第二章 第6讲　专题强化：共点力的动态平衡问题（导学案）2026年高三物理一轮复习学案

第6讲 共点力的动态平衡问题 学习目标： 1.学会用解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法、拉密定理法等解决动态平衡问题。 2.正确画出受力分析图和矢量三角形，通过分析力的变化来求解问题。 知识网络 考点一　解析法 1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例题】如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　) A.B对A的支持力大小为2 N B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右 C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小 D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小 【答案】　B 【解析】对A受力分析，如图所示，根据平衡条件，B对A的支持力FN＝＝4 N，故A错误;对A、B整体受力分析，在水平方向，根据平衡条件，摩擦力与水平力F等大反向，即摩擦力水平向右，故B正确;对A受力分析，则F＝mgtan θ，增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F增大，故C错误;对A、B整体受力分析，在竖直方向，根据平衡条件，地面对B的支持力与A、B的重力二力平衡，大小相等，与θ角无关，即地面对B的支持力不变，故D错误。 【变式1-1】(2023·海南卷)如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是(　 　) A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C．重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小 D．重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变 【解析】　对工人受力分析如图甲所示，有FN＋FT＝Mg，其中工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力，A错误，B正确；对动滑轮受力分析如图乙所示，有FT＝，则随着重物缓慢拉起过程，θ逐渐增大，则FT逐渐增大，C、D错误。故选B。 【变式1-2】如图所示，甲、乙两同学通过定滑轮和细绳将重物从左侧平台运送到右侧平台，初始甲、乙拉绳使重物静止在图中位置(如实线所示)，此时甲所拉细绳恰好沿水平方向。忽略滑轮与细绳间的摩擦和细绳质量，若甲缓慢释放细绳的同时保持手中细绳沿水平方向，乙缓慢收绳且始终保持静止，则下列说法正确的是(　 　) A．甲手中细绳的拉力不断增大 B．乙手中细绳的拉力不断增大 C．乙对地面的压力不断增大 D．乙受到地面的摩擦力不变 【答案】 C 【解析】选结点为研究对象，设刚开始时左侧绳与竖直方向的夹角为α，则甲手中细绳即水平绳拉力F＝mg tan α，滑轮左侧绳拉力FT＝，重物缓慢向右移动的过程中α减小，可见甲手中细绳即水平绳拉力F减小，滑轮左侧绳拉力FT减小，滑轮左侧绳拉力与右侧绳拉力即乙手中细绳的拉力大小相等，所以乙手中细绳的拉力减小，A、B错误；对乙受力分析，设滑轮右侧绳与竖直方向的夹角为β，在竖直方向有FN＋FTcos β＝m乙g，细绳拉力FT减小，β不变，则乙受到的支持力变大，根据牛顿第三定律可知乙对地面的压力不断增大，C正确；对乙受力分析，在水平方向有Ff＝FTsin β，细绳拉力FT减小，β不变，则乙受到地面的摩擦力减小，D错误。 【变式1-3】如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A物体的质量；②减小B物体的质量；③绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（　　） A．对于改变①，物体A的高度将降低，θ角将增大 B．对于改变②，物体A的高度将降低，绳间张力变小 C．对于改变③，物体A的高度将降低，θ角将减小 D．对于改变③，P点与定滑轮间的绳长变大，θ角不变 【答案】D 【解析】A．若增大A物体的质量，假设B物体位置不 变，则向上的合力增大，可知物体B将升高而A将降低，θ角将减小，故A错误； B．若减小B物体的质量，假设B物体位置不变，则向上的合力较大，可知物体B将升高而A将降低，θ角将减小，而绳间张力等于A物体的重力不变，故B错误； CD．若绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点，假设B位置不变，则向上的合力减小，物体B将降低而A将升高，P点与定滑轮间的绳长变大；绳间张力仍等于A物体的重力，由平衡条件，有2Fsinθ= mBg 即2mAgsinθ=mBg 可知θ角不变，故C错误，D正确。 故选D。 考点二　图解法 用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 【例题】如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中(　 　) A．F1先减小后增大 B．F1一直增大 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 【答案】　C 【解析】小球受到重力、墙面的弹力F′1、木板的弹力F′2，受力分析如图所示，F′1的方向不变，受到的木板的弹力F′2方向由斜向左下转到斜向左上方的过程中，两个力的合力与重力等大、反向，根据平行四边形定则，由图可得F′1逐渐变小，F′2逐渐变小，根据牛顿第三定律知，F1、F2均一直减小，C正确，A、B、D错误。 【变式2-1】如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(　　) A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变 C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变 【答案】C 【解析】方法一：解析法 对足球受力分析如图所示： 设网绳与竖直方向的夹角为θ，将网绳在钉子上多绕几圈后，绳子长度减小，θ增大，由平衡条件可得G＝FT2＝FTcos θ，网绳的拉力FT随着θ的增大而增大，A、B错误；由平衡条件可得FN＝FT1＝FTsin θ，解得FN＝Gtan θ，所以墙壁对足球的支持力随着θ的增大而增大，C正确，D错误。 方法二：图解法 把三力放在一个矢量三角形中，如图所示，当网绳长度减小时，θ增大，矢量三角形中，随着θ角增大，FT变大，FN变大，故C正确。 【变式2-2】如图所示，倾角为θ＝30°、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重力为G的小球在弹簧测力计的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，直到弹簧测力计的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是(　 　) A．力F先变大后变小 B．地面对斜面体的支持力一直变大 C．地面对斜面体的摩擦力一直变小 D．斜面体对小球的支持力一直变大 【答案】　C 【解析】根据题意，作出小球受力的矢量三角形，如图所示，从图中可看出力F先减小再增大，斜面体对小球的支持力一直减小，故A、D错误；设斜面体的质量为m，对整体分析，竖直方向上有F′N＝(mg＋G)－Fy，水平方向上有Ff＝Fx，现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，则Fy一直增大，Fx一直减小，则F′N一直减小，Ff一直减小，故B错误，C正确。故选C。 【变式2-3】如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　 　) A．B对A的作用力不变 B．墙对B的作用力不变 C．地面对A的摩擦力不变 D．地面对A的支持力不变 【答案】　C 【解析】对物体B受力分析，受到重力mg、A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB，如图甲所示，当A向左移动后，A对B的支持力FNAB的方向不断变化，根据平衡条件结合合成法可知A对B的支持力FNAB和墙壁对B的支持力FNB都在不断减小，由牛顿第三定律可知B对A的作用力不断减小，故A、B错误;对A和B整体受力分析，受到总重力G、地面的支持力FN、地面的摩擦力Ff和墙壁的弹力FN1，如图乙所示，根据平衡条件，有Ff＝FN1，FN＝G，故地面对A的支持力不变，地面对A的摩擦力Ff逐渐减小，故C错误，D正确。 考点三　相似三角形法 物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系（已知边的长度），多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行讨论、计算。 【例题】(多选)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　) A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝ B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝ C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小 D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大 【答案】　AC 【解析】对小球受力分析如图所示，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如图所示闭合三角形。由图可知力的三角形与几何三角形△AOO'相似，则有，得FN＝，FT＝，故A正确，B错误;缓慢地拉绳，小球由A到B的过程中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，由上式可知，FN不变，FT变小，故C正确，D错误。 【变式3-1】表面光滑的四分之一圆柱体紧靠墙角放置，其横截面如图所示。细绳一端连接小球，另一端绕过P处滑轮，小球在外力F拉动下从A点缓慢移动到B点。已知AP长度是BP长度的2倍，则小球在A处时的绳子拉力与小球在B处时绳子拉力的比为( ) A． B． C．2 D．4 【答案】　C 【解析】 由于小球是缓慢移动的，可以认为小球始终处于平衡状态，设在A、B两点时绳子的拉力分别为F1、F2。在A点处，小球受到重力、拉力、支持力的作用，三个力将构成一个闭合的矢量三角形，这个三角形与△APO相似，则有＝，同理，在B处有＝，由于AP＝2BP，所以F1＝2F2，故选C。 【变式3-2】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆的A端用铰链固定，光滑轻质小滑轮在A点正上方，轻杆B端通过轻绳吊一重力为G的重物。现将绳的一端拴在轻杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(轻绳与轻杆均未断)，关于轻绳的拉力F和轻杆受的弹力FN的变化，下列判断正确的是(　 　) A．F变大 B．F变小 C．FN变大 D．FN变小 【答案】　B 【解析】以B点为研究对象，分析受力情况，作出力FN与F的合力F2，如图所示。根据平衡条件可知F2＝F1＝G。由△F2FNB∽△OBA得＝，解得FN＝G，式中AB、AO、G不变，故FN保持不变，C、D错误；由△F2FNB∽△OBA得＝，BO变小，故F一直变小，A错误，B正确。故选B。 【变式3-3】在旅行途中，小勤想起了学校的标志性雕塑：妙笔生花。雕塑可以简化为如图所示的模型：一个半球形花冠和竖直的毛笔底座。若花冠中落入一连接有轻绳的质量为m的物体，轻绳搭在花冠边缘，小勤设想若用力拉动轻绳使物体沿花冠缓慢向上移动，在此过程中若忽略一切阻力，则( ) A．细绳的拉先增大后减小 B．细绳的拉力一直增大 C．花冠对物体的支持力先增大后减小 D．花冠对物体的支持力一直增大 【答案】　B 【解析】对物体受力分析，如图所示 力的三角形和几何三角形相似，则有＝，当物体缓慢向上移动时，R不变，l增大，mg不变，则FN减小，在力的三角形中，支持力FN、拉力F的合力与重力mg等大反向，mg保持不变，FN减小时，F增大。故选B。 考点四　矢量圆法(拉密定理法) 1.矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2.拉密定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 【例题】如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【答案】　D 【解析】方法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以D正确，A、B、C错误。 方法二：拉密定理 把三力F1、F2、G放在一个矢量三角形中，如图所示 根据正弦定理有＝＝ 易证明∠3＋∠α＝180°，∠2＋∠γ＝180°，∠1＋∠β＝180°，故有＝＝ 在OM由竖直被拉到水平的过程中，α角保持不变，β由钝角减小至90°，γ由锐角增大至钝角，故可判断F1逐渐增大，F2先增大后减小，故D正确。 【变式4-1】如图所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m的小球，绳B水平。设绳A、B对小球的拉力大小分别为FA、FB，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90°，在此过程中( ) A．FA先增大后减小 B．FB先增大后减小 C．F先增大后减小 D．F先减小后增大 【答案】　B 【解析】通过受力分析和过程分析可以看出，在矩形框架旋转的过程中，两根绳的夹角始终不变，而小球的重力为恒力，故可将小球受到的三个力平移到一个矢量三角形中，让小球的重力作为圆中的一条弦，两绳拉力的夹角的补角组成这条弦所对应的圆周角，如图所示。可以看出在旋转过程中，FA一直在减小，直到减小到0，而当FA与mg垂直时，表示FB的有向线段是辅助圆的直径，FB达到最大值，之后再逐渐减小，最终减小为mg，故FA一直减小，FB先增大后减小，故A错误，B正确；因小球始终处于平衡状态，故绳A、B对小球拉力的合力始终与重力等大反向，即F的大小不变，故C、D错误。故选B。 【变式4-2】某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由如图所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是(　 　) A．右手对铅球的弹力增大 B．右手对铅球的弹力先增大后减小 C．左手对铅球的弹力增大 D．左手对铅球的弹力先增大后减小 【答案】　B 【解析】方法一　矢量圆法以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2，受力分析如图1所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的矢量三角形，两手之间夹角保持60°不变，则两力之间的夹角保持120°不变，则在三角形中，F1与F2夹角保持60°不变，重力G的大小、方向不变，作出力三角形的外接圆，根据弦所对的圆周角都相等，则右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中力的三角形变化如图1所示，分析可得F1开始小于直径，当转过30°时F1等于直径，再转时又小于直径，所以F1先增大后减小，F2开始就小于直径，转动过程中一直减小，故B正确。 方法二　正弦定理法 以铅球为研究对象，受重力G、右手对铅球的弹力F1及左手对铅球的弹力F2，受力分析如图2所示，缓慢旋转过程中处于平衡状态，则将三力平移后构成一首尾相连的矢量三角形，两手之间夹角保持60°不变，右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ，转动过程始终处于平衡状态，根据正弦定理有＝＝，右手由图示位置缓慢旋转60°至水平位置过程中θ由0°变为60°，sin (60°＋θ)先变大再变小，所以F1先增大后减小，sin (60°－θ)一直变小，所以F2一直减小，故B正确。 【变式4-3】 (2022·河北卷)如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中(　 　) A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【解析】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 跟踪训练-考点拓展 1. 如图所示，一个倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间放一重力为G的光滑球，在挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中( ) A．球对挡板的压力先减小后增大 B．球对挡板的压力一直增大 C．球对斜面的压力先减小后增大 D．球对的斜面压力一直增大 【答案】　A 【解析】对光滑球受力分析如图所示 挡板转动时，挡板对球的弹力F1与斜面对球的弹力F2的合力大小方向不变，其中F2的方向保持不变，作辅助图如上，在挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中，F1的方向如图中a、b、c的规律变化，由平行四边形定则可知，F1的大小变化规律为先减小后增大，与此对应，F2的大小为一直减小，由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先减小后增大，球对斜面的压力一直减小。故选A。 2．如图所示，用OA、OB 两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时 OB 绳水平。现保持 O 点位置不变，改变 OB 绳长使绳右端由 B 点缓慢上移至 B′点，此时 OB′与 OA 之间的夹角 θ<90°。设此过程 OA、OB 绳的拉力大小分别为 FOA、FOB，则下列说法正确的是( ) A．FOA先增大后减小 B．FOA一直增大 C．FOB一直减小 D．FOB先减小后增大 【答案】　D 【解析】以结点O为研究对象，受力分析如图所示 根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，作出轻绳OB在三个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ＝90°时，FOB最小，故A、B、C错误，D正确。 3.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcosθ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变 【答案】　D 【解析】绳与竖直方向的夹角为θ时，小球受到竖直向下的重力mg、圆环对小球沿半径向外的支持力FN以及沿绳方向的拉力F，画出力的示意图如图所示，F＝2mgcosθ，A错误；小球沿光滑圆环上升过程中，由三角形相似得：＝＝，所以FN＝mg不变，L变短，F则变小，故D正确，B、C错误。故选D。 4.(多选)如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是(　 　) A．拉力F一直减小 B．拉力F先增大后减小 C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小 D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变 【答案】　AD 【解析】对B进行受力分析并合成三角形如图所示，根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似，则＝＝，移动过程中，高度h和两球的球心距离r不变，所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变，绳子长度l变短，则拉力F减小，故B、C错误，A、D正确。 5.(多选)如图所示，在处于竖直面内的直角框架上M、N两点用铰链连接A、B两个测力计，两测力计的另一端通过细线与小球连接。现将整个装置在纸面内逆时针缓慢转过90°的过程中，两细线间的夹角保持不变。关于两测力计的读数变化情况，下列说法正确的是(　 　) A．A的读数逐渐减小 B．A的读数先增大后减小 C．B的读数逐渐增大 D．B的读数先增大后减小 【答案】　AD 【解析】设两细线间的夹角为θ，测力计B的拉力与竖直方向的夹角为α，对小球受力分析，受重力和两测力计的拉力，三力组成矢量三角形，且FA、FB夹角不变，可用辅助圆法。由于θ不变，α由90°变到0°，根据数学知识，FA逐渐减小，当α＝0°时，FA＝0，FB先增大后减小，A、D正确，B、C错误。故选AD。 6.（多选）如图，柔软轻绳的一端固定，其中间某点拴一重物，用手拉住绳的另一端。初始时，水平且被拉直，与之间的夹角为。现将重物向左下方缓慢放下至竖直，并保持夹角不变。在由水平到竖直的过程中（　　）    A．上的弹力逐渐减小 B．上的张力先增大后减小 C．和对点的作用力的合力不变 D．对重物的弹力是重物发生了形变产生的 【答案】　ABC 【解析】AB．以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力FOM，MN上拉力FMN，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示  在FOM转至竖直的过程中，MN上的张力FMN逐渐减小，OM上的张力FOM先增大后减小，故AB正确；C．以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力FOM，MN上拉力FMN，由题意知，三个力合力始终为零，所以MN和OM对O点的作用力的合力大小为mg，保持不变，故C正确；D．