专题3.1 方程与等式的基本性质（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

本讲义聚焦方程与等式的基本性质，以“方程概念—一元一次方程识别—解的判断—等式性质应用”为主线，层层递进构建知识支架。从实际问题抽象出数量关系列方程，到利用等式性质求解，再到参数值与代数式求值的综合运用，逻辑清晰，环环相扣。 资料设计突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。如通过生活情境（如温差、植树问题）引导学生发现数量关系，培养抽象能力与模型意识；在等式变形题中强化推理意识，提升运算能力和逻辑表达力；课后练习设置梯度分明，既可辅助教师精准施教，又便于学生查漏补缺，巩固基础并拓展思维，真正实现学以致用。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.1方程与等式的基本性质 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01方程的有关概念 知识点02一元一次方程的概念 知识清单 知识点03方程的解、解方程 知识点04等式的性质 题型01判断各式是否是方程 方程与等式的基本性质 题型02列方程 题型03判断是否是一元一次方程 题型04根据一元一次方程求参数的值 题型精讲 题型05判断是否是一元一次方程的解 题型06已知一元一次方程的解求参数的值 题型07已知一元一次方程的解求代数式的值 题型08等式的基本性质 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解方程概念，能从实际问题中准确分析数量关系并列出方程，体会方程是刻画现 实世界数量关系的有效数学模型。 2.掌握一元一次方程的概念与解法，能熟练运用等式基本性质求解，提升运算能力与 教学目标 逻辑思维。 3.深入理解等式基本性质，能依据性质对等式进行正确变形，解决相关方程问题，培 养抽象概括能力。 1.重点 (1)明晰方程、一元一次方程的概念，学会从实际问题里提炼数量关系列出方程。 教学重难点 (2)掌握等式基本性质，能利用性质求解一元一次方程。 2.难点 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)从复杂实际问题中精准找出数量关系并列出方程，实现从实际问题到数学模型的 转化。 (2)深入理解等式基本性质的本质，并能灵活运用其进行等式变形与方程求解。 知识清单 知识点01方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数， 【即学即练1】 1.已知下列式子：青+8=32-x-y=x+1=2x+132=102+5=7乃x-1≠0-1.其中方程的个数 为() A.3 B.4 C.5 D.6 知识点02一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程 【说明元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数 【即学即练2】 下列式子：①9x+2:②r-1<2:③0-00+x)=31④3x=0:⑤1-5y=3:®3x-3x=x-3)中 2 一元一次方程共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.己知关于x的方程(m-1)xm-2=3m是一元一次方程，则实数m的取值是() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 知识点03方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 2.解方程：求方程的解的过程 【即学即练3】 1.下列方程中，解为x=2的方程是() A.-x+6=2xB.4-2(x-1=1C.3x-2=3 D x+1=0 知识点04等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式： 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 【即学即练1】 1.下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是() A.若a=5,则a2=5a B.bm=bn,则m=n C.若m=n b6’则m=n D.若-=8，则x=-16 2 2.运用等式性质进行的变形，下列正确的是() A.如果ac2=bc2,那么a=b B.如果a+c=b-c,那么a=b C.如果a=b,那么9-b D.如果a+5=b+5,那么a=b CC 题型精讲 题型01判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是() ①3x3+1=5×2:②y-2}2≥0：⑧3x+1=5y:④7x-1=x+4⑤r+y+2: 2 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】在13b+5>23:x+2.4x=30;42×3=126;1.5m=70;8n-3.6中，方程有()个. A.2 B.3 C.4 【变式2】下列各式3x-2,2m+n=1,a+b=b+4(a,b为己知数)，y=0,x2-3x+2=0中，方程有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】下列各式：①2x-1=5;②4+8=12；③5x+8;④2x+3y=0;⑤x;⑥2x2-5x-1: ⑦x+1=2:⑧6=6y-9.其中是方程的有() A.①②④⑤ B.①②⑤⑦⑧ C.①④⑦⑧ D.8个都是 题型02列方程 【典例2】列等式表示“x的2倍与10的和等于8” 【变式1】设某数为x,如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 【变式2】一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米.如果设这个场地的宽为x米，那么可以列 出方程为 【变式3】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够 为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪 3/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的含量共30g.设蛋白质的含量为xg,脂肪的含量为g,可列出方程为一· 题型03判街是否是一元一次方程 【典例3】下列方程是一元一次方程的是() A.5x+1=2 B.3x-2y=0 C.x2-4=0 25 D. 【变式1】下列方程中，是一元一次方程的是() A.x=1 B.x2=1 C.x+y=1 1=1 D. 【变式2】已知下列方程：)x-2=:2)0.3x=1:(3）25r-1,(4)X-4r=3:(5)x=6 (6)x+2y=0.其中一元一次方程的个数有() A.2 B.5 C.4 D.3 【变式3】已知下列方程：①x-2-②02x=1:@背-3：国x-y=6:@x=0,其中-元一次方 程有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型04根据一元一次方程求参数的值 【典例4】己短+兮3是关于的元次方程，累么m 【变式1】己知(m-1)xm-3=0是关于x的一元一次方程，则m的值为 【变式2】已知关于x的方程(m-2)xm-=0是一元一次方程，则m= 【变式3】若关于x的方程m2-+(m-1刂x-2=0是一元一次方程，则m的值为一 题型05判断是否是一元一次方程的解 【典例5】下列方程中，解为x=1的是() A.x+1=0 B.2x-1=x C.-x-2=x n.1- 【变式1】下列方程中，解为x=2的是() A.x+2=0 B.1-2x=3 C.x+1=3x-1 D.0.2x=1 【变式2】下列方程中，解是x=-1的方程是() A.2x-1=4 B.-2x-1=4 C.21-x)=-4 D.2-1-x)=-2 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】下列方程中，解是x=的是〔） 1 A.-2x=4 B.-2x-3=-1 C. 2-1=3 4 D. 2+1s3 2 4 题型06己知一元一次方程的解求参数的值 【典例6】若x=2是方程8-3x=axr的解，则a= 【变式1】x=-1是方程3x-m-1=0的解，则m的值是_ 【变式2】若关于x的方程2x+k=3的解为x=1,则k的值为 【变式3】x=2是方程+a=x-1的解，则a=一 题型07己知一元一次方程的解求代数式的值 【典例7】若x=2是方程a-bx=4的解，则-6b+3a+2023的值为 【变式1】若关于x的方程ax+2a+b=1的解是x=-3,则a-b的值为 【变式2】己知关于x的一元一次方程m(x+1)+4n=6的解是x=1,则m+2n-3的值为 【变式3】如果x=3是方程-ax-b=5-2x的解，那么3-6a-2b=一 题型O8等式的基本性质 【典例8】运用等式性质进行的变形，正确的是() A.若ac=bc,则a=b B.若8b,则a=b cC 1 C.若2a-b=4,则b=4-2a D.若-3x=6,则x=2 【变式1】已知等式a=b,下列变形不正确的是() A.3a-2=3b-2B.-3a=-3b c号号 D.a+1=b-1 【变式2】下列等式变形正确的是() A,如果x-3=y-3,那么x-y=0 B.如果mx=my,那么x=y C.如果y=b,那么b=3 2a D.如果2x=6,那么x=3 【变式3】下列说法错误的是() A.若-2x=-2y,则x=y B.若x2=5x,则x=5 C.若a=b,则a-6=b-6 业着则= 5/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级上·全国·课后作业)下列方程中，是一元一次方程的是() A.3x-2y=1 B芳 2-x D.x2-x=1 2.(24-25七年级上·全国·课后作业)下列方程中，解为x=-2的方程是() A.2x+5=1-x B.3-2(x-1)=7-x C.x-2=-2-x D.5-x-1=7 3.(24-25七年级上·福建福州·期末)下列等式的变形中，运用性质错误的是() A.若x=y,则x-6=y-6 B.若m=背m,则x=) 3 C.若x=-y,则x+1=1-y D.若mx=my,则x=y 4.(24-25七年级上全国·随堂练习)已知x=1是方程2x+a=3的解，那么a的值是() A.5 B.1 C.-5 D.-1 5.(24-25七年级上湖南株洲期末)方程a+2x2+5x-3-2=3是一元一次方程，则a"的值为() A.8 B.-8 C.-16 D.16 6.(24-25七年级下·河南南阳阶段练习)整式mx-2n(m,n为常数)的值随x的取值的不同而不同，下 表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程2n-mx=8的解为() -1 0 2 mx -2n 0 -2 -4 -6 -8 A.x=2 B.x=-1 C.x=0 D.X=-2 二、填空题 7.(24-25七年级上·全国·课后作业)(1)如果x=y,那么x-3b=y-3b,根据的是 (2)如果要由等式m(a+1=xa+1)得到m=x,需要满足的条件是 8.(24-25七年级上·全国期末)已知(m-1)xm-2024=2025是关于x的一元一次方程，则m= 9.(24-25七年级下·四川遂宁阶段练习)己知方程3x+8=x+■中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程 的解为x=2.则这个常数是_ 10.(24-25七年级下.吉林长春阶段练习)若(m-4)xm-1+6=0是关于x的一元一次方程，则 1m=】 11.(25-26七年级上·全国期末)若m是方程x2-2x-3=0的解，则代数式-4m2+8m-10= 6/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.(24-25七年级上甘肃兰州期末)己知方程ax+b-1=-4的解为x=1.则代数式(a+b-1)(1-a-b)的 值为 三、解答题 13.(24-25七年级上全国·课后作业)x=5是下列方程的解吗？ (1)3x+(10-x)=20: (2)2x+6=7x. 14.(25-26七年级上·全国·随堂练习)下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)2+3=3+2; (2)8y-9=9-y: (3)x2+2x+1=4. 15.(25-26七年级上·黑龙江鹤岗开学考试)解方程. 0x-5=24 3 4 16.(25-26七年级上·全国·课后作业)列方程表示下列语句中的相等关系： (0)某地2023年9月10日的温差是4C,这天最高气温是PC,最低气温是(C, 61 (2)某校七年级学生人数为n,其中男生占45%，女生有110人： (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元： (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树x(x<60)棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵 树. 17.(2024七年级上全国.专题练习)若方程|k|-3x2-(k+3)x+6=0是关于x的一元一次方程. (I)求k的值； (2)判断x=3,x= 2x=1是否是方程的解。 18.(22-23七年级上·江苏苏州阶段练习)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方 程为美好方程”.例如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程”. (1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否互为“美好方程”： (2)若关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是“美好方程”，求m的值； 3)若关于x的一元一次方程， 2022术+3=2x+k和 2022x+1=0是“美好方程，求关于y的一次方程 2022y+1)+3=2y+k+2的解。 7/7 专题3.1 方程与等式的基本性质 教学目标 1. 理解方程概念，能从实际问题中准确分析数量关系并列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。 2. 掌握一元一次方程的概念与解法，能熟练运用等式基本性质求解，提升运算能力与逻辑思维。 3. 深入理解等式基本性质，能依据性质对等式进行正确变形，解决相关方程问题，培养抽象概括能力 。 教学重难点 1.重点 （1）明晰方程、一元一次方程的概念，学会从实际问题里提炼数量关系列出方程。 （2）掌握等式基本性质，能利用性质求解一元一次方程 。 2.难点 （1） 从复杂实际问题中精准找出数量关系并列出方程，实现从实际问题到数学模型的转化。 （2）深入理解等式基本性质的本质，并能灵活运用其进行等式变形与方程求解 。 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 【即学即练1】 1．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【即学即练2】 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义进行分析即可． 【详解】解：①是代数式，不是方程，不合题意， ②是不等式，不合题意， ③，去括号为，未知数的次数是2，不合题意， ④是一元一次方程，符合题意， ⑤是一元一次方程，符合题意； ⑥是一元一次方程，符合题意； 故选：C 2．已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ， 由①得， 由②得， 综上，． 故选：B． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【即学即练3】 1．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解，把代入各个选项中，比较方程左右两边的值，即可作答． 【详解】解：A、把代入，则，左右两边相等，故该选项是正确的； B、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； C、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； D、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； 故选：A 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即学即练1】 1．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（       ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、，则，前提是，选项错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 2．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A．若，则结论正确，故A错误，不符合题意； B．根据等式的基本性质：等式两边同减一个相等的式或数，等式仍然成立，故B错误，不符合题意； C．若，则结论正确，故C错误，不符合题意； D．如果，那么，即，故D正确，符合题意； 故选：D． 题型01 判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【变式2】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【变式3】下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 题型02 列方程 【典例2】列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 【变式1】设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式2】一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 【变式3】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 题型03 判断是否是一元一次方程 【典例3】下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A 【变式2】已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 【变式3】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 题型04 根据一元一次方程求参数的值 【典例4】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【变式2】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式3】若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型05 判断是否是一元一次方程的解 【典例5】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 【详解】解：A．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； D．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 题型06 已知一元一次方程的解求参数的值 【典例6】若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【变式1】是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：1． 【变式3】是方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型07 已知一元一次方程的解求代数式的值 【典例7】若是方程的解，则的值为 ． 【答案】2035 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 【变式1】若关于x的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程解的概念，将代入方程，即可求解． 【详解】解：关于x的方程的解是， 将代入方程，有， 整理得，则， 故答案为：． 【变式2】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【变式3】如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 题型08 等式的基本性质 【典例8】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式2】下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 【变式3】下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； B、符合一元一次方程的定义，本选项符合题意； C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列方程中，解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把分别代入四个方程中，看对应方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； B、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边相等， ∴是方程的解，符合题意； C、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； D、把代入原方程中的左右两边， 左边，右边， 左右两边不相等， ∴不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列等式的变形中，运用性质错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的两边加或都减同一个数，结果仍是等式；等式两边都乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式，根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，变形正确，故此选项不符合题意； D、若，则，原变形错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知是方程的解，那么a的值是（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 6．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案． 【详解】解：， ， 由表格知，当时，， 是方程的解， 即也是方程的解． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如果，那么，根据的是 ； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是 ． 【答案】 等式的基本性质1 【分析】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． （1）根据等式的性质1求解即可； （2）根据等式的性质2求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么，根据的是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1； （2）如果要由等式得到，需要满足的条件是， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设这个常数为a，把代入方程得出，再求出a即可． 【详解】解：设这个常数为， 将代入，得：， 解得， 故答案为：12． 10．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，指数是1，系数不等于0列方程解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·全国·期末）若m是方程 的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义以及代数式求值，熟练掌握方程的解的定义并能对代数式进行合理变形是解题的关键．根据方程的解的定义，将代入方程得到关于m的等式，再对所求代数式进行变形，最后代入计算． 【详解】解：因为m 是方程 的解， 所以 ， 所以 ， 所以． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． （1）将代入方程，看是否符合方程解得定义即可解答； （2）分别将代入方程左边和右边，看是否符合方程解得定义即可解答． 【详解】（1）将代入方程，得方程左边20， 方程右边． 因为左边右边，所以是方程的解． （2）将代入方程，得 方程左边， 方程右边． 因为左边右边，所以不是方程的解． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程； (2)是方程，也是一元一次方程； (3)是方程，不是一元一次方程． 【分析】本题考查方程，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （2）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （3）根据方程和一元一次方程的定义判断即可 【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数， ∴不是方程，不是一元一次方程； （2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为， ∴是方程，也是一元一次方程； （3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为， ∴是方程，不是一元一次方程． 15．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的方法是解决问题的关键． （1）先计算方程左边，再利用等式的性质方程两边同除以求出未知数即可； （2）利用等式的性质方程两边同减去，再利用等式性质方程两边同除以即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断是否是方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程方程的定义，一元一次方程的解； （1）根据一元一次方程的定义可得且，即可求解； （2）分别将代入方程，进而判断方程的左右两边是否相等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知且， 所以且， 所以； （2）由（1）可知方程为． 把代入方程左边，得左边． 因为右边，所以左边右边．所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边， 因为右边，所以左边右边， 所以不是方程的解； 把代入方程左边，得左边．因为右边， 所以左边右边， 所以是方程的解． 18．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一次方程的解． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“美好方程”的定义得到方程的解，将关于y的方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解． 【详解】（1）方程与方程是互为“美好方程”，理由： 解方程得： ， 方程的解为： ． ∵， ∴方程与方程是互为“美好方程”； （2）关于x的方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴； （3）方程的解为：， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴关于x的方程的解为：． ∵关于y的方程就是：, ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $