专题3.2 一元一次方程的解法（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的解法，系统构建从基础运算到复杂变形的知识链条，涵盖合并同类项、移项、去括号、去分母等关键步骤，并延伸至同解方程、整数解问题及实际应用情境，形成由浅入深、层层递进的学习支架。 资料设计突出“抽象能力”“推理意识”与“模型观念”三大核心素养，通过典型例题与错解复原任务引导学生发现易错点，强化逻辑推理与规范书写习惯。如题型05中设置小彬解方程的错误过程，让学生在纠错中深化对移项变号、去分母漏乘的理解，提升思维严谨性。课中可辅助教师精准讲解难点，课后便于学生查漏补缺，巩固解题流程，实现从知识掌握到能力迁移的闭环教学。

专题3.2 一元一次方程的解法 教学目标 1. 掌握解法步骤，能按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的规范流程，准确求解一元一次方程，书写清晰完整的解题过程。 2. 面对含分数、小数、括号等不同形式系数的方程，能灵活运用解法步骤，处理复杂方程，提升运算能力与思维灵活性 。 3. 通过解决实际问题，将实际情境转化为一元一次方程模型，运用方程解法得出答案，培养数学应用意识与建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，理解每一步骤的依据及作用，能够正确运用步骤解各类一元一次方程 。 （2）准确运用去分母、去括号法则，正确处理移项变号、合并同类项和系数化为1的计算，保证解方程的准确性 。 2.难点 （1）去分母时，避免漏乘不含分母的项；去括号时，防止出现符号错误；移项时，牢记变号规则，克服解方程过程中的易错点 。 （2）从复杂的实际问题中提炼出数量关系，构建一元一次方程模型，并运用恰当的解法求出符合实际意义的解 。 知识点01 一元一次方程的解法 ◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. ◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 【即学即练2】 1．解方程 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟悉解一元一次方程的步骤是关键，注意各步不要出错； （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）去分母，方程两边同乘12，化为系数是整数的方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：方程两边同乘12，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 2．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （3）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （4）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 知识点02 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【即学即练3】 1．若关于的方程和方程同解，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得，再把代入，即可求出的值作答． 【详解】解：∵关于的方程和方程同解， ∴由解得 则把代入， 得 解得 故答案为： 2．若方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、方程的解 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，然后将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 把代入，得：，解得：； 故答案为：1． 题型01 解一元一次方程--合并同类型与移项 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式1】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念． （1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【变式2】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （2）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （3）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得； （4）解： 去分母，得 移项，得， 合并同类项，得， 题型02 解一元一次方程--去括号 【典例2】解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． （3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 【变式1】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可； （4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可． 【详解】（1） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （2） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （3） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， （4） 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 【变式3】解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； （3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解； 掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 题型03 解一元一次方程--去分母（整数） 【典例3】解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母， 去括号， 移项，合并同类项， 化系数为1，． 【变式1】解方程∶ 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 【变式3】（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】解：（1）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 题型04 解一元一次方程--去分母（小数） 【典例4】解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【变式1】解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 【变式2】解方程：； 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可； 【详解】解：， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型05 一元一次方程的错解复原问题 【典例5】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． ，（第一步） ，（第二步） ，（第三步） ，（第四步） ．（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________． ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________． (2)任务二：请直接写出该方程的解． 【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第二步开始出现错误， 原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：． 【变式1】以下是圆圆解方程的解答过程． 解：去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得． (1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程； (2)请尝试解方程． 【答案】(1)有错误，见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答． （2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案． 本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得； （2）解：， ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 【变式2】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 【变式3】以下是小明解方程的解答过程． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 (1)以上过程中是从第______步开始出错的． (2)第一问中出现错误的原因____________． (3)写出这个方程的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2)去分母的时候方程右边没有乘以6 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； （2）由（1）可得答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6； 故答案为：一； （2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6， 故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 题型06 利用一元一次方程同解问题求解 【典例6】已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【变式1】若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 【变式2】若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式3】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 题型07 一元一次方程整数解问题 【典例7】若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式1】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 【变式2】关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 【变式3】已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．根据乘法分配律先将2乘进去即可． 【详解】解： 去括号，得， 故选∶B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．根据去分母、去括号、移项以及合并同类项法则逐项变形即可． 【详解】解：A、由，得，原变形错误，不符合题意； B、由，去分母得，去括号移项得，原变形错误，不符合题意； C、由，得，原变形错误，不符合题意； D、由，得，原变形正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是1，则k的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得： ， ， ， ． 故选B． 4．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&amp;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）当 时，代数式比的值大1． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 故答案为： 7．（2024七年级上·全国·专题练习）将方程中含小数的分母转化为整数，得 ． 【答案】 【分析】利用分数的基本性质对方程进行变形，掌握知识点是解题的关键． 分子分母同乘以10即可． 【详解】解： ∵ ∴， 即． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 9．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （2）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （3）解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （4）解： 去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项合并同类项，即可求解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解； （4）利用乘法分配律，原方程变形为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项合并同类项得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：； （4）解： 变形得：， 即， ∴， ∴， 解得：． 14．（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程与的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解答本题的关键． （1）首先求出方程的解，然后代入求解即可； （2）首先将代入，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 将代入， 得， 解得； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 将代入， 得， 解得， 所以这个方程正确的解为． 16．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)若是“相伴有理数对”，求x的值； (2)若是“相伴有理数对”，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义． （1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可； （2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出，将化简，再将代入，即可解答． 【详解】（1）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， 解得：； （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， ∴ 把代入得： 原式 ． 17．（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值等于13，求的值． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程： （1）根据新定义计算即可； （2）先根据新定义得，再去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据定义， 原式 ； （2）解：由题意的得：， ， ， ， ． 18．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2一元一次方程的解法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01一元一次方程的解法 知识清单 知识点02一元一次方程的同解方程 题型01解一元一次方程合并同类型与移项 题型02解一元一次方程-去括号 一元一次方程的解法 题型03解一元一次方程去分母（整数） 题型04解一元一次方程.去分母（小数） 题型精讲 题型05一元一次方程的错解复原问题 题型06利用一元一次方程同解问题求解 题型07一元一次方程整数解问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握解法步骤，能按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的规范流 程，准确求解一元一次方程，书写清晰完整的解题过程。 2.面对含分数、小数、括号等不同形式系数的方程，能灵活运用解法步骤，处理复杂 教学目标 方程，提升运算能力与思维灵活性。 3.通过解决实际问题，将实际情境转化为一元一次方程模型，运用方程解法得出答 案，培养数学应用意识与建模能力 教学重难点 1.重点 (1)熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，理解每一步骤的依据及作用，能够正确 运用步骤解各类一元一次方程。 (2)准确运用去分母、去括号法则，正确处理移项变号、合并同类项和系数化为1的 计算，保证解方程的准确性。 2.难点 (1)去分母时，避免漏乘不含分母的项；去括号时，防止出现符号错误：移项时， 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 牢记变号规则，克服解方程过程中的易错点。 (2)从复杂的实际问题中提炼出数量关系，构建一元一次方程模型，并运用恰当的 解法求出符合实际意义的解。 知识清单 知识点01一元一次方程的解法 ◆合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 ◆去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含 有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：(1)移项的时候注意变号； (2)去括号的适合注意，若括号前是“”号，那么去括号的时候要变号。 【即学即练2】 1.解方程 (1)5(x-2)=6x+7; a2-15.2 6 2.解方程： (1)8x-33x+2)=6: (2)3(x-2)=2-5(x+2): o11 6; 41-23+ 63· 知识点02一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得 到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【即学即练3】 1.若关于x的方程2x+3m-1=0和方程5-3(x+1=2同解，则m的值等于一. 2.若方程亏=1与2x-3a=ax的解相同，则。的值是一. 2/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01解一元一次方程合并同类型与移项 【典例1】解方程： (1)3x-1=2x: ②12 2x=x-3 【变式】解下列方程： (1)9x-7=10x+8: (2)2.3y-3.8=4.8y+1.2」 【变式2】解下列方程： (1)32-2x=3x+7: (2)2-0.3x=3-0.4x; B房-07+05， (4)10x+7=14x-5-3x. 【变式3】解下列方程： (1)2x-1=3x+2: (2)5-x=5x+8: (3)-7x+1=-x+1: 11 =石x+1. 题型02解一元一次方程-去括号 【典例2】解方程 (1)3(x-7)+5(x-4)=15. (2)2(x-1)=2-5(x+2): (3)3(2y+5)=2(4y+3)-3 【变式1】解下列方程： (1)5(x-1)=3(x+1) (2)7-3(x+1)=2(4-x) 62-30m+0=1-2+2m） 3/10 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (4)2x-3[x-2(x-1)]=19 【变式2】解下列方程： (1)5(x+4)-3x=10 (2)7x+9=3(x-1) (3)4-32-x)=5x (4)2(x-I)=6-(x-4) 【变式3】解方程： (1)3=1-2(4+x (2)5(x-1=2x+11 2+- 题型03解一元一次方程-去分母（整数） 【奥解】舒方得：分 【变式1】解方程： x-1-1=2-3x 2 3 【变式2】解方程： 岩号 3y-1-1=5y-7 (2 4 6 【变式3】(1)解方程：3x1+2 3 4 3x-7+x+1_2x-1 (2)解方程：4+6=3 题型04解一元一次方程-去分母（小数) 【奥例4】解方程，后1+1293 0.2 -1=06-3x 【变式1】解方程：0.2 0.4 【变式2】解方程： 0.2x-0.1_0.3x+0.1=-1: 0.30.6 【变式3】解方程 5.3x (0640.4 4/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x65_14-3x=0 2)0.030.3 0.02 题型05一元一次方程的错解复原问题 【典例5】下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务 32x-31 68 4x-3-3(2x-3)=24,(第一步) 4x-12-6x-9=24,(第二步) 4x-6x=24+12+9,(第三步) -2x=45,(第四步) *=-45 2· (第五步) (1)任务一：填空. ①以上求解步骤中，第一步的依据是」 ②第」 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)任务二：请直接写出该方程的解. 【变式】以下是圆圆解方程兮兮。1份解答过程 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1 去括号，得3x+1-2x+3=1 移项，合并同类项，得x=-3. ()圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程： x+1_x-3=1 (2)请尝试解方程0.2-0.3 【变式2】下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务. x_x-2=1 解方程：26 解： ,得3x-(x-2)=6第一步 去括号，得3x-x+2=6 第二步 移项，得3x-x=6+2第三步 合并同类项，得2x=8第四步 方程两边同除以2，得x=4第五步 ()以上求解步骤中，第一步进行的是」 (2)以上求解步骤中，第 步开始出现错误： 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请写出正确解方程的过程. 、【变式3】以下是小明解方程“，3的解答过程。 解：去分母，得3(x+1)-2(x-3)=1第一步 去括号，得3x+1-2x+3=1第二步 移项，得3x-2x=1-1-3第三步 合并同类项，得x=-3第四步 (1)以上过程中是从第步开始出错的. (2)第一问中出现错误的原因 (3)写出这个方程的正确解答过程， 题型06利用一元一次方程同解问题求解 【典例6】已知方程ax-1=7与方程2x+6=10的解相同，则a的值为一. 【变式】若方程4x-1=7与2-“=0的解相同，则ú的值为一 【变式2】若关于x的方程2mx+1=0和3x-1=2x+1有相同的解，则m=一 程气4-8=-x+2 【变式3】若方程3 2的解与关于x的方程4x-(Ba+1)=6x+2a-1的解相同，则a的值为一 题型07一元一次方程整数解问题 【典例7】若关于x的方程2ar=(a+)x+6的解为正整数，整数a的值是一. 【变式1】若关于x的方程ax+3=2xr-1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值为一。 【变式2】关于的一元一次方程2 是-1+3=x的解为整数，则所有整数k的和为一 【变式3】已知关于x的方程2x=4m+2的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是一 3 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级上广东佛山期末)解方程2(x-1)=4时，去括号正确的是() A.2.x-1=4 B.2x-2=4 C.x-1=2 D.2x+2=4 6/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2024七年级上·全国专题练习)下列方程变形正确的是() A.由3x=2x-1,得3x-2x=1 3x-1_4+2-1,得3x-2x=1 B.由25 C.由1-3(2x-1=2x,得1-6x-3=2x D.由-3x-2=2x+3,得-3x-2x=3+2 3.(24-25七年级上·全国·课后作业)关于x的方程x-(x+k)-3(x-2k)=2(x+4k)的解是1，则k的值是 () A.3 5 B. C.2 D.-2 4.(24-25七年级上·全国期末)若关于x的方程-3=2(x+6)的解为大于4的整数，则整数k的值为( ) A.3或5 B.3或7 C.5或7 D.以上答案都不对 5.(24-25七年级上辽宁抚顺：期末)定义一种新运算“&mp”:当x>y时，X&y=x+之 之：当x=y时， x&y=+y:当x<y时，x&y=+y.例：2&1= 2 2·已知2&x=5x+2 3，则x的值为() 8 8 B.号或2 C.7或2 D.或或2 二、填空题 6、(2425七年缓上全回课后作业)当(：时，代数武2中比的值大1. 2024七年级上：全国专题练习)将方程03+中含小数的分母转化为整数，得 8.(24-25八年级上·重庆万州开学考试)小玉在解方程3 2x-1+-1去分母时，方程右边的“-1”项 2 没有乘6.因而求得的解是x=10,则a=一 9.(2024七年级下·福建泉州竞赛)若关于x的方程3 2+m=一k+2,无论k为任何数时，它的解总 6 是x=1,则m-n=一. 10。(2425七年级上全国期末)已知关于，的元-次方程20心4+6=2024+m的解为x-2024则关 于的一元一次方程)0716=20245-y川-m的解是— 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(24-25七年级上·全国·课后作业)解下列方程： 0号-号 2x-22x-3=0 (2)3 6 12.(24-25七年级上·全国课后作业)解下列方程： (1)12x+3=x-8: (2)2x-1=3x+7: 2 33y-1=3+4: ④1-=3名 6 13.(24-25七年级上·浙江杭州期末)解方程 ()x-8=2-3x (2)1 2x-1=-x-4 3 2 2 4后x-小后 14.(24-25七年级上山西大同·期末)下面是小敏解方程2-6 +3_5x-3=1的过程，请认真阅读，并完成相 应的任务。 解：去分母，得3(x+3)-(5x-3)=1.第一步 去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步 移项，得3x-5x=-9-3+1.第三步 合并同类项，得-2x=-11.第四步 11 系数化为1，得x= 2·第五步 任务一：(1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是一； (2)第三步变形的依据是： 任务二：(1)该一元一次方程正确的解是 ； (2)请写出两条解一元一次方程时应注意的事项， 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程： 2x-5_3x+1=1」 62 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2x+5=x+m-3. 15.(24-25七年级上全国课后作业)已知关于，的方程3 6 ()当m为何值时，该方程与 3-x-x=0的解相同？ (2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的-3乘分母的最小公倍数，最终解得x=2,求这个方程 正确的解， 16.(24-25七年级上辽宁大连期末)对于有理数a,b满足a-b=ab+1,我们称使等式成立的一对有理 数，b为“相有理数对”，记为a如-3,2到满足：3-2-3x2+12)清足：22+1： 3 所以对-3,2·(2 都是“相伴有理数对”. (1)若(2x-1,3)是“相伴有理数对”，求x的值； 2)若(m川是“相伴有理数对”，求n-3mn+[7mn-(m+m]的值 17.(25-26七年级上全国期中)定义新运算：对于任意有理数a,b,都有a®b=aa-b)+1,等式右边 是通常的加法、减法及乘法运算.比如：2田5=2×2-5)+1=2×-3)+1=-6+1=-5」 (1求-2⊕3的值： (2)若3田x的值等于13，求x的值. 18.(24-25七年级上·湖南株洲期末)新定义：若x是关于x的一元一次方程x+b=0(a≠0)的解，是 关于y的所有解的其中一个解，且x,%满足+%=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的 “景元方程”.例如：一元一次方程3x-2x-99=0的解是=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或 y=-1,当%=1时，x+%=100,以y2+1=2为一元一次方程3x-2x-99=0的“景元方程”. ()已知关于y的方程：①2y-2=0,②川=2，以上哪个方程是一元一次方程x-102=0的“景元方程”？ 请直接写出正确的序号一 ②诺关于y的方程2y-2+3=5是关于x的一元一次方程x-2；20=a+1的“景元方程”，请求出口的值： 3 6)如关于y的方程2m-49+m=m+”是关于x的一元一次方程 45 mx+45n=54m的“景元方程”， 请直接写出 一的值. 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10