MN对重物的弹力是MN绳发生了形变产生的，故D错误。故选ABC。 7.（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳水平，绳与绳成。现保持两绳之间的夹角始终不变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳的拉力的大小以及绳的拉力的大小的变化情况为（　　）    A．一直增大 B．先增大后减小 C．一直减小 D．先减小后增大 【答案】AC 【解析】对结点O受力分析，并合成三角形如图所示    根据图示可知，顺时针转动前（实线）到转动后（虚线）过程中，一直增大，一直减小。故选AC。 8.如图所示， 保持O点位置及∠AOB=120°不变，将轻绳OA、OB同时逆时针缓慢旋转，直到 OA竖直，关于 OA上拉力TA和OB上拉力 TB的大小说法正确的是（    ）      A．TA一直变大，TB不变 B．TA先变大后变小， TB一直变小 C．TA先变大后变小，TB一直变大 D．TA先变小后变大，TB先变大后变小 【答案】　B 【解析】由图可知，保持O点位置及∠AOB=120°不变，将轻绳OA、OB同时逆时针缓慢旋转，直到 OA竖直，TA先变大后变小， TB一直变小。故选B。   9.如图所示，光滑挡板AB和CD在C点连接，AB板倾斜，CD板竖直，两板相对固定，小球静止于两极之间，现使整个装置绕A点在竖直面内沿顺时针方向缓慢转动到CD板水平，则在此过程中，下列说法正确的是（   ） A．球对AB板的作用力变小 B．球对CD板的作用力变小 C．球对AB板的作用力变大 D．球对CD板的作用力变大 【答案】　A 【解析】根据几何关系可知、、三个力构成的三角形为圆的内接三角形，且在转动过程中，与的夹角不变，画出受力分析图，可知球对CD板的作用力先增大后减小，球对AB板的作用力一直变小，故BCD错误，A正确。故选A。      10.如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶端的O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α，开始时F水平。保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一直保持静止，则下列说法正确的是(　　) A．外力F先增大后减小 B．细线拉力FT逐渐增大 C．地面对斜面的摩擦力先增大后减小 D．地面对斜面的支持力先减小后增大 【答案】　C 【解析】如图所示，作出外力F、细线拉力FT的合力如图所示，二力的合力和重力大小相等，方向相反，保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，由此可以看出外力F逐渐增大，细线拉力FT逐渐减小，选项A、B错误；在此过程中，拉力F变为F′时，水平分力最大，应用整体法可得，地面对斜面的摩擦力先增大后减小，选项C正确；在此过程中，拉力F的竖直分力逐渐增大，根据整体法可得，地面对斜面的支持力一直在减小，选项D错误。故选C。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 共点力的动态平衡问题 学习目标： 1.学会用解析法、图解法、相似三角形法、辅助圆法、拉密定理法等解决动态平衡问题。 2.正确画出受力分析图和矢量三角形，通过分析力的变化来求解问题。 知识网络 考点一　解析法 1.对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 2.根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 3.根据自变量的变化确定因变量的变化。 【例题】如图，质量为0.2 kg的小球A在水平力F作用下，与四分之一光滑圆弧形滑块B一起静止在地面上，小球球心跟圆弧圆心连线与竖直方向夹角θ＝60°，g取10 m/s2。则以下说法正确的是(　　) A.B对A的支持力大小为2 N B.水平地面对B的摩擦力方向水平向右 C.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，F减小 D.增大夹角θ，若A、B依然保持静止，地面对B的支持力减小 【变式1-1】(2023·海南卷)如图所示，工人利用滑轮组将重物缓慢提起，下列说法正确的是(　 　) A．工人受到的重力和支持力是一对平衡力 B．工人对绳的拉力和绳对工人的拉力是一对作用力与反作用力 C．重物缓慢拉起过程，绳子拉力变小 D．重物缓慢拉起过程，绳子拉力不变 【变式1-2】如图所示，甲、乙两同学通过定滑轮和细绳将重物从左侧平台运送到右侧平台，初始甲、乙拉绳使重物静止在图中位置(如实线所示)，此时甲所拉细绳恰好沿水平方向。忽略滑轮与细绳间的摩擦和细绳质量，若甲缓慢释放细绳的同时保持手中细绳沿水平方向，乙缓慢收绳且始终保持静止，则下列说法正确的是(　 　) A．甲手中细绳的拉力不断增大 B．乙手中细绳的拉力不断增大 C．乙对地面的压力不断增大 D．乙受到地面的摩擦力不变 【变式1-3】如图所示，A、B两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计。分别做以下三种改变：①增大A物体的质量；②减小B物体的质量；③绳的左端由Q点缓慢地向左移到P点。整个系统重新平衡后，下列说法正确的是（　　） A．对于改变①，物体A的高度将降低，θ角将增大 B．对于改变②，物体A的高度将降低，绳间张力变小 C．对于改变③，物体A的高度将降低，θ角将减小 D．对于改变③，P点与定滑轮间的绳长变大，θ角不变 考点二　图解法 用图解法分析物体的动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 【例题】如图所示，一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1，小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦，在此过程中(　 　) A．F1先减小后增大 B．F1一直增大 C．F2一直减小 D．F2先减小后增大 【变式2-1】如图所示，装有足球的轻网兜系在钉子上，墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后，则(　　) A．网绳上的拉力变小 B．网绳上的拉力不变 C．墙壁对足球的支持力变大 D．墙壁对足球的支持力不变 【变式2-2】如图所示，倾角为θ＝30°、AB面光滑的斜面体放在水平地面上，一个重力为G的小球在弹簧测力计的水平拉力F作用下静止在斜面上。现沿逆时针方向缓慢转动弹簧测力计，直到弹簧测力计的示数等于初始值，在此过程中，小球与斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是(　 　) A．力F先变大后变小 B．地面对斜面体的支持力一直变大 C．地面对斜面体的摩擦力一直变小 D．斜面体对小球的支持力一直变大 【变式2-3】如图所示，粗糙水平地面上放有横截面为圆的柱状物体A，A与墙面之间放有表面光滑的圆柱形物体B，A、B均保持静止。若将A向左移动少许，下列说法正确的是(　 　) A．B对A的作用力不变 B．墙对B的作用力不变 C．地面对A的摩擦力不变 D．地面对A的支持力不变 考点三　相似三角形法 物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系（已知边的长度），多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行讨论、计算。 【例题】(多选)如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小滑轮，小滑轮到轨道上B点的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球，靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小滑轮的距离为L，另一端绕过小滑轮后用力拉住。重力加速度大小为g，则(　　) A.若使小球静止在A点，圆形轨道对小球的支持力大小FN＝ B.若使小球静止在A点，绳对小球的拉力大小FT＝ C.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN不变，绳对小球的拉力大小FT变小 D.缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，圆形轨道对小球的支持力大小FN变小，绳对小球的拉力大小FT先变小后变大 【变式3-1】表面光滑的四分之一圆柱体紧靠墙角放置，其横截面如图所示。细绳一端连接小球，另一端绕过P处滑轮，小球在外力F拉动下从A点缓慢移动到B点。已知AP长度是BP长度的2倍，则小球在A处时的绳子拉力与小球在B处时绳子拉力的比为( ) A． B． C．2 D．4 【变式3-2】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，轻杆的A端用铰链固定，光滑轻质小滑轮在A点正上方，轻杆B端通过轻绳吊一重力为G的重物。现将绳的一端拴在轻杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(轻绳与轻杆均未断)，关于轻绳的拉力F和轻杆受的弹力FN的变化，下列判断正确的是(　 　) A．F变大 B．F变小 C．FN变大 D．FN变小 【变式3-3】在旅行途中，小勤想起了学校的标志性雕塑：妙笔生花。雕塑可以简化为如图所示的模型：一个半球形花冠和竖直的毛笔底座。若花冠中落入一连接有轻绳的质量为m的物体，轻绳搭在花冠边缘，小勤设想若用力拉动轻绳使物体沿花冠缓慢向上移动，在此过程中若忽略一切阻力，则( ) A．细绳的拉先增大后减小 B．细绳的拉力一直增大 C．花冠对物体的支持力先增大后减小 D．花冠对物体的支持力一直增大 考点四　矢量圆法(拉密定理法) 1.矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。 2.拉密定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。 【例题】如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐减小 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 【变式4-1】如图所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m的小球，绳B水平。设绳A、B对小球的拉力大小分别为FA、FB，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90°，在此过程中( ) A．FA先增大后减小 B．FB先增大后减小 C．F先增大后减小 D．