2.1 分式的概念及基本性质 第2课时教案2025-2026学年 湘教版八年级数学上册

该教案聚焦初中数学分式的基本性质与约分方法，以分数性质为起点，通过“复习回顾—类比探究—抽象归纳—应用练习”的逻辑链条，构建清晰的学习支架，帮助学生从已有经验自然过渡到新知理解。 本资料突出核心素养导向，体现“类比推理”“符号意识”和“模型观念”三大亮点。例如，通过分数与分式的对比操作，引导学生发现分式性质的内在规律，强化抽象能力；在例题解析中强调约分步骤与最简分式判断标准，培养学生严谨的运算习惯；课堂练习设计贴近生活情境，如变量代入求值、分式变形等任务，提升学生用数学语言表达现实问题的能力。既助力学生建立结构化知识体系，又为教师提供可直接使用的教学范式，增强课堂实效性。

第二章分式 2.1分式的概念及基本性质 第2课时 一、教学目标 1.理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行分式的变形. 2.掌握分式约分的方法，了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式． 3.通过类比分数的基本性质，探索分式的基本性质，初步掌握类比的思想方法． 4.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神，形成勤奋学习的良好习惯． 二、教学重难点 重点：理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行分式的变形． 难点：掌握分式约分的方法，能将分式化为最简分式． 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 教师活动：引领学生们复习分数的基本性质，让学生回顾分数的基本性质，并提出问题. 思考：分数是否相等？为什么？ 预设：，分数的分子、分母都乘同一个不为0的数，分数的值不变. ，分数的分子、分母都除以同一个不为0的数，分数的值不变. 说一说：分数的基本性质. 预设：分数的分子、分母都乘(或都除以)同一个不为0的数，分数的值不变. 一般地，对于任意一个分数，有，(c≠0) ，其中a，b，c是数. 类比分数的基本性质，分式是否也具有类似的性质呢? 接下来让我们一起来探究分式的基本性质吧! 设计意图：通过回顾分数基本性质相关内容，激活学生已有知识经验，自然引出对分式基本性质的探究，为新知识学习搭建认知桥梁，降低理解难度. 【探究新知】 【做一做】 填一填: (1) ， (2) (c≠0)， 预设：(1)3，16；9，1； （2）c；5 【思考】 类比分数的基本性质，对于分式，下列两个式子成立吗？ , . 预设：成立． 【抽象】 实际上，对于分式，若h不为0，则 从右到左看①式，可以发现：分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式，所得分式与原分式相等． 从左到右看①式，可以发现：分式的分子与分母都除以它们的一个不为0的公因式，所得分式与原分式相等． 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式(或除以它们的一个不为0的公因式)，所得分式与原分式相等. 设计意图：通过“做一做”填空巩固分数基本性质，“思考”环节类比引发对分式性质的猜想，“抽象”得出分式基本性质．循序渐进，让学生经历知识探究过程，培养类比推理与归纳能力． 【思考】 下列关于分式的等式是否成立?为什么? 解：(1)分式的分子与分母都除以−1，根据分式的基本性质得 即．成立． (2)分式的分子与分母都乘−1，根据分式的基本性质得 即．成立． 设计意图：通过设置关于分式等式是否成立的思考问题，引导学生运用刚学的分式基本性质进行推理验证，加深对性质的理解与运用，培养逻辑思维和数学推理能力，强化对分式符号变化规律的认知. 【做一做】 利用分式的基本性质填空，并说明理由. 预设：由于5x=5·x，x2−3x=x·(x−3)，于是，由分式的基本性质得 【抽象】 像这样，利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分. 在小学就已知道，如果一个分数的分子与分母没有公因数，那么称这个分数是最简分数. 类似地，分式经过约分后得到，约分后分子与分母没有公因式，由此引出下述概念： 如果分式的分子与分母没有公因式，那么称这个分式是最简分式. 【说一说】 下列哪些分式是最简分式? (1) , (2) ,(3)，(4) 预设： （1） 是；（2）不是，有公因式a-1;(3)不是，有公因式x；（4）不是，有公因式m+n. 注意：判断分式是否是最简分式，看分子分母有没有公因式． 设计意图：通过“做一做”让学生运用分式基本性质填空，经历约分过程，再经“抽象”归纳出约分和最简分式概念，最后“说一说”巩固概念，培养学生运算与辨析能力，加深对分式相关知识的理解. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答．然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 经典例题 例1利用分式的基本性质填空： (1) (2) 分析：先观察已知分子或分母的变化，再根据分式的基本性质进行解答即可. 解： 注意：分子或分母怎么变化的，对应的分母或分子也是怎么变化. 教材例题 例2 把下列分式化成最简分式： (1) ; (2) . 分析：化成最简分式的方法是约分，若分子或分母是多项式，应先将其因式分解，然后找出分子与分母的公因式，最后约去公因式. 解：(1) ; (2). 注意：约分是针对分子分母的整体，而不是分子或分母中的某一项. 【议一议】 分式约分的一般方法： 预设：(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积，使所得结果成为最简分式或者整式. (2)若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去. 使所得结果成为最简分式或者整式. 例3当x=23，y=17时，求分式的值. 分析：先对分式进行化简，再把x，y的值代入. 解：由于分式不是最简分式，因此，可将其先化为最简分式，即. 将中的x,y分别用23,17代入，则分式的值为. 因此，当x=23，y=17时，分式的值为. 思考：直接将x，y的值代入原分式，算一算，哪个简便？ 分析：直接将x，y的值代入，进行计算求解即可. 解：将分式中的x，y分别用23，17代入，则分式的值为： . 因此，当x=23，y=17时，分式的值为. 设计意图：引导学生运用分式的基本性质进行解决问题，巩固约分和最简分式的概念，提升逻辑思维和运算能力. 【课堂练习】 教材练习 1.利用分式的基本性质填空： （1）; ; ; 解： ； ； 2.把下列分式化成最简分式： (1) ; (2) ; (3); (4); (5). 解：(1) ; (2) (3) (4) (5) 3.当x=41，y=13时，求分式的值. 解: 由于分式不是最简分式，因此，可将其先化为最简分式，即. 将中的x,y分别用41,13代入，则分式的值为 因此，当x=41，y=13时，分式的值为. 自选练习 4.计算的结果为（ ） A.1 B. C. D.0 答案：A. 5.如果把分式中的x和y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A.扩大到原来的5倍． B.缩小到原来的倍． C.缩小到原来的倍． D.不变． 答案：D. 6.当|x|=2，y=1，y＜x时，求分式的值. 解: 由于分式不是最简分式，因此，可将其先化为最简分式，即． 因为|x|=2，y=1，y＜x，所以x=2，y=1，将中的x,y分别用2,1代入，则分式的值为．因此，分式的值为−1. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $