长为. 故选：A 6. 对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定有实数根； ②当，，时，方程一定没有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根. 其中表述正确的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合二次函数的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①中，当，，时，可得， 因为，所以，所以方程有两个不相等的实数根，所以①正确； 对于②中，当时，满足，，， 此时，此时方程有两个不相等的实数根，所以②不正确； 对于③中，当时，满足，， 此时， 此时方程有两个不相等的实数根，所以③不正确； 对于④中，当，，时，可得， 可得，此时方程有两个相等的实数根，所以④错误. 故选：A 7. 如图，正方形ABCD内接于，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用等腰三角形性质、圆周角与同弧所对圆心角的关系求出，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】连接，设，正方形中，， 由，得， 又，则，解得， 令，则，所以. 故选：D 8. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组，只有正数解的概率为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程，根据方程的解要满足的要求分析共有多少种可能即可求解概率. 【详解】当时，方程组无解； 当时，解得，由已知，即或. 又因为，所以可取的值为 共13组，而时，共可以有36组， 故满足题意的概率. 故选：D 9. 已知是二次函数图象上的一系列点，其中，记（n为正整数），令，则S的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 是二次函数 图象上的一系列点，由已知条件，分别为 ，进而求得 的值. 【详解】由是二次函数 图象上的一系列点，, 所以， ， ， ， 所以 故选：D 二、多选题（每题5分，共10分） 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 D. 存在三个点，使得为等边三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案. 【详解】，正确； ，偶函数，正确； ，正确； 易知三点构成等边三角形，正确； 故选： 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，等腰，，，为上一点，以为斜边作等腰，连接，若，则的长为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】先根据直角三角形的边角关系，确定的长度，再根据，可得对应边成比例，求出的长. 【详解】因为等腰，，，所以. 又因为，所以. 所以. 在和中，，. 所以. 所以. 故答案为：. 13. 已知非零实数a、b满足，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，化简原式得，根据非负数的性质先求出的值，可得答案. 【详解】由题意可得，解得，则， 所以原式可化简为， 则，可得且，解得，， 所以. 故答案为：. 14. 阅读下面材料，在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算.现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果ab=N（a>0.a≠1，N>0），则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN.例如：因为23=8，所以log28=3；因为，所以.我们可以根据对数的定义得到对数的性质：loga（M•N）=logaM+logaN；根据对数的性质计算：___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的定义和运算性质求解即可 【详解】， 故答案为： 四、解答题（共80分） 15. 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E､F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）△BEF为正三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形相全等的判定定理即可证明； （2）利用（1）的结论可得BE=BF，再说明，即可得到结论； （3）找到BE取最小值和最大值的位置，求得其值，根据三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2， ∴△ABD和△BCD都为正三角形，∴ ，BD=BC， ∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，∴DE=CF， ∴△BDE≌△BCF； 【小问2详解】 解：△BEF为正三角形. 理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE=∠CBF，BE=BF， ∵ ， ∴ 即 ， ∴△BEF为正三角形； 【小问3详解】 设BE=BF=EF=x，则， 当BE⊥AD时，x最小,最小值， 当BE与AB重合时，x最大，最大值为2，， . 16. 集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简，根据补集和交集的概念可求出结果； （2）分类讨论，根据子集关系列式可求出结果 【小问1详解】 若，则， 由得，得，则， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得，此时满足； 当时，，解得， 综上所述：a的取值范围为. 17. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】存在，或， 【解析】 【分析】 由题意可得的在，上的最小值大于或等于的最大值．分类讨论的符号，分别求出的最大值和的在，上的最小值，从而求出的范围． 【详解】解：关于的方程的两根为，，△， ，． ，，不等式都成立， 的在，上的最小值，大于或等于的最大值． 的最大值为， 的在，上的最小值，大于或等于4． （1）当时，对于一次函数，当时， 最小值为， 故有，求得． （2）当时，对于一次函数， 当时，最小值为， 故有，求得． 综上可得，存在或，满足题中条件． 【点评】本题主要考查韦达定理，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题． 18. 已知函数，，. （1）若为偶函数，求实数的值； （2）对任意的，都存在使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值； （2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为偶函数， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，所以，解得， 当时，得，由于不恒为，故不满足题意； 当时，得； 经检验，当时，， 所以，易知的定义域为，关于原点对称， 又易得，所以为偶函数， 综上：. 小问2详解】 因为对任意的，都存在使得， 所以， 因为，所以，则， 令，则，， 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，， 则开口向上，对称轴为， 当，即时，上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以当时，，则， 当时，，则， 综上：当时，；当时，， 所以当时，有，解得或，故； 当时，有，解得或，故； 所以或，即. 【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 19. 阅读以下材料：对于三个实数a､b､c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数.例如：；；；，解决下列问题： （1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=___________，如果，则x的取值范围为___________； （2）①如果，求=___________. ②根据①，你发现了结论“如果，那么___________（填，b，c的大小关系）”. ③运用②的结论，若，则x+y=___________； （3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：的最大值为___________. 【答案】（1）， （2）①1；②a=b=c；③﹣4 （3）图象答案见解析，最大值是1 【解析】 【分析】（1）根据题设的数的定义可求，同理根据定义可得关于的不等式组，从而可求其范围. （2）不失一般性，可设，根据定义可得，从而可得三者相同，再根据这个结果可得的方程组，求出的值后可求. （3）在同一坐标系中画出三个函数的图象，根据图象结合定义可求最大值. 【小问1详解】 . 如果，则， 故. 【小问2详解】 如果，不失一般性，设， 则，故即， 而，故，当且仅当时等号成立， 故. 若， 则，故， 所以. 【小问3详解】 函数，，的图象如图所示： 表示三者中较小者，故其图象为图中实线， 设，的图象在上的交点为， 由可得，故， 而，的图象在上的交点的纵坐标为1， 结合图象可得的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$