F先减小后增大 【变式4-2】某中学为增强学生体魄，组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中，一学生将铅球置于两手之间，其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变，将右手由如图所示位置缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦，则在转动过程中，下列说法正确的是(　 　) A．右手对铅球的弹力增大 B．右手对铅球的弹力先增大后减小 C．左手对铅球的弹力增大 D．左手对铅球的弹力先增大后减小 【变式4-3】 (2022·河北卷)如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中(　 　) A.圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 跟踪训练-考点拓展 1. 如图所示，一个倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间放一重力为G的光滑球，在挡板P由图示的竖直位置缓慢地转到水平位置的过程中( ) A．球对挡板的压力先减小后增大 B．球对挡板的压力一直增大 C．球对斜面的压力先减小后增大 D．球对的斜面压力一直增大 2．如图所示，用OA、OB 两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时 OB 绳水平。现保持 O 点位置不变，改变 OB 绳长使绳右端由 B 点缓慢上移至 B′点，此时 OB′与 OA 之间的夹角 θ<90°。设此过程 OA、OB 绳的拉力大小分别为 FOA、FOB，则下列说法正确的是( ) A．FOA先增大后减小 B．FOA一直增大 C．FOB一直减小 D．FOB先减小后增大 3.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcosθ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变 4.(多选)如图所示，一斜面固定在水平面上，一半球形滑块固定在斜面上，球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点)，细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接，另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小，使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触，则下列说法正确的是(　 　) A．拉力F一直减小 B．拉力F先增大后减小 C．半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小 D．半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变 5.(多选)如图所示，在处于竖直面内的直角框架上M、N两点用铰链连接A、B两个测力计，两测力计的另一端通过细线与小球连接。现将整个装置在纸面内逆时针缓慢转过90°的过程中，两细线间的夹角保持不变。关于两测力计的读数变化情况，下列说法正确的是(　 　) A．A的读数逐渐减小 B．A的读数先增大后减小 C．B的读数逐渐增大 D．B的读数先增大后减小 6.（多选）如图，柔软轻绳的一端固定，其中间某点拴一重物，用手拉住绳的另一端。初始时，水平且被拉直，与之间的夹角为。现将重物向左下方缓慢放下至竖直，并保持夹角不变。在由水平到竖直的过程中（　　）    A．上的弹力逐渐减小 B．上的张力先增大后减小 C．和对点的作用力的合力不变 D．对重物的弹力是重物发生了形变产生的 7.（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定竖直放置的圆环上的A、B两点，O为圆心，O点下面悬挂一物体M，绳水平，绳与绳成。现保持两绳之间的夹角始终不变，将两绳同时缓慢顺时针转过60°，物体始终处于静止状态。在旋转过程中，绳的拉力的大小以及绳的拉力的大小的变化情况为（　　）    A．一直增大 B．先增大后减小 C．一直减小 D．先减小后增大 8.如图所示， 保持O点位置及∠AOB=120°不变，将轻绳OA、OB同时逆时针缓慢旋转，直到 OA竖直，关于 OA上拉力TA和OB上拉力 TB的大小说法正确的是（    ）      A．TA一直变大，TB不变 B．TA先变大后变小， TB一直变小 C．TA先变大后变小，TB一直变大 D．TA先变小后变大，TB先变大后变小 9.如图所示，光滑挡板AB和CD在C点连接，AB板倾斜，CD板竖直，两板相对固定，小球静止于两极之间，现使整个装置绕A点在竖直面内沿顺时针方向缓慢转动到CD板水平，则在此过程中，下列说法正确的是（   ） A．球对AB板的作用力变小 B．球对CD板的作用力变小 C．球对AB板的作用力变大 D．球对CD板的作用力变大 10.如图所示，斜面静止于水平地面。将一可视为质点的质量为m的小球用轻质柔软的细线悬挂于斜面顶端的O点，在外力F、细线拉力FT和重力mg的作用下处于平衡状态。细线与竖直方向的夹角为θ，与F的夹角为α，开始时F水平。保持α角不变，逐渐缓慢增大θ角，直至悬线水平，已知该过程中，斜面一直保持静止，则下列说法正确的是(　　) A．外力F先增大后减小 B．细线拉力FT逐渐增大 C．地面对斜面的摩擦力先增大后减小 D．地面对斜面的支持力先减小后增大 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $