2.1 分式的概念及基本性质同步讲义2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式的概念及基本性质，系统梳理分式定义（强调分母含字母）、有（无）意义条件（分母≠0或=0）、值为零条件（分子=0且分母≠0）、基本性质（分子分母乘除同整式）、约分（约公因式得最简分式）及通分（确定最简公分母），构建从概念到性质再到运算的完整学习支架。 资料通过分题型典例精讲（如分式与整式区分、有意义条件等）结合跟踪训练，强化数学思维中的推理意识与运算能力，易错提醒（如值为零需验分母）培养抽象能力。随堂演练与课后分层练习帮助学生用数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

2.1　分式的概念及基本性质 【知识点梳理】 1．分式的定义：一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，B≠0，那么式子 叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 核心判断标准：分母是否含有字母。π是常数（圆周率≈3.14159），分母只含π的不是分式。 例如： 、 是分式； 、 是整式。 2．分式有（无）意义的条件 （1）分式有意义⇔分母≠0；（2）分式无意义⇔分母＝0。 即分式有意义，必须且只需B≠ 0。 3．分式值为零的条件：分式值为零⇔分子＝0且分母≠ 0（双重条件，缺一不可）。 易错提醒：只令分子为零而忘了检验分母是否为零，是考试中最常见的失分点。 4．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。公式表示为： ＝ ， ＝ （M是不等于零的整式）。 5．分式的约分 (2)根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。约分后的分式，若分子与分母没有公因式，叫作最简分式。 (2)约分步骤：①对分子分母分别因式分解；②找出公因式；③约去公因式。 6．分式的通分 (1)根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。通分的关键是确定最简公分母。 (2)最简公分母求法：取各分母所有因式的最高次幂的积。 【典例精讲】 题型1：分式与整式的区分 【典例1】判断下列式子哪些是分式，哪些是整式： ①；　　②；　　③ ；　　④ 。 【典例2】下列代数式属于分式的是（ ） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.2x+y 【典例3】判断：式子是分式吗？说明理由。 跟踪训练： 1．下列式子中，是分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D.3x²+1 2．在式子、 、 、 、2x中，分式有 个。 3．π是一个________（填“字母”或“常数”），因此含π的式子一般不是分式。 4．一个代数式是分式的核心条件是：分母中________。 题型2：分式有意义、无意义、值为0的条件 【典例1】当x取何值时，分式 有意义？ 【典例2】当x取何值时，分式 (x+1)/(x-4) 无意义？ 【典例3】若分式 (x²-4)/(x-2) 的值为零，求x的值。 跟踪训练： 1．使分式 有意义的x的取值范围是（ ） 　A.x≠1　　B.x≠0　　C.x≠-1　　D.x≠3 2．当x＝________时，分式无意义。 3．若分式 的值为零，则x的值为（ ） 　A.3　　B.-2　　C.±3　　D.2 4．若分式有意义，求x的取值范围。 题型3：分式基本性质、约分与最简分式 【典例1】利用分式基本性质填空： ＝ 。 【典例2】约分：。 【典例3】下列分式中，属于最简分式的是（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 跟踪训练： 1．下列等式从左到右的变形，正确的是（ ） 　A.＝ 　　B.＝ 　　C.＝ （c≠0）　　D.＝ 2．约分：＝ 。 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 4．不改变分式的值，使的分母首项系数为正： 。 模块三　随堂演练（6题，满分30分） 1．在、、、中，分式的个数是（ ） 　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 2．使分式有意义的x的取值范围是 。 3．若分式的值为零，则x＝ 。 4．约分： ＝ 。 5．下列分式是最简分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 6．通分：与，最简公分母是 。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列式子中，是分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D.x²+2 2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ） 　A.x≠2　　B.x≠-2　　C.x≠0　　D.x取任意实数 3．当x＝2时，分式的值是（ ） 　A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 无意义 4．下列变形正确的是（ ） 　A.＝ 　　 B.＝ C.＝ （c≠0）　　 D.＝ 5．分式约分后等于（ ） A. x+2　　B. x-2　　C. x²-2　　D. x-4 6．下列分式中，最简分式是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 7．若分式的值为零，则x的值为（ ） 　A. 1　　B. -1　　C. ±1　　D. 不存在 8．通分和，最简公分母是（ ） 　A.x　　 B.x+2　　 C.x(x+2)　　 D.2x(x+2) 二、填空题 9．形如的式子，若B中含有 ，则称为分式。 10．分式无意义时，x＝ 。 11．约分：＝________。 12． ＝ （b≠0），括号中应填________。 13．分式的分母因式分解后为________。 14．最简分式是指分子与分母________的分式。 三、解答大题 15．（6分）判断下列代数式哪些是分式，哪些是整式： ① ；② ；③；④；⑤ 5x。 16．（7分）求下列分式有意义的x取值范围： （1）；　　（2）。 17．（7分）约分： （1）；　　（2）。 18．（8分）已知分式： （1）当x取何值时，分式有意义？ （2）当x取何值时，分式的值为零？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　分式的概念及基本性质 【知识点梳理】 1．分式的定义：一般地，如果A、B是两个整式，且B中含有字母，B≠0，那么式子 叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 核心判断标准：分母是否含有字母。π是常数（圆周率≈3.14159），分母只含π的不是分式。 例如： 、 是分式； 、 是整式。 2．分式有（无）意义的条件 （1）分式有意义⇔分母≠0；（2）分式无意义⇔分母＝0。 即分式有意义，必须且只需B≠ 0。 3．分式值为零的条件：分式值为零⇔分子＝0且分母≠ 0（双重条件，缺一不可）。 易错提醒：只令分子为零而忘了检验分母是否为零，是考试中最常见的失分点。 4．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。公式表示为： ＝ ， ＝ （M是不等于零的整式）。 5．分式的约分 (2)根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分。约分后的分式，若分子与分母没有公因式，叫作最简分式。 (2)约分步骤：①对分子分母分别因式分解；②找出公因式；③约去公因式。 6．分式的通分 (1)根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。通分的关键是确定最简公分母。 (2)最简公分母求法：取各分母所有因式的最高次幂的积。 【典例精讲】 题型1：分式与整式的区分 【典例1】判断下列式子哪些是分式，哪些是整式： ①；　　②；　　③ ；　　④ 。 解：①分母含字母x → 分式；②分母2是常数 → 整式；③分母π虽是希腊字母但是常数 → 整式；④分母a+3含字母a → 分式。关键是看分母是否含字母而非看整体形式。 【典例2】下列代数式属于分式的是（ ） A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.2x+y 【答案】B 【解析】A分母为常数3，整式；B分母x+1含字母，是分式；C分母常数5，整式；D无分母，是多项式，整式。 【典例3】判断：式子是分式吗？说明理由。 【答案】不是分式，是整式。 【解析】π≈3.14159是一个固定的常数（圆周率），不是字母变量。分母π不含字母，因此属于整式。 跟踪训练： 1．下列式子中，是分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D.3x²+1 【答案】B 【解析】A分母3是常数 → 整式；B分母x-2含字母 → 是分式；C分母π是常数 → 整式；D是多项式，无分母。 2．在式子、 、 、 、2x中，分式有 个。 【答案】2 【解析】逐个判断： 分母含a → 分式； 分母常数5 → 整式； 分母含x、y → 分式； 分母为常数 → 整式；2x 无分母 → 整式。分式共2个。 3．π是一个________（填“字母”或“常数”），因此含π的式子一般不是分式。 【答案】常数 4．一个代数式是分式的核心条件是：分母中________。 【答案】含有字母 【解析】分式定义：形如A/B，其中A、B为整式，且B中含有字母。即区分分式与整式的唯一标准——看分母是否含字母变量。 题型2：分式有意义、无意义、值为0的条件 【典例1】当x取何值时，分式 有意义？ 解：分式有意义的条件是分母不为零：x+3 ≠ 0，解得x ≠ -3。 所以当x ≠ -3时，分式有意义。 【典例2】当x取何值时，分式 (x+1)/(x-4) 无意义？ 解：分式无意义的条件是分母为零：x-4 = 0，解得 x = 4。 当 x = 4 时分母为零，分式无意义。 【典例3】若分式 (x²-4)/(x-2) 的值为零，求x的值。 解：分式值为零须同时满足两个条件： ①分子为零：x²-4 = 0 → (x+2)(x-2) = 0 → x = 2或x = -2 ②分母不为零：x-2 ≠ 0 → x ≠ 2 综合得 x = -2。 跟踪训练： 1．使分式 有意义的x的取值范围是（ ） 　A.x≠1　　B.x≠0　　C.x≠-1　　D.x≠3 【答案】A 【解析】分母 x-1 ≠ 0 → x ≠ 1。 2．当x＝________时，分式无意义。 【答案】3 【解析】分母为零：2x-6 = 0 → 2x = 6 → x = 3。 3．若分式 的值为零，则x的值为（ ） 　A.3　　B.-2　　C.±3　　D.2 【答案】A 【解析】分子为零：x-3 = 0 → x = 3。检验分母：3+2 = 5 ≠ 0 。注意-2使分母为零，不满足条件。 4．若分式有意义，求x的取值范围。 【答案】x ≠ ±3 【解析】分母 |x|-3 ≠ 0 → |x| ≠ 3 → x ≠ 3 且 x ≠ -3。 题型3：分式基本性质、约分与最简分式 【典例1】利用分式基本性质填空： ＝ 。 【答案】b 【解析】由分式基本性质，分子分母同除以不为零的整式a，分式值不变。a÷a＝1，ab÷a＝b，故括号中填b。 【典例2】约分：。 解：原式=＝x-1。 【典例3】下列分式中，属于最简分式的是（ ） A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【解析】A：分子分母有公因数2，可约分为 ；B：分母x²-1＝(x+1)(x-1)，分子分母有公因式(x+1)，可约分；C：分子x-1与分母x+2无公因式，是最简分式 ；D：公因式3a，可约分。 跟踪训练： 1．下列等式从左到右的变形，正确的是（ ） 　A.＝ 　　B.＝ 　　C.＝ （c≠0）　　D.＝ 【答案】C 【解析】由分式基本性质，分子分母同乘（除）同一个不为零的整式，分式值不变。只有C满足（c≠0）。A同时平方改变了值，B同时加1改变值，D同时减1改变值。 2．约分：＝ 。 【答案】 【解析】公因式为5ab：15a²b÷5ab＝3a，20ab²÷5ab＝4b，得。 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【解析】A可约分→ ；B分母＝(a+b)(a-b)，可约去(a+b)；C分子分母无公因式，最简 ；D可约3→ 。 4．不改变分式的值，使的分母首项系数为正： 。 【答案】 或提取公因式： 。 【解析】分母因式分解：3x-6y＝3(x-2y)，正确写法为。 模块三　随堂演练（6题，满分30分） 1．在、、、中，分式的个数是（ ） 　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 【答案】B 【解析】逐个判断：分母含x →分式；分母常3 → 整式； 分母含a → 分式； 分母π是常数 → 整式。共2个分式。 2．使分式有意义的x的取值范围是________。 【答案】x ≠ 3 【解析】分母 x-3 ≠ 0 → x ≠ 3。 3．若分式的值为零，则x＝________。 【答案】-2 【解析】分子为零：x+2＝0 → x＝-2；检验分母：-2-5＝-7 ≠ 0。若x＝5，分子不为零且分母为零，不满足条件。 4．约分： ＝________。 【答案】x-3 【解析】分子因式分解：x²-9＝(x+3)(x-3)，约去公因式(x+3)得 x-3。 5．下列分式是最简分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【解析】A可约4→ ；B分母＝(x+1)(x-1)，可约(x+1)；C分子分母无公因式；D可约3→ 。 6．通分：与，最简公分母是________。 【答案】x(x+1) 【解析】两个分母 x 和 x+1 互质，最简公分母为它们的乘积x(x+1)。通分后分别为 和。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列式子中，是分式的是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D.x²+2 【答案】B 【解析】A分母5是常数；B分母a-1含字母；C分母π是常数；D无分母，整式。 2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ） 　A.x≠2　　B.x≠-2　　C.x≠0　　D.x取任意实数 【答案】A 【解析】分母x-2 ≠ 0→x ≠ 2。 3．当x＝2时，分式的值是（ ） 　A. 0　　B. 1　　C. 2　　D. 无意义 【答案】A 【解析】代入x＝2：分子2-2＝0，分母2+3＝5 ≠ 0，分式值为 ＝0。 4．下列变形正确的是（ ） 　A.＝ 　　 B.＝ C.＝ （c≠0）　　 D.＝ 【答案】C 【解析】分式基本性质：分子分母同乘（或除）同一个不等于零的整式，分式值不变。C正确。 5．分式约分后等于（ ） A. x+2　　B. x-2　　C. x²-2　　D. x-4 【答案】B 【解析】分子x²-4＝(x+2)(x-2)，约去公因式(x+2)得x-2。 6．下列分式中，最简分式是（ ） 　A.　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【解析】C分子a-1与分母a+1无公因式，最简。 7．若分式的值为零，则x的值为（ ） 　A. 1　　B. -1　　C. ±1　　D. 不存在 【答案】D 【解析】分母x²-1＝(x+1)(x-1)，分子x-1。分子为零时x＝1，但此时分母也为零，分式无意义。x＝-1时分母为零。故不存在使分式值为零的x值。 8．通分和，最简公分母是（ ） 　A.x　　 B.x+2　　 C.x(x+2)　　 D.2x(x+2) 【答案】C 【解析】两个分母x和x+2互质，最简公分母为x(x+2)。 二、填空题 9．形如的式子，若B中含有 ，则称为分式。 【答案】字母 10．分式无意义时，x＝ 。 【答案】3 11．约分：＝________。 【答案】 12． ＝ （b≠0），括号中应填________。 【答案】ab 【解析】由分式基本性质，分母乘b，分子也要乘b：a·b＝ab。 13．分式的分母因式分解后为________。 【答案】(a+2)(a-2) 14．最简分式是指分子与分母________的分式。 【答案】没有公因式 三、解答大题 15．（6分）判断下列代数式哪些是分式，哪些是整式： ① ；② ；③；④；⑤ 5x。 解：①分母含a → 分式；②分母5常数 → 整式；③分母m+n含字母 → 分式；④分母π常数 → 整式；⑤无分母 → 整式。 16．（7分）求下列分式有意义的x取值范围： （1）；　　（2）。 解：（1）分母 x+5 ≠ 0 → x ≠ -5。 （2）分母 x²-1＝(x+1)(x-1) ≠ 0 → x ≠ 1 且 x ≠ -1。 17．（7分）约分： （1）；　　（2）。 解：（1）解：原式=＝x（x≠-2）。 （2）原式==。 18．（8分）已知分式： （1）当x取何值时，分式有意义？ （2）当x取何值时，分式的值为零？ 解：（1）分母 x-2 ≠ 0 → x ≠ 2。 （2）分子为零时 2x-4＝0 → x＝2，但此时分母 x-2＝0，分式无意义。故不存在满足条件的x。 学科网（北京）股份有限公司 $