3.1 等量关系和方程（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

该初中数学教案聚焦“等量关系和方程”，核心内容包括方程与一元一次方程的概念、解的估算及实际问题列方程。课堂以客车与卡车行驶问题导入，从算术解法过渡到设未知数找等量关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 本教案特色鲜明，情境导入贴近生活，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力。合作探究通过概念辨析、解的估算及文具售卖等实例列方程，发展推理意识与模型观念。板书清晰梳理知识结构，助力学生构建体系，提升教师教学效率与学生学习主动性。

3.1　等量关系和方程 1.能通过对实际问题的分析,归纳并理解方程和一元一次方程的概念. 2.估算使方程左右两边相等的未知数的值,理解方程的解的概念. 3.会根据简单的实际问题列出一元一次方程. 4.经历把实际问题抽象为数学方程的过程,认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型,初步体会建立数学模型的思想. 重点：一元一次方程的概念及估算一元一次方程的解. 难点：根据实际问题列一元一次方程. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地,A,B两地间的路程是多少？ 1.若用算术方法解决应怎样列算式？ 2.如果设A,B两地相距x km,那么客车从A地到B地的行驶时间为________,货车从A地到B地的行驶时间为________. 3.客车与货车行驶时间的关系是____________. 4.根据上述关系,可列方程为____________. 5.对于上面的问题,你还能列出其他方程吗？如果能,你依据的是哪个相等关系？ 二、合作探究 探究点一：方程的概念 判断下列各式是不是方程；若不是,请说明理由. (1)4×5＝3×7－1；　(2)2x＋5y＝3； (3)9－4x＞0；　(4)＝；　(5)2x＋3. 解析：根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可. 解：(1)不是,因为不含有未知数； (2)是方程； (3)不是,因为不是等式； (4)是方程； (5)不是,因为不是等式. 方法总结：本题考查的是方程的概念,方程是含有未知数的等式,在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数. 探究点二：一元一次方程的概念 【类型一】 一元一次方程的辨别 下列方程中是一元一次方程的是(　　) A.x＋3＝y＋2 B.1－3(1－2x)＝－2(5－3x) C.x－1＝ D.－2＝2y－7 解析：A.含有两个未知数,不是一元一次方程,错误；B.化简后含有未知数的项可以消去,不是方程,错误；C.分母中含有字母,不是一元一次方程,错误；D.符合一元一次方程的定义,正确.故选D. 方法总结：判断一元一次方程需满足三个条件：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1；(3)是整式方程. 【类型二】 利用一元一次方程的概念求字母次数的值 方程(m＋1)x|m|＋1＝0是关于x的一元一次方程,则(　　) A.m＝±1 　B.m＝1 C.m＝－1 D.m≠－1 解析：由一元一次方程的概念,一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0,所以|m|＝1,且m＋1≠0,解得m＝1.故选B. 方法总结：解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1且系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值. 探究点三：方程的解 【类型一】 估计方程的解 根据下表中的填写示例,完成其余空格处的填写,估计方程3x＋20＝101①的解. 估计x的值 方程①左边3x＋20的值 与方程①右边的值101比较 第1次估算 20 80 小了 第2次估算 30 110 第3次估算 第4次估算 第5次估算 方法总结：估算方程的解要注意：估计未知数的值要有一定的方向性,估得过大或过小都会增加估算的次数；估计未知数的值时,可从未知数的正负性、奇偶性等方面来考虑未知数的值. 【类型二】 检验方程的解 检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解,并写出检验过程. (1)x＝2； (2)x＝3. 解析：将未知数的值代入方程,看左边是否等于右边,即可判断是不是方程5x－2＝7＋2x的解. 解：(1)将x＝2代入方程,左边＝8,右边＝11,左边≠右边,故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解； (2)将x＝3代入方程,左边＝13,右边＝13,左边＝右边,故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解. 方法总结：检验一个数是否是方程的解,就是要看它能不能使方程的左、右两边相等. 探究点四：列方程 某文具店一支铅笔的售价为1.2元,一支圆珠笔的售价为2元.该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动,铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元.若设铅笔卖出x支,则依题意可列得的一元一次方程为(　　) A.1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)＝87 B.1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87 C.2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)＝87 D.2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)＝87 解析：设铅笔卖出x支,根据“铅笔按原价打8折出售,圆珠笔按原价打9折出售,结果两种笔共卖出60支,卖得金额87元”,得出等量关系：x支铅笔的售价＋(60－x)支圆珠笔的售价＝87,据此列出方程为1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)＝87.故选B. 方法总结：解题的关键是正确理解题意,设出未知数,找到题目当中的等量关系,列方程. 三、板书设计 1.方程：含有未知数的表示等量关系的等式. 2.一元一次方程：只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程. 3.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值. 4.列方程解决实际问题的步骤： (1)设未知数(用字母) (2)找等量关系(表示出相关的量) (3)列出方程 本课首先用实际问题引入课题,然后运用算术的方法给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决；从而激发学生学习数学的热情. 学科网（北京）股份有限公司 $